2017年广东省深圳市高考数学二模试卷(理科).doc

2017年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x||x|＜2}，则（　　）
A．A∩B＝∅ B．A∩B＝A C．A∪B＝A D．A∪B＝R
2．（5分）已知复数z满足（1+i）z＝|+i|，i为虚数单位，则z等于（　　）
A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．+i
3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，1）上单调递增的是（　　）
A．y＝cosx B．y＝ C．y＝2|x| D．y＝|lgx|
4．（5分）设实数a∈（0，1），则函数f（x）＝x2﹣（2a+1）x+a2+1有零点的概率为（　　）
A． B． C． D．
5．（5分）某学需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人．则不同的选派方法的种数是（　　）
A．18 B．24 C．36 D．42
6．（5分）在平面直角坐标系中，直线y＝x与圆O：x2+y2＝1交于A、B两点．α、β的始边是x轴的非负半轴，终边分别在射线OA和OB上，则tan（α+β）的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．2
7．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈[﹣，]的图象如图所示，若f（x1）＝f（x2），且x1≠x2，则f（x1+x2）的值为（　　）

A．0 B．1 C． D．

8．（5分）过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别作它的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x
9．（5分）一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）
A．36 B．48 C．64 D．72
10．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n＝10，则输出k的值为（　　）

A．7 B．6 C．5 D．4

11．（5分）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，点Q（c，）在椭圆的内部，点P是椭圆C上的动点，且|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（　　）
A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
12．（5分）设实数λ＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式eλx﹣≥0恒成立，则λ的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知向量＝（x，1）与向量＝（9，x）的夹角为π，则x＝　 　．
14．（5分）若函数f（x）＝x+（m为大于0的常数）在（1，+∞）上的最小值为3，则实数m的值为　 　．
15．（5分）已知M，N分别为长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB，A1B1的中点，若AB＝2，AD＝AA1＝2，则四面体C1﹣DMN的外接球的表面积为　 　．
16．（5分）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数学九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法﹣“三斜求积术”，即△ABC的面积S＝．其中a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边．若b＝2，且tanC＝，则△ABC的面积S的最大值为　 　．
三、解答题
17．（12分）数列{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，Sn为其前n项和，a1，a2，a5成等比数列，
（Ⅰ）证明S1，S3，S9成等比数列；
（Ⅱ）设a1＝1，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．

18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为BC的中点，∠BAC＝90°，∠A1AC＝60°，AB＝AC＝AA1＝2．
（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；
（Ⅱ）当BC1＝4时，求直线B1C与平面ADC1所成角的正弦值．

19．（12分）随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应用而生，某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．

（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系，求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2017年4月份（即x＝7时）的市场占有率；
（Ⅱ）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A、B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：
报废年限
车型
1年
2年
3年
4年
总计
A
20
35
35
10
100
B
10
30
40
20
100
经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？
（参考公式：回归直线方程＝x+，其中＝，＝﹣）

20．（12分）平面直角坐标系中，动圆C与圆（x﹣1）2+y2＝外切，且与直线x＝﹣相切，记圆心C的轨迹为曲线T
（Ⅰ）求曲线T的方程；
（Ⅱ）设过定点Q（m，0）（m为非零常数）的动直线l与曲线T交于A、B两点，问：在曲线T上是否存在点P（与A、B两点相异），当直线PA、PB的斜率存在时，直线PA、PB的斜率之和为定值，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣2）ex﹣x2，其中a∈R，e为自然对数的底数
（Ⅰ）函数f（x）的图象能否与x轴相切？若能与x轴相切，求实数a的值；否则，请说明理由；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）+2x在R上单调递增，求实数a能取到的最大整数值．

[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在极坐标系中，点A（，）、B（，），直线l平行于直线AB，且将封闭曲线C：ρ＝2cos（θ﹣）（ρ≥0）所围成的面积平分，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系
（Ⅰ）在直角坐标系中，求曲线C及直线l的参数方程；
（Ⅱ）设点M为曲线C上的动点，求|MA|2+|MB|2的取值范围．

[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+1﹣2a|+|x﹣a2|，g（x）＝x2﹣2x﹣4+
（Ⅰ）若f（2a2﹣1）＞4|a﹣1|，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若存在实数x，y，使f（x）+g（y）≤0，求实数a的取值范围．

2017年广东省深圳市高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（5分）集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x||x|＜2}，则（　　）
A．A∩B＝∅ B．A∩B＝A C．A∪B＝A D．A∪B＝R
【分析】分别求出关于A、B的不等式，根据集合的运算判断即可．
【解答】解：A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，
B＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，
则A∩B＝A，
故选：B．
【点评】本题考查了解不等式问题，考查集合的运算，是一道基础题．
2．（5分）已知复数z满足（1+i）z＝|+i|，i为虚数单位，则z等于（　　）
A．1﹣i B．1+i C．﹣i D．+i
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案．
【解答】解：（1+i）z＝|+i|＝＝2，
∴z＝＝＝1﹣i，
故选：A．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在（0，1）上单调递增的是（　　）
A．y＝cosx B．y＝ C．y＝2|x| D．y＝|lgx|
【分析】根据题意，依次分析选项的函数，判定选项中函数的奇偶性、单调性，即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A、y＝cosx为余弦函数，为偶函数，在区间（0，1）上为减函数，不符合题意；
对于B、y＝，其定义域为[0，+∞），是非奇非偶函数，不符合题意；
对于C、y═2|x|＝，为偶函数，在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意；
对于D、y═|lgx|，其定义域为（0，+∞），是非奇非偶函数，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查函数奇偶性．单调性的判断，关键是掌握常见函数的奇偶性．单调性．
4．（5分）设实数a∈（0，1），则函数f（x）＝x2﹣（2a+1）x+a2+1有零点的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由二次函数所对应二次方程的判别式大于等于0求得a的范围，结合a∈（0，1）可得a所在区间长度，利用区间长度比可得函数f（x）＝x2﹣（2a+1）x+a2+1有零点的概率．
【解答】解：若函数f（x）＝x2﹣（2a+1）x+a2+1有零点，
则△＝[﹣（2a+1）]2﹣4（a2+1）＝4a2+4a+1﹣4a2﹣4＝4a﹣3≥0，
即a．
又∵a∈（0，1），
∴a∈（），
∴函数f（x）＝x2﹣（2a+1）x+a2+1有零点的概率为．
故选：D．
【点评】本题考查几何概型，考查了二次函数零点的判定方法，是基础题．
5．（5分）某学需要从3名男生和2名女生中选出4人，到甲、乙、丙三个社区参加活动，其中甲社区需要选派2人，且至少有1名是女生；乙社区和丙社区各需要选派1人．则不同的选派方法的种数是（　　）
A．18 B．24 C．36 D．42
【分析】根据题意，先分析甲地的安排方法，分“分派2名女生”和“分派1名女生”两种情况讨论，由加法原理可得甲地的分派方法数目，第二步在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，由排列数公式可得其安排方法数目，由分步计数原理计算可得答案．
【解答】解：根据题意，甲地需要选派2人且至少有1名女生，
若甲地分派2名女生，有C22＝1种情况，
若甲地分配1名女生，有C21•C31＝6种情况，
则甲地的分派方法有1+6＝7种，
甲地安排好后，在剩余3人中，任选2人，安排在乙、丙两地，有A32＝6种安排方法，
则不同的选派方法的种数是7×6＝42；
故选：D．
【点评】本题考查排列、组合的实际应用，注意先分析受到限制的元素，如本题的甲地．
6．（5分）在平面直角坐标系中，直线y＝x与圆O：x2+y2＝1交于A、B两点．α、β的始边是x轴的非负半轴，终边分别在射线OA和OB上，则tan（α+β）的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣ C．0 D．2
【分析】根据直线y＝x与圆O：x2+y2＝1交于A、B两点，直线y＝x过原点，斜率k＝，即tanα＝，α、β的始边是x轴的非负半轴，终边分别在射线OA和OB，则β＝α+π．即可求解tan（α+β）的值．
【解答】解：由题意，直线y＝x与圆O：x2+y2＝1交于A、B两点，直线y＝x过原点，斜率k＝，即tanα＝，
α、β的始边是x轴的非负半轴，终边分别在射线OA和OB，则β＝α+π．
那么：tan（α+β）＝tan（2α+π）＝tan2α＝＝．
故选：A．
【点评】本题考查了直线的斜率问题和三角函数的定义的运用．属于基础题．
7．（5分）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈[﹣，]的图象如图所示，若f（x1）＝f（x2），且x1≠x2，则f（x1+x2）的值为（　　）

A．0 B．1 C． D．
【分析】根据函数f（x）的图象求出f（x）的解析式，再根据f（x1）＝f（x2），且x1≠x2，利用特殊值求出f（x1+x2）的值．
【解答】解：根据函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈[﹣，]的图象知，
＝﹣（﹣）＝，
∴T＝π，
∴ω＝＝2；
又x＝﹣，2×（﹣）+φ＝0，
解得φ＝，
∴f（x）＝2sin（2x+）；
又f（x1）＝f（x2），且x1≠x2，
不妨令x1＝0，得x2＝，
∴x1+x2＝，
∴f（x1+x2）＝2sin（2×+）＝1．
故选：B．
【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
8．（5分）过双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别作它的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b，则该双曲线的渐近线方程为（　　）
A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x
【分析】过右焦点，与一条渐近线平行的直线方程为bx﹣ay﹣bc＝0，令x＝0，y＝﹣，利用这4条直线所围成的四边形的周长为8b，建立方程，即可得出结论．
【解答】解：过右焦点，与一条渐近线平行的直线方程为bx﹣ay﹣bc＝0，
令x＝0，y＝﹣，
∵这4条直线所围成的四边形的周长为8b，
∴，∴a＝b，
∴该双曲线的渐近线方程为y＝±x，
故选：A．
【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，属于中档题．
9．（5分）一个长方体被一个平面截去一部分后，所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）
A．36 B．48 C．64 D．72
【分析】根据几何体的三视图得该几何体的体积为长宽高分别为4，4，6的长方体体积的一半，即可得出结论．
【解答】解：根据几何体的三视图得该几何体的体积为长宽高分别为4，4，6的长方体体积的一半，即＝48，
故选：B．
【点评】本题考查了由三视图求体积，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n＝10，则输出k的值为（　　）

A．7 B．6 C．5 D．4
【分析】根据已知中的程序框图，模拟程序的运行过程，并逐句分析各变量值的变化情况，可得答案．
【解答】解：当n＝10，k＝0，T＝1，S＝1，则T＝×1＝10，则＝10＞1，
则k＝1，T＝10，S＝10，则T＝×10＝45，则＝4.5＞1，
k＝2，T＝45，S＝45，则T＝×45＝120，则＝＞1，
k＝3，T＝120，S＝120，则T＝×120＝210，则＝1.75＞1，
k＝4，T＝210，S＝210，则T＝×210＝252，则＝1.2＞1，
k＝5，T＝252，S＝252，则T＝×252＝210，则＝＜1，
结束循环，输出k＝5，
故选：C．
【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．
11．（5分）设椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其焦距为2c，点Q（c，）在椭圆的内部，点P是椭圆C上的动点，且|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（　　）
A．（，） B．（，） C．（，） D．（，）
【分析】点Q（c，）在椭圆的内部，，|PF1|+|PQ|＝2a﹣|PF2|+|PQ|，由﹣|QF2|+|PQ|≤|PQ|﹣|PF2|≤|QF2|，且|QF2|＝，要|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，即2a﹣|PF2|+|PQ|≤2a+＜5×2c．
【解答】解：∵点Q（c，）在椭圆的内部，∴，⇒2b2＞a2⇒a2＞2c2．

|PF1|+|PQ|＝2a﹣|PF2|+|PQ|
又因为﹣|QF2|≤|PQ|﹣|PF2|≤|QF2|，且|QF2|＝，
要|PF1|+|PQ|＜5|F1F2|恒成立，即2a﹣|PF2|+|PQ|≤2a+＜5×2c
，，则椭圆离心率的取值范围是（，）．
故选：B．

【点评】本题考查了椭圆的方程、性质，椭圆的离心率，转化思想是解题关键，属于难题．
12．（5分）设实数λ＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式eλx﹣≥0恒成立，则λ的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由题意可得（eλx﹣）min≥0，设f（x）＝eλx﹣，x＞0，求出导数和单调区间、极小值点m和最小值点，可令最小值为0，解方程可得m，λ，进而得到所求最小值．
【解答】解：实数λ＞0，若对任意的x∈（0，+∞），不等式eλx﹣≥0恒成立，
即为（eλx﹣）min≥0，
设f（x）＝eλx﹣，x＞0，f′（x）＝λeλx﹣，
令f′（x）＝0，可得eλx＝，
由指数函数和反比例函数在第一象限的图象，
可得y＝eλx和y＝有且只有一个交点，
设为（m，n），当x＞m时，f′（x）＞0，f（x）递增；
当0＜x＜m时，f′（x）＜0，f（x）递减．
即有f（x）在x＝m处取得极小值，且为最小值．
即有eλm＝，令eλm﹣＝0，
可得m＝e，λ＝．
则当λ≥时，不等式eλx﹣≥0恒成立．
则λ的最小值为．
另解：由于y＝eλx与y＝互为反函数，
故图象关于y＝x对称，考虑极限情况，y＝x恰为这两个函数的公切线，
此时斜率k＝1，再用导数求得切线斜率的表达式为k＝，
即可得λ的最小值为．
故选：A．
【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，以及运用导数求得单调区间、极值和最值，考查方程思想，以及运算能力，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（5分）已知向量＝（x，1）与向量＝（9，x）的夹角为π，则x＝　﹣3　．
【分析】利用两个向量的夹角的定义，查两个向量共线的性质，求得x的值．
【解答】解：∵向量＝（x，1）与向量＝（9，x）的夹角为π，
则（9，x）＝﹣λ•（x，1），λ＞0，
∴9＝﹣λx，x＝﹣λ，求得x＝﹣3，
故答案为：﹣3．
【点评】本题主要考查两个向量的夹角的定义，查两个向量共线的性质，属于基础题．
14．（5分）若函数f（x）＝x+（m为大于0的常数）在（1，+∞）上的最小值为3，则实数m的值为　1　．
【分析】由x﹣1＞0，f（x）＝（x﹣1）++1，运用基本不等式可得最小值，解方程可得p的值．
【解答】解：由x＞1可得x﹣1＞0，即有f（x）＝（x﹣1）++1
≥2+1＝2+1，
当且仅当x﹣1＝，即x＝1+处取得最小值，且为1+2，
由题意可得1+2＝3，解得m＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式，考查运算能力，属于基础题．
15．（5分）已知M，N分别为长方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱AB，A1B1的中点，若AB＝2，AD＝AA1＝2，则四面体C1﹣DMN的外接球的表面积为　13π　．
【分析】四面体C1﹣DMN的外接球就是直三棱柱DMC﹣D1NC1，的外接球，根据数据求解
【解答】解：如图所示，四面体C1﹣DMN的外接球就是直三棱柱DMC﹣D1NC1，的外接球，
设棱柱DMC﹣D1NC1的底DMC的外接圆圆心为G，三棱柱DMC﹣D1NC1，的外接球为O，
△DMC的外接圆半径r．r2＝（2﹣r）2+（）2，解得r＝，
外接球的半径R＝＝，
∴四面体C1﹣DMN的外接球的表面积为4πR2＝13π．
故答案为：13π．

【点评】本题考查了几何体的外接球，转化思想是解题轨迹，属于中档题．
16．（5分）我国南宋时期著名的数学家秦九韶在其著作《数学九章》中独立提出了一种求三角形面积的方法﹣“三斜求积术”，即△ABC的面积S＝．其中a，b，c分别为△ABC内角A、B、C的对边．若b＝2，且tanC＝，则△ABC的面积S的最大值为　　．
【分析】由已知利用正弦定理可求c＝a，代入“三斜求积”公式即可计算得解．
【解答】解：∵tanC＝，
∴sinC＝sin（B+C）＝sinA，
∴c＝a，
∵b＝2，
∴S＝＝＝，
∴a＝2时，△ABC的面积S的最大值为，
故答案为．
【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
三、解答题
17．（12分）数列{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，Sn为其前n项和，a1，a2，a5成等比数列，
（Ⅰ）证明S1，S3，S9成等比数列；
（Ⅱ）设a1＝1，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（Ⅰ）运用等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，解方程可得d＝2a1，再由等差数列的求和公式，结合等比数列中项性质，即可得证；
（Ⅱ）求出bn＝，＝a1+（2n﹣1）d＝1+2（2n﹣1）＝2n+1﹣1，再由分组求和，结合等比数列的求和公式，计算即可得到所求和．
【解答】（Ⅰ）证明：数列{an}是公差为d（d≠0）的等差数列，
Sn为其前n项和，a1，a2，a5成等比数列，
可得a22＝a1a5，
即为（a1+d）2＝a1（a1+4d），
化简可得d＝2a1，
S1S9＝a1（9a1+36d）＝81a12，S3＝3a1+3d＝9a1，
可得S1S9＝S32，
即为S1，S3，S9成等比数列；
（Ⅱ）解：设a1＝1，bn＝，＝a1+（2n﹣1）d＝1+2（2n﹣1）＝2n+1﹣1，
数列{bn}的前n项和Tn＝（4+8+…+2n+1）﹣n
＝﹣n＝2n+2﹣4﹣n．
【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列中项的性质，考查数列的求和方法：分组求和，注意运用等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．
18．（12分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为BC的中点，∠BAC＝90°，∠A1AC＝60°，AB＝AC＝AA1＝2．
（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；
（Ⅱ）当BC1＝4时，求直线B1C与平面ADC1所成角的正弦值．

【分析】（Ⅰ）连接A1C，交AC1于O，连接OD，证明OD∥A1B，即可证明：A1B∥平面ADC1；
（Ⅱ）建立如图所示的坐标系，求出平面ADC1的法向量，利用向量方法，即可求直线B1C与平面ADC1所成角的正弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：连接A1C，交AC1于O，连接OD，
∵D为BC的中点，
∴OD∥A1B，
∵A1B⊄平面ADC1，OD⊂平面ADC1，
∴A1B∥平面ADC1；
（Ⅱ）解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0，0），D（1，1，0），C1（0，3，），B1（2，1，），C（0，2，0），
∴＝（1，1，0），＝（0，3，），
设平面ADC1的法向量为＝（x，y，z），则，＝（1，﹣1，），
∵＝（﹣2，1，﹣），
∴直线B1C与平面ADC1所成角的正弦值＝||＝．

【点评】本题考查线面平行，考查线面角，考查向量方法的运用，属于中档题．
19．（12分）随着移动互联网的快速发展，基于互联网的共享单车应用而生，某市场研究人员为了了解共享单车运营公司M的经营状况，对该公司最近六个月内的市场占有率进行了统计，并绘制了相应的折线图．

（Ⅰ）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月度市场占有率y与月份代码x之间的关系，求y关于x的线性回归方程，并预测M公司2017年4月份（即x＝7时）的市场占有率；
（Ⅱ）为进一步扩大市场，公司拟再采购一批单车．现有采购成本分别为1000元/辆和1200元/辆的A、B两款车型可供选择，按规定每辆单车最多使用4年，但由于多种原因（如骑行频率等）会导致车辆报废年限不相同．考虑到公司运营的经济效益，该公司决定先对两款车型的单车各100辆进行科学模拟测试，得到两款单车使用寿命频数表如下：
报废年限
车型
1年
2年
3年
4年
总计
A
20
35
35
10
100
B
10
30
40
20
100
经测算，平均每辆单车每年可以带来收入500元，不考虑除采购成本之外的其他成本，假设每辆单车的使用寿命都是整数年，且以频率作为每辆单车使用寿命的概率．如果你是M公司的负责人，以每辆单车产生利润的期望值为决策依据，你会选择采购哪款车型？
（参考公式：回归直线方程＝x+，其中＝，＝﹣）
【分析】（Ⅰ）求出回归系数，可得回归方程，即可得出结论；
（Ⅱ）分别计算相应的数学期望，即可得出结论．
【解答】解：（Ⅰ）由题意，＝3.5，＝16，＝＝＝2，＝﹣＝16﹣2×3.5＝9，
∴＝2x+9，
x＝7时，＝2×7+9＝23，即预测M公司2017年4月份（即x＝7时）的市场占有率为23%；
（Ⅱ）由频率估计概率，每辆A款车可使用1年，2年，3年、4年的概率分别为0.2，0.35，0.35，0.1，
∴每辆A款车的利润数学期望为（500﹣1000）×0.2+（1000﹣1000）×0.35+（1500﹣1000）×0.35+（2000﹣1000）×0.1＝175元；
每辆B款车可使用1年，2年，3年、4年的概率分别为0.1，0.3，0.4，0.2，
∴每辆B款车的利润数学期望为（500﹣1200）×0.1+（1000﹣1200）×0.3+（1500﹣1200）×0.4+（2000﹣1200）×0.2＝150元；
∵175＞150，
∴应该采购A款车．
【点评】本题考查数学知识在实际生活中的应用，考查学生的阅读能力，对数据的处理能力，属于中档题．
20．（12分）平面直角坐标系中，动圆C与圆（x﹣1）2+y2＝外切，且与直线x＝﹣相切，记圆心C的轨迹为曲线T
（Ⅰ）求曲线T的方程；
（Ⅱ）设过定点Q（m，0）（m为非零常数）的动直线l与曲线T交于A、B两点，问：在曲线T上是否存在点P（与A、B两点相异），当直线PA、PB的斜率存在时，直线PA、PB的斜率之和为定值，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）据圆锥曲线的定义，动点C的轨迹是以定点（1.0）为焦点，直线x＝﹣1为准线的抛物线．
（2）假设在曲线T上存在点P满足题设条件，不妨设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）由，得＝，显然动直线l的斜率非零，故可设其方程为x＝ty+m，（t∈R），联立y2＝4x，整理得y2﹣4ty﹣4m＝0，利用韦达定理求解．
【解答】解：（1）设动圆圆心为C（x，y），动圆圆心C到点（1，0）的距离与到直线x＝﹣距离差为定圆半径，
即动点C到顶点（1，0）的距离等于到定直线x＝﹣1的距离，根据圆锥曲线的定义，动点C的轨迹是以定点（1.0）为焦点，直线x＝﹣1为准线的抛物线．
圆心C的轨迹为曲线T的方程为：y2＝4x
（2）假设在曲线T上存在点P满足题设条件，不妨设P（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2）；
，；
＝…（1）．
显然动直线l的斜率非零，故可设其方程为x＝ty+m，（t∈R），
联立y2＝4x，整理得y2﹣4ty﹣4m＝0，
∴y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4m，且y1≠y2，
代入（1）式得
显然y0≠0，于是[4y0（kPA+kPB）﹣16]+（kPB+kPA）（y02﹣4m）﹣8y0＝0…（2）
欲使（2）式对任意t∈R成立，必有
∵y0≠0，m≠0，∴，∴，即
于是，当m＞0时，不存在满足条件的y0，即不存在满足题设条件的点P；
当m＜0时，，将此代入抛物线T的方程可求得满足条件的P点坐标为（﹣m，2），（﹣m，﹣2）
综上所述，存在点P（与A，B两点相异），其坐标为（﹣m，2），（﹣m，﹣2）
直线PA、PB的斜率之和为定值．
【点评】本题考查了动点的轨迹方程，直线与抛物线的位置关系，运算能力，属于中档题．
21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣2）ex﹣x2，其中a∈R，e为自然对数的底数
（Ⅰ）函数f（x）的图象能否与x轴相切？若能与x轴相切，求实数a的值；否则，请说明理由；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）+2x在R上单调递增，求实数a能取到的最大整数值．
【分析】（Ⅰ）求出f′（x）＝（x﹣1）ex﹣ax，假设函数f（x）的图象与x轴相切于点（t，0），则，从而t2﹣3t+4＝0，由根的判别式得方程t2﹣3t+4＝0无解，由此得到无论a取何值，函数f（x）的图象都不与x轴相切．
（Ⅱ）记g（x）＝（x﹣2）ex﹣+2≥0在R上恒成立，由g′（1）＝﹣a+2≥0，得g′（x）≥0的必要条件是a≤2，当a＝1时，不等式（x﹣1）ex﹣x+2≥0恒成立．由此利用导数性质能求出a能取得的最大整数．
【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝（x﹣2）ex﹣x2，
∴f′（x）＝（x﹣1）ex﹣ax，
假设函数f（x）的图象与x轴相切于点（t，0），
则有：，即，
由②知at＝（t﹣1）et，代入①中，得（t﹣2）et﹣＝0，
∵et＞0，∴（t﹣2）﹣＝0，即t2﹣3t+4＝0，
∵△＝9﹣16＝﹣7＜0，
∴方程t2﹣3t+4＝0无解，
∴无论a取何值，函数f（x）的图象都不与x轴相切．
（Ⅱ）记g（x）＝（x﹣2）ex﹣+2≥0在R上恒成立，
由g′（1）＝﹣a+2≥0，得g′（x）≥0的必要条件是a≤2，
若a＝2，则g′（x）＝（x﹣1）ex﹣2x+2＝（x﹣1）（ex﹣2），
当ln2＜x＜1时，g′（x）＜0，故a＜2．
下面证明：当a＝1时，不等式（x﹣1）ex﹣x+2≥0恒成立．
令h（x）＝（x﹣1）ex﹣x+2，则h′（x）＝xex﹣1，
记H（x）＝xex﹣1，则H′（x）＝（x+1）ex，
当x＞﹣1时，H′（x）＞0，H（x）单调递增且H（x）＞﹣，
当x＜﹣1时，H′（x）＜0，H（x）单调递减，且﹣H（x）＜0，
∵H（）＝﹣1＜0，H（1）＝e﹣1＞0，
∴存在唯一的，使得H（x0）＝0，且当x∈（﹣∞，x0）时，H（x）＞0，
h（x）单调递减，
当x∈（x0，+∞）时，H（x）＜0，h（x）单调递增，
∴h（x）min＝h（x0）＝（x0﹣1）﹣x0+2，
∵H（x0）＝0，∴，
∴h（x0）＝（x0﹣1）＝3﹣（），
∵，∴2＜＜，
∴h（x）min＝h（x0）＞0，
∴（x﹣1）ex﹣x+2≥0恒成立，
∴a能取得的最大整数为1．
【点评】本题考查导数及其应用、不等式、函数等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想，是中档题．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．（10分）在极坐标系中，点A（，）、B（，），直线l平行于直线AB，且将封闭曲线C：ρ＝2cos（θ﹣）（ρ≥0）所围成的面积平分，以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系
（Ⅰ）在直角坐标系中，求曲线C及直线l的参数方程；
（Ⅱ）设点M为曲线C上的动点，求|MA|2+|MB|2的取值范围．
【分析】（I）曲线C：ρ＝2cos（θ﹣）（ρ≥0）即ρ2＝2ρ（cosθ+sinθ），利用互化公式可得直角坐标方程．点A（，）、B（，），利用互化公式可得直角坐标，可得kAB．根据直线l平行于直线AB，将封闭曲线C：ρ＝2cos（θ﹣）（ρ≥0）所围成的面积平分，可得直线l的斜率kl＝kAB，经过圆心C．可得直线l的参数方程．．
（II）设M，利用两点之间的距离公式可得|MA|2+|MB|2＝4﹣2及其范围．
【解答】解：（I）曲线C：ρ＝2cos（θ﹣）（ρ≥0）即ρ2＝2ρ（cosθ+sinθ），化为直角坐标方程：x2+y2＝x+y．
配方为：+＝1．
点A（，）、B（，），分别化为直角坐标：A，B，kAB＝＝﹣．
∵直线l平行于直线AB，将封闭曲线C所围成的面积平分，
∴直线的斜率kl＝﹣，经过圆心C．
∴直线l的参数方程为：（t为参数）．
（II）设M，则|MA|2+|MB|2＝（cosθ﹣1）2+sin2θ++
＝4﹣sinθ﹣cosθ
＝4﹣2∈[2，6]．
【点评】本题考查了参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程、圆的性质、平行线的斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x+1﹣2a|+|x﹣a2|，g（x）＝x2﹣2x﹣4+
（Ⅰ）若f（2a2﹣1）＞4|a﹣1|，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若存在实数x，y，使f（x）+g（y）≤0，求实数a的取值范围．
【分析】（Ⅰ）若f（2a2﹣1）＞4|a﹣1|，则|2a2﹣2a|+|a2﹣1|＞4|a﹣1|，即2|a|+|a+1|＞4，分类讨论，即可求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若存在实数x，y，使f（x）+g（y）≤0，则f（x）≤﹣g（y），即可求实数a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）若f（2a2﹣1）＞4|a﹣1|，则|2a2﹣2a|+|a2﹣1|＞4|a﹣1|，
∴2|a|+|a+1|＞4，
a＜﹣1，则﹣2a﹣a﹣1＞4，∴a＜﹣，∴a＜﹣；
﹣1≤a≤0，则﹣2a+a+1＞4，∴a＜﹣3，不成立；
a＞0，则2a+a+1＞4，∴a＞1，
综上所述，a＜﹣或a＞1；
（Ⅱ）f（x）＝|x+1﹣2a|+|x﹣a2|≥|1﹣2a+a2|，g（x）＝x2﹣2x﹣4+＝（x﹣1）2+﹣5≥﹣1
若存在实数x，y，使f（x）+g（y）≤0，则|1﹣2a+a2|≤1，∴0≤a≤2．
【点评】本题主要考查绝对值的含义、不等式的解法，函数的最值等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证能力，考查函数与方程思想以及分类与整合思想．
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