2019年广东省佛山市高考数学一模试卷(文科).doc

2019年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（﹣1，0） D．（0，1）
2．（5分）复数z满足（z+i）（2+i）＝5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（　　）
A．2+2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．﹣2﹣2i
3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为（　　）
A．7 B．8 C．15 D．16
4．（5分）命题“∀x∈N*，f（x）≤x”的否定形式是（　　）
A．∀x∈N*，f（x）＞x B．∀x∉N*，f（x）＞x
C．∃x0∈N*，f（x0）＞x0 D．∃x0∉N*，f（x0）＞x0
5．（5分）不透明的布袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只黄球，2只红球，从中随机摸出2只球，则这两只球颜色不同的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（5分）在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，sinC＝，则＝（　　）
A． B． C．2 D．3
7．（5分）若曲线y＝ex在x＝0处的切线，也是y＝lnx+b的切线，则b＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．e
8．（5分）a＝log2，b＝log3，c＝log，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．a＞b＞c
9．（5分）执行如图所示程序框图，若输出的S值为﹣20，则条件框内应填写（　　）

A．i＞3？ B．i＜4？ C．i＞4？ D．i＜5？
10．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）两条相邻对称轴为x＝和x＝，若f（0）＝，则f（）＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
11．（5分）已知抛物线C：y2＝4x和直线l：x﹣y+1＝0，F是C的焦点，P是l上一点过P作抛物线C的一条切线与y轴交于Q，则△PQF外接圆面积的最小值为（　　）
A． B． C． D．2π
12．（5分）设a为常数，函数f（x）＝ex（x﹣a）+a，给出以下结论：
①若a＞1，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点；
②若0＜a＜1，则存在实数x0，当x＜x0时，f（x）＞0：
③若a＜0，则当x＜0时，f（x）＜0
其中正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题：本大题共4小题每小题5分满分20分
13．（5分）已知双曲线＝1（a＞0）的离心率为a，则该双曲线的渐近线为　 　．
14．（5分）已知f（x）＝x|x|，则满足f（2x﹣1）+f（x）≥0的x的取值范围为　 　．
15．（5分）已知矩形ABCD，AB＝1，AD＝，E为AD的中点现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使点A，D重合，记为点P，则几何体P﹣BCE的外接球表面积为　 　．
16．（5分）等腰直角△ABC内（包括边界）有一点P，AB＝AC＝2，＝1，则||的取值范围是　 　．
三、解答题本大题共5小题共70分解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（12分）数列{an}中，a1＝1，an+an+1＝pn+1，其中p为常数．
（Ⅰ）若a1，a2，a4成等比数列，求P的值：
（Ⅱ）若p＝1，求数列{an}的前n项和Sn．
18．（12分）如表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：
学号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
数学
117
128
96
113
136
139
121
124
121
115
115
123
125
117
123
122
132
129
96
105
106
120
物理
80
81
83
85
89
81
91
78
85
91
72
76
87
82
79
82
81
89
63
73
77
45

学号
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
数学
108
137
87
95
108
119
101
128
125
74
81
135
101
97
116
102
76
100
62
86
120
101
物理
76
80
71
57
72
65
69
79
0
55
56
77
63
70
75
63
59
64
42
62
77
65
用这44人的两科成绩制作如下散点图：

学号为22号的A同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为31号的B同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将A、B两同学的成绩（对应于图中A、B两点）剔除后，用剩下的42个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：
数学学科平均分为110.5，标准差为18.36，物理学科的平均分为74，标准差为11.18，数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为γ＝0.8222，回归直线l（如图所示）的方程为y＝0.5006x+18.68．
（Ⅰ）若不剔除A、B两同学的数据，用全部44的成绩作回归分析，设数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为γ0，回归直线为l0，试分析γ0与γ的大小关系，并在图中画出回归直线l0的大致位置．
（Ⅱ）如果B同学参加了这次物理考试，估计B同学的物理分数（精确到个位）：
（Ⅲ）就这次考试而言，学号为16号的C同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平可按公式Zi＝统一化成标准分再进行比较，其中Xi为学科原始分，为学科平均分，s为学科标准差）．
19．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，E、F分别是CD边上的三等分点将△ADF，△BCE分别沿AF、BE折起到△AD′F、△BC′E的位置，且使平面AD′F⊥底面ABCD，平面BC′E⊥底面ABCD，连结D'C’．
（Ⅰ）证明：D′C′∥平面ABEF；
（Ⅱ）求点A平面EFD′C′的距离．

20．（12分）已知过点D（4，0）的直线1与椭圆C：＝1交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1y2≠0，O为坐标原点．
（Ⅰ）若x1＝0，求△OAB的面积：
（Ⅱ）在x轴上是否存在定点T，使得直线TA与TB的斜率互为相反数？
21．（12分）已知a是常数函数f（x）＝（x﹣alnx）lnx﹣x．
（Ⅰ）讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若0＜a＜1，证明：f（ea）＞﹣1．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数，a＞0），直线l的参数方程为（t为参数）．
（Ⅰ）若a＝2，求曲线C与l的普通方程；
（Ⅱ）若C上存在点P，使得P到l的距离为，求a的取值范围．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）＝|x﹣a|+x，a∈R．
（Ⅰ）若f （1）+f（2）＞5，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a，b∈N*，关于x的不等式f（x）＜b的解集为（﹣∞，），求a，b的值．

2019年广东省佛山市高考数学一模试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|﹣1＜x＜1}，则A∩B＝（　　）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，2） C．（﹣1，0） D．（0，1）
【考点】1E：交集及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5J：集合．
【分析】解二次不等式可求得A＝（0，2），又B＝（﹣1，1）则可得解．
【解答】解：解二次不等式x2﹣2x＜0，得0＜x＜2，所以集合A＝（0，2），
又B＝（﹣1，1），
所以A∩B＝（0，1），
故选：D．
【点评】本题考查了交集及其运算，属简单题．
2．（5分）复数z满足（z+i）（2+i）＝5（i为虚数单位），则z的共轭复数为（　　）
A．2+2i B．﹣2+2i C．2﹣2i D．﹣2﹣2i
【考点】A5：复数的运算．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．
【分析】把已知等式变形，再利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【解答】解：由（z+i）（2+i）＝5，得＝2﹣2i．
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．
3．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y的最大值为（　　）
A．7 B．8 C．15 D．16
【考点】7C：简单线性规划．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．
【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线z＝x+2y过点B（3，0）时，z最大值即可．
【解答】解：作出变量x，y满足约束条件可行域如图：
由z＝2x+y知，
所以动直线y＝﹣2x+z的纵截距z取得最大值时，
目标函数取得最大值．
由得A（3，2）．
结合可行域可知当动直线经过点A（3，2）时，
目标函数取得最大值z＝2×3+2＝8．
故选：B．

【点评】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．
4．（5分）命题“∀x∈N*，f（x）≤x”的否定形式是（　　）
A．∀x∈N*，f（x）＞x B．∀x∉N*，f（x）＞x
C．∃x0∈N*，f（x0）＞x0 D．∃x0∉N*，f（x0）＞x0
【考点】2J：命题的否定．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5L：简易逻辑．
【分析】利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．
【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀x∈N*，f（x）≤x”的否定形式是：∃x0∈N*，f（x0）＞x0
故选：C．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，是基础题．
5．（5分）不透明的布袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只黄球，2只红球，从中随机摸出2只球，则这两只球颜色不同的概率为（　　）
A． B． C． D．
【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；4O：定义法；5I：概率与统计．
【分析】从中随机摸出2只球，基本事件总数n＝＝6，则这两只球颜色不同的对立事件为这两只球的颜色相同，由此能求出这两只球颜色不同的概率．
【解答】解：∵不透明的布袋中有形状、大小都相同的4只球，
其中1只白球，1只黄球，2只红球，
从中随机摸出2只球，
基本事件总数n＝＝6，
则这两只球颜色不同的对立事件为这两只球的颜色相同，
∴这两只球颜色不同的概率为p＝1﹣＝．
故选：A．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6．（5分）在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD，2AB＝BD，sinC＝，则＝（　　）
A． B． C．2 D．3
【考点】HU：解三角形．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；58：解三角形．
【分析】△ABD中，由余弦定理cosA＝可求cosA，然后结合同角平方关系可求sinA，△ABC中，由正弦定理，可求BC，即可
【解答】解：由题意可设AB＝AD＝x，BD＝，
△ABD中由余弦定理可得，cosA＝＝＝，
∵A∈（0，π），
∴sinA＝，
∵sinC＝，
△ABC中，由正弦定理可得，，
，
∴BC＝
则＝＝2，
故选：C．
【点评】本题主要考查了余弦定理，正弦定理在解三角形中的应用，解题的关键是熟练应用基本公式》
7．（5分）若曲线y＝ex在x＝0处的切线，也是y＝lnx+b的切线，则b＝（　　）
A．﹣1 B．1 C．2 D．e
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．
【分析】求出y＝ex的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再设与曲线y＝lnx+b相切的切点为（m，n），求得函数y＝lnx+b的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得m，n，进而得到b的值．
【解答】解：y＝ex的导数为y′＝ex，
曲线y＝ex在x＝0处的切线斜率为k＝1，
则曲线y＝ex在x＝0处的切线方程为y﹣1＝x，
y＝lnx+b的导数为y′＝，
设切点为（m，n），则＝1，
解得m＝1，n＝2，
即有2＝ln1+b，
解得b＝2．
故选：C．
【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切点和正确求出导数是解题的关键．
8．（5分）a＝log2，b＝log3，c＝log，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．a＞b＞c
【考点】4M：对数值大小的比较．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；33：函数思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．
【分析】利用指数函数、对数函数的单调性质能比较a，b，c的大小关系．
【解答】解：∵a＝log2＝log23﹣1，
b＝log3＝log34﹣1，
2＝log24＞log23＞log34＞log33＝1，
c＝log＞＝1，
∴a，b，c的大小关系是c＞a＞b．
故选：B．
【点评】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9．（5分）执行如图所示程序框图，若输出的S值为﹣20，则条件框内应填写（　　）

A．i＞3？ B．i＜4？ C．i＞4？ D．i＜5？
【考点】EF：程序框图．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；31：数形结合；4G：演绎法；5K：算法和程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算并输出S的值，条件框内的语句是决定是否结束循环，模拟执行程序即可得到答案．
【解答】解：模拟执行程序，可得：
i＝1，S＝10，
满足判断框内的条件，第1次执行循环体，S＝10﹣21＝8，i＝2，
满足判断框内的条件，第2次执行循环体，S＝8﹣22＝4，i＝3，
满足判断框内的条件，第3次执行循环体，S＝4﹣23＝﹣4，i＝4，
满足判断框内的条件，第3次执行循环体，S＝﹣4﹣24＝﹣20，i＝5，
此时，应该不满足判断框内的条件，退出循环，输出的S值为﹣20，
则条件框内应填写：i＜5，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．
10．（5分）已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）两条相邻对称轴为x＝和x＝，若f（0）＝，则f（）＝（　　）
A．﹣ B．﹣ C． D．
【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；57：三角函数的图象与性质．
【分析】根据函数两条相邻对称轴确定出函数的周期，求出ω的值，由函数在对称轴处取得最大值或最小值可求φ，再由f（0）＝，可求f（x），即可求解．
【解答】解：f（x）＝Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）两条相邻对称轴为x＝和x＝，
∴T＝2（﹣）＝π，
∵ω＞0，
∴ω＝＝3，
即f（x）＝Asin（3x+φ），
∵对称轴为x＝和x＝，
∴φ+，
∴φ＝kπ，
∵0＜φ＜π，
∴φ＝，f（x）＝Asin（3x+），
∵f（0）＝Asin＝，
∴A＝
则f（）＝Asin（φ）＝＝，
故选：C．
【点评】此题考查了正弦函数的图象，以及三角函数的周期，熟练掌握正弦函数的图象与性质是解本题的关键．
11．（5分）已知抛物线C：y2＝4x和直线l：x﹣y+1＝0，F是C的焦点，P是l上一点过P作抛物线C的一条切线与y轴交于Q，则△PQF外接圆面积的最小值为（　　）
A． B． C． D．2π
【考点】KN：直线与抛物线的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；21：阅读型；34：方程思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】设过点P的切线与抛物线相切于点M（x0，y0），从而写出切线PM的方程，可求出点P、Q的坐标，根据斜率之间的关系得出FQ⊥PQ，于是得出|PF|为△PFQ外接圆的直径，结合两点的间的距离公式得出|PF|的最小值，从而得出△PQF外接圆的面积的最小值．
【解答】解：如下图所示，

设过点A所作的切线与抛物线C相切于点M（x0，y0），则，
易知，直线PM的方程为y0y＝2x+2x0，即，该直线的斜率为，
直线PM交y轴于点，所以，直线FQ的斜率为，
∵kPM•kFQ＝﹣1，所以，FQ⊥PQ，
将直线l的方程与PM的方程联立得，解得，
所以，点P的坐标为，
由两点间的距离公式可得＝，
所以，当y0＝0时，|PF|取得最小值，则△PFQ的外接圆的半径的最小值为，
因此，△PFQ的外接圆的面积的最小值为．
故选：A．
【点评】本题考查直线与抛物线的综合，解决本题的关键在于切线方程的求解，考查计算能力与推理能力，属于难题．
12．（5分）设a为常数，函数f（x）＝ex（x﹣a）+a，给出以下结论：
①若a＞1，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点；
②若0＜a＜1，则存在实数x0，当x＜x0时，f（x）＞0：
③若a＜0，则当x＜0时，f（x）＜0
其中正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】2K：命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；48：分析法；51：函数的性质及应用．
【分析】由题意可得f（x）过原点，求得f（x）的导数，可得单调性、极值和最值，即可判断①；结合最小值小于0，以及x的变化可判断②③．
【解答】解：函数f（x）＝ex（x﹣a）+a，可得f（0）＝0，
f（x）恒过原点，
①，若a＞1，由f（x）的导数为f′（x）＝ex（x﹣a+1），
即有x＞a﹣1时，f（x）递增；x＜a﹣1时，f（x）递减，
可得x＝a﹣1处取得最小值，且f（a﹣1）＝a﹣ea﹣1，
由ex≥x+1，可得a﹣ea﹣1＜0，即有f（a﹣1）＜0，f（a）＝a＞0，
则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点，故正确；
②，若0＜a＜1，由①可得f（x）的最小值为f（a﹣1）＜0，
且x→+∞时，f（x）→+∞，x→﹣∞时，f（x）→a，结合图象
可得x＜a﹣1时存在实数x0，当x＜x0时，f（x）＞0，故正确；
③，若a＜0，由①可得f（x）的最小值为f（a﹣1）＜0，且f（0）＝0，x→﹣∞时，f（x）→a，
结合图象可得当x＜0时，f（x）＜0，故正确．
故选：D．

【点评】本题考查导数的运用：求单调性和极值、最值，考查函数的零点问题，以及函数值的符号，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
二、填空题：本大题共4小题每小题5分满分20分
13．（5分）已知双曲线＝1（a＞0）的离心率为a，则该双曲线的渐近线为　y＝±x　．
【考点】KC：双曲线的性质．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】利用双曲线的离心率求出a，然后求解双曲线的渐近线方程．
【解答】解：双曲线＝1（a＞0）的离心率为a，可得：，解a＝1，
所以双曲线方程为：＝1，所以该双曲线的渐近线为y＝±x．
故答案为：y＝±x．
【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．
14．（5分）已知f（x）＝x|x|，则满足f（2x﹣1）+f（x）≥0的x的取值范围为　[，+∞）　．
【考点】5B：分段函数的应用．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用．
【分析】根据题意，将f（x）写成分段函数的形式，分析可得f（x）为奇函数且在R上为增函数，进而可得f（2x﹣1）+f（x）≥0⇒f（2x﹣1）≥﹣f（x）⇒f（2x﹣1）≥f（﹣x）⇒2x﹣1≥﹣x，解可得x的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）＝x|x|＝，
则f（x）为奇函数且在R上为增函数，
则f（2x﹣1）+f（x）≥0⇒f（2x﹣1）≥﹣f（x）⇒f（2x﹣1）≥f（﹣x）⇒2x﹣1≥﹣x，
解可得x≥，
即x的取值范围为[，+∞）；
故答案为：[，+∞）．
【点评】本题考查分段函数的奇偶性与单调性的判定以及应用，注意分析f（x）的奇偶性与单调性．
15．（5分）已知矩形ABCD，AB＝1，AD＝，E为AD的中点现分别沿BE，CE将△ABE，△DCE翻折，使点A，D重合，记为点P，则几何体P﹣BCE的外接球表面积为　　．
【考点】LG：球的体积和表面积．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；4R：转化法；5Q：立体几何．
【分析】首先利用数量关系得到三线垂直，而后联想到长方体，外接球直径为长方体体对角线长，得解．
【解答】解：∵AB＝1，AD＝，
E为AD中点，
可得∠EPB＝∠EPC＝90°，
∠CPB＝90°，
∴P﹣BCE为长方体一角，
其外接球直径为长方体的体对角线长，
∴2R＝＝，
∴R＝，
∴外接球表面积为4π×＝，
故答案为：．

【点评】此题考查了长方体外接球问题，难度不大．
16．（5分）等腰直角△ABC内（包括边界）有一点P，AB＝AC＝2，＝1，则||的取值范围是　[﹣，1]　．
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；5A：平面向量及应用．
【分析】建立以点A为直角坐标系的原点，AB，AC所在直线为x轴，y轴的直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（0，2），设P（x，y），则＝（﹣x，﹣y），＝（2﹣x，﹣y），
易得：（x﹣1）2+y2＝2，画图观察及圆的性质可求解
【解答】解：建立以点A为直角坐标系的原点，AB，AC所在直线为x轴，y轴的直角坐标系，则A（0，0），B（2，0），C（0，2），
设P（x，y），则＝（﹣x，﹣y），＝（2﹣x，﹣y），
由＝1，得：（x﹣1）2+y2＝2，图象为以F（1，0）为圆心，为半径的圆，
由图可知D（0，1）
由圆的知识可知：||取最小时为|CE|＝|CF|﹣＝，
最大为|CD|＝1，
故||的取值范围是：[，1]，
故答案为：[，1]，

【点评】本题考查了建系及平面向量的数量积及圆的有关性质，属中档题
三、解答题本大题共5小题共70分解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
17．（12分）数列{an}中，a1＝1，an+an+1＝pn+1，其中p为常数．
（Ⅰ）若a1，a2，a4成等比数列，求P的值：
（Ⅱ）若p＝1，求数列{an}的前n项和Sn．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．菁优网版权所有
【专题】34：方程思想；48：分析法；54：等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）可令n＝1，2，3，解得得a2＝p，a3＝p+1，a4＝2p，再由等比数列中项性质解方程可得p的值；
（Ⅱ）若p＝1，可得an+an+1＝n+1，讨论n为偶数或奇数，结合数列的并项求和，以及等差数列的求和公式，即可得到所求和．
【解答】解：（Ⅰ）a1＝1，an+an+1＝pn+1，可得a1+a2＝p+1，a2+a3＝2p+1，a3+a4＝3p+1，
解得a2＝p，a3＝p+1，a4＝2p，
若a1，a2，a4成等比数列，可得a22＝a1a4，即p2＝2p，解得p＝2（0舍去）；
（Ⅱ）若p＝1，可得an+an+1＝n+1，
当n为偶数时前n项和Sn＝（a1+a2）+（a3+a4）+…+（an﹣1+an）
＝2+4+…+n＝•（2+n）＝；
当n为奇数时，Sn＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（an﹣1+an）
＝1+3+5+…+n＝（1+n）•＝．
综上可得Sn＝．
【点评】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列的中项性质，以及数列的求和方法：并项求和，考查运算能力，属于中档题．
18．（12分）如表中的数据是一次阶段性考试某班的数学、物理原始成绩：
学号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
数学
117
128
96
113
136
139
121
124
121
115
115
123
125
117
123
122
132
129
96
105
106
120
物理
80
81
83
85
89
81
91
78
85
91
72
76
87
82
79
82
81
89
63
73
77
45

学号
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
数学
108
137
87
95
108
119
101
128
125
74
81
135
101
97
116
102
76
100
62
86
120
101
物理
76
80
71
57
72
65
69
79
0
55
56
77
63
70
75
63
59
64
42
62
77
65
用这44人的两科成绩制作如下散点图：

学号为22号的A同学由于严重感冒导致物理考试发挥失常，学号为31号的B同学因故未能参加物理学科的考试，为了使分析结果更客观准确，老师将A、B两同学的成绩（对应于图中A、B两点）剔除后，用剩下的42个同学的数据作分析，计算得到下列统计指标：
数学学科平均分为110.5，标准差为18.36，物理学科的平均分为74，标准差为11.18，数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为γ＝0.8222，回归直线l（如图所示）的方程为y＝0.5006x+18.68．
（Ⅰ）若不剔除A、B两同学的数据，用全部44的成绩作回归分析，设数学成绩（x）与物理成绩（y）的相关系数为γ0，回归直线为l0，试分析γ0与γ的大小关系，并在图中画出回归直线l0的大致位置．
（Ⅱ）如果B同学参加了这次物理考试，估计B同学的物理分数（精确到个位）：
（Ⅲ）就这次考试而言，学号为16号的C同学数学与物理哪个学科成绩要好一些？（通常为了比较某个学生不同学科的成绩水平可按公式Zi＝统一化成标准分再进行比较，其中Xi为学科原始分，为学科平均分，s为学科标准差）．
【考点】BK：线性回归方程．菁优网版权所有
【专题】38：对应思想；4R：转化法；5I：概率与统计．
【分析】（Ⅰ）判断出γ0＜γ，根据相关数据分析判断即可；
（Ⅱ）代入x的值，求出y的预报值即可；
（Ⅲ）根据原始分，分别求出标准分，判断即可．
【解答】解：（Ⅰ）γ0＜γ，
说明理由可以是：
①离群的点A，B会降低变量间的线性关联程度，
②44个数据点与回归直线l0的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小，
③42个数据点与回归直线l的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大，
④42个数据点更加贴近回归直线l，
⑤44个数据点与回归直线l0更离散，或其他言之有理的理由均可；
，
要点：直线l0斜率须大于0且小于l的斜率，
具体位置稍有出入没有关系，无需说明理由；
（Ⅱ）令x＝125，代入y＝0.5006x+18.68≈81，
故估计B同学的物理分数大约是81分；
（Ⅲ）由表中知C同学的数学原始分为122，物理原始分为82，
数学标准分为Z16＝＝≈0.63，
物理标准分为Z16＝＝≈0.72，
0.72＞0.63，
故C同学物理成绩比数学成绩要好一些．
【点评】本题考查了回归方程问题，考查相关系数以及转化思想，是一道常规题．
19．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝1，E、F分别是CD边上的三等分点将△ADF，△BCE分别沿AF、BE折起到△AD′F、△BC′E的位置，且使平面AD′F⊥底面ABCD，平面BC′E⊥底面ABCD，连结D'C’．
（Ⅰ）证明：D′C′∥平面ABEF；
（Ⅱ）求点A平面EFD′C′的距离．

【考点】LS：直线与平面平行．菁优网版权所有
【专题】14：证明题；31：数形结合；45：等体积法；5F：空间位置关系与距离．
【分析】（Ⅰ）分别过D′，C′作AF，BE的垂线，垂足为M，N，连结MN，推导出D′M⊥平面ABEF，C′N⊥平面ABEF，从而D′M∥C′N，进而四边形D′MNC′为平行四边形，D′C′∥MN，由此能证明D′C′∥平面ABEF．
（Ⅱ）连结DD′，设点A到平面EFD′C′的距离为h，由VA﹣DFD′＝VD′﹣ADF，能求出点A平面EFD′C′的距离．
【解答】证明：（Ⅰ）分别过D′，C′作AF，BE的垂线，垂足为M，N，连结MN，
∵平面AD′F⊥平面ABEF，且平面AD′F∩平面ABEF＝AF，
∴D′M⊥平面ABEF，
同理可证C′N⊥平面ABEF，
∴D′M∥C′N，
∵△AD′F≌△BC′E，∴D′M＝C′N，
∴四边形D′MNC′为平行四边形，∴D′C′∥MN，
∵D′C′⊄平面ABEF，MN⊂平面ABEF，
∴D′C′∥平面ABEF．
解：（Ⅱ）连结DD′，在Rt△D′AF中，D′F＝AD′＝1，
∴D′M＝，
∵＝，
∴VD′﹣ADF＝＝＝，
设点A到平面EFD′C′的距离为h，
∵＝1，D′F＝DF＝1，
∴S△DFD′＝，
∴VA﹣DFD′＝＝，
∵VA﹣DFD′＝VD′﹣ADF，∴，
解得h＝，
∴点A平面EFD′C′的距离为．

【点评】本题考查线面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20．（12分）已知过点D（4，0）的直线1与椭圆C：＝1交于不同的两点A（x1，y1），B（x2，y2），其中y1y2≠0，O为坐标原点．
（Ⅰ）若x1＝0，求△OAB的面积：
（Ⅱ）在x轴上是否存在定点T，使得直线TA与TB的斜率互为相反数？
【考点】KL：直线与椭圆的综合．菁优网版权所有
【专题】11：计算题；38：对应思想；4R：转化法；5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．
【分析】（Ⅰ）根据对称性可得直线k的方程，求出点B的坐标，即可求出三角形的面积，
（Ⅱ）设直线l：x＝my+4，根据韦达定理和斜率公式，结合直线TA与TB的斜率互为相反数，即可求出
【解答】解：（Ⅰ）当x1＝0时，A（0，1）或A（0，﹣1），
由对称性，不妨令A（0，1），此时直线l：x+4y﹣4＝0，
联立，消x整理可得5y2﹣8y+3＝0，解得y1＝1，或y2＝，故B（，），
所以△OAB的面积为×1×＝，
（Ⅱ）显然直线l的斜率不为0，设直线l：x＝my+4，
联立，消去x整理得（m2+4）y2+8my+12＝0，
所以△＝64m2﹣4×12（m2+4）＞0，即m2＞12，
则y1+y2＝﹣，y1y2＝，
设T（t，0），
则kTA+kTB＝+＝＝，
因为直线TA与TB的斜率互为相反数，
所以kTA+kTB＝0，
即2my1y2+（4﹣t）（y1+y2）＝+＝＝0，解得t＝1，
故x轴上存在定点T（1，0），使得直线TA与TB的斜率互为相反数．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线的斜率，考查了运算能力和转化能力，属于中档题．
21．（12分）已知a是常数函数f（x）＝（x﹣alnx）lnx﹣x．
（Ⅰ）讨论函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；
（Ⅱ）若0＜a＜1，证明：f（ea）＞﹣1．
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】33：函数思想；4R：转化法；53：导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题等价于＞1，令g（a）＝（0＜a＜1），根据函数的单调性证明即可．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝（1﹣）lnx＝，
①若a≤0，则由f′（x）＝0，解得：x＝1，且f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，
由f′（x）＞0，解得：x＞1，
故f（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增；
②若a＞0，则由f′（x）＝0解得：x＝1或x＝2a，
（i）若2a＜1即0＜a＜时，
由f′（x）＜0，解得：2a＜x＜1，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜2a或x＞1，
故f（x）在（2a，1）递减，在（1，+∞）递增；
（ii）若2a＝1即a＝时，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）递增；
（iii）若2a＞1即a＞时，
由f′（x）＜0，解得：1＜x＜2a，由f′（x）＞0，解得：0＜x＜1或x＞2a，
故f（x）在（0，1）递增，在（1，2a）递减，在（2a，+∞）递增；
（Ⅱ）f（ea）＝a（ea﹣a2）﹣ea，
由f（ea）＞﹣1得a（ea﹣a2）﹣ea＞﹣1，
故（a﹣1）ea＞a3﹣1（*），而0＜a＜1，
故（*）等价于ea＜a2+a+1⇔＞1，
令g（a）＝（0＜a＜1），
则g′（a）＝＞0，
故g（a）在（0，1）递增，
故g（a）＞g（0）＝1，
故f（ea）＞﹣1．
【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，考查不等式的证明，是一道综合题．
[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]
22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数，a＞0），直线l的参数方程为（t为参数）．
（Ⅰ）若a＝2，求曲线C与l的普通方程；
（Ⅱ）若C上存在点P，使得P到l的距离为，求a的取值范围．
【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．菁优网版权所有
【专题】35：转化思想；59：不等式的解法及应用；5S：坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之进行转换．
（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用和分类讨论的方法，对无理不等式进行求解，最后求出a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）曲线C的参数方程为（θ为参数，a＞0），
由于：a＝2，
故：（θ为参数），
所以转换为直角坐标方程为：．
（Ⅱ）设点P（acosθ，sinθ），
则：点P到直线的距离d＝＝，
当时，
即a时，，
当时，
即：时，
，
由于：