弯曲应力与强设计20123系36班.pptx

6-1 弯曲正应力及其强度条件弯曲正应力及其强度条件一、一、弯曲弯曲正应力正应力工程中以弯曲变形为主的杆件称为工程中以弯曲变形为主的杆件称为纵向对称面：纵向对称面：纵向对称面：纵向对称面：梁的轴线与横截面的对称轴所构成的平梁的轴线与横截面的对称轴所构成的平梁的轴线与横截面的对称轴所构成的平梁的轴线与横截面的对称轴所构成的平面面面面对称弯曲对称弯曲对称弯曲对称弯曲：当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线。内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线。内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线。内时，梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线。纯纯 弯弯 曲曲横力弯曲横力弯曲：在横截面上，只有法向内力元素在横截面上，只有法向内力元素在横截面上，只有法向内力元素在横截面上，只有法向内力元素d dF FN N =dA=dA才能合成才能合成才能合成才能合成弯矩弯矩弯矩弯矩MM，只有切向内力元素，只有切向内力元素，只有切向内力元素，只有切向内力元素d =dAd =dA才能合成剪力才能合成剪力才能合成剪力才能合成剪力纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力从三方面考虑：从三方面考虑：变形变形几何几何关系关系物理物理关系关系静力学静力学关系关系1、变形几何关系、变形几何关系 (1)aa、bb弯成弧线，弯成弧线，aa缩短，缩短，bb伸长伸长(2)mm、nn变形后仍保持为直线，且仍与变为弧变形后仍保持为直线，且仍与变为弧 线的线的aa，bb垂直垂直(3)部分纵向线段缩短，另一部分纵向线段伸长部分纵向线段缩短，另一部分纵向线段伸长。梁在纯弯曲时的梁在纯弯曲时的平面假设平面假设：梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并梁的各个横截面在变形后仍保持为平面，并仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴仍垂直于变形后的轴线，只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。旋转了一个角度。观察到以下变形现象观察到以下变形现象:再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间再作单向受力假设：假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。或受压的状态。推论：推论：梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，梁在弯曲变形时，上面部分纵向纤维缩短，下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维下面部分纵向纤维伸长，必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短既不伸长也不缩短,保持原来的长度，这一纵保持原来的长度，这一纵向纤维层称为向纤维层称为中性层中性层。中性层与横截面的交线称为中性层与横截面的交线称为中性轴中性轴中性层中性层中性轴中性轴中性层中性层z2、物理关系、物理关系 正应力与它到中性层的距离成正比，正应力与它到中性层的距离成正比，正应力与它到中性层的距离成正比，正应力与它到中性层的距离成正比，中性层上的中性层上的中性层上的中性层上的正应力为零正应力为零正应力为零正应力为零 (中性层中性层中性层中性层 y y=0)=0)上式只能用于定性分析，而不能用于定量计算：上式只能用于定性分析，而不能用于定量计算：1 1）由于中性轴由于中性轴由于中性轴由于中性轴 z z 的位置未确定，故的位置未确定，故的位置未确定，故的位置未确定，故 y y 无法标定；无法标定；无法标定；无法标定；2 2）式中）式中）式中）式中 未知未知未知未知.（若已知（若已知（若已知（若已知MM，与与与与MM有何关系？）有何关系？）有何关系？）有何关系？）3、静力学关系、静力学关系设中性轴为设中性轴为设中性轴为设中性轴为z zy yz z横截面对横截面对横截面对横截面对z z轴的静矩轴的静矩轴的静矩轴的静矩MM令：截面对截面对截面对截面对yz yz 轴的惯性积轴的惯性积轴的惯性积轴的惯性积截面对截面对截面对截面对z z 轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩由于由于由于由于y y为对称轴为对称轴为对称轴为对称轴,上式自然满足。上式自然满足。上式自然满足。上式自然满足。正应力计算公式：正应力计算公式：中性轴过截面形心中性轴过截面形心中性层的曲率公式：中性层的曲率公式：1 1）沿）沿）沿）沿y y 轴线性分布，同一轴线性分布，同一轴线性分布，同一轴线性分布，同一坐标坐标坐标坐标y y 处，正应力相等。中处，正应力相等。中处，正应力相等。中处，正应力相等。中性轴上正应力为零。性轴上正应力为零。性轴上正应力为零。性轴上正应力为零。2 2）中性轴将截面分为受）中性轴将截面分为受）中性轴将截面分为受）中性轴将截面分为受拉、受压两个区域。拉、受压两个区域。拉、受压两个区域。拉、受压两个区域。3 3）最大正应力发生在距）最大正应力发生在距）最大正应力发生在距）最大正应力发生在距中性轴最远处。中性轴最远处。中性轴最远处。中性轴最远处。Z Z当中性轴是横截面的对称轴时：当中性轴是横截面的对称轴时：横截面上的最大正应力：横截面上的最大正应力：Wz:Wz:抗弯截面模量抗弯截面模量抗弯截面模量抗弯截面模量y2y1y 公式适用条件：公式适用条件：1 1 1 1）符合平面弯曲条件）符合平面弯曲条件）符合平面弯曲条件）符合平面弯曲条件(平面假设，横截面具有一对称轴）平面假设，横截面具有一对称轴）平面假设，横截面具有一对称轴）平面假设，横截面具有一对称轴）2 2 2 2）p p(材料服从胡克定律）材料服从胡克定律）材料服从胡克定律）材料服从胡克定律）对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使对于横力弯曲，由于剪力的存在，横截面产生剪切变形，使横截面发生翘曲，不再保持为平面。横截面发生翘曲，不再保持为平面。横截面发生翘曲，不再保持为平面。横截面发生翘曲，不再保持为平面。弹性力学精确分析结果指出：当梁的弹性力学精确分析结果指出：当梁的弹性力学精确分析结果指出：当梁的弹性力学精确分析结果指出：当梁的跨高比大于跨高比大于跨高比大于跨高比大于5 5时，剪应时，剪应时，剪应时，剪应力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不计。因此力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不计。因此力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不计。因此力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小，可以忽略不计。因此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，仍可以应用于横力弯曲的由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，仍可以应用于横力弯曲的由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，仍可以应用于横力弯曲的由纯弯曲梁导出的正应力计算公式，仍可以应用于横力弯曲的梁中，误差不超过梁中，误差不超过梁中，误差不超过梁中，误差不超过1%1%。横力弯曲时，弯矩不再是常量。横力弯曲时，弯矩不再是常量。横力弯曲时，弯矩不再是常量。横力弯曲时，弯矩不再是常量。圆环：圆环：圆环：圆环：Dyzd复复习习ZbhZZdDd例例1：图示工字形截面外伸梁受均布荷载作用，图示工字形截面外伸梁受均布荷载作用，试求当最大正应力为最小时的支座位置。试求当最大正应力为最小时的支座位置。al laq 解：解：作弯矩图作弯矩图支座位置支座位置支座位置支座位置 直接影响支座直接影响支座直接影响支座直接影响支座截面和跨中截面上的弯矩截面和跨中截面上的弯矩截面和跨中截面上的弯矩截面和跨中截面上的弯矩值。当中性轴为截面的对值。当中性轴为截面的对值。当中性轴为截面的对值。当中性轴为截面的对称轴，最大拉、压应力相称轴，最大拉、压应力相称轴，最大拉、压应力相称轴，最大拉、压应力相等时，只有支座处截面与等时，只有支座处截面与等时，只有支座处截面与等时，只有支座处截面与跨中截面之弯矩的绝对值跨中截面之弯矩的绝对值跨中截面之弯矩的绝对值跨中截面之弯矩的绝对值相等，才能使该梁的最大相等，才能使该梁的最大相等，才能使该梁的最大相等，才能使该梁的最大弯矩的绝对值为最小，从弯矩的绝对值为最小，从弯矩的绝对值为最小，从弯矩的绝对值为最小，从而使其最大正应力为最小。而使其最大正应力为最小。而使其最大正应力为最小。而使其最大正应力为最小。取有效值取有效值取有效值取有效值二、梁的正应力强度条件二、梁的正应力强度条件强度条件：强度条件：等直梁等直梁等直梁等直梁强度条件强度条件强度条件强度条件 对于铸铁等脆性材料，抗拉和抗压能力不同，所以有许用对于铸铁等脆性材料，抗拉和抗压能力不同，所以有许用对于铸铁等脆性材料，抗拉和抗压能力不同，所以有许用对于铸铁等脆性材料，抗拉和抗压能力不同，所以有许用弯曲拉应力和许用弯曲压应力两个数值。弯曲拉应力和许用弯曲压应力两个数值。弯曲拉应力和许用弯曲压应力两个数值。弯曲拉应力和许用弯曲压应力两个数值。强度条件为：强度条件为：强度条件为：强度条件为：请注意：请注意：梁的最大工作拉应力梁的最大工作拉应力梁的最大工作拉应力梁的最大工作拉应力和最大工作压应力有时并不发生和最大工作压应力有时并不发生和最大工作压应力有时并不发生和最大工作压应力有时并不发生在同一截面上。在同一截面上。在同一截面上。在同一截面上。一般情况下，一般情况下，一般情况下，一般情况下，许用弯曲正应力许用弯曲正应力许用弯曲正应力许用弯曲正应力比比比比许用拉许用拉许用拉许用拉(压压压压)应力应力应力应力略高。因为弯曲时除截面外边缘达到最大正应力略高。因为弯曲时除截面外边缘达到最大正应力略高。因为弯曲时除截面外边缘达到最大正应力略高。因为弯曲时除截面外边缘达到最大正应力外，其余各处应力较小。而轴向拉外，其余各处应力较小。而轴向拉外，其余各处应力较小。而轴向拉外，其余各处应力较小。而轴向拉(压压压压)时，截面上时，截面上时，截面上时，截面上的应力是均匀分布的。的应力是均匀分布的。的应力是均匀分布的。的应力是均匀分布的。利用强度条件可以进行三方面的强度计算：利用强度条件可以进行三方面的强度计算：利用强度条件可以进行三方面的强度计算：利用强度条件可以进行三方面的强度计算：1 1、根据外力、截面形状尺寸、许用应力，、根据外力、截面形状尺寸、许用应力，、根据外力、截面形状尺寸、许用应力，、根据外力、截面形状尺寸、许用应力，校核梁校核梁校核梁校核梁的强度。的强度。的强度。的强度。2 2、根据外力、截面形状、许用应力，、根据外力、截面形状、许用应力，、根据外力、截面形状、许用应力，、根据外力、截面形状、许用应力，设计梁的截设计梁的截设计梁的截设计梁的截面尺寸。面尺寸。面尺寸。面尺寸。3 3、根据截面形状尺寸、许用应力，、根据截面形状尺寸、许用应力，、根据截面形状尺寸、许用应力，、根据截面形状尺寸、许用应力，求许可载荷。求许可载荷。求许可载荷。求许可载荷。例例2：两矩形截面梁，尺寸和材料的许用两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图应力均相等，但放置如图(a)、(b b)。按弯。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比 P1 1P2 2？P1PP2hzbbzh(b)(a)解：解：例例3：矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽矩形截面梁当横截面的高度增加一倍，宽度减小一半时，从正应力强度条件考虑，度减小一半时，从正应力强度条件考虑，该梁的承载能力将是原来的多少倍？该梁的承载能力将是原来的多少倍？解：解：由公式由公式可以看出：该梁的承载能力将是原来的可以看出：该梁的承载能力将是原来的2倍。倍。例例4：主主梁梁AB，跨度为，跨度为l，采用加副梁，采用加副梁CD的方法提高承载能力，若主梁和副梁材的方法提高承载能力，若主梁和副梁材料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长料相同，截面尺寸相同，则副梁的最佳长度度a为多少？为多少？ABPaCD主梁主梁主梁主梁ABAB副梁副梁副梁副梁CDCDMM解：解：主梁主梁AB的最大弯矩的最大弯矩副梁副梁CD的最大弯矩的最大弯矩由由得得例例5：图示梁的截面为图示梁的截面为T形，材料的许用拉应形，材料的许用拉应力和许用压应力分别为力和许用压应力分别为+和和-，则，则 y1 和和 y2 的最佳比值为多少的最佳比值为多少?(C为截面形心为截面形心)解：解：例例6：图示外伸梁，受均布载荷作用，材图示外伸梁，受均布载荷作用，材料的许用应力料的许用应力=160 MPa，校核该梁的，校核该梁的强度。强度。解：解：由弯矩图可见由弯矩图可见该梁满足强度条件，安全该梁满足强度条件，安全Fs()kN kN 例例7：图示铸铁梁，许用拉应力图示铸铁梁，许用拉应力+=30MPa，许用压应力许用压应力-=60MPa,z=7.6310-6m4，试校核此梁的强度。试校核此梁的强度。C截面截面：B截面截面：满足强度要求满足强度要求满足强度要求满足强度要求本题本题本题本题和和和和可不必计算可不必计算可不必计算可不必计算为什么？为什么？例例8：简支梁简支梁AB，在，在C截面下边缘贴一应截面下边缘贴一应变片，测得其应变变片，测得其应变=610-4，材料的弹性，材料的弹性模量模量 E=200GPa，求载荷，求载荷P的大小。的大小。解：解：C C点的应力点的应力点的应力点的应力C C截面的弯矩截面的弯矩截面的弯矩截面的弯矩由由得得例例9：简支梁受均布荷载，在其简支梁受均布荷载，在其C 截面的下截面的下边缘贴一应变片，已知材料的边缘贴一应变片，已知材料的E=200GPa，试，试问该应变片所测得的应变值应为多大？问该应变片所测得的应变值应为多大？解：解：C截面下边缘截面下边缘的应力的应力C截面的弯矩截面的弯矩应变值应变值=75例例10：图示木梁，已知下边缘纵向总伸长图示木梁，已知下边缘纵向总伸长 为为 10 mm，E=10GPa，求载荷，求载荷 P 的大小。的大小。解：解：例例11：我国营造法中，对矩形截面梁给我国营造法中，对矩形截面梁给出的尺寸比例是出的尺寸比例是 h:b=3:2。试用弯曲正应。试用弯曲正应力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，力强度证明：从圆木锯出的矩形截面梁，上述尺寸比例接近最佳比值。上述尺寸比例接近最佳比值。（使（使Wz最大）最大）解：解：由此得由此得3:2例例12:跨长跨长跨长跨长l l=2m=2m的铸铁梁受力如图示的铸铁梁受力如图示的铸铁梁受力如图示的铸铁梁受力如图示,已知材料许已知材料许已知材料许已知材料许用拉、压应力分别为用拉、压应力分别为用拉、压应力分别为用拉、压应力分别为和和和和试根据截面最为合理的要求，确定试根据截面最为合理的要求，确定试根据截面最为合理的要求，确定试根据截面最为合理的要求，确定T T形梁横截面的形梁横截面的形梁横截面的形梁横截面的一个参数一个参数一个参数一个参数 ，并校核此梁的强度。，并校核此梁的强度。，并校核此梁的强度。，并校核此梁的强度。B BA AP=80kNP=80kN1m1m2m2m2202206060220220 解：解：设设设设z z z z轴过形心轴过形心轴过形心轴过形心最为合理时最为合理时zBAP=80kN1m2m22060220 z =24mm梁满足强度要求梁满足强度要求还需校核最大工作压应力吗？还需校核最大工作压应力吗？例例13:图示悬臂梁在自由端受集中力作用图示悬臂梁在自由端受集中力作用图示悬臂梁在自由端受集中力作用图示悬臂梁在自由端受集中力作用,P P=20kN=20kN。试在下列三种截面形状下，比较所耗材料：试在下列三种截面形状下，比较所耗材料：试在下列三种截面形状下，比较所耗材料：试在下列三种截面形状下，比较所耗材料：(1 1)高宽比高宽比高宽比高宽比h/bh/b=2=2的矩形；的矩形；的矩形；的矩形；(2 2)圆形；圆形；圆形；圆形；(3 3)工字钢。工字钢。工字钢。工字钢。P P=20kN=20kN解解:作弯矩图作弯矩图由强度条件由强度条件由强度条件由强度条件(1)(1)矩形矩形矩形矩形b b=6cm=6cm h h=12cm=12cm(2)(2)圆形圆形圆形圆形d d11.3cm11.3cm(3)(3)工字形工字形工字形工字形查型钢表，取查型钢表，取查型钢表，取查型钢表，取1616号工字钢号工字钢号工字钢号工字钢工字形截面最省料，圆形截面最费料。工字形截面最省料，圆形截面最费料。您知道为什么吗？您知道为什么吗？合理选择截面形状是梁设计中的合理选择截面形状是梁设计中的一个重要问题一个重要问题 本题中，工字形截面的弯曲截面系数本题中，工字形截面的弯曲截面系数略小于临界值，其最大工作应力将略大略小于临界值，其最大工作应力将略大于许用应力，但不超过于许用应力，但不超过5%，这在工程中这在工程中是允许的。是允许的。例例14：一槽形截面铸铁梁，试求梁的许可荷载一槽形截面铸铁梁，试求梁的许可荷载一槽形截面铸铁梁，试求梁的许可荷载一槽形截面铸铁梁，试求梁的许可荷载已知已知b=2m b=2m,F FC CB BD DA Ab bb bb b1201204040180180y y20202020解解:求出中性轴位置求出中性轴位置求出中性轴位置求出中性轴位置 作弯矩图作弯矩图z8686134134 FbFb/2/2FbFb/4/4分析可知，不论截面分析可知，不论截面分析可知，不论截面分析可知，不论截面B B或截面或截面或截面或截面C C，梁的强度均由最大拉应力控，梁的强度均由最大拉应力控，梁的强度均由最大拉应力控，梁的强度均由最大拉应力控制制制制6-2 弯曲切应力及其强度条件弯曲切应力及其强度条件一、梁横截面上的一、梁横截面上的切切应力应力z横截面上的剪力，由截面法求得横截面上的剪力，由截面法求得横截面上的剪力，由截面法求得横截面上的剪力，由截面法求得截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩b截面宽度截面宽度截面宽度截面宽度过所求点作中性轴平行线，过所求点作中性轴平行线，过所求点作中性轴平行线，过所求点作中性轴平行线，平行线以上或以下部分对中性轴的静矩平行线以上或以下部分对中性轴的静矩平行线以上或以下部分对中性轴的静矩平行线以上或以下部分对中性轴的静矩A A对于短跨、截面高的梁对于短跨、截面高的梁须计算弯曲剪应力须计算弯曲剪应力1、矩形截面梁的剪应力矩形截面梁的剪应力在hb的情况情况下yy弯曲剪应力计算公式弯曲剪应力计算公式 max=32FSbhFS腹板腹板翼缘翼缘在腹板上：在腹板上：2、工字形截面梁的剪应力工字形截面梁的剪应力 在翼缘上，有平行于剪力的剪应力分量，在翼缘上，有平行于剪力的剪应力分量，分布情况较复杂，但数量很小，并无实际意分布情况较复杂，但数量很小，并无实际意义，可忽略不计。义，可忽略不计。腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼腹板负担了截面上的绝大部分剪力，翼缘负担了截面上的大部分弯矩。缘负担了截面上的大部分弯矩。在翼缘上，还有垂直于剪力方向的剪应在翼缘上，还有垂直于剪力方向的剪应力分量，它与腹板上的剪应力比较，一般来力分量，它与腹板上的剪应力比较，一般来说也是次要的。说也是次要的。对于标准工字钢梁：对于标准工字钢梁：最大剪应力：最大剪应力：3、圆截面梁的剪应力、圆截面梁的剪应力yABydy1y1中性轴上：中性轴上：max=43FSAFS二、弯曲二、弯曲切切应力强度条件应力强度条件等直梁：等直梁：注意：例例15：圆形截面梁受力如图所示。已知材料的圆形截面梁受力如图所示。已知材料的 许用应力许用应力=160MPa，=100MPa，试求最小直径试求最小直径 dmin。解解:跨中截面弯矩最大，支座附近截面剪力最大跨中截面弯矩最大，支座附近截面剪力最大由正应力强度条件：由正应力强度条件：由剪应力强度条件：由剪应力强度条件：例例16：两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如图两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠在一起承受荷载如图所示。若材料许用应力为所示。若材料许用应力为，其许可载荷，其许可载荷P为多少？如将两为多少？如将两个梁用一根螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？若螺栓许个梁用一根螺栓联成一体，则其许可荷载为多少？若螺栓许用剪应力为用剪应力为，求螺栓的最小直径？，求螺栓的最小直径？bPl解解:一、两梁叠放承载一、两梁叠放承载时，每梁将各自弯曲两时，每梁将各自弯曲两梁都有自己的中性层梁都有自己的中性层每梁的最大正应力：每梁的最大正应力：其中：PlMPFSb二、当两梁用螺栓联二、当两梁用螺栓联为一体时，中性轴只为一体时，中性轴只有一个：有一个：P由正应力强度条件：由正应力强度条件：可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍。可见，两梁结为一体后，承载能力提高一倍。三、求螺栓最小直径：三、求螺栓最小直径：螺栓主要是受剪螺栓主要是受剪zz设梁达到了许用应力设梁达到了许用应力P中性轴处：中性轴处：全梁中性层上的剪力：全梁中性层上的剪力：由螺栓剪切强度条件：由螺栓剪切强度条件：可得：可得：讨论：讨论：与何力平衡？与何力平衡？例例17：简易起重设备，起重量简易起重设备，起重量P=30kN，跨长，跨长l=5m，吊车大梁，吊车大梁AB由由20a号工字钢制成，试校核梁的号工字钢制成，试校核梁的强度。强度。ABP解解:査表査表当荷载移至跨中时：当荷载移至跨中时：当荷载移至支座附件时：当荷载移至支座附件时：梁梁的的强强度度符符合合要要求求例例18：上例吊车大梁，起重量增至上例吊车大梁，起重量增至P=50kN，跨，跨长长l=5m，梁，梁AB中段用横截面为中段用横截面为120120mmmm 10 10mmmm而而长度为长度为2.2m的钢板加强。校核梁的强度。的钢板加强。校核梁的强度。ABP1.4m1.4m2.2m12020022010z解解:査表査表:20a工字钢工字钢ABP1.4m1.4m2.2m12020022010z组合截面惯性矩：组合截面惯性矩：当荷载移至跨中时：当荷载移至跨中时：剪应力请自行校核！剪应力请自行校核！ABP1.4m1.4m2.2m12020022010z还需校核变截面处还需校核变截面处!当荷载移至变截面处时，对变截面最不利当荷载移至变截面处时，对变截面最不利为什么？为什么？梁的强度不符合要求梁的强度不符合要求怎么办？怎么办？加强板加长！加强板加长！加长多少？加长多少？6-3 两相互垂直平面内的弯曲两相互垂直平面内的弯曲由力作用的独立性原理出发，在线弹性范围内，由力作用的独立性原理出发，在线弹性范围内，由力作用的独立性原理出发，在线弹性范围内，由力作用的独立性原理出发，在线弹性范围内，可以假设作用在体系上的诸载荷中的任一个所引起可以假设作用在体系上的诸载荷中的任一个所引起可以假设作用在体系上的诸载荷中的任一个所引起可以假设作用在体系上的诸载荷中的任一个所引起的变形对其它载荷作用的影响忽略不计。的变形对其它载荷作用的影响忽略不计。的变形对其它载荷作用的影响忽略不计。的变形对其它载荷作用的影响忽略不计。实验表明，在小变形情况下这个原理是足够实验表明，在小变形情况下这个原理是足够精确的。因此，可先分别计算每一种基本变形情精确的。因此，可先分别计算每一种基本变形情况下的应力和变形，然后采用况下的应力和变形，然后采用叠加原理叠加原理计算所有计算所有载荷对弹性体系所引起的总应力和总变形。载荷对弹性体系所引起的总应力和总变形。研究步骤研究步骤:1、简化荷载：用静力等效的荷载，使每一、简化荷载：用静力等效的荷载，使每一 组力只引起一种基本变形。组力只引起一种基本变形。2、按基本变形求解每组荷载作用下的应力、按基本变形求解每组荷载作用下的应力、位移。位移。3、按叠加原理叠加求出组合变形的解。、按叠加原理叠加求出组合变形的解。两相互垂直平面内的弯曲两相互垂直平面内的弯曲应力计算应力计算 中性轴的位置中性轴的位置斜弯曲斜弯曲荷载不作用在构件的纵向对称面内，荷载不作用在构件的纵向对称面内，梁的轴线变形后不在位于外力所在平面内。梁的轴线变形后不在位于外力所在平面内。矩形截面梁的斜弯曲矩形截面梁的斜弯曲ClXxyzPPzPyPzPy1、简化外力：、简化外力：xyzxyz2、按基本变形求各自应力：按基本变形求各自应力：C点总应力：点总应力：确定中性轴的位置确定中性轴的位置故中性轴的方程为故中性轴的方程为设中性轴上某一点的坐标为设中性轴上某一点的坐标为 y0、z0，则由则由中性轴上中性轴上中性轴是一条通过截面形心的直线中性轴是一条通过截面形心的直线中性轴中性轴 为中性轴与为中性轴与 y 轴夹角轴夹角y yz zz zy yP中性轴中性轴注：注：注：注：1 1）中性轴仍过截面形心；）中性轴仍过截面形心；）中性轴仍过截面形心；）中性轴仍过截面形心；2 2）中性轴把截面分为受拉、）中性轴把截面分为受拉、）中性轴把截面分为受拉、）中性轴把截面分为受拉、受压两个区域；受压两个区域；受压两个区域；受压两个区域；3 3）同一横截面上）同一横截面上）同一横截面上）同一横截面上 发生在离发生在离发生在离发生在离中性轴最远处中性轴最远处中性轴最远处中性轴最远处点处；点处；点处；点处；4 4）若截面为曲线周边时，）若截面为曲线周边时，）若截面为曲线周边时，）若截面为曲线周边时，可作可作可作可作/于中性轴之切线，于中性轴之切线，于中性轴之切线，于中性轴之切线，切点为切点为切点为切点为y yz zD DD D1 1）危险截面：当）危险截面：当）危险截面：当）危险截面：当 x x=0=0 时，时，时，时，同时取最大同时取最大同时取最大同时取最大故固定端处为危险面故固定端处为危险面故固定端处为危险面故固定端处为危险面2 2）危险点：危险面上）危险点：危险面上）危险点：危险面上）危险点：危险面上点点点点强度计算式：强度计算式：强度计算式：强度计算式：强度计算强度计算 对于周边具有棱角的截面，如矩形对于周边具有棱角的截面，如矩形和工字形截面，最大拉、压应力必然发和工字形截面，最大拉、压应力必然发生在截面的棱角处。可直接根据梁的变生在截面的棱角处。可直接根据梁的变形情况，确定截面上的最大拉、压应力形情况，确定截面上的最大拉、压应力所在位置，无需确定中性轴位置。所在位置，无需确定中性轴位置。例例19：矩形截面木梁跨长矩形截面木梁跨长l=3.6m,截面尺寸截面尺寸h/b=3/2,分布荷载集度分布荷载集度q=0.96kN/m,试设计该梁试设计该梁的截面尺寸。许用应力的截面尺寸。许用应力q qh hb bq qzy y解解:跨中为危险截面跨中为危险截面跨中为危险截面跨中为危险截面h/bh/b=3=3/2 2b b=0.0876m=0.0876m,h h=0.131m=0.131m可选可选可选可选b b=90=90mmmm,h h=135=135mmmm请注意计算单位！请注意计算单位！您知道危险点您知道危险点您知道危险点您知道危险点在何处吗？在何处吗？在何处吗？在何处吗？请自学！6-4 非对称弯曲正应力非对称弯曲正应力6-5 弯曲弯曲中心中心请自学！6-6 提高梁弯曲强度的措施提高梁弯曲强度的措施 控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力 作为梁设计的主要依据。因此应使作为梁设计的主要依据。因此应使Mmax尽可尽可能地小，使能地小，使WZ尽可能地大。尽可能地大。以以一、合理选择梁的截面一、合理选择梁的截面 合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面模量较大。面模量较大。WW大的同时，大的同时，大的同时，大的同时，A A要较小。要较小。要较小。要较小。0.31h h1 1、对于、对于、对于、对于 +=-的材料，可用以中性轴为对称轴的材料，可用以中性轴为对称轴的材料，可用以中性轴为对称轴的材料，可用以中性轴为对称轴的截面，使截面上、下边缘的截面，使截面上、下边缘的截面，使截面上、下边缘的截面，使截面上、下边缘2 2、对于、对于、对于、对于 +-的材料，如铸铁的材料，如铸铁的材料，如铸铁的材料，如铸铁 +-，宜用，宜用，宜用，宜用中性轴偏于受拉边的截面。中性轴偏于受拉边的截面。中性轴偏于受拉边的截面。中性轴偏于受拉边的截面。二、合理安排梁的受力情况二、合理安排梁的受力情况三、合理选择梁的外形三、合理选择梁的外形 采用变截面梁、等强度梁采用变截面梁、等强度梁 梁的各横截面上的最大正应力都等于材料梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许用应力的许用应力时，称为时，称为等强度梁。等强度梁。注意注意“加工性加工性”例例例例2020、矩形截面梁，跨中矩形截面梁，跨中矩形截面梁，跨中矩形截面梁，跨中C C处处处处受集中力受集中力受集中力受集中力P,P,设截面设截面设截面设截面 高高高高h h为常数，宽度为常数，宽度为常数，宽度为常数，宽度b b可变化，可变化，可变化，可变化，b=bb=b(x x),),求求求求b b(x x)。l lP PA AB B解：解：由对称性，研究一半梁由对称性，研究一半梁由对称性，研究一半梁由对称性，研究一半梁ACACC Cx x由等强度条件：由等强度条件：由等强度条件：由等强度条件：b b(x x)考虑到剪切强度条件：考虑到剪切强度条件：考虑到剪切强度条件：考虑到剪切强度条件：对于矩形截面：对于矩形截面：对于矩形截面：对于矩形截面：b b(x x)minmin同理：若同理：若b为常量，高度为常量，高度h=h(x)l lP PA AB BC Cx x按抛物线变化按抛物线变化按抛物线变化按抛物线变化考虑到剪切强度条件：考虑到剪切强度条件：PNN鱼腹梁鱼腹梁