弯曲应力与强设计20123系36班.pptx
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1、6-1 弯曲正应力及其强度条件弯曲正应力及其强度条件一、一、弯曲弯曲正应力正应力工程中以弯曲变形为主的杆件称为工程中以弯曲变形为主的杆件称为纵向对称面:纵向对称面:纵向对称面:纵向对称面:梁的轴线与横截面的对称轴所构成的平梁的轴线与横截面的对称轴所构成的平梁的轴线与横截面的对称轴所构成的平梁的轴线与横截面的对称轴所构成的平面面面面对称弯曲对称弯曲对称弯曲对称弯曲:当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时,梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线。内时,梁的轴线
2、由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线。内时,梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线。内时,梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线。纯纯 弯弯 曲曲横力弯曲横力弯曲:在横截面上,只有法向内力元素在横截面上,只有法向内力元素在横截面上,只有法向内力元素在横截面上,只有法向内力元素d dF FN N =dA=dA才能合成才能合成才能合成才能合成弯矩弯矩弯矩弯矩MM,只有切向内力元素,只有切向内力元素,只有切向内力元素,只有切向内力元素d =dAd =dA才能合成剪力才能合成剪力才能合成剪力才能合成剪力纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力从三方面考虑:从三方面考虑:变形变形
3、几何几何关系关系物理物理关系关系静力学静力学关系关系1、变形几何关系、变形几何关系 (1)aa、bb弯成弧线,弯成弧线,aa缩短,缩短,bb伸长伸长(2)mm、nn变形后仍保持为直线,且仍与变为弧变形后仍保持为直线,且仍与变为弧 线的线的aa,bb垂直垂直(3)部分纵向线段缩短,另一部分纵向线段伸长部分纵向线段缩短,另一部分纵向线段伸长。梁在纯弯曲时的梁在纯弯曲时的平面假设平面假设:梁的各个横截面在变形后仍保持为平面,并梁的各个横截面在变形后仍保持为平面,并仍垂直于变形后的轴线,只是横截面绕某一轴仍垂直于变形后的轴线,只是横截面绕某一轴旋转了一个角度。旋转了一个角度。观察到以下变形现象观察到以
4、下变形现象:再作单向受力假设:假设各纵向纤维之间再作单向受力假设:假设各纵向纤维之间互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉互不挤压。于是各纵向纤维均处于单向受拉或受压的状态。或受压的状态。推论:推论:梁在弯曲变形时,上面部分纵向纤维缩短,梁在弯曲变形时,上面部分纵向纤维缩短,下面部分纵向纤维伸长,必有一层纵向纤维下面部分纵向纤维伸长,必有一层纵向纤维既不伸长也不缩短既不伸长也不缩短,保持原来的长度,这一纵保持原来的长度,这一纵向纤维层称为向纤维层称为中性层中性层。中性层与横截面的交线称为中性层与横截面的交线称为中性轴中性轴中性层中性层中性轴中性轴中性层中性层z2、物理关系、物理关系 正应力与它
5、到中性层的距离成正比,正应力与它到中性层的距离成正比,正应力与它到中性层的距离成正比,正应力与它到中性层的距离成正比,中性层上的中性层上的中性层上的中性层上的正应力为零正应力为零正应力为零正应力为零 (中性层中性层中性层中性层 y y=0)=0)上式只能用于定性分析,而不能用于定量计算:上式只能用于定性分析,而不能用于定量计算:1 1)由于中性轴由于中性轴由于中性轴由于中性轴 z z 的位置未确定,故的位置未确定,故的位置未确定,故的位置未确定,故 y y 无法标定;无法标定;无法标定;无法标定;2 2)式中)式中)式中)式中 未知未知未知未知.(若已知(若已知(若已知(若已知MM,与与与与M
6、M有何关系?)有何关系?)有何关系?)有何关系?)3、静力学关系、静力学关系设中性轴为设中性轴为设中性轴为设中性轴为z zy yz z横截面对横截面对横截面对横截面对z z轴的静矩轴的静矩轴的静矩轴的静矩MM令:截面对截面对截面对截面对yz yz 轴的惯性积轴的惯性积轴的惯性积轴的惯性积截面对截面对截面对截面对z z 轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩轴的惯性矩由于由于由于由于y y为对称轴为对称轴为对称轴为对称轴,上式自然满足。上式自然满足。上式自然满足。上式自然满足。正应力计算公式:正应力计算公式:中性轴过截面形心中性轴过截面形心中性层的曲率公式:中性层的曲率公式:1 1)沿)沿)沿)沿y y
7、 轴线性分布,同一轴线性分布,同一轴线性分布,同一轴线性分布,同一坐标坐标坐标坐标y y 处,正应力相等。中处,正应力相等。中处,正应力相等。中处,正应力相等。中性轴上正应力为零。性轴上正应力为零。性轴上正应力为零。性轴上正应力为零。2 2)中性轴将截面分为受)中性轴将截面分为受)中性轴将截面分为受)中性轴将截面分为受拉、受压两个区域。拉、受压两个区域。拉、受压两个区域。拉、受压两个区域。3 3)最大正应力发生在距)最大正应力发生在距)最大正应力发生在距)最大正应力发生在距中性轴最远处。中性轴最远处。中性轴最远处。中性轴最远处。Z Z当中性轴是横截面的对称轴时:当中性轴是横截面的对称轴时:横截
8、面上的最大正应力:横截面上的最大正应力:Wz:Wz:抗弯截面模量抗弯截面模量抗弯截面模量抗弯截面模量y2y1y 公式适用条件:公式适用条件:1 1 1 1)符合平面弯曲条件)符合平面弯曲条件)符合平面弯曲条件)符合平面弯曲条件(平面假设,横截面具有一对称轴)平面假设,横截面具有一对称轴)平面假设,横截面具有一对称轴)平面假设,横截面具有一对称轴)2 2 2 2)p p(材料服从胡克定律)材料服从胡克定律)材料服从胡克定律)材料服从胡克定律)对于横力弯曲,由于剪力的存在,横截面产生剪切变形,使对于横力弯曲,由于剪力的存在,横截面产生剪切变形,使对于横力弯曲,由于剪力的存在,横截面产生剪切变形,使
9、对于横力弯曲,由于剪力的存在,横截面产生剪切变形,使横截面发生翘曲,不再保持为平面。横截面发生翘曲,不再保持为平面。横截面发生翘曲,不再保持为平面。横截面发生翘曲,不再保持为平面。弹性力学精确分析结果指出:当梁的弹性力学精确分析结果指出:当梁的弹性力学精确分析结果指出:当梁的弹性力学精确分析结果指出:当梁的跨高比大于跨高比大于跨高比大于跨高比大于5 5时,剪应时,剪应时,剪应时,剪应力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小,可以忽略不计。因此力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小,可以忽略不计。因此力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小,可以忽略不计。因此力和挤压应力对弯曲正应力的影响甚小,可以忽略不计。因
10、此由纯弯曲梁导出的正应力计算公式,仍可以应用于横力弯曲的由纯弯曲梁导出的正应力计算公式,仍可以应用于横力弯曲的由纯弯曲梁导出的正应力计算公式,仍可以应用于横力弯曲的由纯弯曲梁导出的正应力计算公式,仍可以应用于横力弯曲的梁中,误差不超过梁中,误差不超过梁中,误差不超过梁中,误差不超过1%1%。横力弯曲时,弯矩不再是常量。横力弯曲时,弯矩不再是常量。横力弯曲时,弯矩不再是常量。横力弯曲时,弯矩不再是常量。圆环:圆环:圆环:圆环:Dyzd复复习习ZbhZZdDd例例1:图示工字形截面外伸梁受均布荷载作用,图示工字形截面外伸梁受均布荷载作用,试求当最大正应力为最小时的支座位置。试求当最大正应力为最小时
11、的支座位置。al laq 解:解:作弯矩图作弯矩图支座位置支座位置支座位置支座位置 直接影响支座直接影响支座直接影响支座直接影响支座截面和跨中截面上的弯矩截面和跨中截面上的弯矩截面和跨中截面上的弯矩截面和跨中截面上的弯矩值。当中性轴为截面的对值。当中性轴为截面的对值。当中性轴为截面的对值。当中性轴为截面的对称轴,最大拉、压应力相称轴,最大拉、压应力相称轴,最大拉、压应力相称轴,最大拉、压应力相等时,只有支座处截面与等时,只有支座处截面与等时,只有支座处截面与等时,只有支座处截面与跨中截面之弯矩的绝对值跨中截面之弯矩的绝对值跨中截面之弯矩的绝对值跨中截面之弯矩的绝对值相等,才能使该梁的最大相等,
12、才能使该梁的最大相等,才能使该梁的最大相等,才能使该梁的最大弯矩的绝对值为最小,从弯矩的绝对值为最小,从弯矩的绝对值为最小,从弯矩的绝对值为最小,从而使其最大正应力为最小。而使其最大正应力为最小。而使其最大正应力为最小。而使其最大正应力为最小。取有效值取有效值取有效值取有效值二、梁的正应力强度条件二、梁的正应力强度条件强度条件:强度条件:等直梁等直梁等直梁等直梁强度条件强度条件强度条件强度条件 对于铸铁等脆性材料,抗拉和抗压能力不同,所以有许用对于铸铁等脆性材料,抗拉和抗压能力不同,所以有许用对于铸铁等脆性材料,抗拉和抗压能力不同,所以有许用对于铸铁等脆性材料,抗拉和抗压能力不同,所以有许用弯
13、曲拉应力和许用弯曲压应力两个数值。弯曲拉应力和许用弯曲压应力两个数值。弯曲拉应力和许用弯曲压应力两个数值。弯曲拉应力和许用弯曲压应力两个数值。强度条件为:强度条件为:强度条件为:强度条件为:请注意:请注意:梁的最大工作拉应力梁的最大工作拉应力梁的最大工作拉应力梁的最大工作拉应力和最大工作压应力有时并不发生和最大工作压应力有时并不发生和最大工作压应力有时并不发生和最大工作压应力有时并不发生在同一截面上。在同一截面上。在同一截面上。在同一截面上。一般情况下,一般情况下,一般情况下,一般情况下,许用弯曲正应力许用弯曲正应力许用弯曲正应力许用弯曲正应力比比比比许用拉许用拉许用拉许用拉(压压压压)应力应
14、力应力应力略高。因为弯曲时除截面外边缘达到最大正应力略高。因为弯曲时除截面外边缘达到最大正应力略高。因为弯曲时除截面外边缘达到最大正应力略高。因为弯曲时除截面外边缘达到最大正应力外,其余各处应力较小。而轴向拉外,其余各处应力较小。而轴向拉外,其余各处应力较小。而轴向拉外,其余各处应力较小。而轴向拉(压压压压)时,截面上时,截面上时,截面上时,截面上的应力是均匀分布的。的应力是均匀分布的。的应力是均匀分布的。的应力是均匀分布的。利用强度条件可以进行三方面的强度计算:利用强度条件可以进行三方面的强度计算:利用强度条件可以进行三方面的强度计算:利用强度条件可以进行三方面的强度计算:1 1、根据外力、
15、截面形状尺寸、许用应力,、根据外力、截面形状尺寸、许用应力,、根据外力、截面形状尺寸、许用应力,、根据外力、截面形状尺寸、许用应力,校核梁校核梁校核梁校核梁的强度。的强度。的强度。的强度。2 2、根据外力、截面形状、许用应力,、根据外力、截面形状、许用应力,、根据外力、截面形状、许用应力,、根据外力、截面形状、许用应力,设计梁的截设计梁的截设计梁的截设计梁的截面尺寸。面尺寸。面尺寸。面尺寸。3 3、根据截面形状尺寸、许用应力,、根据截面形状尺寸、许用应力,、根据截面形状尺寸、许用应力,、根据截面形状尺寸、许用应力,求许可载荷。求许可载荷。求许可载荷。求许可载荷。例例2:两矩形截面梁,尺寸和材料
16、的许用两矩形截面梁,尺寸和材料的许用应力均相等,但放置如图应力均相等,但放置如图(a)、(b b)。按弯。按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比 P1 1P2 2?P1PP2hzbbzh(b)(a)解:解:例例3:矩形截面梁当横截面的高度增加一倍,宽矩形截面梁当横截面的高度增加一倍,宽度减小一半时,从正应力强度条件考虑,度减小一半时,从正应力强度条件考虑,该梁的承载能力将是原来的多少倍?该梁的承载能力将是原来的多少倍?解:解:由公式由公式可以看出:该梁的承载能力将是原来的可以看出:该梁的承载能力将是原来的2倍。倍。例例4:主主梁梁AB,跨度为,跨度为l,采
17、用加副梁,采用加副梁CD的方法提高承载能力,若主梁和副梁材的方法提高承载能力,若主梁和副梁材料相同,截面尺寸相同,则副梁的最佳长料相同,截面尺寸相同,则副梁的最佳长度度a为多少?为多少?ABPaCD主梁主梁主梁主梁ABAB副梁副梁副梁副梁CDCDMM解:解:主梁主梁AB的最大弯矩的最大弯矩副梁副梁CD的最大弯矩的最大弯矩由由得得例例5:图示梁的截面为图示梁的截面为T形,材料的许用拉应形,材料的许用拉应力和许用压应力分别为力和许用压应力分别为+和和-,则,则 y1 和和 y2 的最佳比值为多少的最佳比值为多少?(C为截面形心为截面形心)解:解:例例6:图示外伸梁,受均布载荷作用,材图示外伸梁,受
18、均布载荷作用,材料的许用应力料的许用应力=160 MPa,校核该梁的,校核该梁的强度。强度。解:解:由弯矩图可见由弯矩图可见该梁满足强度条件,安全该梁满足强度条件,安全Fs()kN kN 例例7:图示铸铁梁,许用拉应力图示铸铁梁,许用拉应力+=30MPa,许用压应力许用压应力-=60MPa,z=7.6310-6m4,试校核此梁的强度。试校核此梁的强度。C截面截面:B截面截面:满足强度要求满足强度要求满足强度要求满足强度要求本题本题本题本题和和和和可不必计算可不必计算可不必计算可不必计算为什么?为什么?例例8:简支梁简支梁AB,在,在C截面下边缘贴一应截面下边缘贴一应变片,测得其应变变片,测得其
19、应变=610-4,材料的弹性,材料的弹性模量模量 E=200GPa,求载荷,求载荷P的大小。的大小。解:解:C C点的应力点的应力点的应力点的应力C C截面的弯矩截面的弯矩截面的弯矩截面的弯矩由由得得例例9:简支梁受均布荷载,在其简支梁受均布荷载,在其C 截面的下截面的下边缘贴一应变片,已知材料的边缘贴一应变片,已知材料的E=200GPa,试,试问该应变片所测得的应变值应为多大?问该应变片所测得的应变值应为多大?解:解:C截面下边缘截面下边缘的应力的应力C截面的弯矩截面的弯矩应变值应变值=75例例10:图示木梁,已知下边缘纵向总伸长图示木梁,已知下边缘纵向总伸长 为为 10 mm,E=10GP
20、a,求载荷,求载荷 P 的大小。的大小。解:解:例例11:我国营造法中,对矩形截面梁给我国营造法中,对矩形截面梁给出的尺寸比例是出的尺寸比例是 h:b=3:2。试用弯曲正应。试用弯曲正应力强度证明:从圆木锯出的矩形截面梁,力强度证明:从圆木锯出的矩形截面梁,上述尺寸比例接近最佳比值。上述尺寸比例接近最佳比值。(使(使Wz最大)最大)解:解:由此得由此得3:2例例12:跨长跨长跨长跨长l l=2m=2m的铸铁梁受力如图示的铸铁梁受力如图示的铸铁梁受力如图示的铸铁梁受力如图示,已知材料许已知材料许已知材料许已知材料许用拉、压应力分别为用拉、压应力分别为用拉、压应力分别为用拉、压应力分别为和和和和试
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