弯曲时变形.pptx
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1、 661 1 基本概念及工程实例基本概念及工程实例662 2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程663 3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形664 4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形665 5 静不定梁的解法静不定梁的解法666 6 提高弯曲刚度的措施提高弯曲刚度的措施第六章第六章第六章第六章 弯曲变形弯曲变形弯曲变形弯曲变形 6 61 1 基本概念及工程实例基本概念及工程实例一一一一.工程实例工程实例工程实例工程实例(Deflection of BeamsDeflection of Beams)AB 但在另外一些情况下但在另外一些情况下但在另外一些情况下但在另外一些情况下,有时却要求
2、构件具有较大的弹性变有时却要求构件具有较大的弹性变有时却要求构件具有较大的弹性变有时却要求构件具有较大的弹性变形形形形,以满足特定的工作需要以满足特定的工作需要以满足特定的工作需要以满足特定的工作需要.例如例如例如例如,车辆上的板弹簧车辆上的板弹簧车辆上的板弹簧车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形要求有足够大的变形要求有足够大的变形要求有足够大的变形,以缓解车辆以缓解车辆以缓解车辆以缓解车辆受到的冲击和振动作用受到的冲击和振动作用受到的冲击和振动作用受到的冲击和振动作用.1 1 1 1、挠度、挠度、挠度、挠度 横截面形心横截面形心横截面形心横截面形心 C C(即轴线上的点即轴线上的点即轴线上的点
3、即轴线上的点)在垂直于在垂直于在垂直于在垂直于 x x 轴方向的线位移轴方向的线位移轴方向的线位移轴方向的线位移,称为该截面的挠度称为该截面的挠度称为该截面的挠度称为该截面的挠度.用用用用w w表示表示表示表示.二、基本概念二、基本概念二、基本概念二、基本概念w挠度挠度CCAB w x2 2 2 2、转角、转角、转角、转角 横截面对其原来位置的角位移横截面对其原来位置的角位移横截面对其原来位置的角位移横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角称为该截面的转角称为该截面的转角称为该截面的转角.用用用用 表示表示表示表示转角转角 ACCwB xw挠度(挠度(3 3 3 3、挠曲线、挠曲线、挠曲线
4、、挠曲线 :梁变形后的轴线称为挠曲线梁变形后的轴线称为挠曲线梁变形后的轴线称为挠曲线梁变形后的轴线称为挠曲线 .式中式中式中式中,x x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w w 为该点的挠度为该点的挠度为该点的挠度为该点的挠度.挠曲线挠曲线挠曲线方程为挠曲线方程为挠曲线方程为挠曲线方程为:wAB x转角转角 w挠度(挠度(CC4 4 4 4、挠度与转角的关系、挠度与转角的关系、挠度与转角的关系、挠度与转角的关系:wAB x转角转角 w挠度挠度CC挠曲线挠曲线5 5 5 5、挠度和转角符号的规定、挠度和转角
5、符号的规定、挠度和转角符号的规定、挠度和转角符号的规定挠度挠度挠度挠度:向上为正向上为正向上为正向上为正,向下为负向下为负向下为负向下为负.转角转角转角转角:自自自自x x 转至切线方向转至切线方向转至切线方向转至切线方向,逆时针转为正逆时针转为正逆时针转为正逆时针转为正,顺时针转为负顺时针转为负顺时针转为负顺时针转为负.wAB x转角转角 w挠度挠度CC挠曲线挠曲线662 2 挠曲线的微分方程挠曲线的微分方程一、推导公式一、推导公式一、推导公式一、推导公式1 1 1 1、纯弯曲时、纯弯曲时、纯弯曲时、纯弯曲时曲率曲率曲率曲率与弯矩的关系与弯矩的关系与弯矩的关系与弯矩的关系横力弯曲时横力弯曲时
6、横力弯曲时横力弯曲时,MM 和和和和 都是都是都是都是x x的函数的函数的函数的函数.略去剪力对梁的位移的影响略去剪力对梁的位移的影响略去剪力对梁的位移的影响略去剪力对梁的位移的影响,则则则则:2 2 2 2、由数学得到平面曲线的曲率、由数学得到平面曲线的曲率、由数学得到平面曲线的曲率、由数学得到平面曲线的曲率在规定的坐标系中在规定的坐标系中在规定的坐标系中在规定的坐标系中,x x 轴水平向右轴水平向右轴水平向右轴水平向右为正为正为正为正,w w轴竖直向上为正轴竖直向上为正轴竖直向上为正轴竖直向上为正.曲线向上凸时曲线向上凸时曲线向上凸时曲线向上凸时,OxwxOw因此因此因此因此,与与与与的正
7、负号相同的正负号相同的正负号相同的正负号相同曲线向下凸时曲线向下凸时曲线向下凸时曲线向下凸时:此式称为此式称为此式称为此式称为 梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程梁的挠曲线近似微分方程与与与与 1 1 相比十分微小而可以忽略不计相比十分微小而可以忽略不计相比十分微小而可以忽略不计相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为故上式可近似为故上式可近似为故上式可近似为(6.5)(6.5)近似原因近似原因近似原因近似原因 :(1):(1)略去了剪力的影响略去了剪力的影响略去了剪力的影响略去了剪力的影响 ;(2);(2)略去了略去了略去了略去了 项项项项;(3)(3)6
8、63 3 用积分法求弯曲变形用积分法求弯曲变形一、微分方程的积分一、微分方程的积分一、微分方程的积分一、微分方程的积分若为等截面直梁若为等截面直梁若为等截面直梁若为等截面直梁,其抗弯刚度其抗弯刚度其抗弯刚度其抗弯刚度EIEI为一常量上式可改写成为一常量上式可改写成为一常量上式可改写成为一常量上式可改写成2 2 2 2、再积分一次、再积分一次、再积分一次、再积分一次,得挠度方程得挠度方程得挠度方程得挠度方程二、积分常数的确定二、积分常数的确定二、积分常数的确定二、积分常数的确定1 1 1 1、边界条件、边界条件、边界条件、边界条件 2 2 2 2、连续条件、连续条件、连续条件、连续条件1 1 1
9、 1、积分一次得转角方程、积分一次得转角方程、积分一次得转角方程、积分一次得转角方程AB在简支梁中在简支梁中在简支梁中在简支梁中,左右两铰支座处的左右两铰支座处的左右两铰支座处的左右两铰支座处的挠度挠度挠度挠度和和和和都等于都等于都等于都等于0.0.在悬臂梁中在悬臂梁中在悬臂梁中在悬臂梁中,固定端处的挠度固定端处的挠度固定端处的挠度固定端处的挠度和转角和转角和转角和转角都应等于零都应等于零都应等于零都应等于零.AB 例题例题例题例题1:1:1:1:图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为 EI EI 的悬臂梁的悬臂梁的悬臂梁的悬臂梁,在自由端受一在自由端受一在自由端受一
10、在自由端受一集中力集中力集中力集中力 F F 作用作用作用作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程试求梁的挠曲线方程和转角方程试求梁的挠曲线方程和转角方程试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其并确定其并确定其并确定其最大挠度最大挠度最大挠度最大挠度 和最大转角和最大转角和最大转角和最大转角 ABxFw w(1)(1)弯矩方程为弯矩方程为弯矩方程为弯矩方程为解:解:解:解:(2)(2)挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为挠曲线的近似微分方程为xwABxF对挠曲线近似微分方程进行积分对挠曲线近似微分方程进行积分对挠曲线近似微分方程进行积分对挠曲线近似微分方程进行积分梁的转角
11、方程和挠曲线方程分别为梁的转角方程和挠曲线方程分别为梁的转角方程和挠曲线方程分别为梁的转角方程和挠曲线方程分别为边界条件为边界条件为边界条件为边界条件为 :将边界条件代入将边界条件代入将边界条件代入将边界条件代入(3)(4)(3)(4)(3)(4)(3)(4)两式中两式中两式中两式中,可得:可得:可得:可得:BxyAF()都发生在自由端截面处都发生在自由端截面处都发生在自由端截面处都发生在自由端截面处和和和和()例题例题例题例题2:2:2:2:图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为 EI EI 的简支梁的简支梁的简支梁的简支梁,在全梁上受集度为在全梁上受集度为在全梁上
12、受集度为在全梁上受集度为q q 的的的的均布荷载作用均布荷载作用均布荷载作用均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其并确定其并确定其并确定其和和和和ABql l解解解解:由对称性可知,梁的由对称性可知,梁的由对称性可知,梁的由对称性可知,梁的两个支反力为两个支反力为两个支反力为两个支反力为ABql lRARBx此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为梁的转角方程和挠曲线方程分梁的转角方程和
13、挠曲线方程分梁的转角方程和挠曲线方程分梁的转角方程和挠曲线方程分别为别为别为别为:边界条件为边界条件为边界条件为边界条件为 :,时时时时 xABql lRARB A B在在在在 x x=0=0 和和和和 x x=l l 处转角的绝对值相等且都是最大值,处转角的绝对值相等且都是最大值,处转角的绝对值相等且都是最大值,处转角的绝对值相等且都是最大值,最大转角和最大挠度分别为最大转角和最大挠度分别为最大转角和最大挠度分别为最大转角和最大挠度分别为:wmax在在在在梁跨中点梁跨中点梁跨中点梁跨中点 处处处处有有有有最大挠度值最大挠度值最大挠度值最大挠度值例题例题例题例题3:3:图示一抗弯刚度为图示一抗
14、弯刚度为图示一抗弯刚度为图示一抗弯刚度为EIEI的简支梁的简支梁的简支梁的简支梁,在在在在D D点处受一集中点处受一集中点处受一集中点处受一集中力力力力F F的作用的作用的作用的作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大并求其最大并求其最大并求其最大挠度和最大转角挠度和最大转角挠度和最大转角挠度和最大转角.ABFDabl l解解解解:梁的两个支反力为梁的两个支反力为梁的两个支反力为梁的两个支反力为RARBABFDabl l12xx两段梁的弯矩方程分别为两段梁的弯矩方程分别为两段梁的弯矩方程分别为两段
15、梁的弯矩方程分别为两段梁的挠曲线方程分别为:两段梁的挠曲线方程分别为:两段梁的挠曲线方程分别为:两段梁的挠曲线方程分别为:1(0(0 x x a a)挠曲线方程挠曲线方程挠曲线方程挠曲线方程转角方程转角方程转角方程转角方程挠度方程挠度方程挠度方程挠度方程挠曲线方程挠曲线方程挠曲线方程挠曲线方程转角方程转角方程转角方程转角方程挠度方程挠度方程挠度方程挠度方程(a a x x l l )2D D点的连续条件点的连续条件点的连续条件点的连续条件:边界条件边界条件边界条件边界条件:在在在在 x x=a a 处处处处在在在在 x x=0=0 处,处,处,处,在在在在 x x=l l 处,处,处,处,代入
16、方程可解得代入方程可解得代入方程可解得代入方程可解得:ABFDab12RARB12将将将将 x x=0=0 和和和和 x x=l l 分别代入转角方程左右两支座处截面的转角分别代入转角方程左右两支座处截面的转角分别代入转角方程左右两支座处截面的转角分别代入转角方程左右两支座处截面的转角当当当当 a a b b 时时时时,右支座处截面的转角绝对值为最大右支座处截面的转角绝对值为最大右支座处截面的转角绝对值为最大右支座处截面的转角绝对值为最大简支梁的最大挠度应在简支梁的最大挠度应在简支梁的最大挠度应在简支梁的最大挠度应在处处处处先研究第一段梁先研究第一段梁先研究第一段梁先研究第一段梁,令令令令得得
17、得得当当当当 a a b b时时时时,x x1 1 a a 最大挠度确实在第一段梁中最大挠度确实在第一段梁中最大挠度确实在第一段梁中最大挠度确实在第一段梁中梁中点梁中点梁中点梁中点 C C 处的挠度为处的挠度为处的挠度为处的挠度为结论结论结论结论:在简支梁中在简支梁中在简支梁中在简支梁中,不论它受什么荷载作用不论它受什么荷载作用不论它受什么荷载作用不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上无只要挠曲线上无只要挠曲线上无只要挠曲线上无 拐点拐点拐点拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替其最大挠度值都可用梁跨中点
18、处的挠度值来代替,其精确其精确其精确其精确度是能满足工程要求的度是能满足工程要求的度是能满足工程要求的度是能满足工程要求的.对各段梁对各段梁对各段梁对各段梁,都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的的外力来写弯矩方程的的外力来写弯矩方程的的外力来写弯矩方程的.所以后一段梁的弯矩方程包含所以后一段梁的弯矩方程包含所以后一段梁的弯矩方程包含所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程前一段梁的弯矩方程前一段梁的弯矩方程前一段梁的弯矩方程.只增加了只增加了只增加了只增加
19、了(x-ax-a)的项的项的项的项.对对对对(x-ax-a)的项作积分时,应该将的项作积分时,应该将的项作积分时,应该将的项作积分时,应该将(x-ax-a)项作为积分变量项作为积分变量项作为积分变量项作为积分变量.从从从从而简化了确定积分常数的工作而简化了确定积分常数的工作而简化了确定积分常数的工作而简化了确定积分常数的工作.积分法的原则积分法的原则积分法的原则积分法的原则 6 64 4 用叠加法求弯曲变形用叠加法求弯曲变形 梁的变形微小梁的变形微小梁的变形微小梁的变形微小,且梁在线弹性范围内工作时且梁在线弹性范围内工作时且梁在线弹性范围内工作时且梁在线弹性范围内工作时,梁在几项荷载梁在几项荷
20、载梁在几项荷载梁在几项荷载(可以是集中力可以是集中力可以是集中力可以是集中力,集中力偶或分布力集中力偶或分布力集中力偶或分布力集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角,同时作用下的挠度和转角,同时作用下的挠度和转角,同时作用下的挠度和转角,就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加.当当当当每一项荷载所引起的挠度为同一方向每一项荷载所引起的挠度为同一方向每一项荷载所引起的挠度为同一方向每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿如均沿
21、如均沿如均沿v v 轴方向轴方向轴方向轴方向),),其转角其转角其转角其转角是在同一平面内是在同一平面内是在同一平面内是在同一平面内(如均在如均在如均在如均在 xy xy 平面内平面内平面内平面内)时时时时,则叠加就是代数和则叠加就是代数和则叠加就是代数和则叠加就是代数和.这就这就这就这就是叠加原理是叠加原理是叠加原理是叠加原理.一、叠加原理一、叠加原理一、叠加原理一、叠加原理 :1 1 1 1、载荷叠加、载荷叠加、载荷叠加、载荷叠加:多个载荷同时作用于结构而引起的变形:多个载荷同时作用于结构而引起的变形:多个载荷同时作用于结构而引起的变形:多个载荷同时作用于结构而引起的变形 等于每个载荷单独
22、作用于结构而引起的变形的代数和等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和.2 2 2 2、结构形式叠加(逐段刚化法)、结构形式叠加(逐段刚化法)、结构形式叠加(逐段刚化法)、结构形式叠加(逐段刚化法)1 1 1 1、按叠加原理求按叠加原理求按叠加原理求按叠加原理求A A点转角和点转角和点转角和点转角和C C点挠点挠点挠点挠度度度度.解解解解:(1):(1):(1):(1)载荷分解如图载荷分解如图载荷分解如图载荷分解如图(2)(2)(2)(2)由梁的简单载荷变形表,由梁的简单载荷变形表,由梁的简单载荷
23、变形表,由梁的简单载荷变形表,查简单载荷引起的变形查简单载荷引起的变形查简单载荷引起的变形查简单载荷引起的变形.BqFACaaF=AB+ABq(3)(3)(3)(3)叠加叠加叠加叠加qFF=+AAABBBCaaq例题例题例题例题5 5:一抗弯刚度为一抗弯刚度为一抗弯刚度为一抗弯刚度为 EI EI 的简支梁受荷载如图的简支梁受荷载如图的简支梁受荷载如图的简支梁受荷载如图 所示所示所示所示.试按叠加原理试按叠加原理试按叠加原理试按叠加原理求梁跨中点的挠度求梁跨中点的挠度求梁跨中点的挠度求梁跨中点的挠度 w wC C 和支座处横截面的转角和支座处横截面的转角和支座处横截面的转角和支座处横截面的转角
24、A A ,B B。ABCq qmml l解:将梁上荷载分为两项简单解:将梁上荷载分为两项简单解:将梁上荷载分为两项简单解:将梁上荷载分为两项简单的荷载的荷载的荷载的荷载,如图所示如图所示如图所示如图所示ABCqmm(a)l lBAm(c)l lAq(b)Bl lC CC()()()例题例题例题例题6 6 6 6:试试试试利用叠加法利用叠加法利用叠加法利用叠加法,求图求图求图求图所示抗弯刚度为所示抗弯刚度为所示抗弯刚度为所示抗弯刚度为EIEI的简支的简支的简支的简支梁跨中点的挠度梁跨中点的挠度梁跨中点的挠度梁跨中点的挠度 w wC C 和两端和两端和两端和两端截面的转角截面的转角截面的转角截面的
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