弹性力学与有限元完整版.pptx
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1、第一篇弹性力学第一章 弹性力学基本方程1.1绪论1.2弹性力学的基本假定1.3几个基本概念1.4弹性力学基本方程第二章 弹性力学平面问题2.1平面应力问题2.2平面应变问题2.3平面问题的基本方程第三章 弹性力学问题求解方法简述第一章弹性力学基本方程1.1绪论1.2弹性力学的基本假定1.3几个基本概念1.4弹性力学基本方程应力 应变 位移弹性体外界作用弹性力学基本内容外力温度变化弹性力学弹性力学,又称弹性理论。是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变,物体内部所产生的位移、变形和应力分布等。为解决工程结构的强度,刚度和稳定性问题作准备。弹性力学的研究对象:是完全弹性体,包括构件、板和三维弹性体,比
2、材料力学和结构力学的研究范围更为广泛。研究的内容:外力作用下应力、应变、位移1.1弹性力学绪论物体变形物体变形弹性变形、塑性变形弹性变形、塑性变形弹性变形:弹性变形:当外力撤去以后恢复到原始状态,没有变形残留,材当外力撤去以后恢复到原始状态,没有变形残留,材料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无料的应力和应变之间具有一一对应的关系。与时间无关,也与变形历史无关关,也与变形历史无关。塑性变形:塑性变形:当外力撤去以后尚残留部分变形量,不能恢复到原始当外力撤去以后尚残留部分变形量,不能恢复到原始状态,状态,即存在永久变形。应力和应变之间的关系即存在永久变形。应力和应变之间的关系不再一一对应
3、,与时间、与加载历程有关不再一一对应,与时间、与加载历程有关。弹性:弹性:假定“完全弹性”关系,是抽象出来的理想模型。完全弹性是指在一定温度条件下,材料的应力和应变之间具有一一对应的关系。应力应变关系称为本构关系。本构关系。材料模型包括:线性弹性体非线性弹性体1.2弹性力学的基本假定1.连续性假设连续性假设根据这一假设,物体的所有物理量,例如位移、应变和应力等均成为物体所占空间的连续函数。2.均匀性假设均匀性假设假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的,物体各个部分的物理性质都是相同的,不随坐标位置的变化而改变。在处理问题时,可以取出物体的任意一个小部分讨论。3.各向同性假设各向同性假设假定物
4、体在各个不同的方向上具有相同的物理性质,物体的弹性常数不随坐标方向变化。像木材、竹子以及纤维增强材料等,属于各向异性材料,它们是复合材料力学研究的对象。4.完全弹性假设完全弹性假设应力和应变之间存在一一对应关系,与时间及变形历史无关。满足胡克定理。5.小变形假设小变形假设在弹性体的平衡等问题讨论时,不考虑因变形所引起的几何尺寸变化,使用物体变形前的几何尺寸来替代变形后的尺寸。采用这一假设,在基本方程中,略去位移、应变和应力分量的高阶小量,使基本方程成为线性的偏微分方程组。1.3几个基本概念1.外力2.一点的应力状态3.一点的形变4.位移分量作用于物体的外力可以分为3种类型:体力、面力、集中力。
5、体力体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力,又称为质量力。例如物体的重力,惯性力,电磁力等等。面力面力是分布在物体表面上的力,例如风力,静水压力,物体之间的接触力等。集中力集中力作用物体一点上的力。(在弹性力学中一般不用,而在有限元中经常出现)1外力体力物体任意一点P所受体力的大小和方向,在P点区域取一微小体积元素V,设V的体力合力为F,则V 的平均体力为当V 趋近于0,则为P点的体力体力是矢量:一般情况下,物体每个点体力的大小和方向不同。体力分量:将体力沿三个坐标轴xyz分解,用X、Y、Z表示,称为体力分量。符号规定:与坐标轴方向一致为正,反之为负。应该注意的是:在弹性力学中,体力是指
6、单位体积的力。体力的因次:力/长度3表示:F=XYZ面力与体力相似,在物体表面上任意一点P所受面力的大小和方向,在P点区域取微小面积元素S,当S 趋近于0,则为P点的面力面力分量符号规定:与坐标轴方向一致为正,反之为负。面力的因次:力/长度2集中力体力与面力都是分布力,集中力则只是作用在一个点上,作用区域V或S很小,但数值很大,这种形式的力可以认为是集中力。集中力分量:集中力直接将其沿三个坐标轴分解,用X0、Y0、Z0表示,即集中力力分量。符号规定:与坐标轴方向一致为正,反之为负。体力的因次:力2一点的应力状态应力表示方法材料力学中接触过斜截面上的应力,斜截面上应力可以分成正应力、剪应力;复杂
7、物体任意截面上的应力可分为1个与平面垂直的正应力、2个平面内剪应力。X面Y面Z面正应力分量3个:剪应力分量6个:正面负面X面Y面Z面应力符号意义剪应力:正应力:由法线方向确定作用面作用方向符号规定:正面上与坐标轴正向一致,为正;负面上与坐标轴负向一致,为正。剪应力互等定理剪应力不再区分哪个是作用面或作用方向。应力分量:相等3一点应变分量微分单元体的变形:微分单元体棱边的伸长和缩短;正应变正应变棱边之间夹角的变化;剪应变剪应变正应变分量3个:剪应变分量3个:应变的定义(自学)设平行六面体单元,3个轴棱边:变形前为MA,MB,MC;变形后变为MA,MB,MC。正应变(小变形)(自学)符号规定:正应
8、变以伸长为正。剪应变(自学)符号规定:正应变以伸长为正;剪应变以角度变小为正。4位移分量位移:由于载荷作用或者温度变化等外界因素等影响,物体内各点在空间的位置将发生变化,位置移动即产生位移。位移刚体位移刚体位移、变形变形刚体位移刚体位移物体内部各个点仍然保持初始状态的相对位置不变,由于物体整体在空间做刚体运动引起的位置改变。变形变形物体整体位置不变,弹性体在外力作用下发生形状的变化,而改变了物体内部各个点的相对位置,引起位移。后者与弹性体的应力有着直接的关系弹性力学研究的主要变形,通常叫位移。u=x(x,y,z)-x=u(x,y,z)v=y(x,y,z)-y=v(x,y,z)w=z(x,y,z
9、)-z=w(x,y,z)根据连续性假设,弹性体在变形前和变形后仍保持为连续体。弹性体中某点在变形过程中由M(x,y,z)移动至M(x,y,z),这一过程也是连续的,为 x、y、z的单值连续函数形变和位移之间的关系:位移确定位移确定形变完全确定:形变完全确定:从物理概念看,各点的位置确定,则微分线段上的形变确定。从数学推导看,位移函数确定,则其导数(形变)确定。形变确定,位移不完全确定形变确定,位移不完全确定:从物理概念看,、确定,物体还可作刚体位移。从数学推导看,、确定,求位移是积分运算,出现待定函数。应力 应变 位移弹性力学各个量之间的关系平衡方程物理方程几何方程外力弹性力学分析过程中:通过
10、静力平衡、几何变形和本构关系建立起外力、应力、应变、位移之间相互关联。再必须根据已知物理量,(一般外力、结构几何形状和约束条件等),推导和确定基本未知量(应力、应变、位移。1.4弹性力学基本方程1.平衡方程(应力外力之间的关系)2.物理方程(应变应力之间的关系)3.几何方程(柯西方程)(应变位移之间的关系)4、变形协调方程5、边界条件如果物体表面的面力已知,则称为应力边界条件:第一类边界条件如果物体表面的位移已知,则称为位移边界条件:第二类边界条件混合边界条件=第一类+第二类5、边界条件应力边界条件:位移边界条件:外法线的方向余弦方程数量:平衡方程3个物理方程6个几何方程6个合计15未知量:应
11、力分量6个应变分量6个位移分量3个u、v、w合计15空间问题第二章弹性力学平面问题2.1平面应力问题2.2平面应变问题2.3平面问题的基本方程2.1平面应力问题1、平面应力问题的概念平面应力问题讨论的弹性体为薄板。薄壁厚度远小于结构另外两个方向的尺度。薄板的中面为平面,其所受外力,包括体力均平行于中面O-xy面内,并沿厚度方向z不变。而且薄板的两个表面不受外力作用。平面应力问题几何特征薄壁厚度为h远小于结构另外两个方向的尺寸等厚度中心层平直受力特征外力平行于中心层外力沿厚度不变化根据薄板的表面面力边界条件,即表面不受外力作用,则由于板很薄,外力沿厚度均匀分布,因此应力分量也沿厚度均匀分布,应力
12、分量不随z改变。2、平面应力问题的应力应力分量应变分量3、平面应力问题应力、应变1平面应变问题的概念弹性体是具有很长的纵向轴的柱形物体,横截面大小和形状沿轴线长度不变;作用外力与纵向轴垂直,并且沿长度不变;柱体的两端受固定约束。可以认为柱体是无限长的。如果从中任取一个横截面,则柱形物体的形状和所受载荷将对此横截面是对称的。因此物体变形时,横截面上的各点只能在其自身平面内移动。2.2平面应变问题几何特征一个尺寸远大于结构另外两个方向的尺寸中心轴平直沿中心轴截面不变化受力特征外力垂直于中心轴外力沿中心轴长度方向不变化平面应变问题2、平面应变问题的位移沿纵向轴的位移恒等于零;由于无限长,所以任一个横
13、截面都是一样的,与z轴无关。只要是x、y坐标函数应力分量应变分量3、平面应变问题的应力、应变2.3平面问题的基本方程1.平衡方程(应力外力之间的关系)2.几何方程(应变位移之间的关系)3.物理方程(应变应力之间的关系)平面应力与平面应变问题的:平衡方程、几何方程相同。但物理方程不同。从空间问题推得。平面应力的物理关系平面应力的物理关系平面应变的物理关系平面应变的物理关系平面应变问题平面应力问题z向应力分量s z=n(s x+s y)s z0z向位移分量w0w0正应变分量二者主要不同在于z向应变,位移和正应力的计算公式两种平面问题的区别两种平面问题的内在关系平面应力平面应变平面应力平面应变平面应
14、变平面应力两种平面问题的内在关系平面应力平面应变平面应力平面应变4变形协调方程平面应力平面应变由6个简化为1个调和方程方程数量:平衡方程2个物理方程3个几何方程3个合计8未知量:应力分量3个应变分量3个位移分量2个u、v合计8平面问题第三章弹性力学问题求解方法简述应力 应变 位移弹性力学各个量之间的关系平衡方程物理方程几何方程外力3.1概述根据几何方程和本构方程可见:位移、应力和应变分量之间不是相互独立的。假如已知位移分量,通过几何方程可以得到应变分量,然后通过物理方程可以得到应力分量。如果已知应力分量,通过物理方程得到应变分量,再由几何方程的积分求出位移分量,不过这时的应变分量必须满足一组补
15、充方程,即变形协调方程。应力 应变 位移位移解法:若以位移函数作为基本未知量求解,根据物理方程和几何方程,应力分量及平衡方程均由位移分量表达;应力解法:若以应力函数作为基本未知量,称为应力解法,对于应力解法,应力分量必须满足平衡微分方程和变形协调方程;混合解法:若以位移分量和应力分量作为基本未知量,通过物理方程中消去应变分量,表述基本方程,称为混合解法。基本方程的求解方法弹性力学是对整个研究对象建立平衡方程、几何方程、物理方程,再根据外力作用下求整体的应力、应变、位移。解答的途径有两大类:1.精确解(解析解、理论解法)逆法、半逆法、复变函数法、级数法、特殊函数法等2.近似解法(数值解法)1位移
16、解法当位移分量作为基本未知函数求解时,变形协调方程是自然满足的。根据物理方程和几何方程,可以得到:以位移表示的平衡微分方程,称为拉梅(拉梅(Lam)方程。)方程。拉普拉斯运算符号,3.2解析解法2应力法主要介绍应力函数法,应力函数法,称为艾里(Airy)应力函数。设应力表示的变形协调方程双调和方程双调和方程应力函数(1)一次多项式一次多项式应力函数对应无应力的应力状态。这个结论说明在应力函数中增加或减少一个x,y的线性函数,将不影响应力分量的值。(2)二次多项式如仅a,b,c0,分别表示单向拉伸或者纯剪切应力状态。(3)三次多项式如果仅考虑d不为零的情况,即a=b=c=0,其对应于矩形梁的纯弯
17、曲应力状态。解析解的难点:弹性力学研究对象是弹性体,形体复杂,是偏微分方程的边值问题。在数学上求解困难重重,除了少数特殊边界问题,一般弹性体问题很难得到解答。要得到解析解:1、简化形体,譬如材料力学的研究对象是杆件,常微分方程,可以求解;平面问题,忽略次要因素,简化应力状态。2、简化边界约束条件,放松某些限制等。结果:寻求求解偏微分方程在特定条件下的数学解法,而造成所得到的结果并非实际问题的真实状态。结果误差很大,甚至是错误的结论。近似解法(数值解法)差分法加权余量法变分法有限元法(FEM)边界元法(BEM)3.3数值解法有限元法与边界元法的比较离散化,FEM在区域上,BEM在边界上;维数,B
18、EM降维,3D2D;2D1D;通用性,FEM格式统一,BEM特定问题;对使用者数学要求,FEM低,BEM高;目前应用状况,FEM一统天下。1有限元基本思想2离散化(建立计算模型)3位移插值函数4单元分析5等效结点载荷6整体分析7有限元方程求解方法8应力结果9举例第二篇有限元法基础应力 应变 位移弹性力学各个量之间的关系平衡方程物理方程几何方程外力1有限元基本思想应力 应变 位移平衡方程平衡方程放弃物理方程几何方程外力有限元的基本思路能量原理只要位移场确定,就可得到应变、应力。有限元的基本思想:在弹性体内选取足够多、有限个点,假定这些点的位移已知,再用这些假定的位移量描述其它位置点的位移,就得到
19、了用特定点位移表示的弹性体的位移场。这些选定的有代表性的点结点,(node)结点:代表性尖点、拐角、截面改变处等集中载荷作用、位移约束位置等。位移场:某个点(非结点)位移不是由所有结点位移来表述的,而是划分成小区域/小块上的结点来表示的,这些小区域/小块单元。有限元处理问题的方法连续体剖分小块(单元),即离散体。有限元法特点:1.概念浅显,容易掌握,可以在不同程度上理解与应用2.通用性强,应用广泛,几乎所有领域;3.计算格式统一,便于编程计算;4.大型通用程序成熟商业化,无需专门知识编程5.先进的前处理,网格自动划分,完善的后处理,可视或动态显示,直观形象。误差难估计2离散化(计算模型)单元的
20、形式是多样的实体单元模型单元类型单元类型维数维数主要应用主要应用杆单元杆单元2-D承受轴向力作用,承受轴向力作用,平面桁架结构3-D空间桁架、网架等梁单元梁单元2-D主要承受横向载荷作用,即承受弯矩;主要承受横向载荷作用,即承受弯矩;也可也可 横向横向+轴向轴向3-D固体固体2-D平面应力、平面应变问题:平面应力、平面应变问题:三角形、四边形3-D一般三维(空间)问题:一般三维(空间)问题:四面体、八面体板壳板壳2-D主要承受横向载荷作用主要承受横向载荷作用三角形、四边形3-D2.1 单元类型与作用单元类型与作用杆单元杆单元梁单元梁单元二维单元二维单元线性单元线性单元二次单元二次单元三维单元三
21、维单元线性单元线性单元二次单元二次单元板壳单元板壳单元2.2离散化应注意的问题:首要的问题是根据结构的几何特点、受力特征选择合理的单元形式。对称性的利用,在划分单元之前,有必要先研究一下计算对象的对称或反对称的情况,以便确定是取整个物体,还是部分物体作为计算模型。取四分之一作为计算模型(以平面三角形单元为例)1.共边:覆盖求解区域,单元间既不允许相互重叠,也不允许相互脱开;2.共点:任意三角形的顶点必须是相邻单元的顶点,不能为相邻单元的内点。3.边长接近:单元的边长尽可能接近,采用锐角三角形4.数目与精度兼顾:单元划分细,计算精度越高,但结点数增加,计算时间加长。单元大小过渡,应力梯度大的区域
22、单元尺寸小,应力变化小的区域,单元可以划分大些。或在初步计算的基础上对于高应力区,在进一步细化网格,进行二次分析。5.适当简化。不可以不可以可以可以较差较差较好较好节点编号顺序节点编号顺序在进行节点编号时,应该注意要尽量使同一单元的相邻节点的号码差尽可能地小,以便最大限度地缩小刚度矩阵的带宽,节省存储、提高计算效率。平面问题的半带宽为 B=2(d+1)3位移模式要求:要求:i、j、m按逆时针排序按逆时针排序单元的结点位移向量单元的结点位移向量用来描述单元内各点位移变化规律的函数,称为位移模式三角形单元的位移模式假定为位移模式:位移模式矩阵表达:位移模式通式单元内任一点的位移;单元内任一点的位移
23、;单元的结点位移向量;单元的结点位移向量;单元的形函数矩阵。单元的形函数矩阵。形函数的性质面积坐标形函数与面积坐标的关系三角形的面积位移模式反映了单元内任意一点的位移与结点位移之间的关系。是有限元计算精度的关键。4单元分析4.1单元上任意一点的应变4.2单元上任意一点的应力4.3单元的能量4.4单元刚度矩阵的性质4.1单元上任意一点的应变几何方程或写成通式B矩矩阵阵叫叫做做单单元元几几何何矩矩阵阵,反映了单元内任意一点的应变分量与结点位移之间的关系几何矩阵几何矩阵B中的每个元素,中的每个元素,均为常数,它们由结点坐标确定。单元内任意一点P的应变分量与坐标(x,y)无关,说明单元中应变是常量。4
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