弹性力学徐芝纶版.pptx
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1、第一节第一节 平面应力问题和平面应变问题平面应力问题和平面应变问题第二节第二节 平衡微分方程平衡微分方程第三节第三节 几何方程几何方程 刚体位移刚体位移第四节第四节 物理方程物理方程第六节第六节 边界条件边界条件第五节第五节 平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态第二章 平面应力问题和平面应变问题第七节第七节 圣维南原理及其应用圣维南原理及其应用第八节第八节 按位移求解平面问题按位移求解平面问题第九节第九节 按应力求解平面问题按应力求解平面问题 相容方程相容方程第十节第十节 常应力情况下的简化常应力情况下的简化 应力函数应力函数第二章 平面应力问题和平面应变问题 弹性力学平面问题共有
2、应力、应变和弹性力学平面问题共有应力、应变和位移位移8 8个未知函数,且均为个未知函数,且均为 。2-12-1平面应力问题和平面应变问题平面应力问题和平面应变问题平面应力 任何弹性体都是三维物体三维物体,所以任何一个弹性力学问题都是空间问题空间问题。弹性力学空间问题,物体所占区域中每一点处可以定义3个位移分量位移分量、6个应变分量应变分量、6 个应力分量应力分量,共1515个未知量,都是 的函数。第二章 平面应力问题和平面应变问题 (4 4)约束约束作用于板边,平行于板的中面,作用于板边,平行于板的中面,沿板厚不变。沿板厚不变。(3 3)面力面力作用于板边,平行于板的中面,作用于板边,平行于板
3、的中面,沿板厚不变;沿板厚不变;(2 2)体力体力作用于体内,平行于板的中面,作用于体内,平行于板的中面,沿板厚不变;沿板厚不变;条件是:条件是:第一种:平面应力问题第一种:平面应力问题(Planestressproblem)平面应力 (1 1)等厚度的)等厚度的薄板薄板;坐标系坐标系第二章 平面应力问题和平面应变问题简化为平面应力问题:简化为平面应力问题:故只有平面应力故只有平面应力 存在。存在。由于薄板很薄,应力是连续变化的,由于薄板很薄,应力是连续变化的,又无又无z向外力,可认为:向外力,可认为:平面应力(1 1)两板面上无面力和约束作用,故)两板面上无面力和约束作用,故第二章 平面应力
4、问题和平面应变问题 所以归纳为平面应力问题:所以归纳为平面应力问题:a.a.应力中只有平面应力应力中只有平面应力 存在;存在;b.b.且仅为且仅为 。平面应力(2 2)由于板为等厚度,外力、约束沿)由于板为等厚度,外力、约束沿z z向向不变,故应力不变,故应力 仅为仅为 。第二章 平面应力问题和平面应变问题如:弧形闸门闸墩计算简图:平面应力深梁计算简图:F第二章 平面应力问题和平面应变问题因表面无任何面力,因表面无任何面力,平面应力AB例题例题1 1:试分析试分析ABAB薄层中的应力状态薄层中的应力状态。故接近平面应力问题。故接近平面应力问题。故表面上,有:故表面上,有:在近表面很薄一层内:在
5、近表面很薄一层内:第二章 平面应力问题和平面应变问题(2 2)体力体力作用于体内,作用于体内,平行于横截面,沿柱体长度方向不变;平行于横截面,沿柱体长度方向不变;平面应变第二种:平面应变问题第二种:平面应变问题 (Planestrainproblem)条件是:条件是:(1 1)很长的)很长的常截面柱体常截面柱体;(3 3)面力面力作用于柱面,作用于柱面,平行于横截面,沿柱体长度方向不变;平行于横截面,沿柱体长度方向不变;(4 4)约束约束作用于柱面,作用于柱面,平行于横截面,沿柱体长度方向不变。平行于横截面,沿柱体长度方向不变。坐标系坐标系第二章 平面应力问题和平面应变问题 故任何故任何z z
6、 面(截面)均为对称面。面(截面)均为对称面。平面应变(1 1)截面、外力、约束沿)截面、外力、约束沿z z 向不变,外力、约束向不变,外力、约束 平行平行xyxy面,柱体非常长;面,柱体非常长;简化为平面应变问题:简化为平面应变问题:第二章 平面应力问题和平面应变问题(2 2)由于截面形状、体力、面力及约束沿)由于截面形状、体力、面力及约束沿 向均不变,故应力、应变和位移均为向均不变,故应力、应变和位移均为 。平面应变第二章 平面应力问题和平面应变问题 所以归纳为平面应变问题:所以归纳为平面应变问题:a.a.应变中只有平面应变分量应变中只有平面应变分量 存在;存在;b.b.且仅为且仅为 。平
7、面应变第二章 平面应力问题和平面应变问题例如:平面应变隧道挡土墙oyxyox第二章 平面应力问题和平面应变问题且仅为且仅为 。故只有故只有 ,本题中:本题中:平面应变oxyz例题例题2 2:试分析薄板中的应变状态。:试分析薄板中的应变状态。故为平面应变问题。故为平面应变问题。第二章 平面应力问题和平面应变问题222 2平衡微分方程平衡微分方程定义 平衡微分方程平衡微分方程(Differentialequationsofequilibrium)-表示物体内任一点的微分体的平衡条件。第二章 平面应力问题和平面应变问题 在任一点(x,y)取出一微小的平行六面体 ,作用于微分体上的力:体力:体力:。定
8、义应力:作用于各边上,应力:作用于各边上,并表示出正面上并表示出正面上 由坐标增量引起由坐标增量引起 的的应力增量应力增量。第二章 平面应力问题和平面应变问题应用的基本假定应用的基本假定:连续性假定应力用连续函数来表示。小变形假定用变形前的尺寸代替变 形后的尺寸。第二章 平面应力问题和平面应变问题列出平衡条件列出平衡条件:合力=应力面积,体力体积;以正向物理量来表示。平面问题中可列出3个平衡条件。平衡条件平衡条件第二章 平面应力问题和平面应变问题其中一阶微量抵消,并除以 得:,同理可得:平衡条件平衡条件第二章 平面应力问题和平面应变问题 当 时,得切应力互等定理,得平衡条件平衡条件第二章 平面
9、应力问题和平面应变问题 适用的条件-连续性,小变形;说明说明对平衡微分方程的说明:对平衡微分方程的说明:代表A中所有点的平衡条件,因位(x,y)A;应力不能直接求出;对两类平面问题的方程相同。第二章 平面应力问题和平面应变问题理论力学考虑整体 的平衡(只决定整体的运动状态)。说明说明比较:材料力学考虑有限体 的平衡(近似)。弹性力学考虑微分体 的平衡(精确)。第二章 平面应力问题和平面应变问题 当 均平衡时,保证 ,平衡;反之则不然。说明说明 所以弹力的平衡条件是严格的,并且是精确的。第二章 平面应力问题和平面应变问题理力(V)材力()弹力()hVdxdydx第二章 平面应力问题和平面应变问题
10、思考题思考题1.试检查,同一方程中的各项,其量纲 必然相同(可用来检验方程的正确性)。2.将条件 ,改为对某一角点的 ,将得出什么结果?3.微分体边上的应力若考虑为不均匀分布,将得出什么结果?第二章 平面应力问题和平面应变问题几何方程几何方程(Geometricalequations)表示任一点的微分线段上形变与位移之间的关系。223 3几何方程刚体位移几何方程刚体位移定义定义第二章 平面应力问题和平面应变问题变形前位置:变形后位置:各点的位置如图。通过点P(x,y)作两正坐标向的正坐标向的微分线段定义定义第二章 平面应力问题和平面应变问题 应用基本假定:连续性;小变形。当很小时,假定假定第二
11、章 平面应力问题和平面应变问题假定假定由位移求形变:PA 线应变PA 转角PB 线应变PB 转角同理,第二章 平面应力问题和平面应变问题 适用于区域内任何点,因为(x,y)A;对几何方程的说明:所以平面问题的几何方程平面问题的几何方程为:说明说明 适用条件:a.连续性;b.小变形。应用小变形假定,略去了高阶小量 线性的几何方程;第二章 平面应力问题和平面应变问题 几何方程是变形后物体连续性条件 的反映和必然结果。形变和位移之间的关系:位移确定位移确定 形变完全确定:形变完全确定:从物理概念看,各点的位置确定,则微分线段上的形变确定。说明说明 从数学推导看,位移函数确定,则其导数(形变)确定。第
12、二章 平面应力问题和平面应变问题 从物理概念看,确定,物体还可作刚体位移。从数学推导看,确定,求位移是积分运算,出现待定函数。形变确定,位移不完全确定形变确定,位移不完全确定:形变与位移的关系形变与位移的关系第二章 平面应力问题和平面应变问题由 ,两边对y积分,由 ,两边对x积分,例:若例:若 ,求位移:求位移:形变与位移的关系形变与位移的关系代入第三式第二章 平面应力问题和平面应变问题分开变量,因为几何方程第三式对任意的(x,y)均应满足。当x(y)变化时,式(b)的左,右均应=常数 ,由此解出 。可得形变与位移的关系形变与位移的关系第二章 平面应力问题和平面应变问题物理意义:形变与位移的关
13、系形变与位移的关系表示物体绕原点的刚体转动。表示x,y向的刚体平移,第二章 平面应力问题和平面应变问题结论结论 形变确定,则与形变有关的位移可以形变确定,则与形变有关的位移可以确定,而与形变无关的刚体位移确定,而与形变无关的刚体位移(Rigid-bodydisplacements)则未定。则未定。须通过边界上的约束条件来确定 。第二章 平面应力问题和平面应变问题思考题思考题1.试证明微分体绕z轴的平均转动分量是2.当应变为常量时,试求出对应的位移分量。第二章 平面应力问题和平面应变问题物理方程(Physicalequations)表示(微分体上)应力和形变之间的物理关系。定义即为广义胡克定律(
14、GeneralizedHookeslaw):224 4物理方程物理方程第二章 平面应力问题和平面应变问题胡克胡克(16351703)英国物理学家。英国物理学家。胡克在胡克在1653年进入牛津大学,年进入牛津大学,1665年成为格雷沙姆学院教授。年成为格雷沙姆学院教授。胡克胡克建立了弹性体变形与力成正比的定律建立了弹性体变形与力成正比的定律。胡克胡克对万有引力定律的发现起了重要作用对万有引力定律的发现起了重要作用。1679年他写信给牛顿,年他写信给牛顿,信中认为天体的运动是由于有中心引力拉住的结果,而且认为引力与距离信中认为天体的运动是由于有中心引力拉住的结果,而且认为引力与距离平方应成反比。牛
15、顿对此没有复信,但接受了胡克的观点。平方应成反比。牛顿对此没有复信,但接受了胡克的观点。1686年牛顿将年牛顿将载有万有引力定律的载有万有引力定律的自然哲学的数学原理自然哲学的数学原理卷一的稿件送给英国皇家学卷一的稿件送给英国皇家学会时,胡克希望牛顿在序言中能对他的劳动成果会时,胡克希望牛顿在序言中能对他的劳动成果“提一下提一下”,但遭到牛顿,但遭到牛顿的断然拒绝。这是后来的断然拒绝。这是后来胡克控告牛顿剽窃他的成果胡克控告牛顿剽窃他的成果的来由。的来由。胡克胡克其他科学贡献很多其他科学贡献很多。他用显微镜观察软木结构中的。他用显微镜观察软木结构中的“微孔微孔”或或“细细胞胞(cell)”(1
16、665年发表),这是生物学中年发表),这是生物学中“细胞细胞”一词的起源。他在一词的起源。他在1672年发现光的衍射现象,并采用光波理论解释这种现象。年发现光的衍射现象,并采用光波理论解释这种现象。1666年伦敦大火以年伦敦大火以后,他在重建城市中设计了一些重要建筑物。后,他在重建城市中设计了一些重要建筑物。第二章 平面应力问题和平面应变问题泊松泊松(Poisson,Simeon-Denis)()(1781-1840),),法国数学家、法国数学家、物理学家和力学家物理学家和力学家。泊松一生从事数学研究和教学,他的主要工作是泊松一生从事数学研究和教学,他的主要工作是将数学应用将数学应用 于力学和
17、物理学中于力学和物理学中。在固体力学中,在固体力学中,泊松以材料的横向变形系数泊松以材料的横向变形系数,即泊松比而知,即泊松比而知 名。名。泊松在数学方面贡献很多。最突出的是泊松在数学方面贡献很多。最突出的是泊松分布泊松分布。他还研究过。他还研究过定积分、傅里叶级数、数学物理方程等。除泊松分布外,还有许多数学名词定积分、傅里叶级数、数学物理方程等。除泊松分布外,还有许多数学名词是以他名字命名的,如泊松积分、泊松求和公式、是以他名字命名的,如泊松积分、泊松求和公式、泊松方程泊松方程、泊松定理泊松定理等。等。在数学物理方面:在数学物理方面:泊松解决了许多热传导方面的问题泊松解决了许多热传导方面的问
18、题。他解决了许多静。他解决了许多静电学和静磁学的问题;奠定了偏向理论的基础;研究了膛外弹道学和水力学电学和静磁学的问题;奠定了偏向理论的基础;研究了膛外弹道学和水力学的问题;提出了弹性理论方程的一般积分法的问题;提出了弹性理论方程的一般积分法.他还用变分法解决过弹性理论他还用变分法解决过弹性理论的问题的问题.在引力学中,他发表了在引力学中,他发表了关于球体引力关于球体引力和和关于引力理论方程关于引力理论方程的论的论文文.第二章 平面应力问题和平面应变问题物理方程的说明物理方程的说明:说明说明 正应力只与线应变有关;切应力只与切 应变有关。是线性的代数方程;是总结实验规律得出的;适用条件理想弹性
19、体;第二章 平面应力问题和平面应变问题 物理方程的两种形式:物理方程的两种形式:应变用应力表示,用于 按应力求解;应力用应变(再用位移表示)表示,用于按位移求解。说明说明第二章 平面应力问题和平面应变问题平面应力问题的物理方程:平面应力问题的物理方程:代入 ,得:在z方向平面应力第二章 平面应力问题和平面应变问题 代入 得平面应变问题的物理方程平面应变问题的物理方程平面应变在z方向,第二章 平面应力问题和平面应变问题平面应力物理方程平面应变物理方程:变换关系变换关系:平面应变物理方程平面应力物理方程:第二章 平面应力问题和平面应变问题名名 称称基本方程的表达式基本方程的表达式表示物理量的关系表
20、示物理量的关系基本假定基本假定平衡微分平衡微分方程方程应力分量应力分量与与体力分体力分量量间的关系间的关系连续性连续性小变形小变形几何方程几何方程应变分量应变分量与与位移分位移分量量间的关系间的关系连续性连续性小变形小变形物理方程物理方程应力分量应力分量与与应变分应变分量量间的关系间的关系连续性连续性完全弹性完全弹性均匀性均匀性各向同性各向同性平面应力问题平面应力问题平面问题的基本方程、物理关系及基本假定平面问题的基本方程、物理关系及基本假定第二章 平面应力问题和平面应变问题名名称称平面应力问题平面应力问题平面应变问题平面应变问题未知量未知量已知量已知量未知量未知量已知量已知量位移位移应变应变
21、应力应力外力外力体力、面力的作用面平行于体力、面力的作用面平行于oxy平平面,外力沿板厚均匀分布。面,外力沿板厚均匀分布。体力、面力的作用面平行于体力、面力的作用面平行于oxy平面,外力沿轴无变平面,外力沿轴无变化。化。形状形状Z向尺寸远小于板面尺寸(等厚向尺寸远小于板面尺寸(等厚度薄板)度薄板)Z向尺寸远大于向尺寸远大于oxy平面内平面内的尺寸(等截面长柱体)的尺寸(等截面长柱体)实质实质若弹性体的若弹性体的仅是仅是x,y的函数,的函数,则,则此问题为平面应力问题此问题为平面应力问题若弹性体的若弹性体的仅是仅是x,y的函数,的函数,则此问题为平面应变问题则此问题为平面应变问题两类平面问题的基
22、本特征两类平面问题的基本特征第二章 平面应力问题和平面应变问题思考题 1.试证:由主应力可以求出主应变,且两者方向一致。2.试证:3个主应力均为压应力,有时可以产生拉裂现象。3.试证:在自重作用下,圆环(平面应力问题)比圆筒(平面应变问题)的变形大。第二章 平面应力问题和平面应变问题 已知坐标面上应力 ,求斜面上的应力。问题的提出:225 5平面问题中一点的应力状态平面问题中一点的应力状态问题问题第二章 平面应力问题和平面应变问题求解:取出一个三角形微分体(包含 面,面,面),边长问题问题斜面应力表示:斜面应力表示:l=cos(n,x)m=cos(n,y)第二章 平面应力问题和平面应变问题由平
23、衡条件,并略去高阶分量体力项,得(1)求求(,)(a a)斜面应力斜面应力(2)求求()将 向法向,切向投影,得第二章 平面应力问题和平面应变问题 设某一斜面为主面,则只有(3)求主应力求主应力(Principalstresses)斜面应力斜面应力 表示主应力表示主应力主平面:主平面:切应力等于零的截面称为主平面切应力等于零的截面称为主平面 主应力:主应力:主平面上的正应力称为该点的主应力主平面上的正应力称为该点的主应力 主方向:主方向:主平面的法线方向即为主方向主平面的法线方向即为主方向该面全应该面全应力在坐标轴力在坐标轴上的投影上的投影第二章 平面应力问题和平面应变问题(c)第二章 平面应
24、力问题和平面应变问题将x,y放在 方向,列出任一斜面上应力公式,可以得出(设 )(4)求最大,最小应力求最大,最小应力最大,最小应力最大,最小应力说明:以上均应用弹力符号规定导出。第二章 平面应力问题和平面应变问题 位移边界条件位移边界条件(Displacementboundaryconditions)设在 部分边界上给定位移分量 和 ,则有(在 上)。(a)定义 边界条件边界条件(Boundaryconditions)表示在边界上位移与约束,或应力与面力之间的关系。位移边界条件26边界条件第二章 平面应力问题和平面应变问题 若为简单的固定边,则有位移边界条件的说明:(在 上)。(b)它是在边
25、界上物体保持连续性的条 件,或位移保持连续性的条件。它是函数方程,要求在 上每一点,位移与对应的约束位移相等。第二章 平面应力问题和平面应变问题在23 中,通过三角形微分体的平衡条件,导出坐标面应力与斜面应力的关系式,应力边界条件应力边界条件(Stressboundaryconditions)设在 上给定了面力分量 (在A中)。(c)应力边界条件第二章 平面应力问题和平面应变问题将此三角形移到边界上,并使斜面与边界面重合,则得应力边界条件:第二章 平面应力问题和平面应变问题 它是边界上微分体的静力平衡条件;说明应力边界条件的说明:在A中每一点均成立.它是函数方程,要求在边界上每一点s 上均满足
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