弹性力学讲义徐芝纶版.pptx
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1、第一节第一节 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程第二节第二节 极坐标中的几何方程及物理方程极坐标中的几何方程及物理方程第三节第三节 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程第四节第四节 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式第五节第五节 轴对称应力和相应的位移轴对称应力和相应的位移第六节第六节 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力第八节第八节 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中第九节第九节 半平面体在边界上受集中力半平面体在边界上受集中力第十节第十节 半平面体在边界上受分布力半平面体在边界上受分布力例题例题第七节第七节 压力隧洞压力隧洞区别:直角坐标中,x和y
2、坐标线都是直线,有 固定的方向,x 和y 的量纲均为L。极坐标中,坐标线(=常数)和 坐标线(=常数)在不同点有不同的方向;相同:两者都是正交坐标系。直角坐标直角坐标(x,y)与极坐标与极坐标 比较:比较:坐标线为直线,坐标线为圆弧曲线;的量纲为L,的量纲为1。这些区别将引起弹性力学基本方程的区别。对于圆形,弧形,扇形及由径向线和环向围成的物体,宜用极坐标求解。用极坐标表示边界简单,使边界条件简化。应用41 极坐标中的平衡微分方程 在A内任一点(,)取出一个微分体,考虑其平衡条件。微分体-由夹角为 的两径向线和距离 为 的两环向线围成。两 面不平行,夹角为 ;两 面面积不等,分别为 ,。从原点
3、出发为正,从 x 轴向 y 轴方向 转动为正。注意:平衡条件:平衡条件:平衡条件考虑通过微分体形心 C 的 向及矩的平衡,列出3个平衡条件:注意:-通过形心C的力矩为0,当 考虑到二阶微量时,得-通过形心C的 向合力为0,整理,略去三阶微量,得同理,由 通过形心C的 向合力为0可得:极坐标下的平衡微分方程:几何方程几何方程-表示微分线段上形变和位移之间的几何关系式。42 几何方程及物理方程 极坐标系中的几何方程可以通过微元变形分析直接推得,也可以采用坐标变换的方法得到。下面讨论后一种方法。根据直角坐标与极坐标之间的关系,有注意:可求得根据张量的坐标变换公式对平面问题:几何方程由此可得比较可知
4、极坐标中的物理方程极坐标中的物理方程 直角坐标中的物理方程是代数方程,且 x 与 y 为正交,故物理方程形式相似。物理方程 极坐标中的物理方程也是代数方程,且与 为正交,平面应力问题的物理方程:平面应力问题的物理方程:物理方程 对于平面应变问题,只须作如下同样变换,边界条件边界条件-应用极坐标时,弹性体的边界面通常均为坐标面,即:边界条件故边界条件形式简单。平面应力问题在极坐标下的基本方程平面应力问题在极坐标下的基本方程物理方程物理方程对于平面应变问题,只须将物理方程作如下的变换即可。以下建立直角坐标系与极坐标系的变换关系,用于:43 极坐标中的应力函数 与相容方程 1、物理量的转换;2、从直
5、角坐标系中的方程导出极坐标 系中的方程。函数函数的变换:将式 或 代入,坐标变量坐标变量的变换:反之 1.1.从直角坐标系到极坐标系的变换从直角坐标系到极坐标系的变换坐标变换或矢量矢量的变换:位移坐标变换将对 的导数,变换为对 的导数:可看成是 ,而 又是 的函数,即 是通过中间变量 ,为 的复合函数。有:坐标变换导数导数的变换:而代入,即得一阶导数的变换公式,一阶导数 ,。展开即得:二阶导数二阶导数的变换公式,可以从式(e)导出。例如二阶导数拉普拉斯算子拉普拉斯算子的变换:由式(f)得二阶导数3.3.极坐标中应力用应力函数极坐标中应力用应力函数 表示表示可考虑几种导出方法:2.2.极坐标中的
6、相容方程极坐标中的相容方程(1)从平衡微分方程直接导出(类似于 直角坐标系中方法)。相容方程应力公式(2)应用特殊关系式,即当x轴转动到与 轴重合时,有:(3)应用应力变换公式(下节)应力公式(4)应用应力变换公式(下节),而代入式(f),得出 的公式。比较两式的 的系数,便得出 的公式。应力公式当不计体力时应力用应力函数表示的公式应力公式4.4.极坐标系中按应力函数极坐标系中按应力函数 求解,应满足求解,应满足:(1)(1)A 内相容方程(2)上的应力边界条件(设全部为应 力边界条件)。(3)(3)多连体中的位移单值条件。按 求解 应力分量不仅具有方向性,还与其作用面有关。应力分量的坐标变换
7、关系:44 应力分量的坐标变换式1、已知 ,求 。(含 )的三角形微分体,厚度为1,如下图 A,考虑其平衡条件。取出一个包含x、y面(含 )和 面得同理,由得 类似地取出包含x 面,y 面和 面的三角形微分体,厚度为1,如图B,考虑其平衡条件,得 应用相似的方法,可得到2、已知 ,求3、可以用前面得到的求一点应力状态的公式推出。4、也可以用应力坐标变换公式得到 轴对称轴对称,即绕轴对称,凡通过此轴的任何面均为对称面。轴对称应力问题:轴对称应力问题:45 轴对称应力和相应的位移轴对称应力问题应力数值轴对称应力数值轴对称-仅为仅为 的函数,的函数,应力方向轴对称应力方向轴对称-展开并两边同乘 得:
8、相应的应力函数 ,所以 应力公式为:(1 1)相容方程的通解 这是一个典型的欧拉方程,引入变量 ,则 。则原方程变为 此方程解的形式为解的形式为代入整理得特征方程为代入整理得特征方程为 由此可得应力函数的通解为(4-10)(2)应力通解应力通解:(4-11)将应变代入几何方程,对应第一、二式分别积分,(3)应变通解:将应力代入物理方程,得 对应的应变分量的通解。应变 也为轴对称。(4)(4)求对应的位移:分开变量,两边均应等于同一常量F,将 代入第三式,由两个常微分方程,其中代入 ,得轴对称应力对应的位移通解,轴对称应力对应的位移通解,I,K为x、y向的刚体平移,H 为绕o点的刚体转动角度。位
9、移通解(4-12)说明说明(2)在轴对称应力条件下,形变也是轴对称 的,但位移不是轴对称的。(3)实现轴对称应力的条件是,物体形状、体力和面力应为轴对称。(1)在轴对称应力条件下,(4-10、11、12),为应力函数、应力和位移的通解,适用于任何轴对称应力问题。说明说明(4)轴对称应力及对应的位移的通解已满足相容方程,它们还必须满足边界条件及多连体中的位移单值条件,并由此求出其系数A、B及C。说明说明(5)轴对称应力及位移的通解,可以用于求解应力或位移边界条件下的任何轴对称问题。(6)对于平面应变问题,只须将 换为 圆环(平面应力问题)和圆筒(平面应变问题)受内外均布压力,属于轴对称应力轴对称
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