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(名师选题)2023年人教版高中数学第一章集合与常用逻辑用语基础知识手册

单选题
1、已知集合A=x∈Nx≤1,B=-1,0,1,2，则A∩B的子集的个数为（    ）
A．1B．2C．3D．4
答案：D
分析：根据集合交集的定义，结合子集个数公式进行求解即可．
由题意A∩B=0,1，因此它的子集个数为4．
故选：D．
2、对与任意集合A，下列各式①∅∈∅，②A∩A=A，③A∪∅=A，④N∈R，正确的个数是（    ）
A．1B．2C．3D．4
答案：C
分析：根据集合中元素与集合的关系，集合与集合的关系及交并运算可判断.
易知①∅∈∅，②A∩A=A，③A∪∅=A，正确
④N∈R，不正确，应该是N⊆R
故选：C.
3、已知集合M={-1,0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N，则P的真子集共有（    ）
A．2个B．3个C．4个D．8个
答案：B
分析：根据交集运算得集合P，再根据集合P中的元素个数，确定其真子集个数即可.
解：∵M={-1,0,1,2,3,4},N={1,3,5}
∴P=1，3，P的真子集是1,{3},∅共3个.
故选：B.
4、下列命题中正确的是（    ）
①∅与0表示同一个集合
②由1，2，3组成的集合可表示为1,2,3或3,2,1
③方程(x-1)2(x-2)=0的所有解的集合可表示为1,1,2
④集合{x∣4<x<5}可以用列举法表示
A．只有①和④B．只有②和③C．只有②D．以上都对
答案：C
分析：由集合的表示方法判断①，④；由集合中元素的特点判断②，③．
解：对于①，由于“0”是元素，而“0”表示含0元素的集合，而 ϕ 不含任何元素，所以①不正确；
对于②，根据集合中元素的无序性，知②正确；
对于③，根据集合元素的互异性，知③错误；
对于④，由于该集合为无限集、且无明显的规律性，所以不能用列举法表示，所以④不正确.
综上可得只有②正确.
故选：C.
5、已知x∈R，则“x-2x-3≤0成立”是“|x-2+x-3|=1成立”的（   ）条件．
A．充分不必要B．必要不充分
C．充分必要D．既不充分也不必要
答案：C
分析：先证充分性，由（x-2）(x-3）≤0 求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简|x-2+x-3|即可，再证必要性，若|x-2+x-3|=1，即|x-2+x-3|=|（x-2）-（x-3）|，再根据绝对值的性质可知（x-2）(x-3）≤0．
充分性：若（x-2）(x-3）≤0，则2≤x≤3，
∴|x-2+x-3|=x-2+3-x=1，
必要性：若|x-2+x-3|=1，又∵|（x-2）-（x-3）|=1，
∴|x-2+x-3|=|（x-2）-（x-3）|，
由绝对值的性质：若ab≤0，则a+b=|a-b|，
∴（x-2）(x-3）≤0，
所以“（x-2）(x-3）≤0成立”是“|x-2+x-3|=1成立”的充要条件，
故选：C．
6、已知集合A=x1x>1，则∁RA=（    ）
A．xx<1B．xx≤0或x≥1
C．{x|x<0}∪{x|x>1}D．{x1≤x}
答案：B
分析：先解不等式，求出集合A，再求出集合A的补集
由1x>1，得1-xx>0，x(1-x)>0，解得0<x<1，
所以A={x0<x<1}，
所以∁RA= xx≤0或x≥1
故选：B
7、设x∈R，则“1<x<2”是“-2<x<2”的（    ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要
答案：A
分析：根据集合{x|1<x<2}是集合{x|-2<x<2}的真子集可得答案.
因为集合{x|1<x<2}是集合{x|-2<x<2}的真子集，
所以“1<x<2”是“-2<x<2”的充分不必要条件.
故选：A
小提示：名师点评本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：
（1）若p是q的必要不充分条件，则q对应集合是p对应集合的真子集；
（2）p是q的充分不必要条件， 则p对应集合是q对应集合的真子集；
（3）p是q的充分必要条件，则p对应集合与q对应集合相等；
（4）p是q的既不充分又不必要条件， q对的集合与p对应集合互不包含．
8、命题“∀x<0,x2+ax-1≥0”的否定是（    ）
A．∃x≥0,x2+ax-1<0B．∃x≥0,x2+ax-1≥0
C．∃x<0,x2+ax-1<0D．∃x<0,x2+ax-1≥0
答案：C
分析：根据全称命题的否定是特称命题判断即可.
根据全称命题的否定是特称命题，所以“∀x<0,x2+ax-1≥0”的否定是“∃x<0,x2+ax-1<0”.
故选：C
9、已知U=R，M=xx≤2，N=x-1≤x≤1，则M∩∁UN=（    ）
A．xx<-1或1<x≤2B．x1<x≤2
C．xx≤-1或1≤x≤2D．x1≤x≤2
答案：A
分析：先求∁UN，再求M∩∁UN的值.
因为∁UN={xx<-1或x>1}，所以M∩CUN={xx<-1或1<x≤2}.
故选：A.
10、已知集合A={(x,y)|x,y∈N*,y≥x}，B={(x,y)|x+y=8}，则A∩B中元素的个数为（    ）
A．2B．3C．4D．6
答案：C
分析：采用列举法列举出A∩B中元素的即可.
由题意，A∩B中的元素满足{y≥xx+y=8，且x,y∈N*，
由x+y=8≥2x，得x≤4，
所以满足x+y=8的有(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)，
故A∩B中元素的个数为4.
故选：C.
【点晴】本题主要考查集合的交集运算，考查学生对交集定义的理解，是一道容易题.
11、已知集合A=x,y∣2x-y+1=0,B=x,y∣x+ay=0，若A∩B=∅，则实数a=（    ）
A．-12B．2C．-2D．12
答案：A
分析：根据集合的定义知2x-y+1=0x+ay=0无实数解．由此可得a的值．
因为A∩B=∅，所以方程组2x-y+1=0x+ay=0无实数解．所以12=a-1≠0，a=-12．
故选：A．
12、等比数列an的公比为q，前n项和为Sn，设甲：q>0，乙：Sn是递增数列，则（    ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
答案：B
分析：当q>0时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当Sn是递增数列时，必有an>0成立即可说明q>0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．
由题，当数列为-2,-4,-8,⋯时，满足q>0，
但是Sn不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若Sn是递增数列，则必有an>0成立，若q>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q>0成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
小提示：在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．
双空题
13、已知全集U=R，集合A=x-1≤x≤3，B=xx≤2，则A∪B=_______，A∩∁UB__________
答案：     xx≤3##-∞,3     x2<x≤3##2,3
分析：求出B的补集，根据并集，交集的定义求出结论即可.
因为A=x-1≤x≤3，B=xx≤2， 所以A∪B=xx≤3,
所以∁UB=xx>2，所以A∩∁UB=x2<x≤3.
所以答案是：xx≤3；x2<x≤3.
14、若集合A=x-1<x<5，B=x|x≤1或x≥4，则A∪B=______，A∩B=______．
答案：     R     x|-1<x≤1或4≤x<5
分析：根据集合的交并集运算求解即可得答案
解： 因为A=x-1<x<5，B=x|x≤1或x≥4，
所以A∪B=R，A∩B=x|-1<x≤1或4≤x<5
所以答案是：R；x|-1<x≤1或4≤x<5
15、在国庆70周年庆典活动中，东城区教育系统近2000名师生参与了国庆中心区合唱、27方阵群众游行、联欢晚会及7万只气球保障等多项重点任务．设A={x|x是参与国庆中心区合唱的学校}，B={x|x是参与27方阵群众游行的学校}，C={x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．请用上述集合之间的运算来表示：①既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为_____；②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为_____．
答案：     A∩B     A∪C
解析：①利用交集定义直接求解,②利用并集定义直接求解．
解：①设A={x|x是参与国庆中心区合唱的学校},
B={x|x是参与27方阵群众游行的学校},
C={x|x是参与国庆联欢晚会的学校}．
既参与国庆中心区合唱又参与27方阵群众游行的学校的集合为A∩B．
所以答案是：A∩B．
②至少参与国庆中心区合唱与国庆联欢晚会中一项的学校的集合为A∪C．
所以答案是：A∪C．
小提示：本题考查并集、交集的求法,考查并集、交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题．
16、若U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3}，B={5，6，7}，则∁UA=___，(∁UA)∩(∁UB)=(=___.
答案：     4,5,6,7,8     4,8
分析：根据集合的补集、交集运算即可得到结论．
∵U={1，2，3，4，5，6，7，8}，
A={1，2，3}，B={5，6，7}，
∁UA= 4,5,6,7,8
∴(∁UA)∩(∁UB)={4，5，6，7，8}∩{1，2，3，4，8}={4，8}，
所以答案是：4,5,6,7,8，4,8．
小提示：本题主要考查集合的补集、交集运算，比较基础．
17、设全集U=R，集合A={x|x<2},集合B={x|x<1}，则集合∁UA=___________，集合∁UA∪B=___________.
答案：     2,+∞     -∞,1∪2,+∞
解析：利用集合的交集和并集进行求解即可
A={x|x<2}, ∁UA=xx≥2 =2,+∞；
B={x|x<1}，∁UA∪B= -∞,1∪2,+∞；
所以答案是：①2,+∞；②-∞,1∪2,+∞
解答题
18、已知集合A=xx≤-3或x≥-1，B=x|2m<x<m-1，且A∪B=A，求m的取值范围．
答案：m≤-2或m≥-1
分析：因为A∪B=A，所以B⊆A，分别讨论B=ϕ和B≠ϕ两种情况然后求并集.
解：因为A∪B=A，所以B⊆A，
当B=ϕ时，2m≥m-1，解得：m≥-1；
当B≠ϕ时，2m<m-1m-1≤-3或2m<m-12m≥-1解得：m≤-2或m∈ϕ
所以m≤-2或m≥-1.
19、已知集合A=x3≤x<7，B=x2<x<10，C=xx<a.
(1)求A∪B，∁RA∩B；
(2)若A∩C≠∅，求a的取值范围.
答案：(1)A∪B=x2<x<10，(∁RA)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}；
(2)3,+∞.
分析：（1）直接利用集合并集、交集和补集的定义求解；
（2）分析A∩C≠∅即得解.
（1）
解：因为A＝{x|3≤x<7}，B＝{x|2<x<10}，
所以A∪B=x2<x<10．
因为A＝{x|3≤x<7}，
所以∁RA={x|x<3或 x≥7}
则(∁RA)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}.
（2）
解：因为A＝{x|3≤x<7}，C＝{x|x<a}，且A∩C≠∅，
所以a>3.
所以a的取值范围为3,+∞．
20、已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．
(1)若M⊆N，求实数a的取值范围；
(2)若M⊇N，求实数a的取值范围．
答案：(1)a∈∅
(2)a≤3
分析：（1）利用M⊆N，建立不等关系即可求解；
（2）利用M⊇N，建立不等关系即可求解，注意当N＝∅时，也成立
（1）
∵M⊆N，∴a+1≤22a-1≥5，∴a∈∅；
（2）
①若N＝∅，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2时，满足M⊇N．
②若N≠∅，即a≥2时，要使M⊇N成立，
则a+1≥22a-1≤5，解得1≤a≤3，此时2≤a≤3．
综上a≤3．