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三角函数知识点与常见习题类型解法
1、任意角的三角函数：
（1）弧长公式： R为圆弧的半径，为圆心角弧度数，为弧长。
（2）扇形的面积公式： R为圆弧的半径，为弧长。
（3）同角三角函数关系式：
①倒数关系： ②商数关系：，
③平方关系：
（4）诱导公式：（奇变偶不变，符号看象限）所谓奇偶指的是整数的奇偶性；

函 数

2、两角和与差的三角函数：
（1）两角和与差公式：

【注：公式的逆用或者变形】
（2）二倍角公式：

从二倍角的余弦公式里面可得出：降幂公式： ，
（3）半角公式（可由降幂公式推导出）：
， ，

3、三角函数的图像和性质：（其中）
三角函数

图像

定义域

（-∞，+∞）

（-∞，+∞）

值域

[-1,1]

[-1,1]

（-∞，+∞）

最小正周期

奇偶性

奇

偶

奇

单调性

单调递增
单调递减

单调递增

单调递减

单调递增

对称性
对称轴：
对称中心：

对称轴：
对称中心：

对称中心：

零值点

最值点

无
4、函数的图像与性质：
（本节知识考察一般能化成形如图像及性质）
（1）函数和的周期都是
（2）函数和的周期都是
（3）五点法作的简图，设，取0、、、、来求相应的值以及对应的值再描点作图。
（4）关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字母而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
【函数的平移变换】：
① 将图像沿轴向左（右）平移个单位（左加右减）
② 将图像沿轴向上（下）平移个单位（上加下减）

【函数的伸缩变换】：
① 将图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的倍（缩短， 伸长）
② 将图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍（伸长，缩短）

【函数的对称变换】：
①) 将图像绕轴翻折180°（整体翻折）；
（对三角函数来说：图像关于轴对称）
②将图像绕轴翻折180°（整体翻折）；
（对三角函数来说：图像关于轴对称）
③ 将图像在轴右侧保留，并把右侧图像绕轴翻折到左侧（偶函数局部翻折）；
④保留在轴上方图像，轴下方图像绕轴翻折上去（局部翻动）
5、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。
（1）常值代换：特别是用“1”的代换；
如等。

（2）项的分拆与角的配凑。
如分拆项：；
配凑角：；等。

（3）降次与升次；切化弦法。

（4）引入辅助角。
，这里辅助角所在象限由的符号确定，角的值由确定。

【典型例题】：
1、已知，求的值．

解：因为，又，
联立得
解这个方程组得
2、求的值。

解：原式

3、若，求的值．
解：法一：因为
所以
得到，又，联立方程组，解得

所以
法二：因为
所以，
所以，所以，
所以有
4、求证：。

证明：法一：右边＝；
法二：
左边=

5、求函数在区间上的值域。

解：因为，所以，由正弦函数的图象，得到
，所以

6、求下列函数的值域．
（1）； （2）)

解：（1）
=
令，则
利用二次函数的图象得到
(2)
=
令，则
则利用二次函数的图象得到
7、若函数y=Asin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0)的图象的一个最高点为，它到其相邻的最低点之间的图象与x轴交于(6，0)，求这个函数的一个解析式。

解：由最高点为，得到，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x轴交点的间隔是个周期，这样求得，T=16，所以
又由，得到可以取
8、已知函数f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x．
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期； (Ⅱ)若求f(x)的最大值、最小值．数的值域．

解：(Ⅰ)因为f(x)=cos4x－2sinxcosx－sin4x＝(cos2x－sin2x)(cos2x＋sin2x)－sin2x

所以最小正周期为π．
(Ⅱ)若，则，所以当x=0时，f(x)取最大值为当时，f(x)取最小值为
9、已知，求（1）；（2）的值.

解：（1）；
(2)
.
说明：利用齐次式的结构特点（如果不具备，通过构造的办法得到），进行弦、切互化，就会使解题过
程简化。

10、求函数的值域。

解：设，则原函数可化为
，因为，所以
当时，，当时，，
所以，函数的值域为。
11、已知函数；（1）求的最小正周期、的最大值及此时x的集合；（2）证明：函数的图像关于直线对称。

解：

(1)所以的最小正周期，因为，
所以，当，即时，最大值为；
(2)证明：欲证明函数的图像关于直线对称，只要证明对任意，有成立，
因为，
，
所以成立，从而函数的图像关于直线对称。

12 、已知函数y=cos2x+sinx·cosx+1 （x∈R）,
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？

解：（1）y=cos2x+sinx·cosx+1= (2cos2x－1)+ +（2sinx·cosx）+1
=cos2x+sin2x+=(cos2x·sin+sin2x·cos)+
=sin(2x+)+
所以y取最大值时，只需2x+=+2kπ,（k∈Z），即 x=+kπ,（k∈Z）。
所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x=+kπ,k∈Z}
（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：
（i）把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数y=sin(x+)的图像；
（ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；
（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数y=sin(2x+)的图像；
（iv）把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数y=sin(2x+)+的图像。
综上得到y=cos2x+sinxcosx+1的图像。

历年高考综合题
一、选择题：
1、（08全国一6）是（ ）
A、最小正周期为的偶函数 B、最小正周期为的奇函数
C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的奇函数
2、（08全国一9）为得到函数的图象，只需将函数的图像（ ）
A、向左平移个长度单位 B、向右平移个长度单位
C、向左平移个长度单位 D、向右平移个长度单位
3、(08全国二1)若且是，则是（ ）
A、第一象限角 B、第二象限角 C、 第三象限角 D、 第四象限角
4、（08全国二10）．函数的最大值为（ ）
A、1 B、 C、 D、2
5、（08安徽卷8）函数图像的对称轴方程可能是（ ）
A、 B、 C、 D、
6、（08福建卷7）函数y=cosx(x∈R)的图象向左平移个单位后，得到函数y=g(x)的图象，则g(x)的解析式为 ( )
A、-sinx B、sinx C、-cosx D、cosx
7、（08广东卷5）已知函数，则是（ ）
A、最小正周期为的奇函数 B、最小正周期为的奇函数
C、最小正周期为的偶函数 D、最小正周期为的偶函数
8、（08海南卷11）函数的最小值和最大值分别为（ ）
A、 －3，1 B、－2，2 C、－3， D、－2，
9、（08湖北卷7）将函数的图象F向右平移个单位长度得到图象F′，若F′的一条对称轴是直线则的一个可能取值是（ ）
A、 B、 C、 D、
10、（08江西卷6）函数是（ ）
A、以为周期的偶函数 B、以为周期的奇函数
C、以为周期的偶函数 D、以为周期的奇函数
11、若动直线与函数和的图像分别交于两点，则的最大值为 （ ）
A、1 B、 C、 D、2
12、（08山东卷10）已知，则的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
13、08陕西卷1）等于（ ）
A、 B、 C、 D．
14、（08四川卷4） ( )
Ａ、 Ｂ、 Ｃ、 Ｄ、
15、（08天津卷6）把函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）
A、 B、
C、 D、
16、（08天津卷9）设，，，则（ ）
A、 B、 C、 D、
17、（08浙江卷2）函数的最小正周期是（ ）
A、 B、 C、 D、
18、（08浙江卷7）在同一平面直角坐标系中，函数的图象和直线的交点个数是（ ）
A、0 B、1 C、2 D、4
二、填空题
19、（08北京卷9）若角的终边经过点，则的值为 ．
20、（08江苏卷1）的最小正周期为，其中，则= ．
21、（08辽宁卷16）设，则函数的最小值为 ．
22、（08浙江卷12）若，则_________。
23、（08上海卷6）函数f(x)＝sin x +sin(+x)的最大值是
三、解答题
24、（08四川卷17）求函数的最大值与最小值。

25、（08北京卷15）已知函数（）的最小正周期为；（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数在区间上的取值范围．

26、（08天津卷17）已知函数（）的最小值正周期是；（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最大值，并且求使取得最大值的的集合．

27、 （08安徽卷17）已知函数，
（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；（Ⅱ）求函数在区间上的值域

28、（08陕西卷17）已知函数．
（Ⅰ）求函数的最小正周期及最值；（Ⅱ）令，判断函数的奇偶性，并说明理由．

参考答案：
一、选择题：
1—10：D 、C、C、B、B、A、D 、C、 9、A 、A；
11—20: 11、C、13、B 、14、D 15、C 16、D 17、B 18、C；
二、填空题：
19、 20、10 21、 22、 23、2。
三、解答题：
24、解：

由于函数在中的最大值为：
最小值为：
故当时取得最大值，当时取得最小值
【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形，配方法，符合函数的值域及最值；
【突破】：利用倍角公式降幂，利用配方变为复合函数，重视复合函数中间变量的范围是关键；
25、解：（Ⅰ）
．
因为函数的最小正周期为，且，
所以，解得．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得．
因为， 所以， 所以，
因此，即的取值范围为．
26、解：（Ⅰ）

由题设，函数的最小正周期是，可得，所以．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．
当，即时，取得最大值1，所以函数的最大值是，此时的集合为

27、解：（1）

（2）
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以当时，取最大值 1；
又，
当时，取最小值；所以 函数 在区间上的值域为
28、解：（Ⅰ）．
的最小正周期．
当时，取得最小值；当时，取得最大值2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知．又．
．
．
函数是偶函数．
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