2017-2018学年高中物理人教版选修3-4教学案：第十一章第2节简谐运动的描述Word版含解析正式版.doc

第2节简谐运动的描述

1.振幅A表示振动物体离开平衡位置的最大距离，表示振动的强弱，是标量。
2．振子完成一次全振动的时间总是相等的，一次全振动中通过的总路程为4A。
3．相位是描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。
4．简谐运动的表达式为：x＝Asin(ωt＋φ)。位移随时间变化的关系满足x＝Asin(ωt＋φ)的运动是简谐运动。

一、描述简谐运动的物理量
1．振幅
(1)定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，用A表示。
(2)物理意义：表示振动的强弱，是标量。
2．全振动

图11­2­1
类似于O→B→O→C→O的一个完整振动过程。
3．周期(T)和频率(f)

周期
频率
定义
做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间，叫做振动的周期
单位时间内完成全振动的次数，叫做振动的频率
单位
秒(s)
赫兹(Hz)
物理含义
表示物体振动快慢的物理量
关系式
T＝
4.相位
描述周期性运动在各个时刻所处的不同状态。
二、简谐运动的表达式
简谐运动的一般表达式为x＝Asin(ωt＋φ)
1．x表示振动物体相对于平衡位置的位移。
2．A表示简谐运动的振幅。
3．ω是一个与频率成正比的量，表示简谐运动的快慢，ω＝＝2πf。
4．ωt＋φ代表简谐运动的相位，φ表示t＝0时的相位，叫做初相。

1．自主思考——判一判
(1)振幅就是指振子的位移。(×)
(2)振幅就是指振子的路程。(×)
(3)振子从离开某位置到重新回到该位置的过程为一次全振动过程。(×)
(4)振子完成一次全振动的路程等于振幅的4倍。(√)
(5)简谐运动表达式x＝Asin(ωt＋φ)中，ω表示振动的快慢，ω越大，振动的周期越小。(√)
2．合作探究——议一议
(1)两个简谐运动有相位差Δφ，说明了什么？甲、乙两个简谐运动的相位差为π，意味着什么？
提示：两个简谐运动有相位差，说明其步调不相同。甲、乙两个简谐运动的相位差为π，意味着乙(甲)总比甲(乙)滞后个周期或次全振动。
(2)简谐运动的表达式一般表示为x＝Asin(ωt＋φ)，那么简谐运动的函数表达式能否用余弦函数表示？
提示：简谐运动的位移和时间的关系既可以用正弦函数表示，也可以用余弦函数表示，只是对应的初相位不同。

描述简谐运动的物理量及其关系的理解

1．对全振动的理解
(1)全振动的定义：振动物体以相同的速度相继通过同一位置所经历的过程，叫作一次全振动。
(2)全振动的四个特征：
①物理量特征：位移(x)、加速度(a)、速度(v)三者第一次同时与初始状态相同。
②时间特征：历时一个周期。
③路程特征：振幅的4倍。
④相位特征：增加2π。
2．简谐运动中振幅和几个物理量的关系
(1)振幅和振动系统的能量：对一个确定的振动系统来说，系统能量仅由振幅决定。振幅越大，振动系统的能量越大。
(2)振幅与位移：振动中的位移是矢量，振幅是标量。在数值上，振幅与振动物体的最大位移相等，但在同一简谐运动中振幅是确定的，而位移随时间做周期性的变化。
(3)振幅与路程：振动中的路程是标量，是随时间不断增大的。其中常用的定量关系是：一个周期内的路程为4倍振幅，半个周期内的路程为2倍振幅。
(4)振幅与周期：在简谐运动中，一个确定的振动系统的周期(或频率)是固定的，与振幅无关。

[典例]　弹簧振子以O点为平衡位置在B、C两点间做简谐运动，BC相距20 cm，某时刻振子处于B点，经过0.5 s，振子首次到达C点，求：
(1)振子的振幅；
(2)振子的周期和频率；
(3)振子在5 s内通过的路程及位移大小。
[解析](1)振幅设为A，则有2A＝BC＝20 cm，所以A＝10 cm。
(2)从B首次到C的时间为周期的一半，因此T＝2t＝1 s；
再根据周期和频率的关系可得f＝＝1 Hz。
(3)振子一个周期通过的路程为4A＝40 cm，即一个周期运动的路程为40 cm，
s＝4A＝5×40 cm＝200 cm
5 s的时间为5个周期，又回到原始点B，位移大小为10 cm。
[答案]　(1)10 cm　(2)1 s　1 Hz　(3)200 cm　10 cm

振动物体路程的计算方法
(1)求振动物体在一段时间内通过路程的依据：
①振动物体在一个周期内通过的路程一定为四个振幅，则在n个周期内通过的路程必为n·4A。
②振动物体在半个周期内通过的路程一定为两倍振幅。
③振动物体在内通过的路程可能等于一倍振幅，还可能大于或小于一倍振幅，只有当初始时刻在平衡位置或最大位移处时，内通过的路程才等于振幅。
(2)计算路程的方法是：先判断所求时间内有几个周期，再依据上述规律求路程。

1．如图11­2­2所示，弹簧振子在BC间振动，O为平衡位置，BO＝OC＝5 cm，若振子从B到C的运动时间为1 s，则下列说法正确的是(　　)

图11­2­2
A．振子从B经O到C完成一次全振动
B．振动周期是1 s，振幅是10 cm
C．经过两次全振动，振子通过的路程是20 cm
D．从B开始经过3 s，振子通过的路程是30 cm
解析：选D　振子从B→O→C仅完成了半次全振动，所以周期T＝2×1 s＝2 s，振幅A＝BO＝5 cm，A、B错误；振子在一次全振动中通过的路程为4A＝20 cm，所以两次全振动振子通过的路程为40 cm，C错误；3 s的时间为1.5T，所以振子通过的路程为30 cm，D正确。
2．质点沿x轴做简谐运动，平衡位置为坐标原点O。质点经过a点(xa＝－5 cm)和b点(xb＝5 cm)时速度相同，时间tab＝0.2 s；此时质点再由b点回到a点所用的最短时间tba＝0.4 s；则该质点做简谐运动的频率为(　　)
A．1 Hz　　　　　　 　B．1.25 Hz
C．2 Hz D．2.5 Hz
解析：选B　由题意可知，a、b两点关于平衡位置O对称，质点经a点和b点时速度相同，则质点由b点回到a点所用的最短时间tba＝0.4 s为质点振动周期的，故T＝2tba＝0.8 s，质点做简谐运动的频率为f＝＝1.25 Hz，B正确。
3．一个质点做简谐运动，振幅是4 cm，频率为2.5 Hz，该质点从平衡位置起向正方向运动，经2.5 s，质点的位移和路程分别是(　　)
A．4 cm、24 cm　　　　　　 　B．－4 cm、100 cm
C．0、100 cm D．4 cm、100 cm
解析：选D　由f＝得T＝＝0.4 s，Δt＝2.5 s＝6T。每个周期质点通过的路程为4×4 cm＝16 cm，故质点的总路程s＝6×16 cm＝100 cm，质点0时刻从平衡位置向正向位移运动，经过周期运动到正向最大位移处，即位移x＝4 cm，故D项正确。

对简谐运动表达式的理解

做简谐运动的物体位移x随时间t变化的表达式：
x＝Asin(ωt＋φ)
(1)x：表示振动质点相对于平衡位置的位移。
(2)A：表示振幅，描述简谐运动振动的强弱。
(3)ω：圆频率，它与周期、频率的关系为ω＝＝2πf。
可见ω、T、f相当于一个量，描述的都是振动的快慢。
(4)ωt＋φ：表示相位，描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量。它是一个随时间变化的量，相当于一个角度，相位每增加2π，意味着物体完成了一次全振动。
(5)φ：表示t＝0时振动质点所处的状态，称为初相位或初相。
(6)相位差：即某一时刻的相位之差。两个具有相同ω的简谐运动，设其初相分别为φ1和φ2，其相位差Δφ＝(ωt＋φ2)－(ωt＋φ1)＝φ2－φ1。

[典例]　物体A做简谐运动的振动位移为xA＝3cosm，物体B做简谐运动的振动位移为xB＝5cosm。比较A、B的运动(　　)
A．振幅是矢量，A的振幅是6 m，B的振幅是10 m
B．周期是标量，A、B周期相等为100 s
C．A振动的频率fA等于B振动的频率fB
D．A振动的频率fA大于B振动的频率fB
[思路点拨]
(1)物体的振幅、角速度可以直接由简谐运动表达式得出。
(2)角速度与周期、频率的关系：ω＝＝2πf。
[解析]振幅是标量，A、B的振动范围分别是6 m、10 m，但振幅分别是3 m、5 m，选项A错误。周期是标量，A、B的周期T＝＝ s＝6.28×10－2s，选项B错误。因为ωA＝ωB，故fA＝fB，选项C正确，选项D错误。
[答案]C

用简谐运动表达式解答振动问题的方法
应用简谐运动的表达式x＝Asin(ωt＋φ)解答简谐运动问题时，首先要明确表达式中各物理量的意义，找到各物理量对应的数值，根据ω＝＝2πf确定三个描述振动快慢的物理量间的关系，有时还需要通过画出其振动图像来解决有关问题。

1．某振子做简谐运动的表达式为x＝2sincm，则该振子振动的振幅和周期为(　　)
A．2 cm　1 s　　　　　　 　B．2 cm　2π s
C．1 cm　 s D．以上全错
解析：选A　由x＝Asin(ωt＋φ)与x＝2sin对照可得：A＝2 cm，ω＝2π＝，所以T＝1 s，A选项正确。
2．有一弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是(　　)
A．x＝8×10－3sinm
B．x＝8×10－3sinm
C．x＝8×10－1sinm
D．x＝8×10－1sinm

解析：选A　由题意知，A＝0.8 cm＝8×10－3 m，T＝0.5 s，ω＝＝4π，t＝0时，弹簧振子具有负方向的最大加速度，即t＝0时，x＝A＝8×10－3 m，故A选项正确。
3．(多选)某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为x＝Asint，则质点(　　)
A．第1 s末与第3 s末的位移相同
B．第1 s末与第3 s末的速度相同
C．第3 s末与第5 s末的位移相同
D．第3 s末与第5 s末的速度相同
解析：选AD　根据x＝Asint可求得该质点振动周期为T＝8 s，则该质点振动图像如图所示，图像的斜率为正表示速度为正，反之为负，由图可以看出第1 s末和第3 s末的位移相同，但斜率一正一负，故速度方向相反，选项A正确，B错误；第3 s末和第5 s末的位移方向相反，但两点的斜率均为负，故速度方向相同，选项C错误，D正确。

1．周期为2 s的简谐运动，在半分钟内通过的路程是60 cm，则在此时间内振子经过平衡位置的次数和振子的振幅分别为(　　)
A．15次，2 cm　　　　　 　B．30次，1 cm
C．15次，1 cm D．60次，2 cm
解析：选B　在半分钟内振子完成15次全振动，经过平衡位置的次数为30次，通过的路程s＝4A×15＝60A＝60 cm，故振幅A＝1 cm，B项正确。
2.物体做简谐运动，其图像如图1所示，在t1和t2两时刻，物体的(　　)

图1
A．相位相同
B．位移相同
C．速度相同
D．加速度相同
解析：选C　由图可知物体做简谐运动的振动方程为x＝Asin ωt，其相位为ωt，故t1与t2的相位不同，A错；t1时刻位移大于零，t2时刻位移小于零，B、D错；由振动图像知t1、t2时刻物体所处位置关于平衡位置对称，速率相同，且均向下振动，方向相同，C对。
3．如图2甲所示，悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期T＝2 s，从最低点位置向上运动时开始计时，在一个周期内的振动图像如图乙所示，关于这个图像，下列哪些说法正确(　　)

甲　　　　　　　　　　　　乙　　　　　　
　　　图2　　　　
A．t＝1.25 s时，振子的加速度为正，速度也为正
B．t＝1.7 s时，振子的加速度为负，速度也为负
C．t＝1.0 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
D．t＝1.5 s时，振子的速度为零，加速度为负的最大值
解析：选C　由x­t图像可知，t＝1.25 s时，振子的加速度和速度均沿－x方向，A错误；t＝1.7 s时，振子的加速度沿＋x方向，B错误；t＝1.0 s时，振子在最大位移处，加速度为负向最大，速度为零，C正确；t＝1.5 s时，振子在平衡位置，速度最大，加速度为零，D错误。
4．(多选)一个弹簧振子的振幅是A，若在Δt的时间内物体运动的路程是s，则下列关系中可能正确的是(包括一定正确的)(　　)
A．Δt＝2T，s＝8A B．Δt＝，s＝2A
C．Δt＝，s＝2A D．Δt＝，s>A
解析：选ABD　因每个全振动所通过的路程为4A，故A、B正确，C错误；又因振幅为振子的最大位移，而s为时的路程，故s有可能大于A，故D正确。
5．有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩x后释放让它振动，第二次把弹簧压缩2x后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为(　　)
A．1∶1　1∶1 B．1∶1　1∶2
C．1∶4　1∶4 D．1∶2　1∶2
解析：选B　弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为1∶2，而对同一振动系统，其周期与振幅无关，则周期之比为1∶1。振动周期由振动系统的性质决定，与振幅无关。
6. (多选)如图3所示，轻弹簧上端固定，下端连接一小物块，物块沿竖直方向做简谐运动。以竖直向上为正方向，物块简谐运动的表达式为y＝0.1sin(2.5πt)m。t＝0时刻，一小球从距物块h高处自由落下；t＝0.6 s时，小球恰好与物块处于同一高度。取重力加速度的大小g＝10 m/s2。以下判断正确的是(　　)

图3
A．h＝1.7 m
B．简谐运动的周期是0.8 s
C．0.6 s内物块运动的路程为0.2 m
D．t＝0.4 s时，物块与小球运动方向相反
解析：选AB　由物块简谐运动的表达式y＝0.1sin(2.5πt)m知，ω＝2.5π，T＝＝ s＝0.8 s，选项B正确；t＝0.6 s时，y＝－0.1 m，对小球：h＋|y|＝gt2，解得h＝1.7 m，选项A正确；物块0.6 s内路程为0.3 m，t＝0.4 s时，物块经过平衡位置向下运动，与小球运动方向相同。故选项C、D错误。

7．一物体沿x轴做简谐运动，振幅为12 cm，周期为2 s。当t＝0时，位移为6 cm，且向x轴正方向运动，求：
(1)初相位；
(2)t＝0.5 s时物体的位置。
解析：(1)设简谐运动的表达式为x＝Asin(ωt＋φ)，A＝12 cm，T＝2 s，ω＝，t＝0时，x＝6 cm。
代入上式得，6＝12sin(0＋φ)
解得sin φ＝，φ＝或π。
因这时物体向x轴正方向运动，
故应取φ＝，即其初相为。
(2)由上述结果可得：
x＝Asin(ωt＋φ)＝12sincm，
所以x＝12sincm＝12sinπ cm＝6 cm。
答案：(1)　(2)6 cm处
8．(1)(多选)有两个简谐运动，其表达式分别是x1＝4sincm，x2＝5sincm，下列说法正确的是(　　)
A．它们的振幅相同 B．它们的周期相同
C．它们的相位差恒定 D．它们的振动步调一致
E．它们的圆频率相同
(2)一竖直悬挂的弹簧振子，下端装有一记录笔，在竖直面内放置有一记录纸。当振子上下振动时，以速率v水平向左匀速拉动记录纸，记录笔在纸上留下如图4所示的图像，y1、y2、x0、2x0为纸上印迹的位置坐标。由此图求振动的周期和振幅。

图4
解析：(1)它们的振幅分别是4 cm、5 cm，故不同，选项A错误；ω都是100π rad/s，所以周期都是 s，选项B、E正确；由Δφ＝－＝得相位差恒定，选项C正确；Δφ≠0，即振动步调不一致，选项D错误。
(2)设振动的周期为T，由题意可得：在振子振动的一个周期内，纸带发生的位移大小为2x0，故T＝。设振动的振幅为A，则有：
2A＝y1－y2，故A＝。
答案：(1)BCE　(2)