新人教版初二上《三角形》知识点和题型.doc

一、 三角形及其特点
注：三角形由三条边、三个顶点、三个角组成。顶点为A,B,C的三角形可以表示为△ABC,顶点无顺序之分，顶点不同，三角形就不同。
三角形具有稳定性的几何原理，四边形具有不稳定性的几何原理。
将n边形进行稳定，需要（n-3）条对角线。

0、图中有三角形的个数为 （ ）
A、 4个 B、 6个 C、 8个 D、 10个

0、图中有几个三角形？用符号表示图中所有的三角形。

1、将一扇窗户打开后,用窗钩可将其固定,这里所运用的几何原理是( )
A.三角形的稳定性 B.两点之间线段最短
C.两点确定一条直线 D.垂线段最短
1、下列说法不正确的是（ ）
A．周长相等的两个等边三角形面积相等
B．面积相等的两个等边三角形周长相等
C．三角形具有稳定性 D．多边形具有稳定性
1、下面的生活事例中，利用了三角形的稳定性的是（ ）
A．制作推拉门窗时，把金属条做成四边形
B．工人师傅常在一个四边形的对角线上钉一根木条
C．桌子常作成四条腿
D．小明把一个正方形拉伸后使正方形变形

2、我们学校校门口的铁门，呈平行四边形，拉进拉出，伸缩自如，它应用的原理是（ ）
A．三角形的稳定性 B．三角形的不稳定性
C．四边形的稳定性 D．四边形的不稳定性
2、不是利用三角形稳定性的是( 　 )
A．自行车的三角形车架 B．三角形房架
C．照相机的三角架 D．矩形门框的斜拉条

二、三角形的种类
注：三角形的种类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形、等腰三角形、等边三角形。
锐角三角形性质及判断方法：三个角都是锐角，任意两个角相加之和大于90°
直角三角形性质和判断方法：有一个角为90°，另外两个角相加是90°
钝角三角形性质和判断方法：有一个角是钝角，另外两个角相加小于90°
等腰三角形性质及判断方法：腰相等、底角相等
等边三角形性质及判断方法：三条边相等；三个角相等；两个角是60°；
一个角是60°的等腰三角形。

0、下列说法:(1)三角形按边分类可分为不等边三角形、等腰三角形和等边三角形；(2)三角形两边之和不一定大于第三边；(3)等边三角形一定是等腰三角形；(4)有两边相等的三角形一定是等腰三角形.其中说法正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

三、 三角形的边长关系
注：三角形，两边之和大于第三边，a+b>c,因为两点之间线段最短；又有不等式的基本性质,两边同时减去b，我们可以得到a>c-b，即：三角形，两边之差小于第三边。
在判断三个长度能否组成三角形，我们只用做一个判断，那就是，最小的两边相加大于最大边即可。
在求范围是，两边之差要是非负数，也就必须选出两条由大小之分的边做差和作和。

0、下列说法正确的有（填番号）_______________________
⑴三条线段a、b、c，且a>b>c，若a<b+c，则这三条线段能组成一个三角形。
⑵有两条边相等的三角形是等腰三角形。
⑶三边长分别为5，10，5的三角形是等腰三角形。

0、若三角形边长分别为3，5，a，则a的取值范围为__________________
0、△ABC中，若AB=BC=5，则__________<AC<___________
0、在△ABC中，如果AB＝5，AC＝7，那么_______＜BC＜________；如果AB＝AC＝8，那么_______＜BC＜________.
00、△ABC中，cm，cm， c＝14cm，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
00、已知a、b、c是△ABC三边的长，化简|a – b – c |+|b – c – a |+|c – a – b |。

1、以下列各组线段为边,能组成三角形的是( )
A. B. C. D.
1、列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A、3cm，5cm，8cm B、8cm，8cm，18cm
C、0.1cm，0.1cm， 0.1cm D、3cm，40cm，8cm
1、满足下列条件的三条线段a、b、c中，一定不能构成三角形的是（ ）
A．a = m+1, b = m+2, c = m+3 (m>0) B． a : b : c = 2 : 3 : 5
C．, D．a = 2k，b = 3k，c = 5k – 1 (k≥1)
11、以长为13cm、10cm、5cm、7cm的四条线段中的三条线段为边，可以画出三角形的个数是（ ）
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
11、已知三角形的周长为9，且三边长都是整数，则满足条件的三角形共有（ ）
 A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2、等腰三角形的两边分别长7cm和13cm，则它的周长是（ 　 ）
A．27cm B．33cm C．27cm或33cm D．以上结论都不对
2、等腰三角形两边长分别为5和7，则该三角形周长为（ 　 ）
A．17 B．19 C．17或19 D．无法确定
22、已知△ABC是等腰三角形。
⑴如果它的两条边的长分别为8厘米和3厘米，那么它的周长是多少？
⑵如果它的周长为18厘米，一条边的长为8厘米，那么它的腰长是多少？
四、与三角形相关的线
高
注：高是求三角形面积的要点，三角形有三个顶点和三条边，所以有三条高，三条高交于一点的三角形是直角三角形。
三角形有三条边和对应的三条高，所以求面积的方法有三种，三种求出的结果是一样的，我们应该取最简单的那一种。如果题目告诉了两种，那么其中一种未知的边或高就能列方程求出。

1、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点,那么这个三角形是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定
2、如图所示,分别是的高,,求的长.

2、如图，AB⊥BD于B，AC⊥CD于C，AC与BD交于E，那么
⑴△ADE的边DE上的高是______；AE上的高是______
⑵若AE=5，DE=2，CD=，求AB的长。

角平分线
注：三角形有三个角，三个角的角平分线都叫做三角形的角平分线，所以三角形有三条角平分线。

16.如图,是的角平分线,∥,∥,交于点.
请问:是的角平分线吗?如果是,请给予证明；如果不是,请说明理由.

中线及分点线
注：三角形中线将三角形的面积平分，因为高为同一条高，第相等，所以面积相等。
含比例的分点线将三角形的面积分为与比例与线段比例相等的两部分。

0、如图所示,是的中线,那么若用表示的面积,
用表示的面积,则与的大小关系是( )
A. B.
C. D.以上三种情况都可能

0、 能将三角形面积平分的是三角形的（ ）
A、 角平分线 B、高 C、中线 D、外角平分线

三线合一
注：等腰三角形的底边上的高是三角形的底边中线和顶角角平分线。

0、如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，把△ABC沿直线AC翻折180°，使
点B 落在点B′的位置，则线段AC具有性质（ ）
A．是边BB′上的中线 B．是边BB′上的高
C．是∠BAB′的角平分线 D．以上三种性质存在

五、三角形内角和
三角形内角和
注：三角形内角之和为180°，知道了两内角之和，便知道了第三角。

0、如图，B在A的南偏西45°方向，C在A的南偏东15°方向，C在B的北偏东80°方向，∠ACB是多少度？

0、如图是一副三角尺拼成的图案，则∠AEB_______
B C
A
D
E

00、已知：如图，CD∥AB，∠A=400，∠B=600，那么∠1= 度，∠2= 度

1、三角形的三个外角之比为2∶2∶3，则此三角形为( )
A、锐角三角形 B、钝角三角形 C、直角三角形 D、等边三角形
1、在中,,则________.
1、在△ABC中，若∠A=∠B =∠C，则∠C =________________
1、△ABC中，∠A=2∠B＝3∠C，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．含30°角的直角三角形
1、在△ABC中，∠A=∠B=∠C，则此三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形

三角形内角的可能性（锐角、直角、钝角）
0、下列说法正确的是( )
A.三角形的内角中最多有一个锐角 B.三角形的内角中最多有两个锐角
C.三角形的内角中最多有一个直角 D.三角形的内角都大于60°
0、如图,三角形被遮住的部分不可能是( )
A.一个锐角,一个钝角 B.两个锐角
C.一个锐角,一个直角 D.两个钝角
0、下列说法正确的有（填番号）_______________________
⑴ 三角形中最大的角是，那么这个三角形是锐角三角形。
⑵一个三角形中最多有三个锐角，最少有两个锐角。
⑶ 一个等腰三角形一定是锐角三角形。
⑷一个三角形最少有一个角不大于。
0、三角形的三个外角中最多有______个锐角，最少有________个钝角。
0、设α，β，γ是三角形的三个内角，则α+β，β+γ，α+γ 中（ ）
A．有两个锐角、一个钝角 B．有两个钝角、一个锐角
C．至少有两个钝角 D．三个都可能是锐角

六、三角形内角与外角的关系
注：三角形一外角等于与其不相邻的两内角之和，从而大于其中任意一个角。

第（12）题
D
C
B
A
0、如图，从A处观测C处仰角∠CAD=300，从B处观测C处的仰角∠CBD=450，从C外观测A、B两处时视角∠ACB= 度

0、已知：如图，AD是△ABC的角平分线，AE是△ABC的外角平分线，若∠DAC＝20°，问∠EAC＝ （ ）
A、60° B、70° C、80° D、90°

0、如图,已知,则的度数是___________.

0、如图6，D、B、C在同一直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°，则∠1=________
A
D
C
E
B
1

七、多边形
多边形的概念
1．下列说法正确的有（填番号）______________________
⑴由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形。
⑵由不在同一直线上四条线段首尾次顺次相接组成的图形叫四边形。
⑶在同一平面内，四条线段首尾顺次连接组成的图形叫四边形。
⑷从n边形一个顶点出发，可以引出（n-3）条对角线，得到（n-2）个三角形。
⑸没有对角线的多边形只有三角形。⑹正多边形都是凸多边形。
2．各个角________，各条边 的多边形叫正多边形。
4．下列多边形是凸多边形的是（ ）

多边形内角和
注：多边形内角和为（n-2）×180°，因为在三角形的基础上，没增加一条边，就相当于增加了一个三角形，内角之和就增加了180°。正多边形内角之和相等，因为知道了边数就知道了角的度数=（n-2）×180°÷n，知道了角的度数就知道了边数=360÷(180－α)。

0、边形的内角和比边形的内角和小 度.
0、 一个多边形的边数每增加一条，这个多边形的（ ）
A．内角和增加360° B．外角和增加360°
C．对角线增加一条 D．内角和增加180°
0、我们知道，一个多边形减少一条边，内角和就减少180°，由此联想到，如果
把一个多边形剪去一个角，那么它的内角和有何变化？
0、四边形中，如果有一组对角都是直角，那么另一组对角可能( 　　 )
A．都是钝角 B．都是锐角
C．是一个锐角、一个钝角 D．是一个锐角、一个直角
0、已知四边形中,,则的度数为_______.
0、若一个多边形的内角和等于,则这个多边形的边数是( )
A.5 B.6 C.7 D.8

1、如图，分别以四边形的各个顶点为圆心半径为2作圆（四边形的每一边长都大
于4），问这些圆与四边形的公共部分的面积之和是多少？

多边形外角和
注：多边形外角和为360°，是永远不变的，因为内角和为（n-2）×180°，而内角与外角都是一对对互补的，也就是内外角总和为n×180°，从而内外角总和－内角总和=外角总和=360°。因为外角度数一定，所以角越少，外角就越大，从而三角形的外角为钝角的概率最大，为三个，当然，其它多边行都可以有三个外钝角，不过是不能超过的。正多边形只有等边三角形有外钝角和内锐角，正四边形有外直角和内直角，其它正多边形都是外锐角和内钝角。
正多边行的内角相等、边相等，但边相等的不一定是正多边行，内角相等的也不一定是正多边形，只有两者都符合是才是正多边形。
一般求内角相等的多边形的边数，能用到外角总和除以内角就更简便。
四边形两外角之和等于与它们不相邻的两内角之和。

0、若多边形的边数增加一条，则这个多边形的外角和增加
0、多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（ 　　　 ）
A．互为余角 B．互为邻补角 C．两个角相等 D．外角大于内角
0、一个多边形的外角中，钝角的个数不可能是( )毛
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

1、如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为 个平方单位．

2、(1)如图①②,试研究其中之间的数量关系；
①
②

(2)如果我们把称为四边形的外角,那么请你用文字描述上述的关系式.
(3)用你发现的结论解决下列问题:
如图,分别是四边形的外角的平分线,,求的度数.

八、 找规律
注：找规律，一般分为图形规律和数量规律
图形规律一般要观察各部分的变化情况，总结出变化规律。
数字变化规律，要看数量每次增加的多少，一般可以借图形增长的部分来总结增长规律。

0、 ...依次观察左边三个图形，并判断照此规律从左向右第四个图形是（ ）
（A） （B） （C） （D）
1、如图,用黑、白两种颜色的正六边形地砖按如下所示的规律,拼成若干个图案,则第个图案中白色地砖的块数为( )
A. B. C. D.

1、填表：用长度相等的火柴棒拼成如图所示的图形

三角形的个数
1
2
3
4
5
…
n
所有火柴的根数
3
5
7
9

…

2、如图所示的是由若干盆花组成的形如三角形的图案,每条边(包括两个
顶点)有n (n>1)盆花,每个图案花盆的总数为S，按此规律推断S与n有什
么关系,并求出当n=13时，S的值。

2、如图所示，用火柴杆摆出一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当摆到20层
(n=20)时，需要多少根火柴?

2、观察并计算下列每个图形的所有三角形的个数,根据其变化规律,可得到第10个图形的三角形的个数是 个.

九、多边形对角线
注：凸（正）n变形的对角线，从一点开始引出所有存在的对角线，自己不算，旁边两点不能连接，这样就有（n-3）条；然后顺时针或逆时针方向，从第二点引出所有未被连的对角线，也是（n-3）条；从第三点引出所有未被连接的对角线，本来也是有（n-3）条，但是由于第一点已经向第三点连出了一条，所以只能连（n-4）条；第四点，由于第一点和第二点都向它连过了，所以只能连（n-5）条；……；第（n-2）个点能连出到第n个点的一条对角线；第（n-1）和第n个点没有可以连的点了。所以凸（正）n变形的对角线的总和为：
S=(n-3)+(n-3)+(n-4)+(n-5)+……+2+1
=(n-3)+(n-2)(n-3)÷2
=（n^2-3n）÷2

0、细心地填一填，你发现有什么规律?
多边形的边数
3
4
5
6
…
n
多边形内角的个数

…

多边形外角的个数

…

从一个顶点引出的
对角线的条数

多边形总共对角
线的条数

…

从一个顶点引出的对角线分成的三角形的个数

…

规律：__________________________________________ _______________
____________________________________________________ ______________
0、一个多边形从每一个顶点出发都有4条对角线,那么这个多边形的内角和为_______.
0、若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引8条对角线，则它是（ ）
A．十三边形 B．十二边形 C．十一边形 D．十边形
1、 六边形共有 条对角线，它的内角和是 度
1、五边形的对角线有 条，十五边形的对角线有 条。
1、一个多边形的内角和为720°，那么这个多边形的对角线条数为（ ）
A．6条 B．7条 C．8条 D．9条
1、某学习小组有6人，他们任意两人之间讨论一个问题，他们一共讨论了多少个问题？
六边形的六个顶点之间一共有多少条连线（包括边和对角线）？二者之间有何联系？
2、一个多边形共有27条对角线，则这个多边形的边数是________.
2、一个多边形有27条对角线，则这个多边形的边数为（ ）
A．8　　　　B．9　　　　C．10　　　　　D．11
2、若一个多边形共有十四条对角线，则它是（ ）
A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形

十、镶嵌
单一镶嵌
注：保证角的度数能整除360°即可。

0、平面图形能否镶嵌，关键是看每个拼接点处的各个角之和能否等于________度．
1、现有几个内角分别为600、900、1080、1200、和1350的正多边形，则其中内角
为______________________________的正多边形可以镶嵌．
1、用形状、大小完全相同的图形不能镶嵌成平面图案的是（ ）
A．等腰三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形

组合镶嵌
注：可以通过猜测、尝试来寻找答案；当要求出所有答案，则应该列出二元一次方程求正整数解；有时我们可以从已有组合的图形中发现其它的可组合图形（一般不是正多边形）。

0、在平面内，有一条公共边的正方形和正六边形如图所示放置，
α
则∠α=______

0、小敏家准备选用两种形状的地板砖铺地,现在家中已有正六边形地板砖,下列形状的地板砖能与正六边形的地板砖共同使用的是( )
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正八边形
0、用同一种正五边形或正八边形的瓷砖_____________铺满地面。(填“能”或“不能”)
0、下列正多边形中，与正三角形同时使用，能进行镶嵌的是（　 　）
Ａ．正十二边形 Ｂ．正十边形 Ｃ．正八边形 Ｄ．正五边形
0、不能镶嵌成平面图案的正多边形组合为（ ）
A．正八边形和正方形 B．正五边形和正十边形
C．正六边形和正三角形 D．正六边形和正八边形
0、用一个正方形、一个正五边形、一个正二十边形能否镶嵌成平面图案? 说明理由。
1、用正三角形和正六边形镶嵌，在每个顶点处有_____个正三角形和____ 个
正六边形；或在每个顶点处有_____个正三角形和_____个正六边形
1、用正多边形镶嵌，设在一个顶点周围有m个正方形、n个正八边形，则m=_____n=______

2、用正三角形和正十二边形镶嵌，可能情况有（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 C．4种
2、用正三角形和正六边形镶嵌，若每一个顶点周围有m个正三角形、n 个正六边形，则m、n满足的关系式是（ ）
A．2m+3n=12 B．m+n=8 C．2m+n=6 D．m+2n=6
2、请你设计在每一个顶点处由四个正多边形拼成的平面图案， 你能设计出
多少种不同的方案?画出草图。
3、如图所示的地面全是用正三角形的材料铺设而成的。

（1）用这种形状的材料为什么能铺成平整、无隙的地面?
（2）像上面那样铺地砖，能否全用正十边形的材料?为什么?
（3）你能不能另外想出一种用多边形（不一定是正多边形）的材料铺地面的方案?把你想到的方案画成草图。