八年级趣味数学教案.doc

2015 至 2016学 年 度 上 学 期

初
中
八
年
级
智
慧
数
学
教
案

八年级智慧数学教学计划  
一、指导思想
  通过智慧数学课的教学，使学生切实学好从事现代化建设和进一步学习现代化科学技术所必需的数学基本知识和基本技能；提高学生的学习兴趣，丰富教学内容，活跃课堂气氛，努力培养学生的运算能力、逻辑思维能力，以及分析问题和解决问题的能力。
二、学情分析
八年级是初中学习过程中的关键时期，学生基础的好坏，直接影响到将来是否能升学。有少数学生不上进，思维不紧跟老师。有部分同学基础特差，问题较严重。要在本期获得理想成绩，老师和学生都要付出努力，查漏补缺，充分发挥学生是学习的主体，教师是教的主体作用，注重方法，培养能力。
三、教学措施
 1、课堂内讲授与练习相结合，及时根据反馈信息，扫除学习中的障碍点。
 2、认真备课、精心授课，抓紧课堂四十五分钟，努力提高教学效果。
 3、抓住关键、分散难点、突出重点，在培养学生能力上下功夫。
 4、不断改进教学方法，提高自身业务素养。
5、教学中注重自主学习、合作学习、探究学习。
四、教学进度表
第1至3课时 整数的趣味计算
第4至6课时 轴对称与轴对称图形
第7至8课时 全等三角形
第9至10课时 平移的妙用
第11至13课时 一次函数的图像和性质
第14至16课时 提公因式

整数趣味计算
教学目的：使学生掌握整数的有关计算规律，能灵活的运用相关知识，提高学生的计算能力，培养学生的学习兴趣。
教学难点：整数计算的技巧
教学时间：3课时
第 一 课 时

一、例题讲解 ：
例 1. 有一串数，任何相邻的4个数之和都是19，从左边起第5，10，11个数分别是3，2，8。求第4个数是几？

例2. 七个自然数排成一排，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数之和，已知第四个数是4，求第七个数.

例3. 有些两位数加上49后得到三位数，而减去49后得到一位数，那么所有这
样两位数的和是多少。

二、作业训练
1.试一试：在商店的货架上摆放着一些装糖果的盒子，已知相邻5个盒子里装的糖果数量总和相等，第1个盒子里装有80粒，第10个盒子装30粒，第12
个盒子装90粒。那么第5、6个盒子一共装了多少粒。

　　2.试一试：八个小朋友站成一排，玩报数的游戏，游戏规则是第一个小朋友 任意报一个自然数，第二个小朋友报出第一个小朋友所报数加1的数，从第三个
小朋友开始，每个人报与其相邻的前两个小朋友所报数的和，已知第5个小朋友所报的数是13，那么第八个小朋友报的是几？

　 　第 二 课 时

一、例题讲解。
例1.试一试：某些三位数加上475后得四位数，减去475后得两位数，这样的三位数有多少个？
例2.从自然数1开始到100截止，所有数字的和是多少？
例3、.计算1~155这些自然数中所有数字的和.
　　解：有的同学一定会问，这道题与上一题的类型不是一样吗？那么根据上一题的说法，就可以计算出结果为：把1~149分成一组，150~155分为另一组.这样计算出的结果应为1+1+4+9=15，15×75=1125，1×6+5×6+（1+2+3+4+5）=51，1125+51=1176.想一想，这个结果对吗？那么这道题究竟应该怎样解答呢？　
　　这道题应这样分组，把{1~99}分成一组，{100~149}分成一组，{150~155}分成第三组.第一组再分为（0、99），（1、98），（2、97）……（49、50）共50个数对，每对的数字和是18.第二组再分为：（100、149），（101、148），（102、147）……（124、125）共25个数对，每对的数字和是15；第三组6个1，7个5，另有1、2、3、4.正确的结果应是（0+9+9）×50+（1+1+4+9）×25+1×6+5×6+（1+2+3+4+5）=1326
　　答：所有数字的和是1326.
　　综上，我们知道要结合具体的题去寻找适合于本题的解法，千万不能以点引面.
　　二、作业训练
　　1.试一试：自然数2~50的所有数字和是多少？

　　2.试一试：求3~160这些自然数中所有数字的和.

第 三 课 时
一、例题讲解。　　
　例1.有如下两种对自然数的运算：第一种运算将数的每一位换为它被9减的差，例如这种运算将25变为74，将197变为802；第二种运算将一个数加上111.现有一个三位数406，对它进行四次运算，每次可以是以上两种运算中的任意一种，那么所能得到的最大得数是多少？
　　解：为了解题方便，不妨记第一、二种运算分别为A、B，我们考虑相继的两次运算，设在此之前所得的数为三位数x，并且此数作任意两次运算后仍保持为三位数.容易计算出先后作运算A1，B1，A2，B2后所得的结果分别是999-（999-x）=x，999-（x+111）=888-x，（999-x）+111=1110-x，（x+111）+111=a+222.由此可以看出，
　　A1=x<x=222=B2，
　　B1=888-x<1110-x=A2.
　　所以后一次运算是B时才有可能得到较大的结果.
　　对题中所给的数406作四次运算将总得到三位数.这样由前面的分析，仅当后三次均为B时才会出现最大的结果.在此限制下，当第一次运算是A时，得到的结果是(999-406)+111+111+111=926，当第一次运算是B时得到的结果为406+111+111+111+111=850，相比之下，926即为所求.
　　答：所能得到的最大数是926.
　　　二、作业训练
　　1.试一试：甲乙进行数字游戏，游戏规则有两种，①用8分别减去一个自然数的每一个数位上的数，变为一个新数，如45变为43，175变为713；②用222加上一个自然数.现有一个自然数为202，经过三次操作，每次操作可以是以上两种方法中任意一种，如果谁先算出最大的数谁就为胜者，最后乙获胜，那么乙算出的数是多少？
　　2.今有10个数：17，23，31，41，53，67，79，83，101，103.如果将它们分成两组，每组五个数，并且每组中的各数之和相等，那么把含有101的这组数从小到大排列，第二个数是多少？

轴对称与轴对称图形
教学目的：
（1）使学生理解轴对称的概念；
（2）了解轴对称的性质及其应用；
（3）知道轴对称图形与轴对称的区别.
教学重点：轴对称的概念，轴对称的性质及判定
教学难点：区分的概念
教学时间：3课时
第 一 课 时
教学过程：
1、概念：（1）对称轴
（2）轴对称
（3）轴对称图形
学生动手实验，说明上述概念。最后总结轴对称及轴对称图形这两个概念的区别：轴对称涉及两个图形，是两个图形的位置关系。轴对称图形只是针对一个图形而言。都有对称轴，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于这条直线对称。
2、定理的获得
观察轴对称的两个图形是否为全等形
定理1：关于某条直线对称的两个图形是全等形
由此得出：
定理2：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分
启发学生，写出此定理的逆命题，并判断是否为真命题?由此得到：
逆定理：如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。
学生继续观察得到
定理3：两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上。
说明：上述定理2可以看成是轴对称图形的性质定理，逆定理则是判定定理。
上述问题的获得，都是由定理1引发、变换、延伸得到的。教师应充分抓住这次机会，培养学生变式问题的研究。
2、常见的轴对称图形
图形
对称轴
点A
过点A的任意直线
直线m
直线m，m的垂线
线段AB
直线AB，线段AB的中垂线
角
角平分线所在的直线
等腰三角形
底边上的中线

第 二 课 时
教学过程：
例1、已知：△ABC，直线MN，求作△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于MN对称。分析：按照轴对称的概念，只要分别过A、B、C向直线MN作垂线，并将垂线段延长一倍即可得到点A、B、C关于直线MN的对称点，连结所得到的这三个点。
作法：（1）作AD⊥MN于D，延长AD至A1使A1D＝AD，
得点A的对称点A1
（2）同法作点B、C关于MN的对称点B1、、C1
（3）顺次连结A1、B1、C1
∴△A1B1C1即为所求
例2、牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，
且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500cm。问：
（1）牧童从A处牧牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？ （2）最短路程是多少？
解：问题可转化为已知直线CD和CD同侧两点A、B，
在CD上作一点M，使AM+BM最小，
先作点A关于CD的对称点A1，
再连结A1B，交CD于点M，
则点M为所求的点。
证明：（1）在CD上任取一点M1，连结A1 M1、A M1
B M1、AM
∵直线CD是A、A1的对称轴，M、M1在CD上
∴AM＝A1M，AM1＝A1M1
∴AM+BM＝AM1+BM＝A1B
在△A1 M1B中
∵A1 M1+BM1＞AM+BN即AM+BM最小
（2）由（1）可得AM＝AM1，A1C＝AC＝BD
∴△A1CM≌△BDM
∴A1M＝BM，CM＝DM
即M为CD中点，且A1B＝2AM
∵AM＝500m
∴最简路程A1B＝AM+BM＝2AM＝1000m
第 三 课 时
例、已知：如图，△ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA到E，使AE＝BD，连结CE、DE
求证：CE＝DE
证明：延长BD至F，使DF＝BC，连结EF
∵AE＝BD， △ABC为等边三角形
∴BF＝BE
∴△BEF为等边三角形
∴△BEC≌△FED
∴CE＝DE
课堂小结：
（1）区别和联系
区别：轴对称是说两个图形的位置关系，轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形；轴对称涉及两个图形，轴对称图形只对一个图形而言
联系：这两个定义中都涉及一条直线，都沿其折叠而能够重合；二者都具有相对性：即若把轴对称图形沿轴一分为二，则这两个图形就关于原轴成轴对称，反之，把两个成轴对称的图形全二为一，则它就是一个轴对称图形。
（2）解题方法：一是如何画关于某条直线的对称图形（找对称点）
二是关于实际应用问题“求最短路程”。
6、布置作业：
探究活动
两个全等的三角板，可以拼出各种不同的图形，如图已画出其中一个三角形，请你分别补出另一个与其全等的三角形，使每个图形分成不同的轴对称图形（所画三角形可与原三角形有重叠部分）

全 等 三 角 形

教学目的：
（1）知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；
（2）知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；
（3）能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。
教学重点：全等三角形的性质。
教学难点 ：找全等三角形的对应边、对应角
教学实际：2课时
第 一 课 时
教学过程 ：
1、全等形及全等三角形概念的引入
（1）动画显示：
问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？
一般学生都能发现这两个三角形是完全重合的。
（2）学生自己动手
画一个三角形：边长为4cm，5cm，7cm.然后剪下来，同桌的两位同学配合，把两个三角形放在一起重合。
（3）获取概念
让学生用自己的语言叙述：
全等三角形、对应顶点、对应角以及有关数学符号。
2、全等三角形性质的发现：
问题：对应边、对应角有何关系？
由学生观察动画发现，两个三角形的三组对应边相等、三组对应角相等。
3、 找对应边、对应角以及全等三角形性质的应用
（1） 投影显示题目：
分析：由于两个三角形完全重合，故面积、周长相等。至于D，因为AD和BC是对应边，因此AD＝BC。C符合题意。说明：本题的解题关键是要知道中两个全等三角形中，对应顶点定在对应的位置上，易错点是容易找错对应角。
分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将从复杂的图形中分离出来。说明：根据位置元素来找：有相等元素，其即为对应元素：然后依据已知的对应元素找：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边（2）全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角。
第 二 课 时

教学过程：
翻折法：找到中心线经此翻折后能互相重合的两个三角形，易发现其对应元素
旋转法：两个三角形绕某一定点旋转一定角度能够重合时，易于找到对应元素
平移法：将两个三角形沿某一直线推移能重合时也可找到对应元素
怎样找全等三角形的对应边，对应角：
(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；
(2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角；
(3)有公共边的，公共边一定是对应边；
(4)有公共角的，角一定是对应角；
(5)有对顶角的，对顶角一定是对应角；
两个全等三角形中一对最长边（或最大角）是对应边（或对应角），一对最短边（或最小的角）是对应边（或对应角）
小结：
(1)如何找全等三角形的对应边、对应角（基本方法）
(2)全等三角形的性质
(3)性质的应用
让学生自由表述，其它学生补充，自己将知识系统化，以自己的方式进行建构。
布置作业

平 移 的 妙 用

教学目的 ：
1、要求学生掌握平移的基本特征
2、能在理解平移性质的基础上巧妙运用的平移的知识来解决日常生活中的数学问题。
教学重点、难点：
重点：平移特征---------平移中的不变量
难点：对图形进行理解和平移
教学时间：2课时
教学过程
一、复习平移的概念及特征；
图形的平行移动叫平移
平移的二要素是：方向和距离
平移的特征：
平移后的图形与原来的图形的对应线段平行且相等，对应角相等，图形的形状与大小都没有发生变化
如图：线段AB以如图所示的方向平移2cm.
通过复习平移的概念及特征，让学生更进一步加深对平移理解，为后面的探索作准备
二、创设情境，引出问题：
问题一、要在如图楼梯上铺设某种红地毯，已知，这种地毯每平方米售价为40元，楼梯梯道宽为3米，侧面如图所示。计算一下，购买这种地毯至少要多少钱？ 学生采取小组合作学习，共同寻找解决此题的办法，教师引导学生应用平移知识进行平移一通过平移发现，楼梯长实际就是
AA’+A’M=2.8+6.2=9米
这样便可计算出购买这种地毯至少要
（2.8+6.2）×3×40＝1080元
平移是难点，教师引导学生平移，注意对平移后图形的理解
问题二、从县城到石桥镇有两条路可走， 请你判断一下哪条路长一些？
教师提问：第①、②条路横向距离一样吗？纵向距离呢？
学生亲自动手平移。
学生回答：道路①的横向距离的和等于道路②的横向距离的和，道路①的纵向距离的和等于道路②的纵向距离的。
结论：①、②两条路一样长。
学生从表面上看总认为②比①要长。
因此，引导学生平移是难点，教师注意引导。
教师：从以上两个问题发现：平移在生活中是很重要的，生活中的许多问题可以应用平移的知识来解决。
学生相互讨论后得出：平移是有妙用的！
三、作业训练 在宽为20米，长为32米的长方形地面上修筑同样宽的两条互相垂直的道路余下的部分作为耕地，要使耕地面积为540米2.道路宽为多少米？

一次函数的图象和性质
教学目的 ：
1．使学生能画出正比例函数与一次函数的图象。
2．结合图象，使学生理解正比例函数与一次函数的性质。
3．在学习一次函数的图象和性质的基础上，使学生进一步理解正比例函数和一次函数的概念。
教学时间：3课时
教学过程 ：
复习提问：
1．什么是一次函数?什么是正比例函数?
2．在同一直角坐标系中描点画出以下三个函数的图象：
y=2x y=2x-1 y=2x+1
新课讲解：
1．我们画过函数y=x的图象，并且知道，函数y=x的图象上的点的坐标满足横坐标与纵坐标相等的条件，由几何上学过的角平分线的性质，可以判断，函数y=x，这是一个一次函数(也是正比例函数)，它的图象是一条直线。
再看复习提问的第2题，所画出的三个一次函数的图象，从直观上看，也分别是一条直线。
一般地，一次函数的图象是一条直线。
前面我们在画一次函数的图象时，采用先列表、描点，再连续的方法．现在，我们明确了一次函数的图象都是一条直线。因此，在画一次函数的图象时，只要在坐标平面内描出两个点，就可以画出它的图象了。
先看两个正比例函数，
y=0.5x 与 y=-0.5x
由这两个正比例函数的解析式不难看出，当x=0时， y=0
即函数图象经过原点．(让学生想一想，为什么?)
除了点(0，0)之外，对于函数y=0.5x，再选一点(1，0.5)，对于函数y=-0.5x。再选一点(1，一0.5)，就可以分别画出这两个正比例函数的图象了。
实际画正比例函数y=kx(k≠0)的图象一般按以以下三步：
(1)先选取两点，通常选点(0，0)与点(1，k)；
(2)在坐标平面内描出点(0， O)与点(1，k)；
(3)过点(0，0)与点(1，k)做一条直线．
这条直线就是正比例函数y=kx(k≠0)的图象．
观察正比例函数 y=0.5x 的图象．
这里，k＝0．5＞0．
从图象上看， y随x的增大而增大．
再观察正比例函数 y＝-0．5x 的图象。
这里，k＝一0．5＜0
从图象上看， y随x的增大而减小
实际上，我们还可以从解析式本身的特点出发，考虑正比例函数的性质.
先看y=0.5x
任取两对对应值. (x1,y1)与(x2,y2)，
如果x1＞x2，由k＝0.5＞0，得
0.5x1＞0.5x2
即 yl＞y2
这就是说，当x增大时，y也增大。
类似地，可以说明的y＝-0．5x 性质。

从解析式本身特点出发分析正比例函数性质，可视学生程度考虑是否向学生介绍。
一般地，正比例函数y=kx(k≠0)有下列性质：
（1）当k＞0时，y随x的增大而增大；
（2）当k＜0时，y随x的增大而减小。
2、讲解教科书13．5节例1．与画正比例函数图象类似，画一次函数图象的关键是选取适当的两点，然后连线即可，为了描点方便，对于一次函数
y=kx+b(k,b是常数，k≠0)
通常选取
(O，b)与(- ，0)两点，
课堂小结：
1．正比例函数y=kx图象的画法：过原点与点(1，k)的直线即所求图象．
2. 一次函数y＝kx+b图象的画法：在y轴上取点(0，6)，在x轴上取点( ，0)，过这两点的直线即所求图象.
3．正比例函数y=kx与一次函数y＝kx+b的性质(由学生自行归纳)．
四、课外作业

提 公 因 式
教学目的：
1．使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系．
2．使学生理解并能熟练地运用分解因式．
3．通过学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析和创新能力，深化学生逆向思维能力.
教学难点：正确找出多项式各项的公因式及分解因式与整式乘法的区别和联系．
教学时间：3课时
教学过程：
一、复习提问
乘法对加法的分配律．
二、新课
1．新课引入：用类比的方法引入课题．
在学习分数时，我们常常要进行约分与通分，因此常常要把一个数分解因数(即分解约数)．例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7．
在第七章我们学习了整式的乘法，几个整式相乘可以化成一个多项式，那么一个多项式如何化成几个整式乘积的形式呢？这一章就是学习如何把一个多项式化成几个整式的积的方法．
2．因式分解的概念：
请学生每人写出一个单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘的例子，并计算出其结果．(老师按学生所说在黑板写出几个．)
如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc
2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy
(a+b)(a-b)＝a2-b2
(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn
(x-5)(2-x)＝-x2+7x-10 等等．
再请学生观察它们有什么共同的特点？
特点：左边，整式×整式；右边，是多项式．
可见，整式乘以整式结果是多项式，而多项式也可以变形为相应的整式与整式的乘积，我们就把这种多项式的变形叫做因式分解．
定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．
整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc．
让学生说出因式分解与整式乘法的联系与区别．
联系：同样是由几个相同的整式组成的等式．
区别：这几个相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解；下式是整式乘法．两者是方向相反的恒等变形，二者是一个式子的不同表现形式，一个是多项式的表现形式，一个是两个或几个因式积的表现形式．
例1 下列各式从左到右哪些是因式分解？
(1)x2-x＝x(x-1) (√)
(2)a(a-b)＝a2-ab (×)
(3)(a+3)(a-3)＝a2-9 (×)
(4)a2-2a+1＝a(a-2)+1 (×)
(5)x2-4x+4＝(x-2)2 (√)
下面我们学习几种常见的因式分解方法．
我们看多项式：ma+mb+mc
请学生指出它的特点：各项都含有一个公共的因式m，这时我们把因式m叫做这个多项式各项的公因式．
注意：公因式是各项都含有的公共的因式．
又如：a是多项式a2-a各项的公因式．
ab是多项式5a2b-ab2各项的公因式．
2mn是多项式4m2np-2mn2q各项的公因式．
根据乘法的分配律，可得
m(a+b+c)＝ma+mb+mc，
逆变形，便得到多项式ma+mb+mc的因式分解形式
ma+mb+mc＝m(a+b+c)．
这说明，多项式ma+mb+mc各项都含有的公因式可以提到括号外面，将多项式 ma+mb+mc写成m(a+b+c)的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多 项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
显然，由定义可知，的关键是如何正确地寻找公因式．让学生观察上面的公因式的特点，找出确定公因式的万法：(1)公因式的系数应取各项系数的最大公约数：(2)字母取各项的相同字母，而且各字母的指数取次数例2 指出下列各多项式中各项的公因式：
(1)ax+ay+a (a)
(2)3mx-6mx2 (3mx)
(3)4a2+10ah (2a)
(4)x2y+xy2 (xy)
(5)12xyz-9x2y2 (3xy)
例、把3x2-6xy+x 分解因式．
分析：先引导学生找出公因式x，强调多项式中x=x·1．
解：3x2-6xy+x
=x·3x-x·6y+x·1
＝x(3x-6y+1)．
说明：当多项式的某一项恰好是公因式时，这项应看成它与1的乘积，提公因式后剩下的应是1，1作为项的系数通常可以省略，但如果单独成一项时，它在因式分解时不能漏掉，这类题常常有些学生犯下面的错误，3x2-6xy+x=x(3x-6y)，这一点可让学生利用恒等变形分析错误原因．还应提醒学生注意：提公因式后的因式的项数应与原多项式的项数一样，这样可以检查是否漏项．
三、小结
1．因式分解的意义及其概念．
2．因式分解与整式乘法的联系与区别．
3．公因式及．
4．因式分解中应注意的问题．
四、作业