2009年江苏省高考数学试卷答案与解析.doc

2009年江苏省高考数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）
1．（5分）（2009•江苏）若复数z1=4+29i，z2=6+9i，其中i是虚数单位，则复数（z1﹣z2）i的实部为　﹣20　．
【考点】复数代数形式的乘除运算．菁优网版权所有
【专题】数系的扩充和复数．
【分析】把复数z1=4+29i，z2=6+9i，代入复数（z1﹣z2）i，化简，按多项式乘法法则，展开，化简为a+bi（a，b∈R）的形式，即可得到实部．
【解答】解：∵z1=4+29i，z2=6+9i，
∴（z1﹣z2）i=（﹣2+20i）i=﹣20﹣2i，
∴复数（z1﹣z2）i的实部为﹣20．
故答案为：﹣20
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．

2．（5分）（2009•江苏）已知向量和向量的夹角为300，，则向量和向量的数量积=　3　．
【考点】平面向量数量积的运算．菁优网版权所有
【专题】平面向量及应用．
【分析】向量数量积公式的应用，条件中给出两个向量的模和向量的夹角，代入公式进行计算即可．
【解答】解：由题意知：=2×=3，
故答案为：3．
【点评】本题是向量数量积的运算，条件中给出两个向量的模和两向量的夹角，代入数量积的公式运算即可，两个向量的数量积是一个数量，它的值是两个向量的模与两向量夹角余弦的乘积．

3．（5分）（2009•江苏）函数f（x）=x3﹣15x2﹣33x+6的单调减区间为　（﹣1，11）　．
【考点】利用导数研究函数的单调性．菁优网版权所有
【专题】函数的性质及应用．
【分析】要求函数的单调减区间可先求出f′（x），并令其小于零得到关于x的不等式求出解集即可．
【解答】解：f′（x）=3x2﹣30x﹣33=3（x2﹣10x﹣11）
=3（x+1）（x﹣11）＜0，
解得﹣1＜x＜11，故减区间为（﹣1，11）．
故答案为：（﹣1，11）
【点评】此题考查学生利用导数研究函数的单调性的能力．

4．（5分）（2009•江苏）函数y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0）在闭区间[﹣π，0]的图象如图所示，则ω=　3　．

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．菁优网版权所有
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】根据函数图象求出函数的周期T，然后求出ω．
【解答】解：由图中可以看出：
T=π，∴T=π=，
∴ω=3．
故答案为：3
【点评】本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查逻辑思维能力，是基础题．

5．（5分）（2009•江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为　0.2　．
【考点】古典概型及其概率计算公式．菁优网版权所有
【专题】概率与统计．
【分析】由题目中共有5根竹竿，我们先计算从中一次随机抽取2根竹竿的基本事件总数，及满足条件的基本事件个数，然后代入古典概型计算公式，即可求出满足条件的概率．
【解答】解：从5根竹竿中一次随机抽取2根的可能的事件总数为10，
它们的长度恰好相差0.3m的事件数有
2.5和2.8，2.6和2.9，共2个
∴所求概率为0.2．
故答案为：0.2．
【点评】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，计算出满足条件的基本事件总数及其满足条件的基本事件个数是解答此类题型的关键．

6．（5分）（2009•江苏）某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如表：
学生
1号
2号
3号
4号
5号
甲班
6
7
7
8
7
乙班
6
7
6
7
9
则以上两组数据的方差中较小的一个为S2=　0.4　．
【考点】极差、方差与标准差．菁优网版权所有
【专题】概率与统计．
【分析】根据表中所给的两组数据，先写出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，把方差进行比较，方差小的一个是甲班，得到结果．
【解答】解：由题意知甲班的投中次数是6，7，7，8，7，
这组数据的平均数是7，
甲班投中次数的方差是，
乙班的投中次数是6，7，6，7，9，
这组数据的平均数是7，
这组数据的方差是
∴两组数据的方差中较小的一个为0.4，
故答案为：0.4
【点评】本题考查方差，比较两组数据的方差的大小，是一个基础题，这种问题一旦出现是一个必得分题目，注意运算过程中不要出错．

7．（5分）（2009•江苏）如图是一个算法的流程图，最后输出的W=　22　．

【考点】循环结构．菁优网版权所有
【专题】算法和程序框图．
【分析】根据流程图可知，计算出S，判定是否满足S≥10，不满足则循环，直到满足就跳出循环，最后求出W值即可．
【解答】解：由流程图知，第一次循环：T=1，S=1；不满足S≥10
第二次循环：T=3，S=32﹣1=8；不满足S≥10
第三次循环：T=5，S=52﹣8=17，满足S≥10
此时跳出循环，∴W=5+17=22．
故答案为22
【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题．

8．（5分）（2009•江苏）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为　1：8　．
【考点】类比推理．菁优网版权所有
【专题】立体几何．
【分析】根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线 类比 直线或平面，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即可．
【解答】解：平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，
类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：
在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 1：8
故答案为：1：8．
【点评】本题主要考查类比推理．类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．

9．（5分）（2009•江苏）在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y=x3﹣10x+3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线斜率为2，则点P的坐标为　（﹣2，15）　．
【考点】导数的几何意义．菁优网版权所有
【专题】导数的概念及应用．
【分析】先设切点P（x0，y0）（x0＜0），根据导数的几何意义求出函数f（x）在x=x0处的导数，从而求出切线的斜率，建立方程，解之即可．
【解答】解：设P（x0，y0）（x0＜0），由题意知：y′|x=x0=3x02﹣10=2，
∴x02=4．
∴x0=﹣2，
∴y0=15．
∴P点的坐标为（﹣2，15）．
故答案为：（﹣2，15）
【点评】本题考查了导数的几何意义，以及导数的运算法则和已知切线斜率求出切点坐标，本题属于基础题．

10．（5分）（2009•江苏）已知，函数f（x）=logax，若正实数m，n满足f（m）＞f（n），则m，n的大小关系为　m＜n　．
【考点】对数函数的单调性与特殊点．菁优网版权所有
【专题】函数的性质及应用．
【分析】因为已知条件中对数函数的底数，即0＜a＜1，故函数f（x）=logax在（0，+∞）上为减函数，根据函数的单调性，结合足f（m）＞f（n），不难判断出m，n的大小关系．
【解答】解：∵
∴0＜a＜1
∴f（x）=logax在（0，+∞）上为减函数
若f（m）＞f（n）
则m＜n
故答案为：m＜n
【点评】函数y=ax和函数y=logax，在底数a＞1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为增函数，当底数0＜a＜1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，而f（﹣x）与f（x）的图象关于Y轴对称，其单调性相反，故函数y=a﹣x和函数y=loga（﹣x），在底数a＞1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为减函数，当底数0＜a＜1时，指数函数和对数函数在其定义域上均为增函数．

11．（5分）（2009•江苏）已知集合A={x|log2x≤2}，B=（﹣∞，a），若A⊆B则实数a的取值范围是（c，+∞），其中c=　4　．
【考点】集合的包含关系判断及应用．菁优网版权所有
【专题】集合．
【分析】先化简集合A，然后根据子集的定义求出集合B的取值范围，总而求出所求．
【解答】解：A={x|log2x≤2}={x|0＜x≤4}
而B=（﹣∞，a），
∵A⊆B
∴a＞4即实数a的取值范围是（4，+∞），
故答案为：4
【点评】本题属于以对数不等式为依托，考查集合子集的基础题，也是高考常会考的题型．

12．（5分）（2009•江苏）设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：
（1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；
（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行；
（3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
（4）直线l与α垂直的充分必要条件是l与α内的两条直线垂直．
上面命题，真命题的序号是　（1）（2）　（写出所有真命题的序号）
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；命题的真假判断与应用．菁优网版权所有
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】从线面平行、垂直的判定定理，判断选项即可．
【解答】解：由面面平行的判定定理可知，（1）正确．由线面平行的判定定理可知，（2）正确．
对于（3）来说，α内直线只垂直于α和β的交线l，得不到其是β的垂线，故也得不出α⊥β．
对于（4）来说，l只有和α内的两条相交直线垂直，才能得到l⊥α．
也就是说当l垂直于α内的两条平行直线的话，l不一定垂直于α．
【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，理解定理是判断的前提，是中档题．

13．（5分）（2009•江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为　　．

【考点】椭圆的简单性质．菁优网版权所有
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】解法一：可先直线A1B2的方程为，直线B1F的方程为，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；
解法二：对椭圆进行压缩变换，，，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．根据题设条件求出直线B1T方程，直线直线B1T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率．
【解答】解法一：由题意，可得直线A1B2的方程为，直线B1F的方程为
两直线联立则点T（），则M（），由于此点在椭圆上，故有
，整理得3a2﹣10ac﹣c2=0
即e2+10e﹣3=0，解得
故答案为
解法二：对椭圆进行压缩变换，，，
椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）．
延长TO交圆O于N，易知直线A1B2斜率为1，TM=MO=ON=1，，
设T（x′，y′），则，y′=x′+1，
由割线定理：TB2×TA1=TM×TN，，
（负值舍去），
易知：B1（0，﹣1），直线B1T方程：
令y′=0
，即F横坐标
即原椭圆的离心率e=．
故答案：．
【点评】本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．

14．（5分）（2009•江苏）设{an}是公比为q的等比数列，|q|＞1，令bn=an+1（n=1，2，…），若数列{bn}有连续四项在集合{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则6q=　﹣9　．
【考点】等比数列的性质；数列的应用．菁优网版权所有
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】根据Bn=An+1可知 An=Bn﹣1，依据{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中，则可推知则{An}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中，按绝对值的顺序排列上述数值，相邻相邻两项相除发现﹣24，36，﹣54，81是{An}中连续的四项，求得q，进而求得6q．
【解答】解：{Bn}有连续四项在{﹣53，﹣23，19，37，82}中
Bn=An+1 An=Bn﹣1
则{An}有连续四项在{﹣54，﹣24，18，36，81}中
{An}是等比数列，等比数列中有负数项则q＜0，且负数项为相隔两项
等比数列各项的绝对值递增或递减，按绝对值的顺序排列上述数值
18，﹣24，36，﹣54，81
相邻两项相除
=﹣
=﹣
=﹣
=﹣
很明显，﹣24，36，﹣54，81是{An}中连续的四项
q=﹣或 q=﹣（|q|＞1，∴此种情况应舍）
∴q=﹣
∴6q=﹣9
故答案为：﹣9
【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．

二、解答题（共6小题，满分90分）
15．（14分）（2009•江苏）设向量
（1）若与垂直，求tan（α+β）的值；
（2）求的最大值；
（3）若tanαtanβ=16，求证：∥．
【考点】平面向量数量积坐标表示的应用；平行向量与共线向量；两向量的和或差的模的最值．菁优网版权所有
【专题】平面向量及应用．
【分析】（1）先根据向量的线性运算求出，再由与垂直等价于与的数量积等于0可求出α+β的正余弦之间的关系，最后可求正切值．
（2）先根据线性运算求出，然后根据向量的求模运算得到||的关系，最后根据正弦函数的性质可确定答案．
（3）将tanαtanβ=16化成弦的关系整理即可得到（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ，正是∥的充要条件，从而得证．
【解答】解：（1）∵=（sinβ﹣2cosβ，4cosβ+8sinβ），与垂直，
∴4cosα（sinβ﹣2cosβ）+sinα（4cosβ+8sinβ）=0，
即sinαcosβ+cosαsinβ=2（cosαcosβ﹣sinαsinβ），
∴sin（α+β）=2cos（α+β），
cos（α+β）=0，显然等式不成立
∴tan（α+β）=2．
（2）∵=（sinβ+cosβ，4cosβ﹣4sinβ），
∴||=
=，
∴当sin2β=﹣1时，||取最大值，且最大值为．
（3）∵tanαtanβ=16，∴，即sinαsinβ=16cosαcosβ，
∴（4cosα）•（4cosβ）=sinαsinβ，
即=（4cosα，sinα）与=（sinβ，4cosβ）共线，
∴∥．
【点评】本题主要考查向量的线性运算、求模运算、向量垂直和数量积之间的关系．向量和三角函数的综合题是高考的热点，要强化复习．

16．（14分）（2009•江苏）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，E，F分别是A1B，A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C．求证：
（1）EF∥平面ABC；
（2）平面A1FD⊥平面BB1C1C．

【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．菁优网版权所有
【专题】立体几何．
【分析】（1）要证明EF∥平面ABC，证明EF∥BC即可；
（2）要证明平面A1FD⊥平面BB1C1C，通过证明A1D⊥面BB1C1C即可，利用平面与平面垂直的判定定理证明即可．
【解答】证明：（1）因为E，F分别是A1B，A1C的中点，
所以EF∥BC，又EF⊄面ABC，BC⊂面ABC，所以EF∥平面ABC；
（2）因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，所以BB1⊥面A1B1C1，BB1⊥A1D，
又A1D⊥B1C，BB1∩B1C=B1，所以A1D⊥面BB1C1C，又A1D⊂面A1FD，所以平面A1FD⊥平面BB1C1C．
【点评】本题考查直线与平面平行和垂直的判断，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．

17．（14分）（2009•江苏）设an是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足a22+a32=a42+a52，S7=7
（1）求数列an的通项公式及前n项和Sn；
（2）试求所有的正整数m，使得为数列an中的项．
【考点】数列的求和；等差数列的性质．菁优网版权所有
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（1）先把已知条件用a1及d表示，然后联立方程求出a1，d代入等差数列的通项公式及前n项和公式可求．
（2）先把已知化简可得，然后结合数列an的通项公式可寻求m满足的条件．
【解答】解：（1）由题意可得
联立可得a1=﹣5，d=2
∴an=﹣5+（n﹣1）×2=2n﹣7，
（2）由（1）知=若使其为数列an中的项
则必需为整数，且m为正整数
m=2，m=1；
m=1时不满足题意，（a1=﹣5是最小值）故舍去．
所以m=2．
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及前n项和的公式，解题的重点是要熟练掌握基本公式，并能运用公式，还要具备一定的运算能力．

18．（16分）（2009•江苏）在平面直角坐标系xoy中，已知圆C1：（x+3）2+（y﹣1）2=4和圆C2：（x﹣4）2+（y﹣5）2=4
（I）若直线l过点A（4，0），且被圆C1截得的弦长为，求直线l的方程；
（II）设P（a，b）为平面上的点，满足：存在过点P的两条互相垂的直线l1与l2，l1的斜率为2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，试求满足条件的a，b的关系式．

【考点】直线的一般式方程；直线和圆的方程的应用．菁优网版权所有
【专题】直线与圆．
【分析】（I ）因为直线l过点A（4，0），故可以设出直线l的点斜式方程，又由直线被圆C1截得的弦长为，根据半弦长、半径、弦心距满足勾股定理，我们可以求出弦心距，即圆心到直线的距离，得到一个关于直线斜率k的方程，解方程求出k值，代入即得直线l的方程．
（II）根据题意，可以设出过P点的直线l1与l2的点斜式方程，分析可得圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即可以得到一个关于a、b的方程，整理变形可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）若直线l的斜率不存在，则直线x=4与圆C1不相交，
故直线l的斜率存在，不妨设为k，则直线l的方程为y=k（x﹣4），
即kx﹣y﹣4k=0圆C1圆心（﹣3，1）到直线的距离，
直线l被圆C1截得的弦长为，则=1，
联立以上两式可得k=0或，
故所求直线l方程为y=0或．

（Ⅱ）依题意直线的方程可设为l1：y﹣b=2（x﹣a），l2：，
因为两圆半径相等，且分别被两直线截得的弦长相等，
故圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，
即，
解得：a﹣3b+21=0或3a+b﹣7=0．
【点评】在解决与圆相关的弦长问题时，我们有三种方法：一是直接求出直线与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式得出；二是不求交点坐标，用一元二次方程根与系数的关系得出，即设直线的斜率为k，直线与圆联立消去y后得到一个关于x的一元二次方程再利用弦长公式求解，三是利用圆中半弦长、弦心距及半径构成的直角三角形来求．对于圆中的弦长问题，一般利用第三种方法比较简捷．本题所用方法就是第三种方法．

19．（16分）（2009•江苏）照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为 m元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为．如果一个人对两种交易（卖出或买进）的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为．
现假设甲生产A、B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A、B两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A、B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙．
（1）求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mA=mB时，求证：h甲=h乙；
（2）设mA=mB，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
（3）记（2）中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA、mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0 同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．
【考点】函数模型的选择与应用．菁优网版权所有
【专题】函数的性质及应用．
【分析】（1）表示出甲和乙的满意度，整理出最简形式，在条件mA=mB时，表示出要证明的相等的两个式子，得到两个式子相等．
（2）在上一问表示出的结果中，整理出关于变量的符合基本不等式的形式，利用基本不等式求出两个人满意度最大时的结果，并且写出等号成立的条件．
（3）先写出结论：不能由（2）知h0=h0=．因为h甲h乙≤，不能取到mA，mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立．
【解答】解：（1）甲：买进A的满意度为hA1=，卖出B的满意度为hB1=；
所以，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲==；
乙：卖出A的满意度为：hA2=，买进B的满意度为：hB2=；
所以，乙卖出A与买进B的综合满意度h乙==；
当mA=mB时，h甲=，h乙=，所以h甲=h乙
（2）设mB=x（其中x＞0），当mA=mB时，
h甲=h乙==≤；
当且仅当x=，即x=10时，上式“=”成立，即mB=10，mA=×10=6时，
甲、乙两人的综合满意度均最大，最大综合满意度为；
（3）不能由（2）知h0=．因为h甲h乙≤
因此，不能取到mA，mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立．
【点评】本题考查函数模型的选择和应用，本题解题的关键是理解题意，这是最主要的一点，题目中所用的知识点不复杂，只要注意运算就可以．

20．（16分）（2009•江苏）设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|．
（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；
（2）求f（x）的最小值；
（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．
【考点】二次函数的性质；一元二次不等式的解法．菁优网版权所有
【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）f（0）≥1⇒﹣a|a|≥1再去绝对值求a的取值范围，
（2）分x≥a和x＜a两种情况来讨论去绝对值，再对每一段分别求最小值，借助二次函数的对称轴及单调性．最后综合即可．
（3）h（x）≥1转化为3x2﹣2ax+a2﹣1≥0，因为不等式的解集由对应方程的根决定，所以再对其对应的判别式分三种情况讨论求得对应解集即可．
【解答】解：（1）若f（0）≥1，则﹣a|a|≥1⇒⇒a≤﹣1
（2）当x≥a时，f（x）=3x2﹣2ax+a2，∴，
如图所示：

当x≤a时，f（x）=x2+2ax﹣a2，
∴．

综上所述：．
（3）x∈（a，+∞）时，h（x）≥1，
得3x2﹣2ax+a2﹣1≥0，△=4a2﹣12（a2﹣1）=12﹣8a2
当a≤﹣或a≥时，△≤0，x∈（a，+∞）；
当﹣＜a＜时，△＞0，得：
即
进而分2类讨论：
当﹣＜a＜﹣时，a＜，
此时不等式组的解集为（a，]∪[，+∞）；
当﹣≤x≤时，＜a＜；
此时不等式组的解集为[，+∞）．
综上可得，
当a∈（﹣∞，﹣）∪（，+∞）时，不等式组的解集为（a，+∞）；
当a∈（﹣，﹣）时，不等式组的解集为（a，]∪[，+∞）；
当a∈[﹣，]时，不等式组的解集为[，+∞）．
【点评】本题考查了分段函数的最值问题．分段函数的最值的求法是先对每一段分别求最值，最后综合最大的为整个函数的最大值，最小的为整个函数的最小值．
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