微分中值定理与导数的应用整章.pptx
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1、 中值定理及其应用中值定理及其应用2.3.1 中值定理中值定理一、罗尔中值定理一、罗尔中值定理二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理三、柯西中值定理四、小结思考题四、小结思考题一、罗尔(Rolle)定理例如例如,点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停物理解释物理解释:变速直线运动在变速直线运动在折返点处折返点处,瞬时速瞬时速度等于零度等于零.几何解释几何解释:证证注意注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其其结论可能不成立结论可能不成立.例如例如,又例如又例如,例例1 1证证由介值定理由介值定理即为方程的小于即为方程的小于1的正实根
2、的正实根.矛盾矛盾,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理几何解释几何解释:证证分析分析:弦弦AB方程为方程为作辅助函数作辅助函数拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式注意注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值定理又称有限增量定理有限增量定理.拉格朗日中值公式又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式有限增量公式.微分中值定理微分中值定理推论推论例例2 2证证例例3 3证证由上式得由上式得三、柯西(Cauchy)中值定理几何解释几何解释:证证作
3、辅助函数作辅助函数例例4 4证证分析分析:结论可变形为结论可变形为四、小结四、小结Rolle定理定理Lagrange中值定理中值定理Cauchy中值定理中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系;之间的关系;注意定理成立的条件;注意定理成立的条件;注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.思考题思考题 试举例说明拉格朗日中值定理的条件试举例说明拉格朗日中值定理的条件缺一不可缺一不可.思考题解答思考题解答不满足在闭区间上不满足在闭区间上连续连续的条件;的条件;且且不满足在开区间内不满足在开区间内可微可微的
4、条件;的条件;以上两个都可说明问题以上两个都可说明问题.练练 习习 题题2.3.2 洛必达法则洛必达法则三、小结三、小结定义定义例如例如,定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.证证定义辅助函数定义辅助函数则有则有例例1 1解解例例2 2解解例例3 3解解例例4 4解解例例5 5解解注意:洛必达法则是求未定式的一种有效方法,注意:洛必达法则是求未定式的一种有效方法,但与其它求极限方法结合使用,效果更好但与其它求极限方法结合使用,效果更好.例例6 6解解例例
5、7 7解解关键关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .步骤步骤:例例8 8解解步骤步骤:步骤步骤:例例9 9解解例例1010解解例例1111解解例例1212解解极限不存在极限不存在洛必达法则失效。洛必达法则失效。注意:注意:洛必达法则的使用条件洛必达法则的使用条件三、小结洛必达法则洛必达法则思考题思考题思考题解答思考题解答不一定不一定例例显然显然极限不存在极限不存在但但极限存在极限存在练练 习习 题题练习题答案练习题答案 2.3.3 泰勒泰勒(Taylor)定理定理 一、问题的提出一、问题的提出 二、二、Pn和和Rn的确定的确定 三、泰勒中
6、值定理三、泰勒中值定理 四、简单应用四、简单应用 五、小结五、小结 思考题思考题一、问题的提出(如下图)(如下图)不足不足:问题问题:1、精确度不高;、精确度不高;2、误差不能估计、误差不能估计.分析分析:2.若有相同的切线若有相同的切线3.若弯曲方向相同若弯曲方向相同近近似似程程度度越越来来越越好好1.若在若在 点相交点相交三、泰勒三、泰勒(Taylor)(Taylor)中值定理中值定理证明证明:拉格朗日形式的余项拉格朗日形式的余项皮亚诺形式的余项皮亚诺形式的余项注意注意:麦克劳林麦克劳林(Maclaurin)(Maclaurin)公式公式四、简单的应用解解代入公式代入公式,得得由公式可知由
7、公式可知估计误差估计误差其误差其误差 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式解解播放播放五、小结思考题思考题利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限思思考考题题解解答答练练 习习 题题练习题答案练习题答案 2.4.1 一一 函数单调性的判定法函数单调性的判定法 一、单调性的判别法一、单调性的判别法 二、单调区间求法二、单调区间求法 三、小结三、小结 思考题思考题一、单调性的判别法定理定理证证应用拉氏定理应用拉氏定理,得得例例1 1解解注意注意:函数的单调性是一个区间上的性质,要用函数的单调性是一个区间上的性质,要用导数在这一区间上的符号来判定,而不能用一导数在这一区间上的符号来判定,而不能用
8、一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性点处的导数符号来判别一个区间上的单调性二、单调区间求法问题问题:如上例,函数在定义区间上不是单调的,如上例,函数在定义区间上不是单调的,但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定义定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的,则该区间称为函数的的,则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间的分界点的分界点方法方法:例例2 2解解单调区间为单调区间为例例3 3解解单调区间为单调区间为例例4 4证证注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,
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