浙江省衢州市2018-2019学年学年高一下学期期末考试数学试题+Word版含解析.doc

忂州市2018-2019学年高一年级教学质量检测试卷
数 学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：根据集合交集运算得到答案.
详解：由，，得
故选B.
点睛：本题考查交集及其运算，是基础的计算题.
2. 下列函数中，在上单调递增的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：根据函数的定义域和函数的性质逐一分析，确定正确答案.
详解：
选项A：定义域上为偶函数，在对称区间上单调性相反，故A错误;
选项B，定义域为，故B错误；
选项C，定义域上单调递增，故C正确；
选项D，定义域上单调递减，故D错误.
故选C.
点睛：本题主要考查函数单调性的判断，常见函数的单调性，属于基础题.
3. 已知函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：根据函数解析式，由内向外依次求出，，即可求出答案.
详解：由题可知，，

故选B.
点睛：本题主要考查分段函数的函数值，多层函数的值应从内到外求解，考查分类讨论思想.
4. 在中，角，，所对的边分别是，，，且，，，则（ ）
A. B. C. 或 D. 或
【答案】B
【解析】分析：利用正弦定理和三角形边角大小关系，即可求得答案.
详解：，，， ,
又由正弦定理，得

故选B.
点睛：本题考查了正弦定理和三角形的边角大小关系，考查推理能力与计算能力.
5. 函数的零点所在的一个区间是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】试题分析：因,则函数零点所在的区间是,应选答案D．
考点：函数的零点及判别.
6. 为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）
A. 向左平移 B. 向左平移 C. 向右平移 D. 向右平移
【答案】D
【解析】试题分析：本题考查三角函数的图像变换,由 ,可以看出图像左移了个单位.
考点：三角函数的图像变换
7. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】分析：先对两边取对数，求出的值，再根据对数的换底公式和运算性质计算，即可求出答案.
详解： ， ，

故选B.
点睛：本题考查指对互化，对数的换底公式和运算性质，属于基础题.
8. 若是定义在上以为周期的奇函数，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】分析：根据函数的周期性和奇偶性，，即求出答案..
详解： 是定义在上以为周期的奇函数
，，
故选D.
点睛：本题考查函数值的求法，解题时认真审题，注意函数的周期性和奇函数性质的合理运用.
9. 已知集合，，则从到的函数共有（ ）
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
【答案】D
【解析】分析：根据函数的定义， 结合题中数据通过枚举法列出，即可得到答案.
详解：根据函数的定义，集合A中的元素在集合B中都有唯一的元素和其对应，
从到的函数情况如下：
（1）； （2）；
（3），；（4），
因此，从到的函数共有个.
故选D.
点睛：本题考查函数的概念及其构成要素，归纳问题后可知，若集合A的元素为个，集合B的元素为个，则从A到B的函数有个.
10. 如图所示，阴影部分的面积是的函数（），则该函数的图象是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】分析：由图可知，阴影部分的面积随h的增大而减小，且减小的速度越来越慢，按此规律分析选项，即可得到正确答案.
详解：观察图，可知阴影部分的面积随h的增大而减小，排除B和C.
由于图形的宽度上小下大，所以的变化率随h的增大而减小，排除D.
故选A.
点睛：本题考查了函数问题的实际应用，通过观察图象找出变量之间的变化规律，再根据此规律画出函数的大致图象，考查学生的读图能力和排除法在选择题中的应用.
11. 已知，若，则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：通过变形，利用基本不等式的性质，即可得出答案.
详解：设，则，
，即
整理得：当且仅当

当且仅当时取.
解得或（舍去）
即当时，取得最小值8.
故选C.
点睛：本题考查基本不等式，灵活变形和熟练掌握基本不等式的性质，正确把握“一正，二定，三相等”是解题关键.
12. 定义在上的函数满足，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】分析：由题意可知，为偶函数，再由时函数的解析式，求得在上连续且单调递减，由，得，即，再根据一次函数单调性，解不等式即可得到所求的最大值.
详解： 为偶函数，
当时，，绘制如图所示的函数图象，
由图可知在上连续且单调递减，
，不等式恒成立，
等价于，不等式恒成立，
两边同时平方整理得恒成立
令，则有，函数最大值恒成立
（1）当时，，即恒成立，
（2）当时，单调递增，
即，解得，
所以的取值范围为
（3）当时，单调递减，
即，解得，
所以，不存在满足条件的值.
综上使，不等式恒成立的的取值范围
所以最大值为
故选C.
为
点睛：本题考查不等式的恒成立问题的解法，运用函数的奇偶性和单调性解不等式问题，考查学生转化思想和运算能力，有一定难度.
已知函数的单调性和奇偶性，解形如的不等式的解法如下：
奇偶性
单调性
转化不等式
奇函数
区间上单调递增

区间上单调递减

偶函数
对称区间上左减右增

对称区间上左增右减

简言之一句话，将函数值不等式问题转化为自变量不等式问题，
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（多空题每题5分，单空题每题4分，满分36分，将答案填在答题纸上）
13. 已知向量，，若，则__________；若，则__________．
【答案】 (1). . (2). 1.
【解析】分析：由两个向量平行和垂直的条件，分别得到关于的方程，解出的值即可.
详解： ，，
，，解得，
故答案为，
点睛：本题考查平面向量平行和垂直的条件，是基础的计算题.
14. 已知角的终边过点，则__________；__________．
【答案】 (1). . (2). .
【解析】分析：根据任意角三角函数的定义，可直接求出，再利用正切的二倍角公式即可求得.
详解：角的终边过点，由三角函数的定义，可知，

故答案为，
点睛：本题主要考查任意角三角函数的定义和正切的二倍角公式的应用，考查学生运用基本知识解决问题的能力.
15. 等差数列中，若，，则数列的通项公式__________；数列的前项和__________．
【答案】 (1). . (2). .
【解析】分析：由等差数列通项公式，建立关于和的方程组，求出和，再利用公式分别计算出和.
详解：设等差数列的公差为，则 ，
，，
，解得
，
故答案为(1). . (2). .
点睛：本题考查等差数列的通项公式和前n项和公式，属于基础计算题.
16. 已知，，则__________；__________．
【答案】 (1). . (2). .
【解析】分析：由的范围，求出的范围，再由的值，利用同角三角函数关系，求出的值，最后根据余弦的两角差公式，即可求出的值.
详解： ，
，

，
故答案为(1). . (2). .
点睛：本题考查同角三角函数的基本关系和余弦的两角差公式，运用技巧和熟练掌握计算公式是快速解题关键.
17. 设，则的最大值为__________．
【答案】1.
【解析】分析：由定义，求出的解析式，画出函数图象，确定最大值.
详解：由，解得或
，
，
函数图象如图所示，当时取得最大值1.
故答案为1.

点睛：本题考查确定函数解析式和函数最值的方法，画出函数图象，用数形结合的方法可以简化此类问题的求解过程.
18. 若实数，满足约束条件，且的最小值为，则__________．
【答案】.
【解析】分析：根据约束条件画出部分平面区域，利用的最小值为，建立条件关系即可求出k的值.
详解：画直线和，如图两直线交于点D，所以部分可行域为两直线下方的公共部分，
因为的最小值为，所以取得最小值时目标函数对应的直线为
如图，设直线与直线交于点A，
联立直线方程，解得，即
由题可知直线必过点A，即直线，
故答案为

点睛：本题主要考查线性规划的含参问题，数形结合是解决问题的关键.
目标函数型线性规划问题解题步骤：
（1）确定可行区域
（2）将转化为，求z的值，可看做求直线，在y轴上截距 的最值。
（3）将平移，观察截距最大（小）值对应的位置，联立方程组求点坐标。
（4）将该点坐标代入目标函数，计算Z。
19. 已知，动点满足，且，则在方向上的投影的取值范围是__________．
【答案】.

...........................
详解：方法一，，，，

在方向上的投影
设，
（1）当时，
（2）当时，令，则

①当时， ，，当时取得最大值.
②当时， ，，时
综上在方向上的投影的取值范围为
故答案为
方法二， ，
，，为等边三角形.
设，易得为直角三角形.
，且，
，且
点在直线BD上.
如图所示，点在直线BD上由左至右移动过程中，在方向上的投影先增大在减小
当时，在方向上的投影取得最大值2；
当在右侧无穷远处，近似于，在方向上的投影最小值接近于
所以在方向上的投影的取值范围为
故答案为

点睛：本题是平面向量在几何中的应用题，考查向量的数量积和函数值域计算的方法，解题中注意分类讨论.根据题意构建几何关系求解此类问题，运用数形结合可以简化解题过程.
向量投影的定义，由数量积的几何意义可知，向量在上的投影
向量的模长，
换元法求解函数值域时，注意换元后新自变量的定义域，结合函数解析式分类讨论计算问题.
三、解答题 （本大题共4小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
20. 已知函数.
（Ⅰ）若，求的值；
（Ⅱ）若，函数在上的最小值为，求实数的值.
【答案】(1) .
(2).
【解析】分析：（Ⅰ）根据已知条件，将代入函数解析式即可求解.
（Ⅱ）根据复合函数单调性在公共定义域上同增异减，判断出函数的单调性，确定最小值对应的，即可求得m的值.
详解：解：（1）当时，
（2）因为，函数在上是增函数，
所以，
故，则
点睛：本题考查函数值的计算和含参问题在闭区间上的最值问题，复合函数单调性的判断是解题关键.
21. 已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）在锐角中，角，，所对的边分别是，，，若，且，，求边的值.
【答案】(1) .
(2) .
【解析】分析：（Ⅰ）根据正弦的二倍角公式和辅助角公式，得到函数的解析式，再由即可求出答案
（Ⅱ）由及为锐角三角形，求得角的值.再由，得，然后由余弦定理求得边c的值.
详解：解：（1）

则
（2）∵，∴
又∵为锐角，∴
∴，∴
∵，∴
，
故
点睛：本题考查二倍角的三角函数，辅助角公式，正弦定理与余弦定理的应用，考查计算能力.
22. 已知函数，.
（Ⅰ）若为偶函数，求的值并写出的增区间；
（Ⅱ）若关于的不等式的解集为，当时，求的最小值；
（Ⅲ）对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1) ；增区间.
(2) 的最小值为，取“”时.
(3) .
【解析】分析：（Ⅰ）由偶函数的定义得，求出的值.再根据二次函数单调区间的判断方法，确定的增区间；
（Ⅱ）根据已知条件结合韦达定理，求得的值.再化简整理的表达式，结合和基本不等式即可得到答案.
（Ⅲ）先求出区间上，再将不等式恒成立，转化为上恒成立问题，构造新函数，得恒成立，分类讨论求得参数的值.
详解：解：（Ⅰ） 为偶函数，
，即，解得.
所以，函数，对称轴，增区间
（Ⅱ）由题知
∴
又∵，∴
∴，
即的最小值为，取“”时
（Ⅲ）∵时，
∴在恒成立
记，（）
①当时，
由，∴
②当时，
由，∴
③当时，
由，
综上所述，的取值范围是
点睛：本题主要考查单调性和奇偶性，二次函数、一元二次方程和一元二次不等式之间的关系，基本不等式的应用，不等式恒成立问题，准确把握常见函数的性质、恒成立问题的求解方法和灵活运用分类讨论思想是解题关键.
23. 已知数列中，，，.
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）令，求证：；
（Ⅲ）设是数列的前项和，求证：.
【答案】(1) ，.
(2) 证明见解析.
(3)证明见解析.
【解析】分析：（Ⅰ）分别将代入递推公式，即可求得，的值；
（Ⅱ）根据递推公式和；求得，且，用裂项相消法求 ，从而证明不等式.
（Ⅲ）由递推公式得.得是递增数列，由（1）可知，所以时，应用缩放法可得，化简整理后即可证明不等式.
详解：（Ⅰ）解：由题，，
得，
（Ⅱ）证明：显然，∵
∴，∴
即
∴
（Ⅲ）证明：∵，，∴是递增数列
由于，，
∴
∴
点睛：本题考查数列的递推关系，裂项相消法求数列前n项和，不等式的性质和缩放法证明不等式，考查了推理能力，问题转化能力与计算能力.

没有平日的失败，就没有最终的成功。重要的是分析失败原因并吸取教训。