高中向量例题详解总汇(1)(含答案).doc
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1、向量一、基本知识结构向量向量的概念向量的运算向量的运用向量的加、减法实数与向量的积向量的数量积平面向量的基本定理及坐标表示向量的坐标运算物理学中的运用几何中的运用两向量平行两向量垂直向量的夹角向量的模两点间的距离二、教学重点和难点1 理解向量的概念,向量的几何表示和坐标表示,向量的线性运算。2 平面向量的数量积3 平面向量的分解定理三、考点1 向量的概念,向量的几何表示;2 向量的加法与减法;3 实数与向量的积,两个向量共线的充要条件;4 向量的数量积,计算向量的大小、方向,两向量垂直的充要条件;5 向量的坐标表示、坐标运算;6 向量的分解定理7 向量的应用四、课堂教学实施策略本章节中,向量的
2、概念是通过举例反映概念实质的具体对象,并充分发挥几何图形的直观特点,使学生在感性认识的基础上建立概念;数量积的概念是通过严格的定义给出,和学生一起分析满足定义的充要条件;向量的运算,可以借助几何直观,并通过与数的对比引入,便于学生接受。五、教学后的建议 注意对学生思维能力的培养,对知识的处理,尽可能让学生自己观察、比较、猜想、分析、归纳、抽象、概括。同时注意数学思想方法的渗透和应用。 六、典型例题(一)向量有关概念:例1:判断下列各命题是否正确:(1)零向量没有方向;(2)若;(3)单位向量都相等;(4)向量就是有向线段;(5)两相等向量若共起点,则终点也相同;(6)若,则;(7)若,则;(8
3、)若四边形ABCD是平行四边形,则;(9)的充要条件是且;分析:正确理解向量的有关概念,以概念为判断依据,或通过举反例说明。解:(1)不正确,零向量方向任意;(2) 不正确,只是说明模相等,还有方向;(3)不正确,单位向量的模为1,方向很多;(4)不正确,有向线段是向量的一种表示形式;(5)正确, (6)正确,向量相等有传递性;(7)不正确,因若,则不共线的向量也有,;(8)不正确, 如图;(9)不正确,当,且方向相反时,即使,也不能得到。点评:对于有关向量基本概念的考查,可以从概念的特征入手,也可以从通过举出反例而排除或否定相关命题。相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定相等;长度为0的向
4、量叫零向量,零向量的方向是任意的;两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念:两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合;平行向量无传递性。(二)向量的加、减法例2:化简分析:本题考查向量的加、减法,及相关运算律。解法一:(统一成加法)=解法二(利用)= =解法三(利用)设O是平面内任意一点,则=点评:掌握向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识在求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理,必要时也可化减为加,减低出错律。例3:在DABC所在的平面上有一点P,满足,则DPBC与DABC的面积之比是( )A B C DBCAPB CA P分析:本题中的已知向量都集中体
5、现在三角形中为此,可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解。解:由,得,即,所以点是边上的第二个三等分点,如图所示。故(三)向量数乘运算及其几何意义例4:设是不共线的向量,已知向量,若A,B,D三点共线,求实数k的值分析:证明存在实数,使得解:, 使得点评:A、B、C 三点共线的一个充要条件是存在 实数,使得=例5:已知A、B、C、P为平面内四点,求证:A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n,使=m+n,且m+n=1分析:很显然,题设条件中向量表达式并未涉及、,对此,我们不妨利用 =来转化,以便进一步分析求证。证明:充分性,由,mn=1,得 A、B、C三点共线必要性:由A、B
6、、C 三点共线知,存在常数,使得, 即,m=1,n=,mn=1,。点评: 逆向应用向量加法运算法则,使得本题的这种证法比其他证法更简便,值得一提的是,一个向量拆成两个向量的和,一定要强化目标意识。这是一个重要结论,要牢记。例6:已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E,O是任意一点,求证:+=4AODCB分析:由平行四边形的对角线互相平分和相等向量的定义可得。证明:E是对角线AC和BD的交点 =- ,=- 在OAE中,+=同理 += , += ,+=以上各式相加,得 +=4点评:用向量法解平面几何问题,实质上是将平面几何问题的代数化处理,在解题中应注意进行向量语言与图形语言的互译。(四)平面向
7、量的坐标表示与运算例7:已知A(-2,4)、B(3,-1)、C(-3,-4),且,求点M、N的坐标及向量的坐标。分析:利用平面向量的基本本概念及其坐标表示求解。解: A(-2,4)、B(3,-1)、C(-3,-4),=3(1,8)=(3,24),=2(6,3)=(12,6)设,则因此 得,同理可得N(9,2),=(9-0,2-20)=(9,-18)点评:需灵活运用向量的坐标运算公式。例8: 已知向量,若,则锐角q等于( )A B C D分析:已知的坐标,当求时,运用两向量平行的充要条件x1y2-x2y1=0可求sinq值。解:(1-sinq)(1+sinq)-=0,cos2q=,故选B。点评:
8、数学语言常有多种表达方式,学会转化与变通是求解的关键本题以几何特征语言形式出现,最终落足点要变式成方程的语言来求解,这一思想方法在求解向量问题时经常用到。(五)平面向量的数量积例9:已知,的夹角为1200,求 分析:直接用定义或性质计算解:点评:注意公式,当知道的模及它们的夹角可求的数量积,反之知道的数量积及的模则可求它们的夹角。例10:在ABC中,=(2, 3),=(1, k),且ABC的一个内角为直角,求k的值。分析:注意分情况计论。解:当A = 90时,= 0,21 +3k = 0 k = 当B = 90时,= 0,=-= (1-2, k-3) = (-1, k-3)2(-1) +3(k
9、-3) = 0 k = 当C= 90时,= 0,-1 + k(k-3) = 0 k =点评:是一个常用的结论。例11:已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是 ( )A.0, B. C. D.分析:要求两向量夹角的取值范围,可先求cosq的取值范围。解:由关于的方程有实根,得:.设向量的夹角为,则cos=,又,.答案 B.(六)平面向量基本定理例12:在OAB中,AD与BC交于点M,设=,=,用,表示.分析:若是一个平面内的两个不共线向量,则根据平面向量的基本定理,平面内的任何向量都可用线性表示。本例中向量,可作基底,故可设=m+n,为求实数m,n,需利用向量与共线,向量与共线,建立关
10、于m,n的两个方程。解:设=m+n,则,点A、M、D共线,与共线,m+2n=1. 而,C、M、B共线,与共线,4m+n=1. 联立解得:m=,n=,例13:已知P是DABC所在平面内一点,AP的中点为Q,BQ的中点为R,CR的中点为S。证明:只有唯一的一点P使得S与P重合。分析:要证满足条件的点是唯一的,只需证明向量可用一组基底唯一表示。ABCQRP证明:设,则 ,由题设知: 由于,是确定的向量,所以是唯一的一个向量,即所在平面内只有唯一的一点使得与重合.点评:解决此类类问题的关键在于以一组不共线的向量主基底,通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件,把其它相关的向量用这一组基底表示出来,
11、再利用向量相等建立方程,从而解出相应的值。(七)平面向量的应用例14:如图所示,ABCD是菱形,AC和BD是它的两条对角线。求证ACBD。分析:对于线段的垂直,可以联想到两个向量垂直的充要条件,而对于这一条件的应用,可以考虑向量式的形式,也可以考虑坐标形式的 充要条件。证法一:+,-,()(-)|2-|20证法二:以OC所在直线为x轴,以B为原点建立直角坐标系,设B(0,0),A(a,b),C(c,0),则由|AB|BC|得a2b2c2(c,0)-(a,b)(c-a,-b),(a,b)(c,0)(ca,b),c2-a2-b20 即 ACBD点评:如能熟练应用向量的坐标表示及运算,则将给解题带来
12、一定的方便。通过向量的坐标表示,可以把几何问题的证明转化成代数式的运算,体现了向量的数与形的桥梁作用。例15: 为的内角A、B、C的对边,且与的夹角为,求C;分析:考查向量数量积运算及三角函数二倍角公式解:,又 , 例16: 已知A、B、C是直线l上的不同的三点,O是外一点,向量满足,记,求函数的解析式。分析:A、B、C三点共线,解: A、B、C三点共线,点评:涉及与三角综合的题目,多数只利用向量的基本运算,把问题转化为三角问题,以考查三角函数知识为主。三点共线是一个常考常新的知识点。要记住常用结论:A、B、C三点共线,例17:设炮弹被以初速v0和仰角抛出(空气阻力忽略不计).当初速度v0的大
13、小一定时,发射角多大时,炮弹飞行的距离最远.分析:上述问题中涉及速度等物理量,可根据平面向量的基本定理和物理问题的需要,把v0分解为水平方向和竖直方向两个不共线的向量,再利用运动学知识建立数学模型,最后利用向量的知识求解.解:将v0分解为水平方向和竖直方向两个分速度v1和v2,则| v1|=| v0|cos, | v2|=| v0|sin , 由物理学知识可知,炮弹在水平方向飞行的距离S =| v1|t=| v0|cost(t是飞行时间) 炮弹在垂直方向的位移是0=| v2|t-gt2(g是重力加速度) 由得t=,代入得=由于| v0|一定,所以当=45时,S有最大值.故发射角=45时,炮弹飞
14、行的距离最远.点评:利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”。1、二面角是直二面角,设直线与所成的角分别为1和2,则(A)1+2=900 (B)1+2900 (C)1+2900 (D)1+2900解析:C如图所示作辅助线,分别作两条与二面角的交线垂直的线,则1和2分别为直线AB与平面所成的角。根据最小角定理:斜线和平面所成的角,是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小的角2. 下列各图是正方体或正四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,这四个点中不共面的一个图是 (A) (B) (C) (D)D解析: A项:底面对应的中线,中线平行QS,PQRS是个梯形B项: 如图C项:是个
15、平行四边形D项:是异面直线。3. 有三个平面,下列命题中正确的是 (A)若,两两相交,则有三条交线 (B)若,则 (C)若,=a,=b,则ab (D)若,=,则=D解析:A项:如正方体的一个角,三个平面相交,只有一条交线。B项:如正方体的一个角,三个平面互相垂直,却两两相交。C项:如图4. 如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1的侧面AB1内有一动点P到直线AB与直线B1C1的距离相等,则动点P所在曲线的形状为 C解析:平面AB1,如图:P点到定点B的距离与到定直线AB的距离相等,建立坐标系画图时可以以点B1B的中点为原点建立坐标系。5. 在正方体ABCDA1B1C1D1中与AD1成600
16、角的面对角线的条数是 (A)4条 (B)6条 (C)8条 (D)10条C解析:如图这样的直线有4条,另外,这样的直线也有4条,共8条。6. 设A,B,C,D是空间不共面的四点,且满足,则BCD是 (A)钝角三角形 (B)直角三角形 (C)锐角三角形 (D)不确定C解析:假设AB为a,AD为b,AC为c,且则,BD=,CD=,BC=如图则BD为最长边,根据余弦定理最大角为锐角。所以BCD是锐角三角形。7.设a、b是两条不同的直线,、是两个不同的平面,则下列四个命题( ) 若若 其中正确的命题的个数是( )A0个B1个C2个D3个B 解析:注意中b可能在上;中a可能在上;中b/,或均有,故只有一个
17、正确命题8.如图所示,已知正四棱锥SABCD侧棱长为,底面边长为,E是SA的中点,则异面直线BE与SC所成角的大小为 ( )A90B60C45D30B 解析:平移SC到,运用余弦定理可算得9. 对于平面M与平面N, 有下列条件:M、N都垂直于平面Q;M、N都平行于平面Q; M内不共线的三点到N的距离相等;l, M内的两条直线,且l/ M,m / N; l,m是异面直线,且l/ M,m / M;l/ N,m / N,则可判定平面M与平面N平行的条件的个数是( )A1B2C3D4只有、能判定M/N,选B10. 已知正三棱柱ABCA1B1C1中,A1BCB1,则A1B与AC1所成的角为 (A)450
18、 (B)600 (C)900 (D)1200C解析:作CDAB于D,作C1D1A1B1于D1,连B1D、AD1,易知ADB1D1是平行四边形,由三垂线定理得A1BAC1,选C。11. 正四面体棱长为1,其外接球的表面积为A.B. C. D.3解析:正四面体的中心到底面的距离为高的1/4。(可连成四个小棱锥得证12. 设有如下三个命题:甲:相交直线、m都在平面内,并且都不在平面内;乙:直线、m中至少有一条与平面相交;丙:平面与平面相交当甲成立时,A乙是丙的充分而不必要条件 B乙是丙的必要而不充分条件C乙是丙的充分且必要条件 D乙既不是丙的充分条件又不是丙的必要条件解析:当甲成立,即“相交直线、m
19、都在平面内,并且都不在平面内”时,若“、m中至少有一条与平面相交”,则“平面与平面相交”成立;若“平面与平面相交”,则“、m中至少有一条与平面相交”也成立选(C)13. 已知直线m、n及平面,其中mn,那么在平面内到两条直线m、n距离相等的点的集合可能是:(1)一条直线;(2)一个平面;(3)一个点;(4)空集其中正确的是 解析:(1)成立,如m、n都在平面内,则其对称轴符合条件;(2)成立,m、n在平面的同一侧,且它们到的距离相等,则平面为所求,(4)成立,当m、n所在的平面与平面垂直时,平面内不存在到m、n距离相等的点14.空间三条直线互相平行,由每两条平行线确定一个平面,则可确定平面的个
20、数为( )A3B1或2C1或3D2或3解析:C 如三棱柱的三个侧面。15若为异面直线,直线ca,则c与b的位置关系是( )A相交B异面C平行D 异面或相交解析:D 如正方体的棱长。16在正方体A1B1C1D1ABCD中,AC与B1D所成的角的大小为( )ABCD解析:DB1D在平面AC上的射影BD与AC垂直,根据三垂线定理可得。17如图,点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上,并且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的一个图是( )解析:C A,B选项中的图形是平行四边形,而D选项中可见图:18如图,是一个无盖正方体盒子的表面展开图,A、B、C为其上的三个点,则在正方体盒子中,ABC等于
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