高中数学必修1-对数及对数函数-知识点+习题.doc

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对数与对数函数
（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：（— 底数，— 真数，— 对数式）
说明： 注意底数的限制，且； ；
注意对数的书写格式．
两个重要对数： 常用对数：以10为底的对数；
自然对数：以无理数为底的对数的对数．
u 指数式与对数式的互化
幂值 真数

＝ N＝ b

底数
指数 对数
（二）对数的运算性质
如果，且，，，那么：
·＋；
－；
．
注意：换底公式 （，且；，且；）．
利用换底公式推导下面的结论 （1）； （2）．
（二）对数函数
1、对数函数的概念：函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意： 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
对数函数对底数的限制：，且．
2、对数函数的性质：
a>1
0<a<1

定义域x＞0
定义域x＞0
值域为R
值域为R
在R上递增
在R上递减
函数图象都过定点（1，0）
函数图象都过定点（1，0）
对数与对数函数
一.选择题
1．若3a=2,则log38-2log36用a的代数式可表示为（ ）
（A）a-2 （B）3a-(1+a)2 （C）5a-2 （D）3a-a2
2.2loga(M-2N)=logaM+logaN,则的值为（ ）
（A） （B）4 （C）1 （D）4或1
3．已知x2+y2=1,x>0,y>0,且loga(1+x)=m,loga等于（ ）
（A）m+n （B）m-n （C）(m+n) （D）(m-n)
4.如果方程lg2x+(lg5+lg7)lgx+lg5·lg7=0的两根是α、β，则α·β的值是（ ）
（A）lg5·lg7 （B）lg35 （C）35 （D）
5.已知log7[log3(log2x)]=0，那么x等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
6．函数y=lg（）的图像关于（ ）
（A）x轴对称 （B）y轴对称 （C）原点对称 （D）直线y=x对称
7．函数y=log(2x-1)的定义域是（ ）
（A）（，1）（1，+） （B）（，1）（1，+）
（C）（，+） （D）（，+）
8．函数y=log(x2-6x+17)的值域是（ ）
（A）R （B）[8，+] （C）（-，-3） （D）[3，+]
9．函数y=log(2x2-3x+1)的递减区间为（ ）
（A）（1，+） （B）（-，］ （C）（，+） （D）（-，］
10．函数y=()+1+2,(x<0)的反函数为（ ）
（A）y=- （B）
（C）y=- （D）y=-
11.若logm9<logn9<0,那么m,n满足的条件是（ ）
（A）m>n>1 （B）n>m>1 （C）0<n<m<1 （D）0<m<n<1
12.loga，则a的取值范围是（ ）
（A）（0，）（1，+） （B）（，+）
（C）（） （D）（0，）（，+）
13．若1<x<b,a=log２bx,c=logax,则a,b,c的关系是（ ）
（A）a<b<c （B）a<c<b （C）c<b<a （D）c<a<b
14.下列函数中，在（0，2）上为增函数的是（ ）
（A）y=log(x+1)（B）y=log2（C）y=log2（D）y=log(x2-4x+5)
15.下列函数中，同时满足：有反函数，是奇函数，定义域和值域相同的函数是（ ）
（A）y=（B）y=lg（C）y=-x3 （D）y=
16.已知函数y=loga(2-ax)在[0，1]上是x的减函数，则a的取值范围是（ ）
（A）（0，1） （B）（1，2） （C）（0，2） （D）[2，+)
17．已知g(x)=loga(a>0且a1)在（-1，0）上有g(x)>0，则f(x)=a是（ ）
（A）在（-，0）上的增函数 （B）在（-，0）上的减函数
（C）在（-，-1）上的增函数 （D）在（-，-1）上的减函数
18．若0<a<1,b>1,则M=ab，N=logba,p=ba的大小是（ ）
（A）M<N<P （B）N<M<P （C）P<M<N （D）P<N<M
19．“等式log3x2=2成立”是“等式log3x=1成立”的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
20．已知函数f(x)=,0<a<b,且f(a)>f(b)，则（ ）
（A）ab>1 （B）ab<1 （C）ab=1 （D）(a-1)(b-1)>0
二、填空题
1．若loga2=m,loga3=n,a2m+n= 。
2．函数y=log(x-1)(3-x)的定义域是 。
3．lg25+lg2lg50+(lg2)2= 。
4.函数f(x)=lg()是 （奇、偶）函数。
5．已知函数f(x)=log0.5 (-x2+4x+5),则f(3)与f（4）的大小关系为 。
6．函数y=log(x2-5x+17)的值域为 。
7．函数y=lg(ax+1)的定义域为（-，1），则a= 。
8.若函数y=lg[x2+(k+2)x+]的定义域为R，则k的取值范围是 。
9．函数f(x)=的反函数是 。
10．已知函数f(x)=()x,又定义在（-1，1）上的奇函数g(x)，当x>0时有g(x)=f-1（x）,则当x<0时，g(x)= 。
三、解答题
1． 若f(x)=1+logx3,g(x)=2log，试比较f(x)与g(x)的大小。

2． 已知函数f(x)=。
（1）判断f(x)的单调性；
（2）求f-1(x)。

3． 已知x满足不等式2(log2x）2-7log2x+30,求函数f(x)=log2的最大值和最小值。

4． 已知函数f(x2-3)=lg,
(1)f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性；
(3)求f(x)的反函数; (4)若f[]=lgx,求的值。

5． 设0<x<1,a>0且a1，比较与的大小。

6． 已知函数f(x)=log3的定义域为R，值域为[0，2]，求m,n的值。

7． 已知x>0,y0,且x+2y=,求g=log (8xy+4y2+1)的最小值。

8．求函数的定义域．

9．已知函数在[0，1]上是减函数，求实数a的取值范围．

10．已知，求使f(x)>1的x的值的集合．
对数与对数函数
一、选择题
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
D
C
C
A
C
A
D
题号
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
答案
C
A
D
D
C
B
C
B
B
B
二、填空题
1．12 2.{x且x} 由 解得1<x<3且x。 3．2
4．奇
为奇函数。
5．f(3)<f(4)
设y=log0.5u,u=-x2+4x+5,由-x2+4x+5>0解得-1<x<5。又u=-x2+4x+5=-(x-2)2+9,∴ 当x(-1,2)时，y=log0.5(-x2+4x+5)单调递减；当x[2,5]时，y=log0.5(-x2+4x+5)单调递减，∴f(3)<f(4)
6.(-) ∵x2-6x+17=(x-3)2+8,又y=log单调递减，∴ y
7.-1
8.-
y=lg[x2+(k+2)x+]的定义域为R，∴ x2+(k+2)x+>0恒成立，则（k+2）2-5<0,即k2+4k-1<0,由此解得--2<k<-2
9.y=lg
y=,则10x=反函数为y=lg
10.-log(-x)
已知f(x)=()x,则f-1(x)=logx,∴当x>0时，g(x)=logx,当x<0时，-x>0, ∴g(-x)
=log(-x),又∵g(x)是奇函数，∴ g(x)=-log(-x)(x<0)
三、解答题
1． f(x)-g(x)=logx3x-logx4=logx.当0<x<1时，f(x)>g(x);当x=时，f(x)=g(x);当1<x<时，f(x)<g(x);当x>时，f(x)>g(x)。
2． （1）f(x)=，
,且x1<x2,f(x1)-f(x2)=<0,(∵102x1<102x2)∴f(x)为增函数。
（2）由y=得102x=
∵102x>0, ∴-1<y<1,又x=)。
3． 由2（log2x）2-7log2x+30解得log2x3。∵f(x)=log2(log2x-2)=(log2x-)2-,∴当log2x=时，f(x)取得最小值-；当log2x=3时，f(x)取得最大值2。
4．（1）∵f(x2-3)=lg,∴f(x)=lg,又由得x2-3>3,∴ f(x)的定义域为（3，+）。
（2）∵f(x)的定义域不关于原点对称，∴ f(x)为非奇非偶函数。
（3）由y=lg得x=,x>3,解得y>0, ∴f-1(x)=
(4) ∵f[]=lg,∴，解得(3)=6。
5．∵-
。
6．由y=log3，得3y=，即（3y-m）x2-8x+3y-n=0. ∵x-4(3y-m)(3y-n)0，即32y-(m+n)·3y+mn-16。由0，得
，由根与系数的关系得，解得m=n=5。
7．由已知x=-2y>0,,由g=log
(8xy+4y2+1)=log(-12y2+4y+1)=log[-12(y-)2+],当y=,g的最小值为log
8．解：∴∴函数的定义域是．
9．解：∵a是对数的底数 ∴a>0且a≠1 ∴函数u＝2－ax是减函数
∵函数是减函数 ∴a>1(是增函数)
∵函数的定义域是 ∴定义域是
∵函数在区间[0，1]上有意义是减函数 ∴
∴ ∴1<a<2．
10．解：f(x)>1即
当a>1时
∴解为x>2a－1
当0<a<1时
∵a－1<2a－1 ∴解为a－1<x<2a－1 ∴当a>1时，{x|x>2a－1}
当0<a<1时，{x|a－1<x<2a－1}均能使f(x)>1成立．

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