苏教版六年级上册数学知识点.doc

新苏教版六年级数学上册知识点总结
（一） 长方体和正方体
长方体和正方体的特征:

长方体和正方体的表面积：
概念：长方体或正方体 6 个面的总面积，叫做它们的表面积
计算公式：
长方体表面积=（长×宽+长×高+宽×高）×2 或 S表 =（a ´b + a ´c +b´c)´
正方体表面积=棱长×棱长×6 或 2 S =a ´a ´6 = 6a
注：不足 6 个面的实际问题根据具体情况计算，例如鱼缸、无盖纸盒等等。
体积（容积）单位进率换算：
1 立方米 = 1000 立方分米 1 立方分米 = 1000 立方厘米 1m ³ ==1000dm³ 1dm³ = 1000cm³ 1 升=1000 毫升 1 立方分米 = 1 升 1 立方厘米=1 毫升 1L = 1000m L 1dm³ = 1L 1cm³ = 1m L
长方体和正方体的体积（容积）：
概念：物体所占空间的大小叫做它们的体积（容器所能容纳其它物体的体积叫做 它的容积）。
计算公式：
长方体体积公式=长×宽×高 或 V = a´b´ h
正方体体积公式=棱长×棱长×棱长 或 3 V = a´a´a = a
长方体和正方体的体积=底面积×高 或 V = S底×h
（二） 分数乘法
分数与整数相乘及实际问题：
1. 分数与整数相乘：用整数与分数的分子相乘的积作为分子，分数的分母作为分 母，最后约分成最简分数。或者先将整数与分数的分母进行约分，再应用前面计 算法则。
注：【任何整数都可以看作为分母是 1 的分数】
2. 求一个数的几分之几是多少，可以用乘法计算。
3. 解题时可以根据表示几分之几的条件，确定单位 1 的量，想单位 1 的几分之几 是哪个数量，找出数量关系式，再根据数量关系式列式解答。
分数与分数相乘及连乘：
1. 分数与分数相乘：用分子相乘的积作为分子，用分母相乘的积作为分母，最后 约分成最简分数。
2. 分数连乘：通过几个分数的分子与分母直接约分再进行计算
3. 一个数与比 1 小的数相乘，积小于原数；一个数与比 1 大的数相乘，积大于原 数。
倒数的认识：
1. 乘积是 1 的两个数互为倒数。
2. 求一个数（不为 0）的倒数，只要将这个数的分子与分母交换位置。 【整数 是分母为 1 的分数】
3.1 的倒数是 1，0 没有倒数。
4. 假分数的倒数都小于或等于 1（或者说不大于 1）；真分数的倒数都大于 1。 （三）分数除法
分数除法：
1.分数除法计算法则：甲数除以乙数（不为 0）等于甲数乘乙数的倒数。
2. 分数连除或乘除混合计算：可以从左向右依次计算，但一般是遇到除以一个数， 把它改写成乘这个数的倒数来计算。【转化成分数的连乘来计算】
3. 除数大于 1，商小于被除数；除数小于 1，商大于被除数；除数等于 1，商等 于被除数。
4. 分数除法的意义：已知一个数的几分之几是多少，求这个数？可以用列方程的 方法来解，也可以直接用除法。
注：在单位换算中，要弄清需要换算的单位之间的进率是多少
比的认识：
1. 比的意义：比表示两个数相除的关系。
2. 比与分数、除法的关系： a :b =a ÷b = a/b(b≠0）

3. 比值：比的前项除以比的后项，所得的商就叫比值。
注：比值是一个数，可以是整数、分数、小数，不带单位名称。
4. 比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以一个相同的数（0 除外），比值 不变。
5. 最简整数比：比的前项和后项是互质数。也就是比的前项和后项除了 1 意外没 有其它公因数。
6. 化简：运用比的基本性质对比进行化简，方法：先把比的前、后项变成整数， 再除以它们的最大公因数。
注：化简比和求比值是不同的两个概念【意义不同，方法不同，结果不同】
7. 按比例分配问题：将一个数量按照一定比例，分成几个部分，求每个部分是多 少，这类问题称为按比例分配问题。
解决方法：先求出总份数，再求各部分数占总数的几分之几，转化成分数乘法 来计算。
（四） 解决问题的策略
用“替换”策略解决实际问题：
问题：小明把 720 毫升果汁倒入 6 个小杯和 1 个大杯，正好都倒满，已知小杯 的容量是大杯的 1 3 ，小杯和大杯的容量各是多少毫升？
如果把 720 毫升果汁全部倒入小杯，需要（6+3）个小杯。
如果把 720 毫升果汁全部倒入大杯，需要（1+2）个大杯。
用“假设”策略解决实际问题：
问题：在 1 个大盒和 5 个同样的小盒中装满球，正好是 80 个，每个大盒比每个 小盒多装 8 个，大盒里装了多少个球？小盒呢？
分析：假设 6 个全是小盒Þ球的总数比 80 小，把 1 个大盒换成小盒球的总数比 80 少 8 个Þ小盒：（80-8）÷6=12 大盒：12+8=20Þ检验
先假设Þ再比较（与条件不符）Þ进行调整Þ得出结果Þ检验
（五） 分数四则混合运算
分数四则混合运算的顺序：
分数四则混合运算的顺序与整数相同。先算乘除法，后算加减法；有括号的先算 括号里面的，后算括号外面的。
分数四则混合运算的运算律：
加法的交换律：a + b = b + a
加法的结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
乘法的交换律：a´b = b´ a
乘法的结合律：(a´b)´c = a´(b´c)
乘法的分配律：(a + b)´c = a´c + b´c
稍复杂的分数乘法实际问题：
1. 甲占（是）乙的几分之几
几分之几=甲÷乙； 甲=乙×几分之几； 乙=甲÷几分之几；
2. 甲占（是）总量的几分之几，求乙？ 乙=总量-甲×几分之几
3. 甲比乙多（增加、上升、提高）几分之几 几分之几=（甲-乙）÷乙； 甲=乙×（1+几分之几）； 乙=甲÷（1+几分之几）
4. 乙比甲少（减少、下降、降低）几分之几 几分之几=（甲-乙）÷甲； 甲=乙÷（1-几分之几）； 乙=甲×（1-几分之几）
(六）百分数
百分数的意义及读写：
1. 百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数，也叫百分 比或百分率。
2. 百分数的读写：百分数不写成分数形式，先写分子，再写百分号。
注：百分数后面不带单位名称。（常出现在判断题中）
百分数与小数的互化：

百分数与分数的互化：

求一个数是另一个数的百分之几的实际问题：
公式：（一个数÷另一个数）×100%
生活中常见的一些百分率：
合格率＝合格产品数÷产品总数×100%
出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%
发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×100%
成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100%
出油率＝油的重量÷油料重量×100%
命中率＝命中次数÷总次数×100%
及格率＝及格人数÷参加考试人数×100%
纳税问题：
求应纳税额实际上就是求一个数的百分之几是多少，也就是把应该纳税部分的总 收入乘以税率百分之几，就求出了应纳税额。
利息问题：
利息=本金×利率×存期
折扣问题：
折扣=实际售价÷原售价×100%
列方程解决稍复杂的百分数实际问题：
1．解答稍复杂的百分数应用题和稍复杂的分数应用题的解题思路、解题方法完 全相同。
2．用字母或含有字母的式子表示题中两个未知的数量，找出数量间的相等关系。 根据求一个数的百分之几是多少用乘法列方程求解，或者根据除法的意义，直接 解答。
3．“已知比一个数多（少）百分之几的数是多少，求这个数”的实际问题，可 以根据数量间的相等关系列方程求解；或者根据除法的意义，直接解答。
4．灵活运用本单元所学知识，解决稍复杂的百分数实际问题，沟通分数、百分 数应用题之间的联系。
【典型例题】
例 1、（列方程解答和倍问题）一根绳子长 48 米，截成甲、乙两段，其中乙绳长度是 甲绳的 60％。甲、乙两绳各长多少米？
分析与解：乙绳长度是甲绳的 60％，把甲绳长度看作单位“1”。

等量关系式：甲绳长度 + 乙绳长度 = 总长度
解答：设甲绳长ｘ米，则乙绳长 60％ｘ米。
ｘ + 60％ｘ = 48
1.6ｘ = 48
ｘ = 30
60％ｘ = 30 × 60％ = 18
答：甲绳长 30 米，则乙绳长 18 米。
检验：30 + 18 = 48（米），符合甲、乙两绳共长 48 米。
18 ÷ 30 = 60％，符合乙绳长度是甲绳的 60％。
例 2、（列方程解答差倍问题）体育馆内排球的个数是篮球的 75％，篮球比排球多 6 个。篮球和排球各有多少个？
分析与解：排球的个数是篮球的 75％，是把篮球个数看作单位“1”。

等量关系式：篮球 – 排球 = 6 个
解答：设篮球有ｘ个，则排球有 75％ｘ个。
ｘ - 75％ｘ = 6
0.25ｘ = 6
ｘ = 24
75％ｘ = 24 × 0.75 = 18
答：篮球有 24 个，排球有 18 个。
你会自己检验吗？ 检验：24 - 18 = 6（个），符合篮球比排球多 6 个。
18 ÷ 24 = 75％，符合排球的个数是篮球的 75％。
点评：在列方程解答和倍、差倍问题的题目时，要注意找准单位“1”的量，通常情况 下设单位“1”的量为ｘ，再用另一个量和单位“1”之间的关系，用含有ｘ的式子表示出另 一个量，最后根据它们的和或差列出方程。
例 3、六年级男生比女生少 40 人，六年级女生人数相当于男生人数的 140％，六年级男 生有多少人？
错误解法：设：女生有ｘ人，男生就有 140％ｘ人。
140％ｘ - ｘ = 40
0.4ｘ = 40
ｘ = 100
140％ｘ = 100 × 1.4 = 140
分析与解：根据“六年级女生人数相当于男生人数的 140％”，可以把男生人数看作单 位“1”的量，设男生人数为ｘ人，女生人数就是 140％ｘ人，再根据“六年级男生比女生 少 40 人”，可以得出数量关系式：“女生人数 – 男生人数 = 40”，根据此数量关系式列出 方程。
正确解答：设男生有ｘ人，女生就有 140％ｘ人。
140％ｘ - ｘ = 40
0.4ｘ = 40
ｘ = 100
答：男生有 100 人。
点评：解错此题的原因是单位“1”的量找错了，要记住找单位“1”的量时候，首先要 去找分率（百分率），因为没有分率就没有单位“1”的量，就不能看到“比”，而“比” 后面的那个量就是单位“1”的量。
例 4、（列方程解决“已知比一个数少百分之几的数是多少，求这个数”的百分数实际 问题）白兔有 36 只，比灰兔少 20％。灰兔有多少只？
分析与解：白兔比灰兔少 20％，把灰兔看作单位“1”。

等量关系式：灰兔的只数 – 白兔比灰兔少的只数 = 白兔的只数
解答：设灰兔有ｘ只。
ｘ - 20％ｘ = 36
0.8ｘ = 36
ｘ = 45
答：灰兔有 45 只。
检验：45 – 45 × 20％ = 36 或 （45 – 36）÷ 45 = 20％，符合题意。
点评：和前面例题一样，都是去求单位“1”的量。在解题时同样要注意找准单位“1” 的量，看问题求什么，确定用什么方法计算。
例 6、（难点突破）某商品如果按现价 18 元出售，则亏了 25％，原来成本是多少元？ 如果想盈利 25％，应按多少元出售该商品？
分析与解：不管是亏 25％，还是盈利 25％，单位“1”都是这件商品的成本。所以要先 求这件商品的成本。18 元亏 25％，说明 18 元比成本少 25％，即是成本的（1 - 25％）。盈 利 25％，说明盈利的是原来成本的 25％，实际售价是原来成本的（1 + 25％）。
解答：设原来成本是ｘ元。
ｘ - 25％ｘ = 18
0.75ｘ = 18
ｘ = 24 24 × （1 + 25％） = 30（元）
答：原来成本是 24 元，应按 30 元出售该商品。
点评：通常情况下，商品的盈利和亏损都是以成本作单位“1”的 。解答这道题目的关 键是确定好单位“1”，这也是解百分数应用题时最重要的。
例 7、（考点透视）水果批发部要运进一批水果，第一次运进总量的 22％，第二次运进 1.5 吨，两次共运进这批水果的 62％，这批水果一共有多少吨？
分析与解：根据题意可以画出下面的线段图：

从图中可以看出：两次一共运的吨数 - 第一次运的吨数 = 1.5 吨，单位“1”的量是这 批水果的总吨数，设这批水果一共有ｘ吨，那么两次一共运了 62％ｘ吨，第一次运进了 22％ ｘ吨。
解：设这批水果一共有ｘ吨。
62％ｘ - 22％ｘ = 1.5
40％ｘ = 1.5
ｘ = 3.75
答：这批水果一共有 3.75 吨。
点评：在解答稍复杂的百分数应用题时，要学会画线段图，它的好处是：使题目的条件 变得简洁，找数量关系式时更加容易、方便。画图的时候，要先找准单位“1”的量，用一 根线段表示出单位“1”的量之后，再去表示其他的量。
【模拟试题】（答题时间：40 分钟）
一、 基本训练：
1、找出下列各题中的单位“1”。
①男生人数占女生人数 60%。
②男生人数比女生人数多 20%。
③女生人数比男生人数少 25%。
④加工一批零件，已完成了 80%。
⑤今年的猪肉单价比去年上涨了 80%。
2、根据所给信息，说出数量间的相等关系
①一条路，已修了全长的 60%
②一种彩电，现价比原价降低 10%
③松树的棵数比柏树多
3、 看图列式。

4、 列式计算：
（1） 一个数的 75%比 30 的 25%多 1.5，求这个数。
（2） 一个数的 25%比它的 75%少 30，求这个数。
二、 解决问题：
1、 对比练习
（1） 某工厂六月份用煤 60 吨，六月份比五月份少用煤 25％，五月份用煤多少吨？
（2） 某工厂六月份用煤 60 吨，五月份比六月份多用煤 25％，五月份用煤多少吨？
2、 一张课桌比一把椅子贵 10 元，如果椅子的单价是课桌单价的 60%，课桌和椅子的单 价各是多少元？
3、 果园里的梨树和苹果树共有 360 棵，其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的 20%。苹果 树和梨树各有多少棵？
4、 一套桌椅的价格是 78 元，其中椅子的价格是桌子的 30%。桌子和椅子的价格各是多 少元？
5、 一条绳子，第一次剪去全长的 25%，第二次剪去全长的 35%，两次共剪去 6 米，这条 绳子共长多少米？
6、 一条绳子，第一次剪去全长的 25%，第二次剪去全长的 35%，第二次比第一次多剪了 1 米，这条绳子长多少米？
7、 根据问题列式。
平山茶场去年原计划种茶 20 公顷，实际种茶 25 公顷，________?
①实际种茶的公顷数是原计划的百分之几？
②计划种茶的公顷数是实际的百分之几？
③实际种茶的公顷数比原计划多百分之几？
④计划种茶的公顷数比实际少百分之几？
8、 根据算式填条件
果园里有苹果树 200 棵，------- ，梨树有多少棵？
①200÷20%
②200×20%
③200÷（1+20%）
④200÷（1-20%）
⑤200×（1-20%）
⑥200×（1+20%）
【试题答案】
一、 基本训练：
1、 找出下列各题中的单位“1”。
①男生人数占女生人数 60%。 把女生人数看作单位“1”
②男生人数比女生人数多 20%。 把女生人数看作单位“1”
③女生人数比男生人数少 25%。 把男生人数看作单位“1”
④加工一批零件，已完成了 80%。 把一批零件看作单位“1”
⑤今年的猪肉单价比去年上涨了 80%。把去年的猪肉单价看作单位“1”
2、 根据所给信息，说出数量间的相等关系
①一条路，已修了全长的 60% 全长 × 60% = 已修
②一种彩电，现价比原价降低 10% 原价 × 10% = 降价
原价 ×（1-10%）= 现价
③松树的棵数比柏树多 柏树 × = 松树比柏树多的棵数
柏树 ×（1+）= 松树
3、看图列式。
4、列式计算：
（1）一个数的 75%比 30 的 25%多 1.5，求这个数。
75％ｘ – 30 × 25% = 1.5
ｘ = 12
（2）一个数的 25%比它的 75%少 30，求这个数。
75％ｘ – 25%ｘ = 30
ｘ = 60
二、解决问题：
1、 对比练习
（1）某工厂六月份用煤 60 吨，六月份比五月份少用煤 25％，五月份用煤多少吨？
解：设五月份用煤ｘ吨。
ｘ – 25%ｘ = 60
ｘ = 80
（2） 某工厂六月份用煤 60 吨，五月份比六月份多用煤 25％，五月份用煤多少吨？
60 + 60 × 25% = 75（吨）
2、 一张课桌比一把椅子贵 10 元，如果椅子的单价是课桌单价的 60%，课桌和椅子的单 价各是多少元？
解：设课桌的单价是ｘ元，椅子的单价是 60%ｘ元。
ｘ – 60%ｘ = 10
ｘ = 25
25 × 60% = 15（元）或 25 – 10 = 15（元）
答：课桌的单价是 25 元，椅子的单价是 15 元。
3、 果园里的梨树和苹果树共有 360 棵，其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的 20%。苹果 树和梨树各有多少棵？
解：设梨树的棵树是ｘ棵，苹果树的棵树是 20%ｘ棵。
ｘ + 20%ｘ = 360
ｘ = 300
300 × 20% = 60（棵）或 360 – 300 = 60（棵）
答：梨树的棵树是 300 棵，苹果树的棵树是 60 棵。
4、 一套桌椅的价格是 78 元，其中椅子的价格是桌子的 30%。桌子和椅子的价格各是多 少元？
解：设课桌的单价是ｘ元，椅子的单价是 30%ｘ元。
ｘ + 30%ｘ = 78
ｘ = 60
60 × 30% = 18（元）或 78 – 60 = 18（元）
答：课桌的单价是 60 元，椅子的单价是 18 元。
5、 一条绳子，第一次剪去全长的 25%，第二次剪去全长的 35%，两次共剪去 6 米，这条 绳子共长多少米？
解：设这条绳子共长ｘ米。
25%ｘ + 35%ｘ = 6 ｘ = 10
答：这条绳子共长 10 米。
6、 一条绳子，第一次剪去全长的 25%，第二次剪去全长的 35%，第二次比第一次多剪了 1 米，这条绳子长多少米？
解：设这条绳子共长ｘ米。
35%ｘ - 25%ｘ = 1 ｘ = 10
答：这条绳子共长 10 米。
7、 根据问题列式。
平山茶场去年原计划种茶 20 公顷，实际种茶 25 公顷，________?
①实际种茶的公顷数是原计划的百分之几？ 25 ÷ 20 = 125%
②计划种茶的公顷数是实际的百分之几？ 20 ÷ 25 = 80%
③实际种茶的公顷数比原计划多百分之几？ （25 – 20） ÷ 20 = 25%
④计划种茶的公顷数比实际少百分之几？ 25 – 20） ÷ 25 = 20%
8、 根据算式填条件
果园里有苹果树 200 棵，------ ，梨树有多少棵？
①200÷20% 苹果树是梨树的 20%
②200×20% 梨树是苹果树的 20%
③200÷（1+20%） 苹果树比梨树多 20%
④200÷（1-20%） 苹果树比梨树少 20%
⑤200×（1-20%） 梨树比苹果树少 20%
⑥200×（1+20%） 梨树比苹果树多 20%