苏教版八年级上数学期末复习知识点总结+例题(完美版).doc

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八年级数学(上)期末复习+例题解析

第一章 三角形全等
1、全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
理解：①全等三角形形状与大小完全相等，与位置无关；
②一个三角形经过平移、翻折、旋转后得到的三角形，与原三角形仍然全等；
③三角形全等不因位置发生变化而改变。
2、全等三角形的性质：
⑴全等三角形的对应边相等、对应角相等。
理解：①长边对长边，短边对短边；最大角对最大角，最小角对最小角；
②对应角的对边为对应边，对应边对的角为对应角。
⑵全等三角形的周长相等、面积相等。
⑶全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。
3、全等三角形的判定：
①边角边公理(SAS) 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
②角边角公理(ASA) 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。
③推论(AAS) 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。
④边边边公理(SSS) 有三边对应相等的两个三角形全等。
⑤斜边、直角边公理(HL) 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
4、证明两个三角形全等的基本思路：
⑴已知两边：①找第三边（SSS）；②找夹角（SAS）；③找是否有直角（HL）.
⑵已知一边一角：①找一角（AAS或ASA）；②找夹边（SAS）.
⑶已知两角：①找夹边（ASA）；②找其它边（AAS）.

A
B
C
D
E
例题评析
例1 已知：如图，点D、E在BC上，且BD=CE，AD=AE，
求证：AB=AC．

B
C
D
E
F
A
例2 已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，AF＝DC，AB＝DE，BC＝EF，求证：△ABC≌△DEF．

B
C
D
E
F
A

例3已知：BE⊥CD，BE＝DE，BC＝DA，
求证：①△BEC≌△DEA； ②DF⊥BC．

例4如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC,
BC、DE交于点O.求证：(1) △ABC≌△AED； (2) OB＝OE .

例5 如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，求∠EFD的度数.

例6如图，将长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落到点
B′的位置，AB′与CD交于点E.
（1）试找出一个三角形与△AED全等，并加以证明.
（2）若AB=8，D E=3，P为线段AC上的任意一点，PG⊥AE于G，PH⊥EC于H， PG+PH的值会变化吗？若变化，请说明理由； 若不变化，请求出这个值。

例7已知，点P是直角三角形ABC斜边AB上一动点（不与A，B重合），分别过A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，Q为斜边AB的中点．

（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　　 ， QE与QF的数量关系是　　 ；
（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；
（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明．

复习作业：
解答题
1.（1）如下图，等边△ABC内有一点P若点P到顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则∠APB=__________。
分析：由于PA，PB不在一个三角形中，为了解决本题我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌_____________这样，就可以利用全等三角形知识，将三条线段的长度转化到一个三角形中从而求出∠APB的度数。
（2）请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题：已知如右图，△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF2=BE2+FC2 。

2.如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△ABC≌△BAD．

求证：（1）OA=OB；（2）AB∥CD．

3.如图所示，△ABC≌△ADE，且∠CAD=10°，∠B=∠D=25°，
∠EAB=120°，求∠DFB和∠DGB的度数．

4.如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC.
求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥BF.

5.已知：如图，AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E.
求证：BC=ED.

6.如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD，CE相交于F.求证：AF平分∠BAC.

7.△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝6，M点在边AC上，且CM＝2，过M点作AC的垂线交AB边于E点.动点P从点A出发沿AC边向M点运动，速度为每秒1个单位，当动点P到达M点时，运动停止.连接EP，EC.在此过程中，
⑴ 当t为何值时，△EPC的面积为10？
⑵ 将△EPC沿CP翻折后，点E的对应点为F点，当t为何值时，PF∥EC？

8.在△ABC中，∠ABC＝90°，分别以边AB、BC、CA向△ABC外作正方形ABHI、正方形BCGF、正方形CAED，连接GD，AG，BD.
⑴ 如图1，求证：AG＝BD.
⑵ 如图2，试说明：S△ABC＝S△CDG.（提示：正方形的四条边相等，四个角均为直角）

图1

图2

第二章 轴对称
1、 轴对称图形相对一个图形的对称而言；轴对称是关于直线对称的两个图形而言。
2、 轴对称的性质：
①轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；
②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连的线段的垂直平分线；
3、线段的垂直平分线：
①性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
②判定定理：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
拓展：三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等
4、角的角平分线：
①性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。
②判定定理：到角两个边距离相等的点在这个角的角平分线上。
拓展：三角形三个角的角平分线的交点到三条边的距离相等。
5、等腰三角形：
①性质定理：
⑴等腰三角形的两个底角相等；（等边对等角）
⑵等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合。（三线合一）
②判断定理：
一个三角形的两个相等的角所对的边也相等。（等角对等边）
6、等边三角形：
①性质定理：
⑴等边三角形的三条边都相等；
⑵等边三角形的三个内角都相等，都等于60°；
拓展：等边三角形每条边都能运用三线合一这性质。
②判断定理：
⑴三条边都相等的三角形是等边三角形；
⑵三个角都相等的三角形是等边三角形；有两个角是60°的三角形是等边三角形；
⑶有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。
7、直角三角形推论：
⑴直角三角形中，如果有一个锐角是30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
⑵直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半。
拓展：直角三角形常用面积法求斜边上的高。

例题评析
1、线段的对称轴有 条，是

9

2、线段垂直平分线上的点到 的
距离相等
∵
∴

3、到 距离相等的点在线段的垂直平分线上
∵
∴
∵
∴
∴

例1：如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线．
(1)若AC＝6，△ABD的周长是13，则△ABC的周长是_______；
(2)若△ABC的周长是30，△ABD的周长是25，则AC＝_______．

例2：如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、点D.
(1)若BC＝8，则△ADE的周长是_______；
(2) 若∠BAC=110°，那么∠EAD＝______
(3) 若∠EAD=100°，那么∠BAC＝______

4、角的对称轴有 条，是

5、角平分线上的点到 的距离相等
∵
又∵
∴

6、角的内部到 距离相等
的点在角的平分线上
∵
又∵
∴
例3：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC.
(1)若CD=5，则点D到AB的距离为 .
(2) 若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是 .

例4：如图，OP平分∠AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A、B．
下列结论中，不一定成立的是 ( )
A．PA=PB B．PO平分∠APB
C．OA=OB D．AB垂直平分OP
补充：①三角形的三条边的垂直平分线的交点到 的距离相等
②三角形的三条角平分线的交点到 的距离相等

1. 请你先在图的BC上找一点P，使点P到AB、AC的距离相等，再在射线AP上找一点Q，使QB=QC．
2. 如图，求作点P，使点P同时满足：
①PA=PB；②到直线m，n的距离相等．

7、等边对等角
∵
∴

8、等角对等边
∵
∴

9、等腰三角形 、
、
重合（三线合一）
（有 条对称轴）
∵ ∵ ∵
又∵ 又∵ 又∵
∴ ∴ ∴

例5：（1）等腰三角形的一边长为5，另一边长为11，则该等腰三角形的周长为
（2）等腰三角形的两边长分别为4、5.则该等腰三角形的周长为
（3）已知等腰三角形的一个外角为100°，则这个等腰三角形的顶角为__________．
（4）等腰△ABC中，若∠A=30°，则∠B= ．
例6：(1)如图①，在Rt△ABC中，若AB=AC，AD=AE，∠BAD=40°,则∠EDC=_______．
(2)如图②，∠ACB=90°,E、F为AB上的点，AE=AC，BC=BF，则∠ECF=___ __．
③
(3)如图③， AB=AC=DC，且BD=AD，则∠B=___ __．

例7：如图，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，
交AB于点D，交AC于点E．试说明BD＋EC＝DE．

例8：如图，已知AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．

例9：在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE=CE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变．求证：△AEF≌△BCF．

10、（1）等边三角形的性质：
等边三角形的三条边 ，三个角都是 ，每条边上都有三线合一，有 条对称轴
（2）等边三角形的3个判定方法：
三条边都 的三角形是等边三角形
三个角都 的三角形是等边三角形
有一个角是 的 三角形是等边三角形
例10：(1)如图①，在等边三角形ABC中，BD＝CE，AD与BE相交于点P，则∠APE=____．
(2)如图②，正方形ABCD，△EAD为等边三角形，则∠EBC＝_______．
A
B
C
D
(3)如图③，已知等边△ABC，AC=AD,且AC⊥AD，垂足为A，则∠BEC＝_______．

① ② ③
例11：如图，C为线段AE上一动点(点C不与点A、E重合)，在AE的同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE相交于点O，AD与BC相交于点P，BE与CD相交于点Q，连接PQ．下列五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°，其中恒成立的有__________(填序号)．
例12：如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的一点，以CD为边作等边三角形CDE，使点E、A在直线DC的同侧，连接AE．
求证：AE∥BC．

11、直角三角形斜边上的中线等于
∵
又∵
∴
12、用等积法求直角三角形斜边上的高
SΔABC=
=

13、直角三角形中，30°的角所对的直角
边等于
∵
又∵
∴

例12：(1)在Rt△ABC中，∠C=90°，CD是斜边AB的中线，且CD=4 cm，则AB=_______．
(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=8，则AC=_______．
(3)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，则AB边上的高CD= ．
例13：如图，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分别是BC、DE的中点，
连接GF，求证： GF⊥DE．

例14：如图，已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，
E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，求证：△DEF为等腰直角三角形．

相关练习：
1．如图，在△ABC中，BC=8 cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，求△PDE的周长．

2．如图，在边长为2等边△ABC中， AD是BC边上的中线，E、F是AD的三等分点，则图中阴影部分的面积是__________cm2．

3．如图，在△ABC中，CD与C，分别是△ABC的内角、外角平分线，DF//BC交AC于点E．试说明(1) △DCF为直角三角形；(2)DE=EF．

4．如图，△ABC是等腰三角形，∠B=∠C，AD是底边BC上的高，DE∥AB交AC于点E．试找出图中除△ABC外的等腰三角形，并说明你的理由．

5.如图，AD是△ABC的角平分线，点E在AB上，且AE=AC，EF∥BC交AC于点F．求证：EC平分∠DEF．

6．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC＝DC． BE与DF相等吗？请说明理由．

7．如图，C为线段AB上任意一点（不与A、B重合），在AB的同侧分别作
△ACD和△BCE，CA＝CD，CB＝CE，∠ACD与∠BCE都是锐角，且∠ACD＝∠BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，AE与BD交于点P，连接PC．
试说明： (1) △ACE≌△DCB． (2) PC平分∠APB．

8．如图，等边△ABC中，D是AC的中点，延长BC到点E，使CE=CD，AB=10cm．
( l ）求BE的长； ( 2 ）试说明BD=ED

9．画图、证明：如图，∠AOB=90°，点C、D分别在OA、OB上．
（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作∠AOB的平分线OP；作线段CD的垂直平分线EF，分别与CD、OP相交于E、F；连接OE、CF、DF．
（2）在所画图中，
①线段OE与CD之间有怎样的数量关系，并说明理由． 
②求证：△CDF为等腰直角三角形

10.如图，已知点D为等腰直角△ABC内一点，∠CAD＝∠CBD＝15°，E为AD延长线上的一点，且CE＝CA．
（1）求证：DE平分∠BDC；
（2）若点M在DE上，且DC=DM，求证： ME=BD．
11.如图，设∠BAC=θ（0°＜θ＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上.从点A1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A1A2为第一根小棒，且A1A2=AA1 .
(1)小棒能无限摆下去吗？答： .(填“能”或“不能”)
(2)若已经摆放了3根小棒，则θ1 =___________，θ2 =__________，θ3=__________；（用含θ的式子表示）
(3)若只能摆放4根小棒，求θ的范围.

12．如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶
点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．

13．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CD，BD＝CF．
(1)试说明DE＝DF．
(2)若∠A＝40°，求∠EDF的度数．

14．如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=54°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF（E在BC上，F在AC上）折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为 _______．

15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，则MN等于

16．如图，P为∠AOB的平分线OC上任意一点，PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，连接MN交OP于点D．则①PM＝PN；②MO＝NO；③OP⊥MN；④MD＝ND．其中正确的有

17．如图所示，等边三角形ABC的边长是6，点P在边AB上，点Q在BC的延长线上，且AP＝CQ，设PQ与AC相交于点D．
(1)当∠DQC＝30°时，求AP的长．
(2)作PE⊥AC于E，求证：DE＝AE＋CD．

18．如图，在△ABC中，已知BA＝BC，
∠B＝120°，AB的垂直平分线DE交AC于点D．
(1)求∠A的度数；
(2)若AC＝6cm，求AD的长度．

19.若直角三角形斜边上的高和中线分别为10 cm、12 cm，则它的面积为__________cm2．
20.如图，某市把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，∠ACB=90o．
AC=80 m．BC=60 m．
(1)若入口E在边AB上，且与A、B距离相等，求从人口E到出口C的最短路线的长；
(2)若线段CD是一条水渠，且点D在AB边上，已知水渠造价约为10元／m，则点D在距点A多远处，此水渠的造价最低?最低造价是多少?

第三章 勾股定理
勾：直角三角形较短的直角边 
股：直角三角形较长的直角边 
弦：斜边
1、勾股定理：
直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即a2＋b2＝c2。
2、勾股定理的逆定理：
如果三角形的三边长a，b，c有关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股数：
满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数。
常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,13。 
4、简单运用：
⑴勾股定理——常用于求边长、周长、面积；
理解：①已知直角三角形的两边求第三边，并能求出周长、面积。     
②用于证明线段平方关系的问题。
③利用勾股定理，作出长为的线段
⑵勾股定理的逆定理——常用于判断三角形的形状；
理解：①确定最大边（不妨设为c）； 
②若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形； 
若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；
  若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）
⑶难点：运用勾股定理立方程解决问题。

例题评析
1、勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方
∵
∴
例1：（1）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，正方形A、B、C的面积分别是8 cm2、10 cm2、14 cm2，则正方形D的面积是_______cm2．
（2）如图，已知1号、4号两个正方形的面积为为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a，b，c三个方形的面积和为
（3）如图，阴影部分是以直角三角形的三边为直径的半圆，两个小半圆的面积和为100．则大的半圆面积是__________．

例2：(1)在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°，AB＝3，则AC＝_______．BC＝______．
(2)在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AB＝3，则AC＝_______．BC＝______.
(3)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC:AB=3:4，AB＝25，则AC＝_______．BC＝______.
(4).在Rt△ABC中, AB＝6，AC＝8，则BC= .

例3：（1）如图，已知AB＝13，BC＝14，AC＝15，AD⊥BC于D，求AD长．
（2）已知△ABC中，AB＝13， AC＝15，AD⊥BC，且AD=12，求BC的长.

例4：（1）在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝45°，BC＝6, 求AC和BC．
（2）在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，BC＝3，求AB和AC．
（3）若直角三角形中，一斜边比一直角边大2，且另一直角边长为6，求斜边的长．
（4）等腰三角形ABC的面积为12，底上的高AD为4，求它的腰长
（5）等腰三角形的周长是20 cm，底边上的高是6 cm，求它的面积.

例5：（1）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝8，DE垂直平分AB，求BE的长.
（2）在△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，BC＝8，AE平分∠CAE，ED⊥AB,求BE的长.
（3）如图，折叠长方形纸片ABCD，是点D落在 边BC上的点F处，折痕为AE，AB=CD=6，
AD=BC=10，试求EC的长度.

2、勾股定理的逆定理：
一个三角形中，如果两条边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形
∵
∴
例1：每个小正方形的边长为1.
(1)求ΔABC的面积 (2)判断ΔABC的形状

例2：如图，在四边形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝4 cm，BC＝13 cm，CD＝12 cm，∠A＝90°，求四边形ABCD的面积．

例3：如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，AD＝9，BD＝1，CD＝3
试问：△ABC是直角三角形吗？为什么？

例4：如图，在△ABC中，AB=17 cm，BC=16 cm，BC边上的中线AD=15 cm，求AC

3、勾股数：
常见勾股数有：3、 、 ；5、 、 ；6、 、 ；
9、 、 ；
例：下列命题中，是假命题的是( )．
A．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形
B．在△ABC中，若a2＝(b＋c) (b－c)，则△ABC是直角三角形
C．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，则△ABC是直角三角形
D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形

4、补充：
①长方体盒子内最长的线段 ；
②长方体盒子外小虫爬行的最短路线 ；

① 圆柱体盒子内最长的线段
② 圆柱体盒子外小虫爬行的最短路线

例2：底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是( )．
A．10 B．8
C．5 D．4

例3：某开发区有一空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种草皮，经测量，∠B＝90°，AB＝3m，BC＝4 m，AD＝12 m，CD＝13 m，若每种植1平方米草皮需要100元，问总共需要投入多少元？

5、勾股定理的应用
例1：（1）一轮船以16 n mi1e／h的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12 n mi1e／h的速度同时从港口出发向东南方向航行，那么离开港口A2h后，两船相距
（2）一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5 m，消防车的云梯最大升长为13 m，则云梯可以达到该建筑物的最大高度是
（3）一棵树在离地面9m处断裂，树的顶部落在离底部12 m处，树折断之前有_______m．
例2：如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为7m，
梯子的顶端B到地面的距离为24 m，现将梯子的底端A向外移动到
A'，使梯子的底端A'到墙根O的距离等于15 m．同时梯子的顶端
B下降至B'，那BB'等于 ( )
A．3m B．4 m C．5 m D．6 m

课后练习
1：如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形(涂上阴影)。
(1)在图①中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；
(2)在图②、图③中，分别画两个不全等的直角三角形，使它们的三边长都是无理数．

2：《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米／时．一辆“小汽车”在一条城市街道上直道行驶，如图某一时刻刚好行驶到路对面“车速检测仪A”正前方50米C处，过了6秒后，测得“小汽车”位置B与“车速检测仪A”之间的距离为130米，这辆“小汽车”超速了吗？请说明理由．

3：如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否回受到噪声的影响？说明理由．如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米／时，那么学校受影响的时间为多少秒？

4：如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC＝1 km，BD＝3 km，CD＝3 km现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20 000元／千米，请你在河CD边上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用？

第四章 实数
1、平方根：
⑴定义：一般地，如果x2=a(a≥0)，那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。
⑵表示方法：正数a的平方根记做“”，读作“正、负根号a”。
⑶性质：①一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
②零的平方根是零；
③负数没有平方根。
2、开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。
3、算术平方根：
⑴定义：一般地，如果x2=a(a≥0)，那么这个正数x就叫做a的算术平方根。
特别地，0的算术平方根是0。
⑵表示方法：记作“”，读作“根号a”。
⑶性质：①一个正数只有一个算术平方根；
②零的算术平方根是零；
③负数没有算术平方根。
⑷注意的双重非负性：
⑸
4、立方根：
⑴定义：一般地，如果x3=a那么这个数x就叫做a 的立方根（或三次方根）。
⑵表示方法：记作“”，读作“三次根号a”。
⑶性质：①一个正数有一个正的立方根；
②一个负数有一个负的立方根；
③零的立方根是零。
⑷注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。
⑸
5、开立方：求一个数a的立方根的运算，叫做开立方。
6、实数定义与分类：
⑴无理数：无限不循环小数叫做无理数。
理解：常见类型有三类：
①开方开不尽的数：如,等；
②有特定意义的数：如圆周率π，或化简后含有π的数，如π+8等；
③有特定结构的数：如0.1010010001……等；(注意省略号)
⑵实数：有理数和无理数统称为实数。
⑶实数的分类：
①按定义来分 ②按符号性质来分
整数(含0) 正有理数
有理数 分数 正实数 正无理数
实数 实数 0
无理数 负实数 负有理数
负无理数
7、实数比较大小法：
理解：⑴正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；
⑵数轴比较：数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边的大；
⑶绝对值比较法：两个负数，绝对值大的反而小。
⑷平方法：a、b是两负实数，若a2＞b2，则a＜b。
8、实数的运算：
①六种运算：加、减、乘、除、乘方、开方
②实数的运算顺序：
先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。
③实数的运算律：
加法交换律、加法结合律 、乘法交换律、乘法结合律 、乘法对加法的分配律。
9、近似数：
由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情况下不可能得到精确的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数。
 取近似值的方法——四舍五入法。
10、科学记数法： 
把一个数记为（其中1≤a＜1,n是整数)的形式，就叫科学计数法。
11、实数和数轴： 
每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上每一个点都表示一个实数。实数与数轴上的点是一一对应的关系。

例题评析
1、a的平方根是 ，（其中a ）
2、平方根的性质：
正数有 个平方根，它们
0有有 个平方根，是
负数
（ 的平方根是它本身）
3、a的算术平方根是 ，（其中a ）
（ 的算术平方根是它本身）
4、公式： ，（其中a ）
，（其中a ）
5、a的立方根是 ，（其中a ）
（ 的立方根是它本身）

6、公式：
，（其中a ）
，（其中a ）

例1：（1）169的平方根是_____，196的算术平方根是_____，125的立方根是_____；
（2）的平方根是_____，的平方根是_____，的立方根是____．
例2：化简： ____，－_____，____，=____，____
例3：如果一个正数的平方根是a＋3与2a－15，求这个正数．

例4：已知2a－1的平方根是±3，3a＋b－1的立平方根是3，求a＋2b的平方根．

例5：（1）若＝0，则x－y＝_____
（2）已知， 则x＝_____，y＝_____

例6：求下列各式中的x．
(1) 4x2-3＝22 (2) (4x－1)2＝289 (3) (4)
例7：(1) 　 (2)　　(3) （4）

例8：已知数a在数轴上对应的位置如图所示，化简．

7、 和 统称为实数.实数与 一一对应.
无理数的三种形式：（1）
（2）
（3）
例1：把下列各数填入相应的集合内，4，-，3.1415，，0.6，0，， ， ，0.01001000100001……，7.303003
(1)有理数集合：{