高二数学上学期试卷(附详细解释).doc

一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．方程x2+y2+2ax﹣by+c=0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a，b，c的值依次为（　　）
A．2，4，4 B．﹣2，4，4 C．2，﹣4，4 D．2，﹣4，﹣4
2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
3．点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，则a的取值范围是（　　）
A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．a=±1
4．直线y=x﹣1上的点到圆x2+y2+4x﹣2y+4=0上的点的最近距离为（　　）
A． B． C． D．0
5．给出下列四个命题：
（1）平面内的一条直线与平面外的一条直线是异面直线；
（2）若三个平面两两相交，则这三个平面把空间分成7部分；
（3）用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；
（4）一条直线与两条异面直线中的一条直线相交，那么它和另一条直线可能相交、平行或异面．
其中真命题的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．直线x+y﹣2=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是（　　）
A． B． C． D．
7．若圆台的上、下底面半径的比为3：5，则它的中截面分圆台上下两部分面积之比为（　　）
A．3：5 B．9：25 C．5： D．7：9
8．过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（　　）
A．y= B．y=﹣ C． D．
9．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（　　）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．顶角为30°的等腰三角形 D．其他等腰三角形
10．已知，N={（x，y）|y=x+b}，若M∩N≠∅，则b∈（　　）
A． B． C． D．
11．用若干个棱长为1cm的小正方体叠成一个几何体，图1为其正视图，图2为其俯视图，若这个几何体的体积为7cm3，则其侧视图为（　　）

A． B． C． D．
12．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，B1C1的中点，则过这三点的截面图的形状是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．以点A（1，4）、B（3，﹣2）为直径的两个端点的圆的方程为　　．
14．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是　　．
15．正四面体的内切球与外接球的体积之比　　．
16．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：cm2）为　　．

三、解答题：（本大题共5小题，第17题8分，第18～21题每题10分．）
17．过圆x2+y2﹣x+y﹣2=0和x2+y2=5的交点，且圆心在直线3x+4y﹣1=0上的圆的方程为　　．
18．过原点O作圆x2+y2﹣8x=0的弦OA，延长OA到N，使|OA|=|AN|，求点N的轨迹方程．
19．如图：已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CC1的中点，F是AC，BD的交点．求A1F与B1E所成角的余弦值．

20．圆（x+1）2+y2=8内有一点P（﹣1，2），AB过点P，
①若弦长，求直线AB的倾斜角；
②若圆上恰有三点到直线AB的距离等于，求直线AB的方程．
21．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M、N两点
（1）求实数k的取值范围；
（2）求证：为定值；
（3）若O为坐标原点，且，求直线l的方程．

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．方程x2+y2+2ax﹣by+c=0表示圆心为C（2，2），半径为2的圆，则a，b，c的值依次为（　　）
A．2，4，4 B．﹣2，4，4 C．2，﹣4，4 D．2，﹣4，﹣4
【考点】二元二次方程表示圆的条件．
【分析】先根据方程求出用a、b和c表示的圆心坐标和圆的半径，再由题意代入对应的式子求出a、b和c的值．
【解答】解：由x2+y2+2ax﹣by+c=0得，圆心坐标是（﹣a，），半径为r2=，
因圆心为C（2，2），半径为2，解得a=﹣2，b=4，c=4，
故选B．

2．下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（　　）
A．①② B．①③ C．①④ D．②④
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】利用三视图的作图法则，对选项判断，A的三视图相同，圆锥，四棱锥的两个三视图相同，棱台都不相同，推出选项即可．
【解答】解：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，圆锥和正四棱锥的，正视图和侧视图相同，
所以，正确答案为D．
故选D

3．点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，则a的取值范围是（　　）
A．﹣1＜a＜1 B．0＜a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．a=±1
【考点】点与圆的位置关系．
【分析】圆（x﹣a）2+（y+a）2=4表示平面上到圆心（a，﹣a）的距离为2的所有点的集合，如果点（1，1）在圆内，则得到圆心与该点的距离小于半径，列出关于a的不等式，求出解集即可得到a的取值范围．
【解答】解：因为点（1，1）在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，
所以表示点（1，1）到圆心（a，﹣a）的距离小于2，
即＜2
两边平方得：（1﹣a）2+（a+1）2＜4，
化简得a2＜1，解得﹣1＜a＜1，
故选：A．

4．直线y=x﹣1上的点到圆x2+y2+4x﹣2y+4=0上的点的最近距离为（　　）
A． B． C． D．0
【考点】点到直线的距离公式；圆的标准方程．
【分析】求出圆心和半径，求圆心到直线的距离，此距离减去半径即得所求的结果．
【解答】解：由题设知圆心为C（﹣2，1），半径r=1，
而圆心C（﹣2，1）到直线x﹣y﹣1=0距离为，
因此，圆上点到直线的最短距离为，
故选C．

5．给出下列四个命题：
（1）平面内的一条直线与平面外的一条直线是异面直线；
（2）若三个平面两两相交，则这三个平面把空间分成7部分；
（3）用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫棱台；
（4）一条直线与两条异面直线中的一条直线相交，那么它和另一条直线可能相交、平行或异面．
其中真命题的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】（1）写出平面内的一条直线与平面外的一条直线的位置关系，即可判定命题正误；
（2）画出三个平面两两相交的情况，即可判定命题的正误；
（3）根据棱台的定义，可以判定命题的正误；
（4）举例说明命题是正确的．
【解答】解：（1）平面内的一条直线与平面外的一条直线的位置关系是平行，相交，或异面；
∴命题（1）错误；
（2）三个平面两两相交，这三个平面可以把空间分成6或7部分，
如图，；
∴命题（2）错误；
（3）用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台；
∴命题（3）错误；
（4）一条直线与两条异面直线中的一条直线相交，
那么它和另一条直线可能相交（如两条异面直线的公垂线），
平行（如作两条异面直线所成的角），
或异面（如正方体中下底面的对角线与上底面的棱）；
∴命题（4）正确；
所以，以上真命题只有1个，是（4）；
故选：B．

6．直线x+y﹣2=0截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是（　　）
A． B． C． D．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】先求圆心到直线的距离，再求劣弧所对的圆心角．
【解答】解：圆心到直线的距离：，
圆的半径是2，劣弧所对的圆心角为60°
故选C．

7．若圆台的上、下底面半径的比为3：5，则它的中截面分圆台上下两部分面积之比为（　　）
A．3：5 B．9：25 C．5： D．7：9
【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【分析】中截面把圆台分为上、下两个圆台，则两个圆台的侧高相等，且中截面半径等于两底面半径和的一半，根据圆台的上、下底面半径的比为3：5，我们可以设，上底半径为3R，下底半径为5R，母线长为2L，求出上、下两部分侧面积，即可得到答案．点评：
【解答】解：设上底半径为3R，下底半径为5R，母线长为2L，
则中截面半径为4R，分成的两个圆台的母线长均为L，
则S上=π（4R+3R）L，
S下=π（4R+5R）L，
故分圆台上、下两部分侧面积的比为7：9．
故选：D，

8．过原点的直线与圆x2+y2+4x+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（　　）
A．y= B．y=﹣ C． D．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【分析】画出图形，利用三角函数可以求直线的斜率，求出直线方程．
【解答】解：如图，圆方程为（x+2）2+y2=12，
圆心为A（﹣2，0），半径为1，
．
故选C．

9．圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（　　）
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．顶角为30°的等腰三角形 D．其他等腰三角形
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【分析】圆锥的母线长就是展开半圆的半径，根据这个条件就可以知道圆锥的母线长是圆锥底面圆半径的两倍，推出结论．
【解答】解：圆锥的母线长就是展开半圆的半径，半圆的弧长为aπ就是圆锥的底面周长，
所以圆锥的底面直径为a，
圆锥的轴截面是等边三角形．
故选A

10．已知，N={（x，y）|y=x+b}，若M∩N≠∅，则b∈（　　）
A． B． C． D．
【考点】交集及其运算；元素与集合关系的判断．
【分析】先分析出M中的元素表示的是以（0，0）为圆心，r=3的上半圆，N中的元素是一组平行线上的点，再画出对应图象，知道直线的临界值在相切以及y=x+3之间，求出相切时对应的b即可求得结果．
【解答】解：由题得：M中的元素表示的是以（0，0）为圆心，r=3的上半圆，
N中的元素是一组平行线上的点．
由M∩N≠∅，得直线与半圆有公共点，画出图形得
直线的临界值在与圆相切以及y=x﹣3之间．
相切时，因为（0，0）到直线y=x+b的距离
d==3⇒b=±3，由图得取b=3．
所以﹣3＜b≤3．
故选：C．

11．用若干个棱长为1cm的小正方体叠成一个几何体，图1为其正视图，图2为其俯视图，若这个几何体的体积为7cm3，则其侧视图为（　　）

A． B． C． D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【分析】通过几何体的体积，判断几何体中正方体的个数，排除选项A、D；从俯视图正视图推出正确选项．
【解答】解：由这个几何体的体积为7cm3可知共有7个小正方体．
通过俯视图可以排除选项A、D，结合俯视图与主视图即可选出正确答案为C（若左视图为D，则只需要6个小正方体即可）．
故选C．

12．已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，B1C1的中点，则过这三点的截面图的形状是（　　）
A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形
【考点】平面的基本性质及推论．
【分析】分别取D1C1、D1D、AD的中点H、M、N，连结GH、HM、MN，六边形EFGHMN是过E，F，G这三点的截面图．
【解答】解：分别取D1C1、D1D、AD的中点H、M、N，
连结GH、HM、MN，
∵在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，B1C1的中点，
∴HG∥EN，HM∥EF，FG∥MN，
∴六边形EFGHMN是过E，F，G这三点的截面图，
∴过这三点的截面图的形状是六边形．
故选：D．

二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分）
13．以点A（1，4）、B（3，﹣2）为直径的两个端点的圆的方程为　（x﹣2）2+（y﹣1）2=10　．
【考点】圆的标准方程．
【分析】根据中点坐标公式求出线段AB的中点坐标即为圆心的坐标，然后根据两点间的距离公式求出圆心到A的距离即为圆的半径，根据求出的圆心坐标和圆的半径写出圆的标准方程即可．
【解答】解：设线段AB的中点为O，
所以O的坐标为（，），即（2，1），则所求圆的圆心坐标为（2，1）；
由|AO|==，得到所求圆的半径为，
所以所求圆的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=10．
故答案为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=10

14．已知一个正方形的直观图是一个平行四边形，其中有一边长为4，则此正方形的面积是　16或64　．
【考点】平面图形的直观图．
【分析】利用直观图的画法规则法两种情况即可求出．
【解答】解：如图所示：

①若直观图中平行四边形的边A′B′=4，
则原正方形的边长AB=A′B′=4，故该正方形的面积S=42=16．
②若直观图中平行四边形的边A′D′=4，
则原正方形的边长AD=2A′D′=8，故该正方形的面积S=82=64．
故答案为16或64．

15．正四面体的内切球与外接球的体积之比　1：27　．
【考点】球内接多面体；球的体积和表面积．
【分析】画出图形，确定两个球的关系，通过正四面体的体积，求出两个球的半径的比值，即可求棱长为a的正四面体的内切球和外接球的体积之比．
【解答】解：设正四面体为PABC，两球球心重合，设为O．
设PO的延长线与底面ABC的交点为D，则PD为正四面体PABC的高，PD⊥底面ABC，且PO=R，OD=r，OD=正四面体PABC内切球的高．
设正四面体PABC底面面积为S．
将球心O与四面体的4个顶点PABC全部连接，
可以得到4个全等的正三棱锥，球心为顶点，以正四面体面为底面．
每个正三棱锥体积V1=•S•r 而正四面体PABC体积V2=•S•（R+r）
根据前面的分析，4•V1=V2，
所以，4••S•r=•S•（R+r），
所以，R=3r，
所以棱长为a的正四面体的内切球和外接球的体积之比为1：27．
故答案为1：27．

16．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积（单位：cm2）为　80 cm2　．

【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图判断几何体的特征，结合三视图的数据关系，求出几何体的侧面积．
【解答】解：由三视图复原几何体可知，此几何体为正四棱锥，底面边长为8，侧面上的高为5，
所以S侧=4××8×5=80cm2．
故答案为：80cm2．

三、解答题：（本大题共5小题，第17题8分，第18～21题每题10分．）
17．过圆x2+y2﹣x+y﹣2=0和x2+y2=5的交点，且圆心在直线3x+4y﹣1=0上的圆的方程为　x2+y2+2x﹣2y﹣11=0　．
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】根据题意可设所求圆的方程为x2+y2﹣x+y﹣2+λ（x2+y2﹣5）=0（λ≠﹣1），再求出圆心坐标为，圆心在直线3x+4y﹣1=0上，所以将圆心的坐标代入中心方程可得λ的值，进而求出圆的方程．
【解答】解：设所求圆的方程为x2+y2﹣x+y﹣2+λ（x2+y2﹣5）=0（λ≠﹣1），
即整理可得 ，
所以可知圆心坐标为，
因为圆心在直线3x+4y﹣1=0上，
所以可得，
解得λ=﹣．
将λ=﹣代入所设方程并化简可得所求圆的方程为：x2+y2+2x﹣2y﹣11=0．
故答案为：x2+y2+2x﹣2y﹣11=0．

18．过原点O作圆x2+y2﹣8x=0的弦OA，延长OA到N，使|OA|=|AN|，求点N的轨迹方程．
【考点】轨迹方程．
【分析】设N（x，y），延长OA到N，使|OA|=|AN|，可得A．由于点A在圆（x′）2+（y′）2﹣8x′=0上，即可得出．
【解答】解：设N（x，y），∵延长OA到N，使|OA|=|AN|，∴A．
由于点A在圆（x′）2+（y′）2﹣8x′=0上，
∴﹣8×=0，化为：x2+y2﹣16x=0，即为点N的轨迹方程．

19．如图：已知在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是CC1的中点，F是AC，BD的交点．求A1F与B1E所成角的余弦值．

【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】如图所示，建立空间直角坐标系．利用cos＜，＞=即可得出．
【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系．
不妨设AB=2，则D（0，0，0），A1（2，0，2），F（1，1，0），
B1（2，2，2），E（0，2，1）．
=（1，﹣1，2），=（2，0，1），
∴cos＜，＞===，
∴A1F与B1E所成角的余弦值为．

20．圆（x+1）2+y2=8内有一点P（﹣1，2），AB过点P，
①若弦长，求直线AB的倾斜角；
②若圆上恰有三点到直线AB的距离等于，求直线AB的方程．
【考点】直线的一般式方程；直线的倾斜角．
【分析】①由弦长公式求出圆心到直线AB的距离，点斜式设出直线方程，由点到直线的距离公式求出斜率，再由斜率求倾斜角．
②由题意知，圆心到直线AB的距离d=，由点到直线的距离公式求出斜率，点斜式写出直线方程，并化为一般式．
【解答】解：①设圆心（﹣1，0）到直线AB的距离为d，则 d==1，设直线AB的倾斜角α，斜率为k，
则直线AB的方程 y﹣2=k（x+1），即 kx﹣y+k+2=0，d=1=，
∴k=或﹣，
∴直线AB的倾斜角α=60°或 120°．
②∵圆上恰有三点到直线AB的距离等于，
∴圆心（﹣1，0）到直线AB的距离d==，
直线AB的方程 y﹣2=k（x+1），
即kx﹣y+k+2=0，
由d==，
解可得k=1或﹣1，
直线AB的方程 x﹣y+3=0 或﹣x﹣y+1=0．

21．已知过点A（0，1）且斜率为k的直线l与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M、N两点
（1）求实数k的取值范围；
（2）求证：为定值；
（3）若O为坐标原点，且，求直线l的方程．
【考点】直线与圆的位置关系．
【分析】（1）由题意可得，直线l的斜率存在，用点斜式求得直线l的方程，根据圆心到直线的距离等于半径求得k的值，可得满足条件的k的范围．
（2）由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程化简，再利用一元二次方程根与系数的关系求得x1+x2 和x1•x2 的值，可得y1•y2=（kx1+1）（kx2+1）的值，利用=（x1，y1﹣1）•（x2，y2﹣1）=x1•x2+y1•y2﹣（y1+y2）+1，即可得出结论；
（3）由x1•x2+y1•y2=12，解得k的值，从而求得直线l的方程．
【解答】（1）解：由题意可得，直线l的斜率存在，
设过点A（0，1）的直线方程：y=kx+1，即：kx﹣y+1=0．…
由已知可得圆C的圆心C的坐标（2，3），半径R=1．
故由＜1，解得：＜k＜．
故当＜k＜时，过点A（0，1）的直线与圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1相交于M，N两点．
（2）证明：由题意可得，经过点M、N、A的直线方程为y=kx+1，代入圆C的方程（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，
可得 （1+k2）x2﹣4（k+1）x+7=0，
设M（x1，y1）；N（x2，y2），则
x1+x2=，x1•x2=，
∴y1•y2=（kx1+1）（kx2+1）=，
=（x1，y1﹣1）•（x2，y2﹣1）=x1•x2+y1•y2﹣（y1+y2）+1=+﹣k×﹣2+1=7为定值；
（3）解：由x1•x2+y1•y2==12，解得 k=1，
故直线l的方程为 y=x+1，即 x﹣y+1=0．

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