高考数学主题复习——函数周期性与对称性.pdf
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1、函数的周期性与对称性1函数周期性与对称性函数周期性与对称性一、函数周期:函数周期:对于定义域内的每一个,都存在非零常数,使得恒成立,则()f xxT()()f xTf x称函数具有周期性,叫做的一个周期,则()也是的周期,所有周()f xT()f xkT,0kZ k()f x期中的最小正数叫的最小正周期.一般所说的周期是指函数的最小正周期头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 周期函数的定义域一定()f x是无限集头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头
2、头头 头例如:求的周期11()()(),(),()()1()f xf xaf xf xaf xaf xf x 1.常见函数周期常见函数周期:y=sinx,最小正周期 T2;y=cosx,最小正周期 T2;y=tanx,最小正周期 T;y=cotx,最小正周期 T.周期函数f(x)最小正周期为 T,则y=Af(x+)+k 的最小正周期为 T/|.2.几种特殊的抽象函数的周期:函数满足对定义域内任一实数(其中为常数),yf xxa,则是以为周期的周期函数;f xf xa yf xTa ,则是以为周期的周期函数;f xaf x xf2Ta,则是以为周期的周期函数;1f xaf x xf2Ta ,则是
3、以为周期的周期函数;f xaf xa xf2Ta,则是以为周期的周期函数.1()()1()f xf xaf x xf2Ta,则是以为周期的周期函数.1()()1()f xf xaf x xf4Ta,则是以为周期的周期函数.1()()1()f xf xaf x xf4Ta函数满足(),若为奇函数,则其周期为,()yf x()()f axf ax0a()f x4Ta若为偶函数,则其周期为.()f x2Ta函数的图象关于直线和都对称,则函数是以()yf xxRxaxbab()f x为周期的周期函数;2 ba函数的图象关于两点、都对称,则函数是以()yf xxR0,A a y0,B b yab()f
4、x为周期的周期函数;2 ba函数的图象关于和直线都对称,则函数是以()yf xxR0,A a yxbab()f x为周期的周期函数;4 ba(二)主要方法:判断一个函数是否是周期函数要抓住两点:一是对定义域中任意的恒有;1.x()()f xTf x 二是能找到适合这一等式的非零常数,一般来说,周期函数的定义域均为无限集.T解决周期函数问题时,要注意灵活运用以上结论,同时要重视数形结合思想方法的运用,还要注意根2.据所要解决的问题的特征来进行赋值。二、对称性:二、对称性:函数关于原点对称即奇函数:()()fxf x 函数的周期性与对称性2 函数关于对称即偶函数:y()()fxf x 函数关于直线
5、 对称:或或 者xa()()f xaf ax()(2)f xfax (2)()f xafx 函数关于点对称:(a,b)f(x+a)+f(a-x)=2b1f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f(2)=0 在区间(0,6)内解的个数的最小值是 A2;B3;C4;D5()2设函数为奇函数,则())(Rxxf),2()()2(,21)1(fxfxff)5(fA0B1CD5253已知 f(x)是 R 上的偶函数,对都有 f(x6)=f(x)f(3)成立,若 f(1)=2,则 f(2011)=()RxA、2005 B、2 C、1 D、04 设 f(x)是定义在R上以 6 为周期的函数,f
6、(x)在(0,3)内单调递减,且 y=f(x)的图象关于直线x=3 对称,则下面正确的结论是 ()(A);(B B);1.53.56.5fff3.51.56.5fff(C);(D)6.53.51.5fff3.56.51.5fff5设函数与的定义域是,函数是一个偶函数,是一个奇函数,且()f x()g xxR1x ()f x()g x,则等于1()()1f xg xx()f xA.B.C C.D.112x1222xx122x122xx6.已知定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于成中心对称,且满足 f(x)=,f(0)=2,)0,43(1)1(),23(fxf则 f(1)+f(2)+f(201
7、0)的值为()A2 B1 C0 D17.已知函数()f x是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有(1)(1)()xf xx f x,则5()2f f的值是 A.0 B.12 C.1 D.52 8.若是定义在 R 上的奇函数,且当 x0 时,则 ()f x1()1f xx1()2f9.yf x定义域为 R,且对任意xR都有 111f xf xf x,若 212f 则=_f(2009)10设 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 y=f(x)的图象关于直线对称,则 f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)21x函数的周期性与对称性3=。_11:已知函数 f(x)在(1,1
8、)上有定义,f()=1,当且仅当 0 x1 时 f(x)0,且对任意 x、y(1,1)都有12f(x)+f(y)=f(),试证明:(1)f(x)为奇函数;(2)f(x)在(1,1)上单调递减.xyyx112.12.已知函数 yf(x)是定义在上的周期函数,周期 T=5,函数是奇函数头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头又知 yf(x)R()(11)yf xx 在0,1上是一次函数,在1,4上是二次函数,且在 x=2 时函数取得最小值.5证明:;求的解析式;求在4,9上的解析式.(1)(4)0ff(),1,4yf x x
9、()yf x13设是 R 上的偶函数xxeaaexfa)(,0()求 a 的值;()证明 f(x)在(0,+)上是增函数14设()是定义在R上的偶函数,其图象关于直线对称对任意,都21有()()(),且f(1)=()求;()证明()是周期函数;()记(),求)41(),21(fnan21na参考答案参考答案7.7.解析解析:令21 x,则0)21()21(21)21(21)21(21 ffff;令0 x,则0)0(f由(1)(1)()xf xx f x得)(1)1(xfxxxf ,所以0)0()25(0)21(212335)23(35)23(2325)25(fffffff,故选择 A。8.2
10、9.10.0-1-2函数的周期性与对称性411.证明:(1)由 f(x)+f(y)=f()可令 x=y=0,得 f(0)=0,xyyx1令 y=x,得 f(x)+f(x)=f()=f(0)=0.f(x)=f(x).f(x)为奇函数.21xxx(2)先证 f(x)在(0,1)上单调递减.令 0 x1x21,则 f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f()21121xxxx0 x1x20,1x1x20,0,12121xxxx又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0,x2x11x2x1,01,由题意知 f()0,21121xxxx21121xxxx即f(x2)f(x1).f(x
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