2005-2017浙江高考理科数学历年真题之解析几何大题(教师版).doc

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浙江高考历年真题之解析几何大题
（教师版）
1、（2005年）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，长轴的长为4，左准线与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若直线：x＝m(|m|＞1)，P为上的动点，使
最大的点P记为Q，求点Q的坐标(用m表示)．
解析：(Ⅰ)设椭圆方程为，半焦距为，
则　，
，
(Ⅱ) 设，当时，；
当时，，只需求的最大值即可
设直线的斜率，直线的斜率，

当且仅当时，最大，
2、（2006年）如图，椭圆＝1（a＞b＞0）与过点A（2，0）、B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，且椭圆的离心率e=。
(Ⅰ)求椭圆方程；
(Ⅱ)设F、F分别为椭圆的左、右焦点，M为线段AF2的中点，求证：∠ATM=∠AFT。
解析：（Ⅰ）过 A、B的直线方程为
因为由题意得有惟一解，
即有惟一解,
所以故=0
又因为e,即 ， 所以
从而得　故所求的椭圆方程为
（Ⅱ）由（Ⅰ）得,　所以 ，从而M（1+，0）
由 ，解得 因此
因为，又，，得
，因此，
3、（2007年）如图，直线与椭圆交于两点，记的面积为．
（I）求在，的条件下，的最大值；
（II）当，时，求直线的方程．
解析：（I）设点的坐标为，点的坐标为．
由，解得
所以，当且仅当时，．S取到最大值1．
（Ⅱ）解：由得
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　①
｜AB｜＝ ②
又因为O到AB的距离　　所以　　③
③代入②并整理，得，解得，，
代入①式检验，△＞0，故直线AB的方程是
或或或．
4、（2008年）已知曲线C是到点P（）和到直线距离相等的点的轨迹。
是过点Q（-1，0）的直线，M是C上（不在上）的动点；A、B在上，
轴（如图）。
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）求出直线的方程，使得为常数。
解析：（Ⅰ）设为上的点，则，
到直线的距离为．
由题设得．化简，得曲线的方程为．
（Ⅱ）解法一：
设，直线，则，从而．
A
B
O
Q
y
x
l
M
在中，因为，．
所以 .
，．
当时，，
从而所求直线方程为．
解法二：设，直线，则，从而
．过垂直于的直线．
A
B
O
Q
y
x
l
M
H
l1
因为，所以，
．
当时，，
从而所求直线方程为．
5、（2009年）已知椭圆：的右顶点为，过的
焦点且垂直长轴的弦长为．
（I）求椭圆的方程；
（II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于
点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．
O
x
y
A
P
M
N
解析：（Ⅰ）解：由题意，得从而
因此，所求的椭圆方程为．
（Ⅱ）解：如图，设，
则抛物线在点处的切线斜率为．
直线的方程为：．
将上式代入椭圆的方程中，得．
即． ①
因为直线与椭圆有两个不同的交点，
所以①式中的． ②
设线段的中点的横坐标是，则．
设线段的中点的横坐标是，则．
由题意，得，即． ③
由③式中的，得，或．
当时，．
则不等式②不成立，所以．
当时，代入方程③得，
将代入不等式②，检验成立．
所以，的最小值为1．
6、（2010年）已知，直线椭圆
分别为椭圆C的左、右焦点.
（I）当直线过右焦点F2时，求直线的方程；
（II）设直线与椭圆C交于A，B两点，，的重心分
别为G，H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.
解析：（Ⅰ）解：因为直线经过，所以
又因为所以故直线的方程为
（Ⅱ）解：设，
由消去得：
则由，知
且有
由于故O为F1F2的中点，
由，可知

设M是GH的中点，则
由题意可知，
好
即
而
所以即
又因为所以所以的取值范围是（1，2）。
7、（2011年）已知抛物线＝，圆的圆心为点M。
（Ⅰ）求点M到抛物线的准线的距离；
（Ⅱ）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂足于AB，求直线的方程.
解析：

8、（2012年）如图，椭圆的离心率为，其左焦点到点Ｐ（２,１）的距离为，不过原点Ｏ的直线与Ｃ相交于Ａ，Ｂ两点，且线段ＡＢ被直线ＯＰ平分。
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）求△面积取最大值时直线的方程。
解析：

9、（2013年）如图，点是椭圆
的一个顶点，的长轴是圆的直径，是过点
且互相垂直的两条直线，其中交于两点，交于另一点.
求椭圆的方程；
求面积取最大值时直线的方程.
（1）由题意得
∴椭圆的方程为
（2）设
由题意知直线的斜率存在，不妨设其为，则直线的方程为
故点到直线的距离为，又圆：，
∴
又，∴直线的方程为
由，消去，整理得，
故，代入的方程得
∴
设△的面积为，则

∴
当且仅当，即时上式取等号。
∴当时，△的面积取得最大值，
此时直线的方程为
10、（2014年）如图，设椭圆动直线与椭圆只有一个公共点，且点在第一象限.
已知直线的斜率为，用表示点的坐标；
若过原点的直线与垂直，证明：点到直线的距离的最大值为.

（1）方法1：设直线l的方程为 ，由 ，消去y得

由于直线l与椭圆C只有一个公共点P，故△=0，即，解得点P的坐标为

又点P在第一象限，故点P的坐标为
方法2：作变换 ，则椭圆C：变为圆 ：
切点 变为点 ，切线（  变为 。
在圆 中设直线 的方程为（ ） ，
由 解得
即 ，由于 ，
所以 ，得 ，
即 代入得 即，
利用逆变换代入即得：

（2）由于直线l1过原点O且与直线l垂直，故直线l1的方程为x+ky=0，所以点P到直线l1的距离
整理得:
因为，所以
当且仅当 时等号成立。
所以，点P到直线 的距离的最大值为
11、（2015年）已知椭圆=1上两个不同的点A, B关于直线y=mx+对称．
求实数m的取值范围；
求△AOB面积的最大值(O为坐标原点)

解：（1）由题意，可设直线AB的方程为x=-my+n，代入椭圆方程，可得（m2+2）y2-2mny+n2-2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2）．由题意，△=4m2n2-4（m2+2）（n2-2）=8（m2-n2+2）＞0，
设线段AB的中点P（x0，y0），则．x0=-m×+n=，
由于点P在直线y=mx+上，∴=+，
∴，代入△＞0，可得3m4+4m2-4＞0，
解得m2，∴或m．
（2）直线AB与x轴交点横坐标为n，
∴S△OAB==|n|•=，
由均值不等式可得：n2（m2-n2+2）=，
∴S△AOB=，当且仅当n2=m2-n2+2，即2n2=m2+2，又∵，解得m=，
当且仅当m=时，S△AOB取得最大值为．

12、（2016年）如图，设椭圆.
（1）求直线被椭圆截得的线段长（用、表示）；
（2）若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围.

I）设直线被椭圆截得的线段为，由得
，
故
，．
因此
．
（II）假设圆与椭圆的公共点有个，由对称性可设轴左侧的椭圆上有两个不同的点，，满足
．
记直线，的斜率分别为，，且，，．
由（I）知，
，，
故
，
所以．
由于，，得
，
因此
，    ①
因为①式关于，的方程有解的充要条件是
，
所以
．
因此，任意以点为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为
，
由得，所求离心率的取值范围为．

13、 (2017年)如图，已知抛物线x2=y，点A（-，），B（，），抛物线上的点p(x,y)(-＜x＜)．过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．
（1）求直线AP斜率的取值范围；
（2）求|PA|·|PQ|的最大值．

解：（1）设直线AP的斜率为k，
k==x-，
因为-＜x＜，所以直线AP斜率的取值范围是（-1，1）．
（2）联立直线AP与BQ的方程
解得点Q的横坐标是xQ=．
因为|PA|=(x+)=(k+1)，
|PQ|=(xQ-x)=-，
所以|PA|·|PQ|=-(k-1)(k+1)3．
令f(k)=-(k-1)(k+1)3，
因为f′(k)=-(4k-2)(k+1)2，
所以f(k)在区间(-1,)上单调递增，(,1)上单调递减，
因此当k=时，|PA|·|PQ|取得最大值．
宁可累死在路上，也不能闲死在家里！宁可去碰壁，也不能面壁。是狼就要练好牙，是羊就要练好腿。什么是奋斗？奋斗就是每天很难，可一年一年却越来越容易。不奋斗就是每天都很容易，可一年一年越来越难。能干的人，不在情绪上计较，只在做事上认真；无能的人！不在做事上认真，只在情绪上计较。拼一个春夏秋冬！赢一个无悔人生！早安！—————献给所有努力的人.

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