高二上学期期末数学复习宝典.doc

融安高中高二数学
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《不等式》基本概念、公式复习宝典
一、不等式：
1、不等式性质
（1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：
若，则;
若，则，但同向不等式不可以相减；
（2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；
若，则
异向不等式可以相除，但不能相乘；
若，则；
（3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：
若，则或；
（4）倒数法则：
若，，则；若，，则.
2. 作差法比较不等式大小：
步骤：作差→变形→判断符号；关键是第二步，通过因式分解、通分、配方等将差式变形为积、商、或平方和的形式，判断差式与0的大小；
3、证明不等式的方法：
比较法、分析法和综合法
（1）比较法的步骤是：
差（商），变形（分解因式、配方、通分等），判断符号，下结论.
（2）分析法：由结论到条件.优点是思路自然，容易掌握.
（3）综合法：由条件到结论（某些证明过的不等式、结论或已知条件）.
通常从均值不等式定理出发,关键是如何使用均值不等式，怎样对已知等式进行适当的变形.
证明问题时，分析法与综合法常结合使用；
练习：
1、若a＜b＜0，则下列式子：①a＋1＜b＋2；②；③a＋b＜ab；④中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2、如果，则的大小关系为
3、设且，则的大小关系为
4、若，则的取值范围为 ，的取值范围为 .
5、证明下列不等式
（1）已知,求证: ；
（2）已知，求证：；
二.常用不等式：
（1）(当且仅当a＝b时取“=”号)．
（2）(当且仅当a＝b时取“=”号)．
三.均值不等式：
(当且仅当a＝b时取“=”号)．
1、条件：一正二定三等，和定积最大，积定和最小
2、定积或积定的常用方法：
（1）添项；（2）分离法（换元分离或取倒数分离）；（3）1的整体代换；（4）消元代换；（5）构造不等式.
3、若均值不等式取不了等，用对勾函数的单调性解决：
对勾函数的一般形式：
对勾函数图象：
练习：
（1）已知，求的最大值；
（2）已知，求的最大值；
（3）已知，求的最大值；
（4）已知，求的最小值；
（6）已知，求的最小值；
（7）已知，求的取值范围；
（8）已知，求的最大值.
四、不等式的解法
1.分式、二次、高次不等式：标根法
前提条件：分子分母中的最高次项系数为正
步骤
（1）求根：分解成若干个一次因式的积，并使分子分母每一个因式中最高次项的系数为正；
（2）标根：将每一个一次因式的根标在数轴上，注意实心与空心；
（3）串根：从上到下，从右到左，奇穿偶不穿；
（4）写出不等式的解集.
注：解分式不等式时，注意移项使一边为0；一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。
2.绝对值不等式的解法：
（1）公式法：

.次转化无需讨论的正负.
（2）平方法：两边非负.
；
（3）零点分段法：含两个绝对值以上

令求出零点，零点将数轴分为3段，分段讨论. 最后结果应取各段的并集
（4）数形结合法：利用绝对值的几何意义
表示数轴上点到点的距离；
练习：解下列不等式
（1） （2）
（3）
（4） （5）
（6） （7）
3、含参不等式的解法：分类讨论法
（1）讨论最高次项的系数是否为0；
（2）讨论两根的大小；
（3）讨论与0的关系；
提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后务必有集合的形式表示；
（2）不等式解集的端点值往往是不等式对应方程的根或不等式有意义范围的端点值。
（3）解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…”。
练习：解下列含参不等式
（1） （2）
（3） （4）
4、不等式恒成立问题与存在性问题（有解）的区别
不等式恒成立和存在性是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，切不可混为一团.
（1）不等式f(x)<k在xI时恒成立，xI.
（2）不等式f(x)<k在xI时有解，xI.
（3）不等式f(x)>k在xI时恒成立，xI.
（4）不等式f(x)>k在xI时有解，xI.
解决不等式恒成立和存在性问题的基本策略常常是构作辅助函数，利用函数的单调性、最值（或上、下界）、图象求解；基本方法包括：数形结合，分离参数等.
练习：
（1）的取值范围.
（2）若不等式的解集为非空集合，求实数的取值范围
（3）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；
（4）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；

《直线与圆的方程》基本概念、公式复习宝典
一、直线
1、直线的两个特征量：
（1）斜率：
①定义法，倾斜角；
②斜率公式；当，斜率不存在；
③直线的方向向量；④ 化为斜截式
求直线方程时注意讨论是否存在;当斜率不存在时，直线垂直于轴
斜率的应用：
① 证明三点共线
② 求分式函数的最值：看作动点与定点连线的斜率最值.
（2）截距：
定义：直线与轴交点的横坐标或纵坐标.
求法：令，求出.
求直线方程时注意讨论截距是否为0；若截距为0，直线过原点；
练习：
1、三点在同一条直线上，求的值；
2、直线上两点，的方向向量为
（1）求的值和直线的斜率.（2）若直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，求直线的斜率.
（3）若直线在坐标轴上的截距等于在坐标轴上的截距，求实数.
2.直线的四种方程
（1）点斜式 (直线过点，且斜率为)．
（2）斜截式 (b为直线在y轴上的纵截).

（3）截距式 (为直线的横、纵截)（）
（4）一般式 (其中A、B不同时为0).
3.待定系数法求直线方程：
①选定直线的一种形式:已知点一般用点斜式，已知斜率或截距一般用斜截式. ②通过方程待定未知变量.
练习：求下列直线方程
（1）在轴上的截距是，倾斜角的正弦值是
（2）经过点，且在两坐标轴上的截距相等；
（3）倾斜角为，且与坐标轴围成的面积为1；
（4）过点，与轴的正半轴交于A、B两点，且面积最小.
4.平行和垂直
(1)若，
①; ②.
(2)若,,且（A1、A2、B1、B2不都为零）
① ；或（或）
② ；
练习：
1、已知两直线平行，求的值；
2、已知两直线垂直，求的值；
5.角度：，,
（1）夹角公式
. 夹角范围
直线时，直线l1与l2的夹角是.
（2）到角公式（到的角）范围
当时， .
当直线时，直线l1到l2的角是.
练习：
（1）已知直线经过点，且被两平行直线，截得的线段长为5，求直线的方程；
（2）一等腰三角形的底边所在直线，一腰所在直线，又另一腰所在直线过点，求的直线方程.
6.距离：
（1）点到直线的距离
(点,直线：).
（2）两平行线的距离

练习：
1、已知两平行直线的距离为，求的值；
2、已知正方形ABCD的中心为，其中一边所在直线方程为，求其他三边所在直线方程；
7．四种常用直线系方程：
（1）定点直线系方程：
经过定点的直线系方程为(除直线),其中是待定的系数;
定点的求法：对变量取2个特值，联立方程求解，方程的解就是定点；
(2)平行直线系方程：
直线中当斜率k一定而b变动时，表示平行直线系方程．
与直线平行的直线系方程是()，λ是参变量．
(3)垂直直线系方程：
与直线 (A≠0，B≠0)垂直的直线系方程是,λ是参变量．
练习：
1、已知直线
（1）若在坐标轴上的截距相等，求的值；（2）若不过第二象限，求的取值范围；
（3）若恒过一定点，求该定点坐标.
2、已知直线，求直线的方程.
（1）与平行，且过点；
（2）过两直线的交点，且与垂直；
3、已知，直线与线段相交，求实数的取值范围
8.对称问题：
1、点关于点对称
求点关于点的对称点，利用中点坐标公式，即

2、点关于直线对称：
点关于直线：（不全为零）对称点,则

注：（1）中点在对称直线上（方程①）；（2）过两对称点的直线方程与对称直线方程垂直（方程②）
3、直线关于直线对称：
直线，关于直线对称
法一（1）交点在这三条直线上；（2）利用到角公式求斜率；
法二：转化为点关于直线对称问题，即在取一特殊点，其对称点一定在上.
注：1、两直线到对称直线距离相等.
2、对称直线必过两条直线的交点，且对称直线为两直线夹角的角平分线.
练习：
（1）已知光线通过，经直线反射，若反射光线通过点，求入射光线和反射光线所在的直线方程；
（2）在中，已知BC边上的高所在的直线方程是，的平分线所在的直线方程为，若点，求点的坐标；
二、线性规划：
（1）区域的画法：1、直线定界（注意虚、实）；2、特殊点定域.
（2）线性规划求法：
1、平移法：
①画区域；②令找截距的最值点；③解方程求交点代入目标函数。
2、角点法：①画区域；②解方程求区域边界的交点；③代入目标函数。
（3）线性规划目标函数的三种类型：
（1）------------ Z表示直线的纵截或纵截的相反数；
（2）--------------Z表示可行域中的点与定点连线的斜率；
（3）---------- Z表示可行域中的点与定点的距离；
练习：
（1）下面给出的四个点中，位于表示的平面区域内的点是（ ）
A．（0，2） B．（－2，0） C．（0，－2） D．（2，0）
（2）已知点和点在直线的两侧，则的取值范围是（ ）
A．（－24，7） B．（7，24） C．（－7，24） D．（－24，－7）
（3）若满足约束条件，则目标函数的最大值为 ．
（4）若满足约束条件则的最大值为 ．
（5）若实数x、y满足，则的取值范围是 ．
（6）若实数x、y满足，则的最小值是 ．
三、轨迹的求法：
1、直接法：一个动点（步骤：建系设点列式代换化简）
2、待定系数法：已知所求曲线的类型，常用于求直线、圆、圆锥曲线的方程
3、代换法：两个动点，即未知动点随已知动点（在已知曲线C上运动）而动
步骤：设点与找出与的坐标关系（注意中点坐标公式和三角形重心公式的应用）将表示为的式子，再代入的曲线方程；
4、定义法：（1）一个动点到两个定点的距离和（或差）是常数，则该动点轨迹一定是椭圆（或双曲线）
（2）一个动点到一个定点的距离和它到一条定直线的距离比是常数，
当时是椭圆；当常数时是双曲线；当常数时是抛物线；
练习：
（1）由动点向圆引两条切线，切点为，，求动点的轨迹；（2）直线与圆交于A，B两点，求线段AB的垂直平分线的方程；
（3）设是椭圆上一个动点，为其上焦点，求中点的轨迹方程；
（4）若一动圆与两圆⊙M：和⊙N：都外切，求动圆圆心的轨迹;
（5）点P与定点的距离和它到定直线的距离之比是4：5，求点P的轨迹方程；
四. 圆的方程
1、圆的三种方程：
（1）圆的标准方程 .
（2）圆的一般方程 .
当时，方程表示一个圆，其中圆心，半径.
当时，方程表示一个点.
当时，方程无图形.
注：常用配方法求圆心和半径及判断二次方程是否是圆的方程；
（3）圆的参数方程 ，常用于求与圆有关的最值问题；
练习：方程表示圆的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
2、点、直线、圆之间的位置关系
（1）点与圆的位置关系：（圆心与点P的距离），则
点在圆外; 点在圆内；点在圆上
（2）直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有三种:
①; ②; ③.
其中.(圆心到直线的距离)
（3）两圆位置关系的判定方法：设两圆圆心分别为，半径分别为，
①; ②;
③; ④;
⑤.
练习：
1、若直线与圆相交，则点P（a，b）的位置是（ ）
A. 在圆上 B. 在圆外 C. 在圆内 D. 都有可能
2、已知点是圆内一点，直线是以为中点的弦所在的直线，直线 的方程是，则（ ）
（A）且与圆相交 （B）且与圆相切
（C）且与圆相离 （D）且与圆相离
3.待定系数法求圆的方程
（1）已知圆过两点A(3,1)、B(-1,3),且它的圆心在直线上；
（2）求经过点P(2,1),且与直线相切,圆心在直线上；
（3）一个圆与轴相切，圆心在直线上，且在直线截得的弦长为；
4.圆的常见问题
（1）求切线方程：
① 切点A在圆上，则
切线只有一条，其方程是利用圆心和A点的连线和切线垂直来求切线的斜率
② 过圆外一点的切线方程可设为：，再利用圆心到直线的距离等于半径求，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y轴切线．（即斜率不存在的直线）
③ 斜率为的切线方程设为，再利用圆心到直线的距离等于半径求b，必有两条切线．
（2）求弦长：利用半径、半弦长、圆心到直线的距离之间的勾股关系；
（3）求切线长：利用半径、切线长、到圆心的距离之间的勾股关系；
（4）中点弦问题：利用中点与圆心的连线与弦垂直的斜率关系；
（5）和圆有关的最值问题：
1、转化为与圆心距离有关的最值问题，注意垂直和勾股关系的应用；
2、利用圆的参数形式转化为函数最值；3、利用线性规划知识；4、数学结合.
注：解决直线与圆的关系问题时,要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成
直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).
练习：
（1）自点发出的光线射到轴上，被轴反射，其反射光线所在直线与圆
相切，求光线所在的直线方程；
（2）若圆与圆（）的公共弦的长为，则________；
（3）过点作圆的切线，则切线长为（ ）
（A）5 （B） （C） （D） 3
（4）已知圆内一点，则以为中点的弦所在直线方程为（ ）
A． B． C． D．
（5）已知直线与圆，则上各点到的距离的最小值为_______
（6） 曲线与直线有两个交点时，实数k的取值范围是（ ）
A．［，+∞） B．（，］ C．（0，） D．（，］
（7 ）如果对圆上的任意一点，不等式恒成立，求的取值范围;

《圆锥曲线》基本概念、公式
一、基本概念及公式
(一)椭圆及其标准方程
1.椭圆的定义：
（1）第一定义：到两焦点的距离之和是常数，即
若小于||，则这样的点不存在；若等于||，则动点的轨迹是线段.
（2）第二定义 ：到焦点和对应准线的距离比是常数，即
（3）焦半径公式： 点椭圆上，是左、右焦点，则
， （关键记得如何用第二定义推导而不是死记）
注：若跟两焦点距离和有关用第一定义；若跟一个焦点和对应准线距离有关用第二定义.
若跟焦点和准线距离且同时与椭圆上的点的坐标有关时用焦半径公式.

练习：
（1）椭圆的左、右焦点为，点P在椭圆上，若，则到右准线距离为
（2） 已知椭圆内有一点，是椭圆的上焦点，在椭圆上求一点，则的最小值是____________
（3）已知点A（2，y）是椭圆上的点，F是其右焦点，求∣AF∣；
（4）已知椭圆的右焦点为,右准线为，点，线段交于点，若,则=（ ）
(A) (B)2 (C) (D)3
2.椭圆的方程：
（1）标准式：（焦点在轴上）
（焦点在轴上）
（2）一般式：
（3）参数式：（θ为参数）
注：1、椭圆的参数方程可以由方程与三角恒等式相比较而得到，所以椭圆参数方程的实质是三角代换.
2、求椭圆方程常用定义法和待定系数法.

练习：求下列椭圆方程
（1）一焦点坐标为，且过点
（2）长轴是短轴的3倍，且过点
（3）过点
3.焦点位置的判别：哪个分母大焦点就在对应的轴上.
即如果项的分母大于项的分母，则椭圆的焦点在轴上，反之，焦点在轴上.
4.的关系： 长轴=,短轴=,焦距=
5．焦点三角形（面积或高）
（1）第一定义：+=
（2）余弦定理：；
若焦点三角形是特殊的直角三角形，则直接用三角函数的定义解决.
（3）配方思想：
练习：已知、是椭圆（＞＞0）的两个焦点，在椭圆上，且,
的面积为9，则=____________.
6.离心率或范围的求法：
（1）定义法，利用第一或者第二定义；（2）构建和有关的齐次式（式子两边同除以的最高次）
（3）寻找特殊图形中的不等关系或解三角形，注意平面几何知识的应用，如解三角形、中位线定理、相似三角形、平行线段成比例等知识
练习：
（1）过椭圆()的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，
若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D． 21世纪教育网
（2） 直线过椭圆（）的两顶点为,若原点到直线的距离等于，求椭圆的离心率；
（3）椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是( )
（A） （B） （C） （D）
(二)椭圆的简单几何性质：设椭圆方程（＞＞0）
（1）范围：①；②
（2）特殊点:长轴顶点，短轴顶点，焦点
（3）离心率： （ 0＜e＜1）e越大越扁，越小越圆.
（4）准线： （焦点在轴上） （焦点在轴上）.
（5）通径：过焦点垂直于对称轴的弦； 通径长
（6）有关距离：一般不用距离公式处理，而是尽可能分两段相加或相减处理；
(三)双曲线及其标准方程
1．双曲线的定义：
（1）第一定义：到两焦点的距离之差的绝对值是常数，即
若定义中只是距离的差则表示双曲线的其中一支；若||，则这样的点不存在；
若||，则动点的轨迹是以，为端点的两条射线.
（2）第二定义 ：到焦点和对应准线的距离比是常数，即
（3）焦半径公式： 点双曲线右支上，是左、右焦点，则
，（关键记得如何用第二定义推导而不是死记）
注：若跟两焦点距离和有关用第一定义；若跟一个焦点和对应准线距离有关用第二定义.
若跟焦点和准线距离且同时与双曲线上的点的坐标有关时用焦半径公式.
练习：
（1）如果双曲线上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（2） 若、是双曲线的焦点，过右焦的直线交双曲线右支于两点，，则的周长是
2. 双曲线的方程
（1）标准式：（焦点在轴上）
（焦点在轴上）
（2）一般式：
（3）渐近线式：若渐近线方程为，则双曲线可设为
当时，焦点在轴上；当时，焦点在轴上；
注：求双曲线方程常用定义法和待定系数法.
练习：求下列双曲线方程
（1）焦点坐标为，且过点
（2）与椭圆有相同焦点，一渐近线为
（3）过点、
（4）渐近线为，过点
3.焦点位置的判别：看二次项系数的正负
即项的系数是正数，则焦点在x轴上；项的系数是正数，则焦点在y轴上.
4.的关系：
实轴=,虚轴=,焦距=
5.焦点三角形面积问题（的高度）
（1）第一定义：-=;
（2）余弦定理：;
若焦点三角形是特殊的直角三角形，则直接用三角函数的定义解决.
（3）配方思想：
练习：
若、为双曲线C:的左、右焦点，点在上，，则到轴的距离为
(A) (B) (C) (D)
6.离心率或范围的求法：
（1）定义法，利用第一或者第二定义；（2）构建和有关的齐次式（式子两边同除以的最高次）
（3）寻找特殊图形中的不等关系或解三角形，注意平面几何知识的应用，如解三角形、中位线定理、相似三角形、平行线段成比例等知识
练习：
（1）设、分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（ ）
(A) (B) (C) (D)
（2）双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
（3）已知双曲线（，）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )
A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞)
7.双曲线的方程与渐近线方程的关系：
（1）若双曲线方程为渐近线方程：.
（2）若渐近线方程为双曲线可设为.
练习：
（1）已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
（A） (B) (C) (D)
（2）已知双曲线的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为（ ）
A. 2 B. C. D.
(四)双曲线的简单几何性质：设双曲线方程（）
（1）范围：①；②
（2）特殊点:实轴顶点，虚轴顶点，焦点
（3）离心率： （）越大开口越阔，越小越窄.
（4）渐近线：； 规律：对应成比例
渐近线斜率和离心率的关系：
（5）准线： （焦点在轴上） （焦点在轴上）.
（6）焦点到渐近线的距离为；
（7）通径：过焦点垂直于对称轴的弦通径长
（8）有关距离：一般不用距离公式处理，而是尽可能分两段相加或相减处理；
(五)抛物线：
1.抛物线的定义
到一个定点和一条定直线的距离相等．即
2.抛物线的标准方程的特点：
（1）顶点在原点，二次项的系数为1；以一条坐标轴为对称轴；焦点在对称轴上；顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离．
（2）焦点所在轴与一次项同字母；（3）开口方向与一次项系数符号同；
（4）焦点的非零坐标等于一次项系数的；（5）准线方程等于一次项系数的的相反数
（5）的含义：焦点F到准线的距离.
练习：
（1）设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 12
（2）设抛物线的焦点为，准线为，为抛物线上一点，，为垂足，如果直线斜率为，那么（ ）
（A） （B） 8 （C） （D） 16
（3）已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，－1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）
A.（，－1） B.（，1） C.（1，2） D.（1，－2）
（4）过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则 ．
（5）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且，则的面积为( )
（Ａ）　　 （Ｂ）　　 （Ｃ）　　 （Ｄ）
（六） 圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义：
与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e表示，
当0＜e＜1时，是椭圆，当e＞1时，是双曲线，当e＝1时，是抛物线．
(七) 直线与圆锥曲线位置关系
1．弦长求法：
（1）弦长公式：弦不过焦点

(2)定义法：弦过焦点
（弦过椭圆右焦）；
(弦过双曲线右焦).
（抛物线方程为）
2．中点弦问题： “点差法”求弦的斜率
步骤：
（1）设直线与椭圆的交点为A()，B（），并将之代入圆锥曲线方程；
（2）两式相减，并因式分解成一边含，令一边含的形式；
（3）将上式向中点坐标公式和直线斜率公式转化.
特别的
在椭圆中，以为中点的弦所在直线的斜率k=－；
在双曲线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=；
在抛物线中，以为中点的弦所在直线的斜率k=
特别提醒：务必别忘了检验！
3．设而不求思想
（1）设点、直线或圆锥曲线；
（2）联立直线和圆锥曲线方程，消元化为二次函数，利用韦达定理；
（3）转化：①将已知条件转化为所设点的坐标关系；
②利用直线方程将坐标关系转化为只含横标或者纵标的式子；
练习：
（10全国2）已知斜率为1的直线与双曲线C：相交于两点，且的中点为． （Ⅰ）求的离心率；
（Ⅱ）设的右顶点为，右焦点为，，求实半轴长．

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