二次根式的知识点汇总.doc

二次根式的知识点汇总
知识点一： 二次根式的概念
形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
知识点二：取值范围
1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
知识点三：二次根式（）的非负性
（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（）的性质
（）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
知识点五：二次根式的性质

知识点六：与的异同点
1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的， ，而
2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.
知识点七：二次根式的运算
（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．
（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．
（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．
=·（a≥0，b≥0）； （b≥0，a>0）．
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．

【例题精选】
二次根式有意义的条件：
例1：求下列各式有意义的所有x的取值范围。

解：（1）要使有意义，必须，由得，
当时，式子在实数范围内有意义。
（2）要使有意义，为任意实数均可，
当x取任意实数时均有意义。
（3）要使有意义，必须
的范围内。
当时，式子在实数范围内有意义。
小练习：（1）当x是多少时，在实数范围内有意义？
（2）当x是多少时， +在实数范围内有意义？②
（3）当x是多少时，+x2在实数范围内有意义？
（4）当时，有意义。
2. 使式子有意义的未知数x有（ ）个．
A．0 B．1 C．2 D．无数
3．已知y=++5，求的值．
4．若+有意义，则=_______．
5. 若有意义，则的取值范围是 。
最简二次根式
例2：把下列各根式化为最简二次根式：

分析：依据最简二次根式的概念进行化简，
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
解：

同类根式：
例3：判断下列各组根式是否是同类根式：

分析：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式，所以判断几个二次根式是否为同类二次根式，首先要将其化为最简二次根式。
解：

分母有理化：
例4：把下列各式的分母有理化：

分析：把分母中的根号化去，叫做分母有理化，两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说，这两个代数式互为有理化因子，如与，均为有理化因式。
解：

求值：例5：计算：

分析：迅速、准确地进行二次根式的加减乘除运算是本章的重点内容，必须掌握，要特别注意运算顺序和有意识的使用运算律，寻求合理的运算步骤，得到正确的运算结果。
解： （1）原式

化简：
例6：化简：

分析：应注意（1）式，（2），所以，可看作可利用乘法公式来进行化简，使运算变得简单。
解：

例7：化简练习：
解：

化简求值：
例8：已知： 求：的值。
分析：如果把a，b的值直接代入计算的计算都较为繁琐，应另辟蹊径，考虑到互为有理化因子可计算，然后将求值式子化为的形式。
解：

小结：显然上面的解法非常简捷，在运算过程中我们必须注意寻求合理的运算途径，提高运算能力。类似的解法在许多问题中有广泛的应用，大家应有意识的总结和积累。

例9：在实数范围内因式分解： [来源:学*科*网Z*X*X*K]
2x2－4；【提示】先提取2，再用平方差公式．【答案】 2（x＋）（x－）．．x4－2x2－3．
【提示】先将x2看成整体，利用x2＋px＋q＝（x＋a）（x＋b）其中a＋b＝p，ab＝q分解．再用平方差公式分解x2－3．【答案】（x2＋1）（x＋）（x－）．
例10、综合应用：
如图所示的Rt△ABC中，∠B=90°，点P从点B开始沿BA边以1厘米/秒的速度向点A移动；同时，点Q也从点B开始沿BC边以2厘米/秒的速度向点C移动．问：几秒后△PBQ的面积为35平方厘米？PQ的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）

【专项训练】：
一、选择题：在以下所给出的四个选择中，只有一个是正确的。

1、成立的条件是：
A． B． C． D．
2、把化成最简二次根式，结果为：
A． B． C． D．
3、下列根式中，最简二次根式为：
A． B． C． D．
4、已知t<1，化简得：
A． B． C．2 D．0
5、下列各式中，正确的是：
A． B．
C． D．
6、下列命题中假命题是：
A．设 B．设
C．设 D．设
7、与是同类根式的是：
A． B． C． D．
8、下列各式中正确的是：
A． B．
C． D．
三、
1、化简
2、已知： 求：
拓展训练
一、 分式，平方根，绝对值；
1. 成立的条件是_______________
2． 当a________时，；当a________时，。
3． 若，则__________；若，则__________。
4． 把根号外的因式移入根号内，结果为________。
5． 把-3根号外的因式移到根号内，结果为________。
6． x＜y，那么化简为________
10.若与是同类二次根式，则a=____，b=_____。

11.求使为实数的实数的值为____。
二、根式，绝对值的和为0；
1. 若=0，则=__________。
2. 如果求的算术平方根。
6.在ΔABC中，a，b，c为三角形的三边，则=_______。
7.已知
8.如果，则=_______。
三、分式的有理化
1、已知x= ,y= ，求x2－y2的值。
5.已知，求下列各式的值；
① ；
② ；
③ ;
四、整数部分与小数部分
1.的整数部分是_________，小数部分是________。
4.已知，的整数部分为，小数部分为，求的值。

五、 根式，分式的倒数；
1.已知x＋=4,求x－的值。
3. 若的值；
六、转换完全平方公式；
1.已知，求的值
3.已知x，y是实数，，若axy-3x=y，求a的值；
5、已知0 ＜x＜1，化简：－
6、化简：
1、 ； 2、；
七、技巧性运算
1.
2、计算的结果是_________
4、已知，，那么的值是__________
5、已知那么的值是__________
6、已知，求的值

附：中考类型
1、在实数范围内，有意义，则x的取值范围是（ ）；
A．x ≥0 B．x ≤0 C．x ＞0 D．x ＜0
2、使二次根式有意义的x的取值范围是 （　　）；
A．　　　B．　　　　C．　　　　D． ；
3一个自然数的算术平方根为，则和这个自然数相邻的下一个自然数是（ ）；
A． B． C． D．
4、在电路中，已知一个电阻的阻值R和它消耗的电功率P.由电功率计算公式 可得它两端的电压U为（ ）；
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
5、使代数式有意义的x的取值范围是（ ）
A、 ；B、 ；C、 ；D 、且；
6函数的自变量的取值范围是（ ）
A．　　　 　B．
C．　　　 D．
函数＋中自变量的取值范围是（ ）
A．；B． ；C． 且； D．且；
二、二次根式的运算问题
7、（09武汉市）二次根式的值是（ ）；
A． B．或 C． D．
8、 (衡阳市2009年) 下面计算正确的是（ ）；
A． B． C． D．
9、(09年安顺市)下列计算正确的是（ ）；
A． B． C． D．
10、(09太原市)计算的结果等于 ．
11、(黔东南州2009年) ___________；
12、(09山西省)计算： ．
13、(09年襄樊市)计算： ．
备用题、（09绥化市）计算： .
三、二次根式与绝对值、0指数幂等的混合运算
14、(09黔东南州)方程，当时，m的取值范围是（ ）；
A、；B、；C、；D、；
15、（09嘉兴市）当时，代数式的值是________________．
16、（09嘉兴市）计算：．
17、(09台州市)计算：．
四、二次根式与整式的化简求值问题：
18、（09广州市）先化简，再求值：，其中
19、（09孝感市）已知：求下列各式的值．
（1）；（2）
20、（09威海市）
先化简，再求值：，其中．
1、已知，，求：的值；
2、已知：，计算：（1） ；（2）
五、二次根式与分式的化简求值问题：
21、（09黔东南州）先化简，再求值：，其中；
22、(09恩施)求代数式的值：，其中．
23、（09泰安市）先化简、再求值：。
24、（09黔东南州）先化简，再求值：，其中；
六、二次根式的探究规律问题：
25、我们看几个等式：=1×4+1=5;=2×5+1=11; =3×6+1=19；仔细观察上面几道题及其结果，你能发现什么规律？能解释这一规律吗？并用你发现的规律猜想下面的结果：
①=___________.
②=（ ）×( ) ( )；
③=___________.
2011安徽，4，4分）设a=－1，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5
（2011山东烟台，5,4分）如果，则（ ）
A．a＜ B. a≤ C. a＞ D. a≥
2011安徽芜湖，14，5分）已知、为两个连续的整数，且，则 ．
2011四川内江，加试1，6分）若，则的值是 ．
（2011山东德州12,4分）当时，=____________
2011四川内江，加试3，6分）已知，则 ．
2011四川凉山州，25，5分）已知为有理数，分别表示的整数部分和小数部分，且，则
2011湖北黄冈，3，3分）要使式子有意义，则a的取值范围为_____________________．
下列运算正确的是（ ）(黑龙江齐齐哈尔09)
A． B．　　　C． D．
若=(x＋y)2，则x－y的值为( ) (09湖北荆门)

(A) －1． (B)1． (C)2． (D)3．
化简：
已知，，求：的值；
我们看几个等式：=1×4+1=5;=2×5+1=11; =3×6+1=19；仔细观察上面几道题及其结果，你能发现什么规律？能解释这一规律吗？并用你发现的规律猜想下面的结果：
①=___________.
②=（ ）×( ) ( )；
③=___________.
y=++2009，则x+y=
化简：的结果为（ ）
A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4
.已知a<0，那么│－2a│可化简为（ ）
A．－a B．a C．－3a D．3a
(2009年梅州市) 如果，则=_______.
将根号外的a移到根号内，得 (   )
A. ；   B. －；      C. －；      D.
例10. 观察下列各式及其验证过程：
，验证：；
，验证： .
（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果，并进行验证；
（2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n是整数)表示的等式，并给出验证过程.
（1）；验证略
（2）(n≥2，且是整数).
验证：