圆锥曲线知识点总结与经典例题.pdf

(完整 word 版)圆锥曲线知识点总结与经典例题(word 版可编辑修改)(完整 word 版)圆锥曲线知识点总结与经典例题(word 版可编辑修改)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（(完整 word 版)圆锥曲线知识点总结与经典例题(word 版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为(完整 word 版)圆锥曲线知识点总结与经典例题(word 版可编辑修改)的全部内容。(完整 word 版)圆锥曲线知识点总结与经典例题(word 版可编辑修改)圆锥曲线解题方法技巧第一、知识储备:1。直线方程的形式（1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。（2）与直线相关的重要内容倾斜角与斜率 tan,0,)k 2121yykxx点到直线的距离 00(,)P xy0AxByC0022AxByCdAB夹角公式：直线 夹角为,则111222:lyk xblyk xb212 1tan1kkk k(3)弦长公式直线上两点间的距离ykxb1122(,),(,)A x yB xy 222121()()ABxxyy2121ABkxx221212(1)()4kxxx x 12211AByyk(4）两条直线的位置关系（）111222:lyk xblyk xb=-1 1212llk k212121/bbkkll且(）11112222:0:0lAxB yClA xB yC 1212120llA AB B 或者(）1212211221/0llABA BACA C-=0且-111222ABCABC2220A B C 两平行线距离公式 距离 距离1122:lykxblykxb122|1bbdk1122:0:0lAxByClAxByC1222|CCdAB(完整 word 版)圆锥曲线知识点总结与经典例题(word 版可编辑修改)二、椭圆、双曲线、抛物线:二、椭圆、双曲线、抛物线:椭圆双曲线抛物线定义1 到两定点 F1，F2的距离之和为定值 2a(2a|F1F2)的点的轨迹2 与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹。（0e1）1到两定点 F1,F2的距离之差的绝对值为定值2a(01）与定点和直线的距离相等的点的轨迹.轨迹条件点集：（MMF1+MF2=2a,|F 1F22a.点集:MMF1|MF2。=2a,|F2F22a.点集M MF=点 M到直线 l 的距离。图形方程标准方程12222byax(ba 0）12222byax(a0，b0）pxy22参数方程为离心角）参数(sincosbyax为离心角）参数(tansecbyaxptyptx222（t 为参数)范围axa,byb|x|a,yRx0中心原点 O（0，0)原点 O（0，0）顶点（a，0）,(a,0）,(0,b),(0,b)(a，0），(a，0)(0,0）(完整 word 版)圆锥曲线知识点总结与经典例题(word 版可编辑修改)对称轴x 轴，y 轴;长轴长 2a,短轴长 2bx 轴，y 轴;实轴长 2a,虚轴长 2b.x 轴焦点F1(c，0)，F2(c，0）F1(c，0)，F2(c，0)0,2(pF准 线x=ca2准线垂直于长轴，且在椭圆外。x=ca2准线垂直于实轴,且在两顶点的内侧.x=2p准线与焦点位于顶点两侧，且到顶点的距离相等.焦距2c （c=22ba）2c （c=22ba）离心率)10(eace)1(eacee=1P（x0,y0)为圆锥曲线上一点，F1、F2分别为左、右焦点焦半径 PF1|=a+ex0 PF2|=a-ex0P 在右支时:P 在左支时：PF1|=a+ex0|PF1|=-a-ex0 PF2=a+ex0|PF2|=aex0PF|=x0+2p【备注 1】双曲线：【备注 1】双曲线：等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为xy，离心率2e.共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线,叫做已知双曲线的共轭双曲线。2222byax与2222byax互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：02222byax。共渐近线的双曲线系方程：)0(2222byax的渐近线方程为02222byax如果双曲线的渐近线为0byax时,它的双曲线方程可设为)0(2222byax。【备注 2】抛物线：【备注 2】抛物线：（1）抛物线=2px(p0)的焦点坐标是(，0），准线方程 x=，开口向右;抛物线=2y2p2p2y(完整 word 版)圆锥曲线知识点总结与经典例题(word 版可编辑修改)2px(p0）的焦点坐标是(，0）,准线方程 x=,开口向左;抛物线=2py（p0）的焦点2p2p2x坐标是（0,)，准线方程 y=-，开口向上；2p2p抛物线=-2py（p0）的焦点坐标是（0，)，准线方程 y=，开口向下.2x2p2p（2)抛物线=2px（p0)上的点 M（x0,y0)与焦点 F 的距离；抛物线=-2px2y20pxMF2y（p0）上的点 M(x0，y0)与焦点 F 的距离02xpMF（3）设抛物线的标准方程为=2px（p0），则抛物线的焦点到其顶点的距离为，顶点到准2y2p线的距离，焦点到准线的距离为 p。2p（4)已知过抛物线=2px（p0）焦点的直线交抛物线于 A、B 两点,则线段 AB 称为焦点弦，2y设 A(x1,y1）,B(x2,y2），则弦长=+p 或(为直线 AB 的倾斜角)，AB21xx 2sin2pAB，（叫做焦半径).221pyy2,41221pxAFpxxAF椭圆典型例题椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。例 1：例 1：已知椭圆的焦点是F1（0，1)、F2(0,1），P是椭圆上一点，并且PF1PF22F1F2，求椭圆的标准方程。解：由PF1PF22F1F2224，得 2a4.又c1，所以b23.所以椭圆的标准方程是1.2已知椭圆的两个焦点为F1(1，0)，F2（1,0），且 2a10，求椭圆的标准方程解：由椭圆定义知c1,b。椭圆的标准方程为Error!Error!1.521y224二、未知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。二、未知椭圆焦点的位置,求椭圆的标准方程。例：1。例：1。椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的 2 倍,求椭圆的标准方程02，A分析:分析:题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解：解：(1）当为长轴端点时,，02，A2a1b椭圆的标准方程为:；11422yx(2）当为短轴端点时，,，02，A2b4a椭圆的标准方程为:；116422yx(完整 word 版)圆锥曲线知识点总结与经典例题(word 版可编辑修改)三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。例求过点（3，2)且与椭圆Error!Error!1 有相同焦点的椭圆的标准方程解：因为c2945,所以设所求椭圆的标准方程为1.由点(3,2)在椭圆上知Error!Error!1，所以a215。所以所求椭圆的标准方程为1。四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。例：例：已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与直线交于、两点，为x01 yxABMAB 中点,的斜率为 0.25，椭圆的短轴长为 2，求椭圆的方程OM解：解：由题意，设椭圆方程为，1222 yax由，得,101222yaxyx021222xaxa，222112aaxxxM2111axyMM，,为所求4112axykMMOM42a1422 yx五、求椭圆的离心率问题。五、求椭圆的离心率问题。例例 已知椭圆的离心率，求的值19822ykx21ek 解：解：当椭圆的焦点在轴上时，,得由，得x82 ka92b12 kc21e4k当椭圆的焦点在轴上时，得y92a82 kbkc12由，得，即21e4191k45k满足条件的或4k45k 六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题 六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题 例：1。若ABC的两个顶点坐标A（4，0），B（4，0）,ABC的周长为 18，求顶点C的轨迹方程.解:顶点C到两个定点A，B的距离之和为定值 10，且大于两定点间的距离,因此顶点C的轨迹为椭圆,并且 2a10，所以a5，2c8，所以c4，所以b2a2c29，故顶点C的轨迹方程为Error!Error!1。又A、B、C三点构成三角形,所以y0。所以顶点C的轨迹方程为Error!Error!1（y0)答案:1（y0）(完整 word 版)圆锥曲线知识点总结与经典例题(word 版可编辑修改)2已知椭圆的标准方程是Error!Error!1(a5),它的两焦点分别是F1，F2，且F1F28,弦AB过点F1，求ABF2的周长因为F1F28，即即所以 2c8,即c4，所以a2251641，即a，所以ABF2的周长为 4a4.413 设F1、F2是椭圆1 的两个焦点,P是椭圆上的点，且PF1:PF22:1，求PF1F2的面积y24解析:由椭圆方程，得a3，b2,c，PF1PF22a6.又PF1PF221，PF14，PF252，由 2242（2Error!Error!）2可知PF1F2是直角三角形,故PF1F2的面积为Error!Error!PF1PF2244.七、直线与椭圆的位置问题七、直线与椭圆的位置问题例 例 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程1222 yx2121，PP分析一：分析一：已知一点求直线,关键是求斜率，故设斜率为,利用条件求kk解法一：解法一：设所求直线的斜率为，则直线方程为代入椭圆方程，并整理得k2121xky0232122212222kkxkkxk由韦达定理得22212122kkkxx是弦中点，故得P121 xx21k所以所求直线方程为0342 yx解法二:解法二:设过的直线与椭圆交于、，则由题意得2121，P11yxA，22yxB，1.11212212122222121yyxxyxyx，得 0222212221yyxx(完整 word 版)圆锥曲线知识点总结与经典例题(word 版可编辑修改)将、代入得，即直线的斜率为212121xxyy21所求直线方程为0342 yx双曲线典型例题双曲线典型例题一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。例 1例 1讨论表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征192522kykx分析：分析：由于，则的取值范围为，分别进行讨论9k25kk9k259 k25k解：解：（1）当时，,所给方程表示椭圆，此时，9k025k09kka 252kb 92，这些椭圆有共同的焦点(4，0）,（4，0）16222bac（2）当时，所给方程表示双曲线，此时，259 k025k09kka 252，这些双曲线也有共同的焦点(4，0），）(4，0）kb 9216222bac（3），,时，所给方程没有轨迹25k9k25k说明:说明:将具有共同焦点的一系列圆锥曲线，称为同焦点圆锥曲线系,不妨取一些值，画出k其图形，体会一下几何图形所带给人们的美感二、根据已知条件,求双曲线的标准方程。二、根据已知条件,求双曲线的标准方程。例 2例 2根据下列条件，求双曲线的标准方程（1）过点，且焦点在坐标轴上4153，P5316，Q（2），经过点（5，2）,焦点在轴上6cx（3）与双曲线有相同焦点，且经过点141622yx223，解:解:（1）设双曲线方程为122nymx、两点在双曲线上,PQ(完整 word 版)圆锥曲线知识点总结与经典例题(word 版可编辑修改)解得12592561162259nmnm916nm所求双曲线方程为191622yx说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论,得“巧求”的目的（2）焦点在轴上，,x6c设所求双曲线方程为：（其中）1622yx60双曲线经过点（5，2)，16425或(舍去）530所求双曲线方程是1522 yx说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉（3）设所求双曲线方程为:160141622yx双曲线过点，223，1441618或（舍）414所求双曲线方程为181222yx说明：说明：（1）注意到了与双曲线有公共焦点的双曲线系方程为后，141622yx141622yx便有了以上巧妙的设法(2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面三、求与双曲线有关的角度问题。三、求与双曲线有关的角度问题。例 3 例 3 已知双曲线的右焦点分别为、，点在双曲线上的左支上且116922yx1F2FP(完整 word 版)圆锥曲线知识点总结与经典例题(word 版可编辑修改)，求的大小3221PFPF21PFF分析：分析：一般地，求一个角的大小,通常要解这个角所在的三角形解：解：点在双曲线的左支上P621 PFPF362212221PFPFPFPF1002221 PFPF100441222221bacFF9021PFF说明:说明:（1）巧妙地将双曲线的定义应用于解题当中,使问题得以简单化(2）题目的“点在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一P条件改为“点在双曲线上结论如何改变呢？请读者试探索P四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。例 4 例 4 已知、是双曲线的两个焦点，点在双曲线上且满足，求1F2F1422 yxP9021PFF的面积21PFF分析：分析：利用双曲线的定义及中的勾股定理可求的面积21PFF21PFF解：解：为双曲线上的一个点且、为焦点P1422 yx1F2F,4221aPFPF52221 cFF9021PFF在中，21FPFRt202212221FFPFPF162212221221PFPFPFPFPFPF1622021PFPF221 PFPF1212121PFPFSPFF(完整 word 版)圆锥曲线知识点总结与经典例题(word 版可编辑修改)说明:说明:双曲线定义的应用在解题中起了关键性的作用五、根据双曲线的定义求其标准方程。五、根据双曲线的定义求其标准方程。例 5例 5已知两点、,求与它们的距离差的绝对值是 6 的点的轨迹051，F052，F分析：分析：问题的条件符合双曲线的定义,可利用双曲线定义直接求出动点轨迹解:解:根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线，5c3a16435222222acb所求方程为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线116922yx例：例：是双曲线上一点，、是双曲线的两个焦点，且,求的值P1366422yx1F2F171PF2PF分析:分析:利用双曲线的定义求解解：解：在双曲线中，,，故1366422yx8a6b10c由是双曲线上一点,得P1621 PFPF或12PF332PF又，得22acPF332PF说明：说明：本题容易忽视这一条件，而得出错误的结论或acPF212PF332PF 六、求与圆有关的双曲线方程。例 6例 6求下列动圆圆心的轨迹方程：M(1)与内切，且过点2222yxC：02，A（2)与和都外切11221 yxC：41222 yxC：（3）与外切，且与内切93221yxC：13222yxC：分析：分析：这是圆与圆相切的问题,解题时要抓住关键点，即圆心与切点和关键线段,即半径与圆心距离如果相切的、的半径为、且,则当它们外切时，；1C2C1r2r21rr 2121rrOO(完整 word 版)圆锥曲线知识点总结与经典例题(word 版可编辑修改)当它们内切时,解题中要注意灵活运用双曲线的定义求出轨迹方程2121rrOO解：解：设动圆的半径为Mr(1）与内切，点在外1CMAC,，2 rMCrMA 2 MCMA点的轨迹是以、为焦点的双曲线的左支,且有：MCA，22a2c27222acb双曲线方程为2172222xyx（2）与、都外切M1C2C,11 rMC22 rMC112 MCMC点的轨迹是以、为焦点的双曲线的上支，且有：M2C1C，21a1c43222acb所求的双曲线的方程为：43134422yxy(3)与外切,且与内切M1C2C,，31 rMC12 rMC421 MCMC点的轨迹是以、为焦点的双曲线的右支，且有：M1C2C,，2a3c5222acb所求双曲线方程为：215422xyx说明：说明：（1)“定义法”求动点轨迹是解析几何中解决点轨迹问题常用而重要的方法(2)巧妙地应用“定义法”可使运算量大大减小，提高了解题的速度与质量(完整 word 版)圆锥曲线知识点总结与经典例题(word 版可编辑修改)（3）通过以上题目的分析，我们体会到了，灵活准确地选择适当的方法解决问题是我们无休止的追求目标w。w.w.k.s。5.抛物线典型例题抛物线典型例题一、求抛物线的标准方程。一、求抛物线的标准方程。例 1例 1 指出抛物线的焦点坐标、准线方程（1)（2）yx42)0(2aayx分析：分析：（1)先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p,再写出焦点坐标和准线方程（2）先把方程化为标准方程形式，再对a进行讨论,确定是哪一种后,求p及焦点坐标与准线方程解：解：（1），焦点坐标是（0，1）,准线方程是：2p1y（2)原抛物线方程为：，xay12ap12当时，抛物线开口向右，0aap412焦点坐标是，准线方程是：)0,41(aax41当时，,抛物线开口向左，0aap412焦点坐标是，准线方程是：)0,41(aax41综合上述，当时，抛物线的焦点坐标为,准线方程是:0a2ayx)0,41(aax41二、求直线与抛物线相结合的问题二、求直线与抛物线相结合的问题例 2例 2 若直线与抛物线交于A、B两点，且AB中点的横坐标为 2,求此直线2 kxyxy82方程分析:分析:由直线与抛物线相交利用韦达定理列出k的方程求解 另由于已知与直线斜率及弦中点坐标有关,故也可利用“作差法求k(完整 word 版)圆锥曲线知识点总结与经典例题(word 版可编辑修改)解法一:解法一:设、，则由：可得:),(11yxA),(22yxBxykxy82204)84(22xkxk直线与抛物线相交，且，则0k01kAB中点横坐标为：,2842221kkxx解得：或（舍去）2k1k故所求直线方程为:22 xy解法二：解法二：设、，则有),(11yxA),(22yxB22212188xyxy两式作差解:，即)(8)(212121xxyyyy2121218yyxxyy，421 xx444)(22212121kxxkkxkxyy故或(舍去)448kk2k1k则所求直线方程为:22 xy三、求直线中的参数问题三、求直线中的参数问题例 3例 3（1）设抛物线被直线截得的弦长为,求k值xy42kxy 253（2）以（1）中的弦为底边，以x轴上的点P为顶点作三角形，当三角形的面积为 9 时,求P点坐标分析：分析：(1)题可利用弦长公式求k，（2）题可利用面积求高,再用点到直线距离求P点坐标解：解：（1）由得:kxyxy2420)44(422kxkx设直线与抛物线交于与两点则有:),(11yxA),(22yxB4,122121kxxkxx )21(5)1(54)(5)(21(22212212212kkkxxxxxxAB，即53)21(5,53kAB4k（2），底边长为，三角形高9S535565392h(完整 word 版)圆锥曲线知识点总结与经典例题(word 版可编辑修改)点P在x轴上，设P点坐标是)0,(0 x则点P到直线的距离就等于h，即42 xy55612402220 x或，即所求P点坐标是（1,0)或（5，0)10 x50 x四、与抛物线有关的最值问题例 4例 4定长为 3 的线段的端点、在抛物线上移动，求的中点到轴的距离ABABxy 2ABy的最小值，并求出此时中点的坐标AB解：解：如图,设是的焦点,、两点到准线的垂线分别是、，又到准线的Fxy 2ABACBDM垂线为，、和是垂足，则MNCDN2321)(21)(21ABBFAFBDACMN设点的横坐标为,纵坐标为，则Mxy41 xMN454123x等式成立的条件是过点ABF当时，故45x41221Pyy，22122)(212221221xyyyyyy,221 yy22y所以,此时到轴的距离的最小值为)22,45(MMy45例例已知点，为抛物线的焦点，点在该抛物线上移动，当取)2,3(MFxy22PPFPM 最小值时,点的坐标为_P分析:分析:本题若建立目标函数来求的最小值是困难的,若巧妙地利用抛物线定义,结PFPM 合图形则问题不难解决(完整 word 版)圆锥曲线知识点总结与经典例题(word 版可编辑修改)解：解：如图,由定义知，故PEPF 213MNMEPMPFPFPM取等号时,、三点共线，点纵坐标为 2，代入方程，求出其横坐标为 2,MPEP所以点坐标为P)2,2(