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神奇巧解高考数学选择题专题
前 言
高考数学选择题，知识覆盖面宽，概括性强，小巧灵活，有一定深度与综合性，而且分值大，能否迅速、准确地解答出来，成为全卷得分的关键。
选择题的解答思路不外乎两条：一是直接法，即从题干出发，探求结果，这类选择题通常用来考核考生最起码的基础知识和基本技能，这一般适用于题号在前1~6的题目；二是间接法，即从选项出发，或者将题干与选项联合考察而得到结果。因为选择题有备选项，又无须写出解答过程，因此存在一些特殊的解答方法，可以快速准确地得到结果，这就是间接法。这类选择题通常用来考核考生的思维品质，包括思维的广阔性和深刻性、独立性和批判性 、逻辑性和严谨性 、灵活性和敏捷性 以及创造性；同直接法相比，间接法所需要的时间可能是直接法的几分之一甚至几十分之一，是节约解题时间的重要手段。
然而，有相当一部分考生对于用间接手段解题并不放心，认为这样做“不可靠”，以至于在用间接法做过以后又用直接法再做一遍予以验证；甚至有思想不解放的，认为这样做“不道德”，而不明白这其实正是高考命题者的真实意图所在，高考正是利用选择题作为甄别不同层次思维能力的考生的一种重要手段。
解选择题常见的方法包括数形结合、特值代验、逻辑排除、逐一验证、等价转化、巧用定义、直觉判断、趋势判断、估计判断、退化判断、直接解答、现场操作，等等。考生应该有意识地积累一些经典题型，分门别类，经常玩味，以提高自己在这方面的能力。下面主要就间接法分别举例说明之，并配备足够的对应练习题，每题至少提供有一种解法。
例题与题组
一、数形结合
画出图形或者图象能够使问题提供的信息更直观地呈现，从而大大降低思维难度，是解决数学问题的有力策略，这种方法使用得非常之多。
【例题】、（07江苏6）设函数定义在实数集上，它的图象关于直线对称，且当时，，则有（ ）。
A、 B、
C、 D．
【解析】、当时，，的
图象关于直线对称，则图象如图所示。
这个图象是个示意图，事实上，就算画出
的图象代替它也可以。由图知，
符合要求的选项是B，
【练习1】、若P（2，-1）为圆的弦AB的中点，则直线AB的方程是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：画出圆和过点P的直线，再看四条直线的斜率，即可知选A）
【练习2】、（07辽宁）已知变量、满足约束条件，则的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：把看作可行域内的点与原点所在直线的斜率，不难求得答案 ，选A。）

【练习3】、曲线
与直线有两个公共点时，
的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
（提示：事实上不难看出，曲线方程的图象为，表示以（1，0）为圆心，2为半径的上半圆，如图。直线过定点（2，4），那么斜率的范围就清楚了，选D）]
【练习4】、函数在区间
A上是增函数，则区间A是（ ）
A、 B、
C、 D、
（提示：作出该函数的图象如右，知应该选B）

【练习5】、曲线与直线
有两个交点，则的取值范围是（ ）
A、或 B、
C、或 D、
（提示：作出曲线的图象如右，因为直线
与其有两个交点，则或，选A）
【练习6】、（06湖南理8）设函数，集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：数形结合，先画出的图象。。当时，图象如左；当时图象如右。

由图象知，当时函数在上递增，，同时的解集为的真子集，选C）
【练习7】、（06湖南理10）若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：数形结合，先画出圆的图形。圆方程化为
，由题意知，圆心到直线
的距离应该满足，在已知圆中画一个半
径为的同心圆，则过原点的直线与小圆有公共点，∴选B。）
【练习8】、（07浙江文10）若非零向量a，b满足|a-b|=| b |，则（ ）
A、|2b| ＞ | a-2b | B、|2b| ＜ | a-2b |
C、|2a| ＞ | 2a-b | D、|2a| ＜ | 2a-b |

（提示：关键是要画出向量a，b的关系图，为此
先把条件进行等价转换。|a-b|=| b ||a-b|2=
| b |2 a2+b2-2a·b= b2 a·（a-2b）=0
a⊥（a-2b），又a-（a-2b）=2b，所以|a|，| a-2b |，
|2b|为边长构成直角三角形，|2b|为斜边，如上图，
∴|2b| ＞ | a-2b |，选A。
另外也可以这样解：先构造等腰△OAB，使OB=AB，
再构造R△OAC，如下图，因为OC＞AC，所以选A。）

【练习9】、方程cosx=lgx的实根的个数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
（提示：在同一坐标系中分别画出函数cosx与lgx的图象，如图，

由两个函数图象的交点的个数为3，知应选C）

【练习10】、(06江苏7)若A、B、C为三个集合，，则一定有（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：若，则
成立，排除C、D选项，作出Venn图，可知A成立）

【练习11】、(07天津理7)在R上定义的函数是偶函数，且。若在区间[1，2]上是减函数，则（ ）
A、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是增函数
B、在区间[-2，-1]上是增函数，在区间[3，4]上是减函数
C、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是增函数
D、在区间[-2，-1]上是减函数，在区间[3，4]上是减函数
（提示：数形结合法，是抽象函数，因此画出其简单图象即可得出结论，如下左图知选B）

【练习12】、（07山东文11改编）方程的解的取值区间是（ ）
A、（0，1） B、（1，2） C、（2，3） D、（3，4）
（提示：数形结合，在同一坐标系中作出函数的图象，则立刻知选B，如上右图）

二、特值代验
包括选取符合题意的特殊数值、特殊位置和特殊图形，代入或者比照选项来确定答案。这种方法叫做特值代验法，是一种使用频率很高的方法。
【例题】、（93年全国高考）在各项均为正数的等比数列中，若，则（ ）
A、12 B、10 C、8 D、
【解析】、思路一（小题大做）：由条件有从而
，
所以原式=，选B。
思路二（小题小做）：由知原式=，选B。
思路三（小题巧做）：因为答案唯一，故取一个满足条件的特殊数列即可，选B。
【练习1】、（07江西文8）若，则下列命题中正确的是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：取验证即可，选B）
【练习2】、（06北京理7）设，则（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：思路一：f（n）是以2为首项，8为公比的等比数列的前项的和，
所以，选D。这属于直接法。
思路2：令，则，对照选项，只有D成立。）
【练习3】、（06全国1理9）设平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0，如果平面向量b1、b2、b3满足| bi|=2| ai |，且ai顺时针旋转以后与bi同向，其中i=1、2、3则（ ）
A、-b1+b2+b3=0 B、b1-b2+b3=0 C、b1+b2-b3=0 D、b1+b2+b3=0
（提示：因为a1+a2+a3=0，所以a1、a2、a3构成封闭三角形，不妨设其为正三角形，则bi实际上是将三角形顺时针旋转后再将其各边延长2倍，仍为封闭三角形，故选D。）
【练习4】、若，则的图象是（ ）

A、 B、 C、 D、
（提示：抓住特殊点2，，所以对数函数是减函数，图象往左移动一个单位得，必过原点，选A）
【练习5】、若函数是偶函数，则的对称轴是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：因为若函数是偶函数，作一个特殊函数，则变为，即知的对称轴是，选C）
【练习6】、已知数列{an}的通项公式为an=2n-1，其前n和为Sn，那么
Cn1S1+ Cn2S2+…+ CnnSn=（ ）
A、2n-3n B、3n -2n C、5n -2n D、3n -4n
（提示：愚蠢的解法是：先根据通项公式an=2n-1求得和的公式Sn，再代入式子Cn1S1+ Cn2S2+…+ CnnSn，再利用二项式展开式的逆用裂项求和得解，有些书上就是这么做的！其实这既然是小题，就应该按照小题的解思路来求做：令n=2，代入式子，再对照选项，选B）
【练习7】、（06辽宁理10）直线与曲线（）的公共点的个数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
（提示：取，原方程变为，这是两个椭圆，与直线有4个公共点，选D）
【练习8】、如图左，若D、E、F分别是
三棱锥S-ABC的侧棱SA、SB、SC上的点，
且SD：DA=SE：EB=CF：FS=2：1，那么平
面DEF截三棱锥S-ABC所得的上下两部分
的体积之比为（ ）
A、4：31 B、6：23
C、4：23 D、2：25
（提示：特殊化处理，不妨设三棱锥S-ABC是棱长为3的正三棱锥，K是FC的中点，分别表示上下两部分的体积
则，，选C）
【练习9】、△ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则的取值是（ ）
A、-1 B、1 C、-2 D、2
（提示：特殊化处理，不妨设△ABC为直角三角形，则圆心O在斜边中点处，此时有，，选B。）
【练习10】、双曲线方程为，则的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、或
（提示：在选项中选一些特殊值例如代入验证即可，选D）
三、筛选判断
包括逐一验证法——将选项逐一代入条件中进行验证，或者逻辑排除法，即通过对四个选项之间的内在逻辑关系进行排除与确定。
【例题】、设集合A和B都属于正整数集，映射f：把集合A中的元素n映射到集合B中的元素，则在映射f下，像20的原像是（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5
【解析】、经逐一验证，在2、3、4、5中，只有4符合方程=20，选C。
【练习1】、（06安徽理6）将函数
的图象按向量a=平移以后的图象如图所示，则
平移以后的图象所对应的函数解析式是（ ）
A、 B、
C、 D、
（提示：若选A或B，则周期为，与图象所示周期不符；若选D，则与 “按向量a=平移” 不符，选C。此题属于容易题）
【练习2】、（06重庆理9）如图，单位圆中的
长度为，表示与弦AB所围成的弓形的面的
2倍，则函数的图象是（ ）
2

2

2

2

2

2
2

2

A、 B、 C、 D、
（提示：解法1 设，则，
则S弓形=S扇形- S△AOB=
，当时，
，则，其图象位于下方；当时，，，其图象位于上方。所以只有选D。这种方法属于小题大作。
解法2 结合直觉法逐一验证。显然，面积不是弧长的一次函数，排除A；当从很小的值逐渐增大时，的增长不会太快，排除B；只要则必然有面积，排除C，选D。事实上，直觉好的学生完全可以直接选D）
【练习3】、（06天津文8）若椭圆的中心点为E（-1，0），它的一个焦点为F（-3，0），相应于焦点的准线方程是，则这个椭圆的方程是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：椭圆中心为（-1，0），排除A、C，椭圆相当于向左平移了1个单位长度，故c=2，，∴，选D）
【练习4】、不等式的解集是（ ）
A、 B、
C、 D、
（提示：如果直接解，差不多相当于一道大题！取，代入原不等式，成立，排除B、C；取，排除D，选A）
【练习5】、（06江西理12）某地一年内的气温
Q（t）（℃）与时间t（月份）之间的关系如右图，
已知该年的平均气温为10℃。令C（t）表示时间
段[0，t]的平均气温，C（t）与t之间的函数关系
如下图，则正确的应该是（ ）

A、 B、 C、 D、
（提示：由图可以发现，t=6时，C（t）=0，排除C；t=12时，C（t）=10，排除D；t＞6时的某一段气温超过10℃，排除B，选A。）
【练习6】、集合与集合之间的关系是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：C、D是矛盾对立关系，必有一真，所以A、B均假； 表示全体奇数，也表示奇数，故且B假，只有C真，选C。此法扣住了概念之间矛盾对立的逻辑关系。
当然，此题用现场操作法来解也是可以的，即令k=0，±1，±2，±3，然后观察两个集合的关系就知道答案了。）

【练习7】、当时，恒成立，则的一个可能的值是（ ）
A、5 B、 C、 D、
（提示：若选项A正确，则B、C、D也正确；若选项B正确，则C、D也正确；若选项C正确，则D也正确。选D）
【练习8】、（01广东河南10）对于抛物线上任意一点Q，点P（a，0）都满足，则的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：用逻辑排除法。画出草图，知a＜0符合条件，则排除C、D；又取，则P是焦点，记点Q到准线的距离为d，则由抛物线定义知道，此时a＜d＜|PQ|,即表明符合条件，排除A，选B。另外，很多资料上解此题是用的直接法，照录如下，供“不放心”的读者比较——
设点Q的坐标为，由，得，整理得，
∵ ，∴，即恒成立，而的最小值是2，∴，选B）
【练习9】、（07全国卷Ⅰ理12）函数的一个单调增区间是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：“标准”答案是用直接法通过求导数解不等式组，再结合图象解得的，选A。建议你用代入验证法进行筛选：因为函数是连续的，选项里面的各个端点值其实是可以取到的，由，显然直接排除D，在A、B、C中只要计算两个即可，因为B中代入会出现，所以最好只算A、C、现在就验算A，有，符合，选A）
四、等价转化
解题的本质就是转化，能够转化下去就能够解下去。至于怎样转化，要通过必要的训练，达到见识足、技能熟的境界。在解有关排列组合的应用问题中这一点显得尤其重要。
【例题】、（05辽宁12）一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（ ）

A、 B、 C、 D、
【解析】问题等价于对函数图象上任一点都满足，只能选A。
【练习1】、设，且sin3+ cos3，则的取值范围是（ ）
A、[-，0） B、[]
C、（-1，0） ] D、（-，0）
（提示：因为sin3+ cos3=（sin+ cos）（sin2- sincos+ cos2），而sin2- sincos+ cos2＞0恒成立，故sin3+ cos3t＜0,选A。另解：由sin3+ cos3 知非锐角，而我们知道只有为锐角或者直角时，所以排除B、C、D，选A）
【练习2】、是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是（ ）
A、4 B、5 C、1 D、2
（提示：设动点P的坐标是，由是椭圆的左、右焦点得，，则
，选D。这里利用椭圆的参数方程把问题等价转化为三角函数求最值的问题。特别提醒：下列“简捷”解法是掉进了命题人的“陷阱”的——）
【练习3】、若，则（ ）。
A、 B、 C、 D、

（提示：利用换底公式等价转化。
∴，选B）
【练习4】、且，，则（ ）
A、 B、
C、 D、
（提示：此题条件较多，又以符号语言出现，
令人眼花缭乱。对策之一是“符号语言图形化”，
如图 ，用线段代表立马知道选C。当然
这也属于数形结合方法。对策之二是“抽象语言具体化”， 分别用数字1，4，2，3代表容易知道选C。也许你认为对策一的转化并不等价，是的，但是作为选择题，可以事先把条件“”收严一些变为“”。
【练习5】、已知若函数在上单调递增，则的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示： 化简得，∵在上递增，
∴，而在上单调递增
，又∴选B）
【练习6】、把10个相同的小球放入编号为1，2，3的三个不同盒子中，使盒子里球的个数不小于它的编号数，则不同的放法种数是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：首先在编号为1，2，3的三个盒子中分别放入0，1，2个小球，则余下的7个球只要用隔板法分成3 堆即可，有种，选B；如果你认为难以想到在三个盒子中分别放入只0，1，2个小球，而更容易想到在三个盒子中分别放入只1，2，3个小球，那也好办：你将余下的4个球加上虚拟的（或曰借来的）3个小球，在排成一列的7球6空中插入2块隔板，也与本问题等价。）
【练习7】、方程的正整数解的组数是（ ）
A、24 B、 72 C、144 D、165
（提示：问题等价于把12个相同的小球分成4堆，故在排成一列的12球11空中插入3块隔板即可，答案为，选D）
【练习8】、从1，2，3，…，10中每次取出3个互不相邻的数，共有的取法数是（ ）
A、35 B、56 C、84 D、120
（提示：逆向思维，问题可以等价地看作是将取出的三个数再插入余下的7个数的8个空中，那么问题转化为求从8个空位中任意选3个的方法数，为，选B）
【练习9】、（理科）已知，则= （ ）
A、4 B、-5 C、-4 D、5
（提示：逆向思维，分母（）一定是存在于分子的一个因式，那么一定有，∴必然有，且，∴∴，选B）

【练习10】、异面直线所成的角为，
过空间一点O的直线与所成的角等于，
则这样的直线有（ ）条
A、1 B、2 C、3 D、4
（提示：把异面直线平移到过点O的位置，记他们所确定的平面为，则问题等价于过点O有多少条直线与所成的角等于，如图，恰有3条，选C）
【练习11】、不等式的解集为，那么不等式的解集为（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：把不等式化为，其结构与原不等式相同，则只须令，得，选A）
五、巧用定义
定义是知识的生长点，因此回归定义是解决问题的一种重要策略。
【例题】、某销售公司完善管理机制以后，其销售额每季度平均比上季度增长7%，那么经过季度增长到原来的倍，则函数的图象大致是（ ）

A、 B、 C、 D、
【解析】、由题设知，，∵，∴这是一个递增的指数函数，其中，所以选D。
【练习1】、已知对于任意，都有，且，则是（ ）
A、奇函数 B、偶函数 C、奇函数且偶函数 D、非奇且非偶函数
（提示：令，则由得；又令，代入条件式可得，因此是偶函数，选B）
【练习2】、点M为圆P内不同于圆心的定点，过点M作圆Q与圆P相切，则圆心Q的轨迹是（ ）
A、圆 B、椭圆 C、圆或线段 D、线段
（提示：设⊙P的半径为R，P、M为两定点，那
么|QP|+|QM|=|QA|+|QP|=R=常数，∴由椭圆定义知圆
心Q的轨迹是椭圆，选B）

【练习3】、若椭圆内有一点P（1，-1），F为右焦点，椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|最小，则点M为（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：在椭圆中，，则，设点M到右准线的距离为|MN|，则由椭圆的第二定义知，，从而，这样，过点P作右准线的垂直射线与椭圆的交点即为所求M点，知易M，故选A）
【练习4】、设是双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任意一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A、[2，3] B、（1，3] C、 D、
（提示：，当且仅当，即，时取等于号，又，得，∴，选B）

【练习5】、已知P为抛物线上任一动点，记点P到轴的距离为，对于给定点A（4，5），|PA|+d的最小值是（ ）
A、4 B、 C、 D、
（提示：比P到准线的距离（即|PF|）少
1，∴|PA|+d=|PA|+|PF|-1，而A点在抛物线外，
∴|PA|+d的最小值为|AF|-1=，选D）
【练习6】、函数的反函数，则的图象（ ）。
A、关于点(2, 3)对称 B、关于点(-2, -3)对称
C、关于直线y=3对称 D、关于直线x = -2对称
（提示：注意到的图象是双曲线，其对称中心的横坐标是-3，由反函数的定义，知图象的对称中心的纵坐标是-3，∴只能选B）
【练习7】、已知函数是R上的增函数，那么是的（ ）条件。
A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、不充分不必要
（提示：由条件以及函数单调性的定义，有
，而这个过程并不可逆，因此选A）
【练习8】、点P是以为焦点的椭圆上的一点，过焦点作的外角平分线的垂线，垂足为M，则点M的轨迹是（ ）
A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线
（提示：如图，易知，M是的中点，
∴OM是的中位线，∴，由椭圆的定义知，=定值，∴定值（椭圆的长半轴长a），∴选A）
【练习9】、在平面直角坐标系中，若方程m（x2+y2+2y+1）=（x-2y+3）2表示的是双曲线，则ｍ的取值范围是（　　）
A、（0，1） B、（ 1，） C、（0，5） D、（5，）
（提示：方程m（x2+y2+2y+1）=（x-2y+3）2可变形为，即得，∴，这表示双曲线上一点到定点（0，-1）与定直线的距离之比为常数，又由，得到，∴选C。若用特值代验，右边展开式含有项，你无法判断）
六、直觉判断
数学思维包括逻辑思维和直觉思维两种形式，逻辑思维严格遵守概念和逻辑规则，而直觉思维不受固定的逻辑规则约束，直接领悟事物本质，大大节约思考时间。逻辑思维在数学思维中始终占据着主导地位，而直觉思维又是思维中最活跃、最积极、最具有创造性的成分。两者具有辨证互补的关系。因此，作为选拔人才的高考命题人，很自然要考虑对直觉思维的考查。
【例题】、已知，则的值为（ ）
A、 B、或 C、 D、
【解析】、由题目中出现的数字3、4、5是勾股数以及的范围，直接意识到，从而得到，选C 。
【练习1】、如图，已知一个正三角形内接于一个边长为的正三角形中，
问取什么值时，内接正三角形的面积最小（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：显然小三角形的边长等于大三角形的边长之半时面积最小，选A。）
【练习2】、（课本题改编）测量某个零件直径的尺寸，得到10个数据：如果用作为该零件直径的近似值，当取什么值时，最小？（ ）
A、，因为第一次测量最可靠 B、，因为最后一次测量最可靠
C、，因为这两次测量最可靠 D、
（提示：若直觉好，直接选D。若直觉欠好，可以用退化策略，取两个数尝试便可以得到答案了。）
【练习3】、若，则（ ）
A、-1 B、1 C、0 D、
（提示：直觉法，系数取绝对值以后，其和会相当大，选D。或者退化判断法将7次改为1次；还有一个绝妙的主意：干脆把问题转化为:已知，求，这与原问题完全等价，此时令得解。）
【练习4】、已知a、b是不相等的两个正数，如果设，，，那么数值最大的一个是（ ）
A、 B、 C、 D、与a、b的值有关。
（提示：显然p、q、r都趋向于正无穷大，无法比较大小，选D。要注意，这里似乎是考核均值不等式，其实根本不具备条件——缺乏定值条件！）
【练习5】、（98高考）向高为H的水瓶中注水，注满为止。如果注水量V与水深h的函数关系如下列左图，那么水瓶的形状是（ ）。

O

A B C D

（提示：抓住特殊位置进行直觉思维，可以取OH的中点，当高H为一半时，其体积过半，只有B符合，选B）

【练习6】、（07江西理7文11）四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自不同的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图，盛满酒好他们约定：先各自饮杯中酒的一半。设剩余酒的高度从左到右依次为则它们的大小关系正确的是（ ）

A、 B、 C、 D、
（提示：选A）
【练习7】、（01年高考）过点A（1，-1）、B（-1，1）且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A、 B、
C、 D、
（提示：显然只有点（1，1）在直线上，选C）
【练习8】、（97全国理科）函数的最小正周期是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：因为总有，所以函数的周期只与有关，这里，所以选B）
【练习9】、（97年高考）不等式组的解集是（ ）
A、 B、
C、 D、
（提示：直接解肯定是错误的策略；四个选项左端都是0，只有右端的值不同，在这四个值中会是哪一个呢？它必定是方程的根！，代入验证：2不是，3不是， 2.5也不是，所以选C）

【练习10】、△ABC中，cosAcosBcosC的最大值是（ ）
A、 B、 C、1 D、
（提示：本题选自某一著名的数学期刊，作者提供了下列 “标准”解法，特抄录如下供读者比较：
设y=cosAcosBcosC，则2y=[cos（A+B）+ cos（A-B）] cosC，
∴cos2C- cos（A-B）cosC+2y=0，构造一元二次方程x2- cos（A-B）x+2y=0，则cosC是一元二次方程的根，由cosC是实数知：△= cos2（A-B）-8y≥0，
即8y≤cos2（A-B）≤1，∴，故应选B。
这就是“经典”的小题大作！事实上，由于三个角A、B、C的地位完全平等，直觉告诉我们：最大值必定在某一特殊角度取得，故只要令A=B=C=60゜即得答案B，这就是直觉法的威力，这也正是命题人的意图所在。）

【练习11】、（07浙江文8）甲乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“3局2胜”，即以先赢2局者为胜，根据以往经验，每局比赛中甲获胜的概率为0.6，则本次比赛中甲获胜的概率为（ ）
A、0.216 B、0.36 C、0.432 D、0.648
（提示：先看“标准”解法——甲获胜分两种情况：①甲：乙=2：0，其概率为0.6×0.6=0.36，②甲：乙=2：1，其概率为，所以甲获胜的概率为0.36+0.288=0.648，选D。
现在再用直觉法来解：因为这种比赛没有平局，2人获胜的概率之和为1，而甲获胜的概率比乙大，应该超过0.5，只有选D。）
【练习12】、，则（ ）
A、1 B、2 C、-1 D、-2
（提示：显然，选B）
七、趋势判断
趋势判断法，包括极限判断法，连同估值法，大致可以归于直觉判断法一类。具体来讲，顾名思义，趋势判断法的要义是根据变化趋势来发现结果，要求化静为动，在运动中寻找规律，因此是一种较高层次的思维方法。
【例题】、（06年全国卷Ⅰ，11）用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm）的5根细木棍围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），能够得到的三角形的最大面积为多少？
A、8 cm2 B、6 cm2 C、3 cm2 D、20 cm2
【解析】、此三角形的周长是定值20，当其高或底趋向于零时其形状趋向于一条直线，其面积趋向于零，可知，只有当三角形的形状趋向于最“饱满”时也就是形状接近于正三角形时面积最大，故三边长应该为7、7、6，因此易知最大面积为cm2，选B。）
【练习1】、在正n棱锥中，相邻两侧面所成二面角的平面角的取值范围是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：进行极限分析，当顶点无限趋近于底面正多边形的中心时，相邻两侧面所成二面角，且；当锥体且底面正多边形相对固定不变时，正n棱锥形状趋近于正n棱柱，且选A）
【练习2】、设四面体四个面的面积分别为它们的最大值为S，记，则一定满足（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：进行极限分析，当某一顶点A无限趋近于对面时，S=S对面，不妨设S=S1，则S2+S3+S4那么，选项中只有A符合，选A。当然，我们也可以进行特殊化处理：当四面体四个面的面积相等时，，凭直觉知道选A）

【练习3】、正四棱锥的相邻两侧面所成二面角的平面角为，侧面与底面 所成角为，则的值是（ ）
A、1 B、 C、0 D、-1
（提示：进行极限分析，当四棱锥的高无限增大时，那么
，选D）

【练习4】、在△ABC中，角A、B、C所对边长分别为a、b、c，若c-a等于AC边上的高，那么的值是（ ）
A、1 B、 C、 D、-1
(提示：进行极限分析，时，点，此时高，那么，所以，选A。）
【练习5】、若则（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：进行极限分析，当时，；当时，，从而，选A）

【练习6】、双曲线的左焦点为F，
点P为左支下半支异于顶点的任意一点，则直
线PF的斜率的变化范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
（提示：进行极限分析，当P时，PF的斜率；当时，斜率不存在，即或；当P在无穷远处时，PF的斜率。选C。）
【练习7】、（06辽宁文11）与方程的曲线关于直线对称的曲线方程为（ ）
A、 B、
C、 D、
（提示：用趋势判断法：显然已知曲线方程可以化为，是个增函数。再令那么那么根据反函数的定义，在正确选项中当时应该有只有A符合。当然也可以用定义法解决，直接求出反函数与选项比较之。）
【练习8】、若，则对任意实数n，（ ）
A、1 B、区间（0，1） C、 D、不能确定
（提示：用估值法，由条件完全可以估计到中必定有一个的值是1，另一个等于0，则选A。另外，当n=1，2时，答案也是1）

【练习9】、已知，且，，则之间的大小关系是（ ）
A、 B、 C、 D、与c的值有关
（提示：此题解法较多，如分子有理化法，代值验证法，单调性法，但是用趋势判断法也不错：当时，；当时，，可见函数递减，∴选B）

八、估值判断
有些问题，属于比较大小或者确定位置的问题，我们只要对数值进行估算，或者对位置进行估计，就可以避免因为精确计算和严格推演而浪费时间。
【例题】、已知是方程的根，是方程的根，则（ ）
A、6 B、3 C、2 D、1
【解析】、我们首先可以用图象法来解：如图，在同一
坐标系中作出四个函数，，，，
的图象，设与的图象交于点A，其
横坐标为；与的图象交于点C，其横坐标
为；与的图象交于点B，其横坐标为。因为与为反函数，点A与点B关于直线对称，所以2×=3，选B。
此属于数形结合法，也算不错，但非最好。现在用估计法来解它：因为是方程的根，所以是方程的根，所以所以选B。

【练习1】、用1、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）
A、24个 B、30个 C、40个 D、60个
（ 提示：如果用直接法可以分两步：先排个位，在两个偶数中任取一个有种方法；第二步在剩下的4个数字中任取两个排在十位与百位有种，由乘法原理，共有=24个，选B。用估计法：五个数字可以组成个三位数，其中偶数不到一半，选B。）
【练习2】、农民收入由工资性收入和其它收入两部分组成，2003年某地农民人均收入为3150元，其中工资性收入为1800元，其它收入1350元。预计该地区农民自2004年起工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其它收入每年增加160元，根据以上数据，2008年该地区农民人均收入介于（ ）元
A、（4200，4400） B、（4400，4600）C、（4600，4800）D、（4800，5000）
（提示：由条件知该地区农民工资性收入自2004年起构成以的等比数列，所以2008年工资性收入为元；其它收入构成以1350为首项，公差为160的等差数列，所以所以2008年其它收入为1350+160×5=2150元，所以2008年该地区农民人均收入约为2340+2150=4490元，选B。）
【练习3】、已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2，则球面面积是（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：用估计法，设球半径R，△ABC外接圆半径为 ，
则S球=，选D）

【练习4】、如图，在多面体ABCDEF中，
四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，
，EF与平面ABCD的距离为2，则
该多面体的体积为（ ）
A、 B、5 C、6 D、
（提示：该多面体的体积比较难求，可连接BE、CF，问题转化为四棱锥E-ABCD与三棱锥E-BCF的体积之和，而=6，所以只能选D）
【练习5】、在直角坐标平面上，已知A（-1，0）、B（3，0），点C在直线上，若∠ACB ＞，则点C的纵坐标的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
（提示：如图，M、N在直线上，且∠AMB=∠ANB=，要使∠ACB ＞，点C应该在M、N之间，故点C的纵坐标应该属于某一开区间，而点C的纵坐标是可以为负值的，选D）

【练习6】、已知三棱锥P-ABC的侧面与底面所成二面角都是，底面三角形三边长分别是7、8、9，则此三棱锥的侧面面积为（ ）
A、 B、 C、 D、
（提示：你可以先求出的面积为，再利用射影面积公式求出侧面面积为；你也可以先求出的面积为，之后求出P在底面的射影到个侧面的距离，都是