-大数定律与中心极限定律.pptx
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1、u 大数定律u 中心极限定理第五章 大数定律与中心极限定理5.1 大数定律定义记为设是一个随机变量序列,a是一个常数,若对任意 0,有或则称随机序列依概率收敛于a或定理1(贝努利大数定律)(贝努利大数定律)设Xn(n=1,2,)是独立同分布的随机序列,且PXn=1=pPXn=0=q0p0,有注注:通常令则定理的结论可写成或证:根据切比雪夫不等式,有因为所以设n是n次独立重复试验中事件A发生的次数,令显然n=X1+X2+.+Xn=因此,贝努利大数定律也可写为第i次试验出现A第i次试验不出现Ap是事件A在每次试验中发生的概率,贝努利大数定律说明,事件发生的频率依概率收敛于事件的概率p,在实际应用中
2、,当试验次数很大时,用频率来代替概率.(常常还需要考虑在n次独立试验中,事件A发生的概率pk随试验次数k的变化而变化.对这种情况,有下面的定理)定理2(泊松大数定律)(泊松大数定律)设Xn(n=1,2,)是相互独立的随机变量序列,且PXn=1=pnPXn=0=qnpn+qn=1则对任意 0,有或证:根据切比雪夫不等式,有因为所以(前面两个定理说明,只要则大数定律就成立,下面的定理说明了这一点)当n充分大时能任意地小,的方差定理3(切比雪夫大数定律)(切比雪夫大数定律)上界,则对任意 0,有或设 Xn(n=1,2,.)是相互独立的随机变量序列,它们的期望和方差都存在,并且方差有共同的即 D(Xn
3、)=n2C0,(前面三个定理都是假定方差存在且一致有界,但在许多问题中,往往不能满足上面的要求,仅知道独立同分布)注注:贝努里大数定律是辛钦大数定律的特殊定理4(辛钦大数定律)(辛钦大数定律)若 E(Xi)=a,(i=1,2,)则对任意的 0,有设 Xn(n=1,2,.)是独立同分布的随机变量序列,情况.辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值区平均亩产量的一个估计.提供了一条实际可行的途径.例如要估计某地区的平均亩产量,收割某些有代表性的地块,例如n块.计算其平均亩产量,则当n较大时,可用它作为整个地 强大数定律简介定义记为设是一个随机变量序列,a是一个常数,若或称以概率为1收敛于a.或则称几乎处
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