高中数学-必修1知识点(集合专题).doc
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高中数学 必修1知识点 第一章 集合与函数概念 【1.1.1】集合的含义与表示 (1)集合的概念 集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. (2)常用数集及其记法 表示自然数集,或表示正整数集,表示整数集,表示有理数集,表示实数集. (3)集合与元素间的关系 对象与集合的关系是,或者,两者必居其一. (4)集合的表示法 ①自然语言法:用文字叙述的形式来描述集合. ②列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内表示集合. ③描述法:{|具有的性质},其中为集合的代表元素. ④图示法:用数轴或韦恩图来表示集合. (5)集合的分类 ①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(). 【1.1.2】集合间的基本关系 (6)子集、真子集、集合相等 名称 记号 意义 性质 示意图 子集 (或 A中的任一元素都属于B (1)AA (2) (3)若且,则 (4)若且,则 或 真子集 AB (或BA) ,且B中至少有一元素不属于A (1)(A为非空子集) (2)若且,则 集合 相等 A中的任一元素都属于B,B中的任一元素都属于A (1)AB (2)BA (7)已知集合有个元素,则它有个子集,它有个真子集,它有个非空子集,它有非空真子集. 【1.1.3】集合的基本运算 (8)交集、并集、补集 名称 记号 意义 性质 示意图 交集 且 (1) (2) (3) 并集 或 (1) (2) (3) 补集 1 2 【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法 (1)含绝对值的不等式的解法 不等式 解集 或 把看成一个整体,化成,型不等式来求解 (2)一元二次不等式的解法 判别式 二次函数的图象 一元二次方程的根 (其中 无实根 的解集 或 的解集 专题一 集合 1.(15年北京文科)若集合,,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 考点:集合的交集运算. 2.(15年广东文科) 若集合,,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 试题分析:,故选C. 考点:集合的交集运算. 3.(15年广东文科)若集合, ,用表示集合中的元素个数,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 考点:推理与证明. 4.(15年安徽文科)设全集,,,则( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】B 【解析】 试题分析:∵ ∴ ∴选B 考点:集合的运算.[学优高考网gkstk] 5.(15年福建文科)若集合,,则等于( ) A. B. C. D 【答案】D 考点:集合的运算. 6.(15年新课标1文科) 7.(15年新课标2文科) 已知集合,,则( ) A. B. C. D. 【答案】A 考点:集合运算. 8.(15陕西文科) 集合,,则( ) A. B. C. D. 【答案】 考点:集合间的运算. 16.(15年江苏) 已知集合,,则集合中元素的个数为_______. 【答案】5 【解析】 试题分析: 考点:集合运算 【母题特供】每个专题5道最典型试题 母题一: 金题引路: 记函数的定义域为A,g(x)=lg[(x-a-1)(2a-x)](a<1)的定义域为B.(1)求A;(2)若B⊆A,求实数a的取值范围 母题二: 金题引路: 设集合,.若,则实数必满足 A. B. C. D. 母题三: 金题引路: 已知集合,且, ,求,b的值. 母题四: 金题引路: [来源:学科网ZXXK] 已知命题p:|x-1|<c(c>0),命题q:|x-3|>4且p是q的既不充分也不必要条件.求c的取值范围. 母题五、金题引路: 已知,命题实系数一元二次方程的两根都是虚数;命题存在复数同时满足且.试判断:命题和命题之间是否存在推出关系?请说明你的理由. 第一节 集合的含义、表示及基本关系 A组 1.已知A={1,2},B=,则集合A与B的关系为________. 解析:由集合B=知,B={1,2}.答案:A=B 2.若,则实数a的取值范围是________. 解析:由题意知,有解,故.答案: 3.已知集合A=,集合B=,则集合A与B的关系是________. 解析:y=x2-2x-1=(x-1)2-2≥-2,∴A={y|y≥-2},∴BA. 答案:BA 4.(2009年高考广东卷改编)已知全集U=R,则正确表示集合M={-1,0,1}和N=关系的韦恩(Venn)图是________. 解析:由N=,得N={-1,0},则NM.答案:② 5.(2010年苏、锡、常、镇四市调查)已知集合A=,集合B=,若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是________. 解析:命题“x∈A”是命题“x∈B” 的充分不必要条件,∴AB,∴a<5. 答案:a<5 6.(原创题)已知m∈A,n∈B,且集合A={x|x=2a,a∈Z},B={x|x=2a+1,a∈Z},又C={x|x=4a+1,a∈Z},判断m+n属于哪一个集合? 解:∵m∈A,∴设m=2a1,a1∈Z,又∵n∈B,∴设n=2a2+1,a2∈Z,∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2∈Z,∴m+n∈B. B组 1.设a,b都是非零实数,y=++可能取的值组成的集合是________. 解析:分四种情况:(1)a>0且b>0;(2)a>0且b<0;(3)a<0且b>0;(4)a<0且b<0,讨论得y=3或y=-1.答案:{3,-1} 2.已知集合A={-1,3,2m-1},集合B={3,m2}.若B⊆A,则实数m=________. 解析:∵B⊆A,显然m2≠-1且m2≠3,故m2=2m-1,即(m-1)2=0,∴m=1. 答案:1 3.设P,Q为两个非空实数集合,定义集合P+Q={a+b|a∈P,b∈Q},若P={0,2,5},Q={1,2,6},则P+Q中元素的个数是________个. 解析:依次分别取a=0,2,5;b=1,2,6,并分别求和,注意到集合元素的互异性,∴P+Q={1,2,6,3,4,8,7,11}.答案:8 4.已知集合M={x|x2=1},集合N={x|ax=1},若NM,那么a的值是________. 解析:M={x|x=1或x=-1},NM,所以N=∅时,a=0;当a≠0时,x==1或-1,∴a=1或-1.答案:0,1,-1 5.满足{1}A⊆{1,2,3}的集合A的个数是________个. 解析:A中一定有元素1,所以A有{1,2},{1,3},{1,2,3}.答案:3 6.已知集合A={x|x=a+,a∈Z},B={x|x=-,b∈Z},C={x|x=+,c∈Z},则A、B、C之间的关系是________. 解析:用列举法寻找规律.答案:AB=C 7.集合A={x||x|≤4,x∈R},B={x|x<a},则“A⊆B”是“a>5”的________. 解析:结合数轴若A⊆B⇔a≥4,故“A⊆B”是“a>5”的必要但不充分条件.答案:必要不充分条件 8.(2010年江苏启东模拟)设集合M={m|m=2n,n∈N,且m<500},则M中所有元素的和为________. 解析:∵2n<500,∴n=0,1,2,3,4,5,6,7,8.∴M中所有元素的和S=1+2+22+…+28=511.答案:511 9.(2009年高考北京卷)设A是整数集的一个非空子集,对于k∈A,如果k-1∉A,且k+1∉A,那么称k是A的一个“孤立元”.给定S={1,2,3,4,5,6,7,8},由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有________个. 解析:依题可知,由S的3个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”,这三个元素一定是相连的三个数.故这样的集合共有6个.答案:6 10.已知A={x,xy,lg(xy)},B={0,|x|,y},且A=B,试求x,y的值. 解:由lg(xy)知,xy>0,故x≠0,xy≠0,于是由A=B得lg(xy)=0,xy=1. ∴A={x,1,0},B={0,|x|,}. 于是必有|x|=1,=x≠1,故x=-1,从而y=-1. 11.已知集合A={x|x2-3x-10≤0}, (1)若B⊆A,B={x|m+1≤x≤2m-1},求实数m的取值范围; (2)若A⊆B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数m的取值范围; (3)若A=B,B={x|m-6≤x≤2m-1},求实数m的取值范围. 解:由A={x|x2-3x-10≤0},得A={x|-2≤x≤5}, (1)∵B⊆A,∴①若B=∅,则m+1>2m-1,即m<2,此时满足B⊆A. ②若B≠∅,则解得2≤m≤3. 由①②得,m的取值范围是(-∞,3]. (2)若A⊆B,则依题意应有解得故3≤m≤4, ∴m的取值范围是[3,4]. (3)若A=B,则必有解得m∈∅.,即不存在m值使得A=B. 12.已知集合A={x|x2-3x+2≤0},B={x|x2-(a+1)x+a≤0}. (1)若A是B的真子集,求a的取值范围; (2)若B是A的子集,求a的取值范围; (3)若A=B,求a的取值范围. 解:由x2-3x+2≤0,即(x-1)(x-2)≤0,得1≤x≤2,故A={x|1≤x≤2}, 而集合B={x|(x-1)(x-a)≤0}, (1)若A是B的真子集,即AB,则此时B={x|1≤x ≤ a},故a>2. (2)若B是A的子集,即B⊆A,由数轴可知1≤a≤2. (3)若A=B,则必有a=2 第二节 集合的基本运算 A组 1.(2009年高考浙江卷改编)设U=R,A=,B=,则A∩∁UB=____. 解析:∁UB={x|x≤1},∴A∩∁UB={x|0<x≤1}.答案:{x|0<x≤1} 2.(2009年高考全国卷Ⅰ改编)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A∪B,则集合∁U(A∩B)中的元素共有________个. 解析:A∩B={4,7,9},A∪B={3,4,5,7,8,9},∁U(A∩B)={3,5,8}. 答案:3 3.已知集合M={0,1,2},N=,则集合M∩N=________. 解析:由题意知,N={0,2,4},故M∩N={0,2}.答案:{0,2} 4.(原创题)设A,B是非空集合,定义AⓐB={x|x∈A∪B且x∉A∩B},已知A={x|0≤x≤2},B={y|y≥0},则AⓐB=________. 解析:A∪B=[0,+∞),A∩B=[0,2],所以AⓐB=(2,+∞). 答案:(2,+∞) 5.(2009年高考湖南卷)某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________. 解析:设两项运动都喜欢的人数为x,画出韦恩图得到方程15-x+x+10-x+8=30x=3,∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12(人).答案:12 6.(2010年浙江嘉兴质检)已知集合A={x|x>1},集合B={x|m≤x≤m+3}. (1)当m=-1时,求A∩B,A∪B; (2)若B⊆A,求m的取值范围. 解:(1)当时,B={x|-1≤x≤2},∴A∩B={x|1<x≤2},A∪B={x|x≥-1}. (2)若B⊆A,则,即的取值范围为(1,+∞) B组 1.若集合M={x∈R|-3<x<1},N={x∈Z|-1≤x≤2},则M∩N=________. 解析:因为集合N={-1,0,1,2},所以M∩N={-1,0}.答案:{-1,0} 2.已知全集U={-1,0,1,2},集合A={-1,2},B={0,2},则(∁UA)∩B=________. 解析:∁UA={0,1},故(∁UA)∩B={0}.答案:{0} 3.(2010年济南市高三模拟)若全集U=R,集合M={x|-2≤x≤2},N={x|x2-3x≤0},则M∩(∁UN)=________. 解析:根据已知得M∩(∁UN)={x|-2≤x≤2}∩{x|x<0或x>3}={x|-2≤x<0}.答案:{x|-2≤x<0} 4.集合A={3,log2a},B={a,b},若A∩B={2},则A∪B=________. 解析:由A∩B={2}得log2a=2,∴a=4,从而b=2,∴A∪B={2,3,4}. 答案:{2,3,4} 5.(2009年高考江西卷改编)已知全集U=A∪B中有m个元素,(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为________. 解析:U=A∪B中有m个元素, ∵(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B)中有n个元素,∴A∩B中有m-n个元素.答案:m-n 6.(2009年高考重庆卷)设U={n|n是小于9的正整数},A={n∈U|n是奇数},B={n∈U|n是3的倍数},则∁U(A∪B)=________. 解析:U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={1,3,5,7},B={3,6},∴A∪B={1,3,5,6,7}, 得∁U(A∪B)={2,4,8}.答案:{2,4,8} 7.定义A⊗B={z|z=xy+,x∈A,y∈B}.设集合A={0,2},B={1,2},C={1},则集合(A⊗B)⊗C的所有元素之和为________. 解析:由题意可求(A⊗B)中所含的元素有0,4,5,则(A⊗B)⊗C中所含的元素有0,8,10,故所有元素之和为18.答案:18 8.若集合{(x,y)|x+y-2=0且x-2y+4=0}{(x,y)|y=3x+b},则b=________. 解析:由⇒点(0,2)在y=3x+b上,∴b=2. 9.设全集I={2,3,a2+2a-3},A={2,|a+1|},∁IA={5},M={x|x=log2|a|},则集合M的所有子集是________. 解析:∵A∪(∁IA)=I,∴{2,3,a2+2a-3}={2,5,|a+1|},∴|a+1|=3,且a2+2a-3=5,解得a=-4或a=2,∴M={log22,log2|-4|}={1,2}. 答案:∅,{1},{2},{1,2} 10.设集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2+2(a+1)x+(a2-5)=0}. (1)若A∩B={2},求实数a的值; (2)若A∪B=A,求实数a的取值范围. 解:由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故集合A={1,2}. (1)∵A∩B={2},∴2∈B,代入B中的方程,得a2+4a+3=0⇒a=-1或a=-3;当a=-1时,B={x|x2-4=0}={-2,2},满足条件;当a=-3时,B={x|x2-4x+4=0}={2},满足条件;综上,a的值为-1或-3. (2)对于集合B,Δ=4(a+1)2-4(a2-5)=8(a+3).∵A∪B=A,∴B⊆A, ①当Δ<0,即a<-3时,B=∅满足条件;②当Δ=0,即a=-3时,B={2}满足条件;③当Δ>0,即a>-3时,B=A={1,2}才能满足条件,则由根与系数的关系得 ⇒矛盾.综上,a的取值范围是a≤-3. 11.已知函数f(x)= 的定义域为集合A,函数g(x)=lg(-x2+2x+m)的定义域为集合B. (1)当m=3时,求A∩(∁RB); (2)若A∩B={x|-1<x<4},求实数m的值. 解:A={x|-1<x≤5}. (1)当m=3时,B={x|-1<x<3},则∁RB={x|x≤-1或x≥3}, ∴A∩(∁RB)={x|3≤x≤5}. (2)∵A={x|-1<x≤5},A∩B={x|-1<x<4}, ∴有-42+2×4+m=0,解得m=8,此时B={x|-2<x<4},符合题意. 12.已知集合A={x∈R|ax2-3x+2=0}. (1)若A=∅,求实数a的取值范围; (2)若A是单元素集,求a的值及集合A; (3)求集合M={a∈R|A≠∅}. 解:(1)A是空集,即方程ax2-3x+2=0无解. 若a=0,方程有一解x=,不合题意. 若a≠0,要方程ax2-3x+2=0无解,则Δ=9-8a<0,则a>. 综上可知,若A=∅,则a的取值范围应为a>. (2)当a=0时,方程ax2-3x+2=0只有一根x=,A={}符合题意. 当a≠0时,则Δ=9-8a=0,即a=时, 方程有两个相等的实数根x=,则A={}. 综上可知,当a=0时,A={};当a=时,A={}. (3)当a=0时,A={}≠∅.当a≠0时,要使方程有实数根, 则Δ=9-8a≥0,即a≤. 综上可知,a的取值范围是a≤,即M={a∈R|A≠∅}={a|a≤}- 配套讲稿:
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