(典型题)2014高考数学二轮复习知识点总结椭圆、双曲线、抛物线.doc
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1、椭圆、双曲线、抛物线高考对本节知识的考查主要有以下两种形式:1.以选择、填空的形式考查,主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率),以及圆锥曲线之间的关系,突出考查基础知识、基本技能,属于基础题.2.以解答题的形式考查,主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解,直线与圆锥曲线的位置关系,常常在知识的交汇点处命题,有时以探究的形式出现,有时以证明题的形式出现该部分题目多数为综合性问题,考查学生分析问题、解决问题的能力,综合运用知识的能力等,属于中、高档题,一般难度较大圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)|PF1|PF2|2
2、a(2ab0)1(a0,b0)y22px(p0)图形几何性质范围|x|a, |y|b|x|ax0顶点(a,0),(0,b)(a,0)(0,0)对称性关于x轴,y轴和原点对称关于x轴对称焦点(c,0)(,0)轴长轴长2a,短轴长2b实轴长2a,虚轴长2b离心率e (0e1)e1准线x渐近线yx考点一圆锥曲线的定义与标准方程例1(1)设椭圆1和双曲线x21的公共焦点分别为F1、F2,P为这两条曲线的一个交点,则|PF1|PF2|的值等于_(2)已知直线yk(x2)(k0)与抛物线C:y28x相交于A、B两点,F为C的焦点若|FA|2|FB|,则k_.答案(1)3(2)解析(1)焦点坐标为(0,2)
3、,由此得m24,故m6.根据椭圆与双曲线的定义可得|PF1|PF2|2,|PF1|PF2|2,两式平方相减得4|PF1|PF2|43,所以|PF1|PF2|3.(2)方法一抛物线C:y28x的准线为l:x2,直线yk(x2)(k0)恒过定点P(2,0)如图,过A、B分别作AMl于点M,BNl于点N.由|FA|2|FB|,则|AM|2|BN|,点B为AP的中点连接OB,则|OB|AF|,|OB|BF|,点B的横坐标为1,故点B的坐标为(1,2)k.方法二如图,由图可知,BBBF,AAAF,又|AF|2|BF|,即B是AC的中点与联立可得A(4,4),B(1,2)kAB.(1)对于圆锥曲线的定义不
4、仅要熟记,还要深入理解细节部分:比如椭圆的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|,双曲线的定义中要求|PF1|PF2|F1F2|,抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化(2)注意数形结合,提倡画出合理草图(1)(2012山东)已知椭圆C:1(ab0)的离心率为.双曲线x2y21的渐近线与椭圆C有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆C的方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)如图,过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A,B,交其准线l于点C,若|BC|2|BF|,且|AF|3,则此抛物线的方程为()Ay29x By26xCy23x Dy2x答案(
5、1)D(2)C解析(1)椭圆的离心率为,a2b.椭圆方程为x24y24b2.双曲线x2y21的渐近线方程为xy0,渐近线xy0与椭圆x24y24b2在第一象限的交点为,由圆锥曲线的对称性得四边形在第一象限部分的面积为bb4,b25,a24b220.椭圆C的方程为1.(2)如图,分别过A,B作AA1l于A1,BB1l于B1,由抛物线的定义知,|AF|AA1|,|BF|BB1|,|BC|2|BF|,|BC|2|BB1|,BCB130,AFx60.连接A1F,则AA1F为等边三角形,过F作FF1AA1于F1,则F1为AA1的中点,设l交x轴于N,则|NF|A1F1|AA1|AF|,即p,抛物线方程为
6、y23x,故选C.考点二圆锥曲线的几何性质例2(1)(2013辽宁)已知椭圆C:1(ab0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|10,|BF|8,cosABF,则C的离心率为()A. B. C. D.(2)已知双曲线1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2,点P在双曲线的右支上,且|PF1|4|PF2|,则双曲线的离心率e的最大值为_答案(1)B(2)解析(1)在ABF中,由余弦定理得|AF|2|AB|2|BF|22|AB|BF|cosABF,|AF|21006412836,|AF|6,从而|AB|2|AF|2|BF|2,则AFBF.c|OF|AB|5
7、,利用椭圆的对称性,设F为右焦点,则|BF|AF|6,2a|BF|BF|14,a7.因此椭圆的离心率e.(2)设F1PF2,由得由余弦定理得cos e2.(0,180,cos 1,1),1e21,10,b0)的左焦点F作圆x2y2的切线,切点为E,延长FE交双曲线右支于点P,若E为PF的中点,则双曲线的离心率为_答案(1)(2)解析(1)设椭圆C的焦点在x轴上,如图,B(0,b),F(c,0),D(xD,yD),则B(c,b),F(xDc,yD),B2F,又点D在椭圆C上,1,即e2.e.(2)设c,双曲线的右焦点为F.则|PF|PF|2a,|FF|2c.E为PF的中点,O为FF的中点,OEP
8、F,且|PF|2|OE|.OEPF,|OE|,PFPF,|PF|a,|PF|PF|2a3a.|PF|2|PF|2|FF|2,9a2a24c2,.双曲线的离心率为.考点三直线与圆锥曲线的位置关系例3已知椭圆C:1(ab0)的离心率e,点F为椭圆的右焦点,点A、B分别为椭圆的左、右顶点,点M为椭圆的上顶点,且满足1.(1)求椭圆C的方程;(2)是否存在直线l,当直线l交椭圆于P、Q两点时,使点F恰为PQM的垂心?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由解(1)根据题意得,F(c,0)(c0),A(a,0),B(a,0),M(0,b),(c,b),(ac,0),acc21.又e,ac,c2c2
9、1,c21,a22,b21,椭圆C的方程为y21.(2)假设存在满足条件的直线l.kMF1,且MFl,kl1.设直线l的方程为yxm,P(x1,y1),Q(x2,y2),由消去y得3x24mx2m220,则有16m212(2m22)0,即m2B0时,表示焦点在y轴上的椭圆;BA0时,表示焦点在x轴上的椭圆;AB0)的焦点弦,F为抛物线的焦点,A(x1,y1)、B(x2,y2)(1)y1y2p2,x1x2;(2)|AB|x1x2p(为弦AB的倾斜角);(3)SAOB;(4)为定值;(5)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.1 已知点F是双曲线1(a0,b0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过点
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