2019年湖南单招文科数学模拟试题【含答案】.doc

年湖南单招文科数学模拟试卷（一）【含答案】　
一、选择题：本大题共个小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
．已知集合{，＞}，{}，则∩（　　）
．{＜＜} ．{＜＜} ．{＜＜} ．∅
．若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（　　）
． ．﹣ ． ．﹣
．已知、、、（），从这四个数中任取一个数，使函数（）有极值点的概率为（　　）
． ． ． ．
．如图，若，则输出的数等于（　　）

． ． ． ．
．经过点（，），渐近线与圆（﹣）相切的双曲线的标准方程为（　　）
．﹣ ．﹣ ．﹣ ．﹣
．已知三棱锥﹣的各棱长都相等，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）

． ． ． ．
．已知函数（）（），则下列说法正确的为（　　）
．函数（）的最小正周期为π
．（）在[，]单调递减
．（）的图象关于直线﹣对称
．将（）的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象
．已知数列{}的前项和﹣，正项等比数列{}中，，﹣（≥）∈，则（　　）
．﹣ ．﹣ ．﹣ ．
．已知实数，满足时，（≥＞）的最大值为，则的最小值为（　　）
． ． ． ．
．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（　　）

． ． ． ．
．若∀∈，函数（）（﹣）与（）的值至少有一个为正数，则实数的取值范围为（　　）
．（，] ．（，） ．（，） ．（﹣∞，）
．已知函数（），若对任意的∈[，]，′（）•（）＞恒成立，则实数的取值范围是（　　）
．（﹣∞，] ．（﹣∞，） ．（﹣∞，] ．[，∞）

二、填空题（每题分，满分分，将答案填在答题纸上）
．在△中，为中线上的一个动点，若，则•（）的最小值为　 　．
．在平面直角坐标系中，已知圆：（﹣）（﹣），点（，﹣），若圆上存在点，满足，则实数的取值范围是　 　．
．已知等比数列{}的首项为，公比为﹣，前项和为，则当∈*时，﹣的最大值与最小值之和为　 　．
．如图，有一块半径为的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形的形状，它的下底是⊙的直径，上底的端点在圆周上，则梯形周长的最大值为　 　．

三、解答题（本大题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
．已知函数（）﹣，∈．
（）若∀∈[，]，（）﹣有两个不同的根，求的取值范围；
（）已知△的内角、、的对边分别为、、，若（），，且、、成等差数列，求△的面积．
．某大学在开学季准备销售一种盒饭进行试创业，在一个开学季内，每售出盒该盒饭获利润元，未售出的产品，每盒亏损元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了盒该产品，以（单位：盒，≤≤）表示这个开学季内的市场需求量，（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．
（Ⅰ）根据直方图估计这个开学季内市场需求量的平均数和众数；
（Ⅱ）将表示为的函数；
（Ⅲ）根据频率分布直方图估计利润不少于元的概率．

．已知四棱台﹣的下底面是边长为的正方形，，且⊥面，点为的中点，点在上，，与面所成角的正切值为．
（Ⅰ）证明：∥面；
（Ⅱ）求证：⊥面，并求三棱锥﹣的体积．

．已知过点（﹣，）的直线与抛物线相交于（，）、（，）两点．
（Ⅰ）求直线倾斜角的取值范围；
（Ⅱ）是否存在直线，使、两点都在以（，）为圆心的圆上，若存在，求出此时直线及圆的方程，若不存在，请说明理由．
．已知函数（）﹣（﹣）．
（Ⅰ）讨论函数（）的单调性；
（Ⅱ）设（）﹣，对任意给定的∈（，]，方程（）（）在（，]有两个不同的实数根，求实数的取值范围．（其中∈，…为自然对数的底数）．

选修：坐标系与参数方程
．在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为ρθρθ，且直线与曲线交于，两点．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程及直线恒过的顶点的坐标；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若•，求直线的普通方程．

选修：不等式选讲
．设函数（）﹣，∈．
（Ⅰ）当时，解不等式：（）≥﹣﹣；
（Ⅱ）若关于的不等式（）≤的解集为[﹣，]，且两正数和满足，求证：．

年湖南单招文科数学模拟试卷（一）参考答案
一、选择题：本大题共个小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
．已知集合{，＞}，{}，则∩（　　）
．{＜＜} ．{＜＜} ．{＜＜} ．∅
【考点】：交集及其运算．
【分析】求出集合的等价条件，结合交集运算进行求解即可．
【解答】解：{，＞}{＞}，
{}{﹣＞}{＜}，
则∩{＜＜}，
故选：

．若复数的实部与虚部相等，则实数的值为（　　）
． ．﹣ ． ．﹣
【考点】：复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出．
【解答】解：复数的实部与虚部相等，
∴，解得﹣．
故选：．

．已知、、、（），从这四个数中任取一个数，使函数（）有极值点的概率为（　　）
． ． ． ．
【考点】：利用导数研究函数的极值；：古典概型及其概率计算公式．
【分析】求出函数的导数，根据函数的极值点的个数求出的范围，通过判断，，，的范围，得到满足条件的概率值即可．
【解答】解：′（），
若函数（）有极值点，
则′（）有个不相等的实数根，
故△﹣＞，解得：＞或＜﹣，
而＜﹣，＜＜、＞，＜（）＜，
满足条件的有个，分别是，，
故满足条件的概率，
故选：．

．如图，若，则输出的数等于（　　）

． ． ． ．
【考点】：程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出…的值，由裂项法即可计算得解．
【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，
再根据流程图所示的顺序，可知：
该程序的作用是累加并输出…的值，
又由：…（﹣）（）…（﹣）﹣．
故选：．

．经过点（，），渐近线与圆（﹣）相切的双曲线的标准方程为（　　）
．﹣ ．﹣ ．﹣ ．﹣
【考点】：双曲线的标准方程．
【分析】设双曲线的渐近线方程为±（＞，＞），利用渐近线与圆（﹣）相切，可得渐近线方程，设出双曲线方程，代入点（，），即可得出结论．
【解答】解：设双曲线的渐近线方程为±（＞，＞）
∵渐近线与圆（﹣）相切，
∴，
∴，∴渐近线方程为±
∴双曲线方程设为﹣λ，
代入点（，），可得λ﹣﹣，
∴双曲线方程为﹣．
故选：．

．已知三棱锥﹣的各棱长都相等，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）

． ． ． ．
【考点】：异面直线及其所成的角．
【分析】取中点，连结，，则∥，从而∠是异面直线与所成角（或所成角的补角），由此利用余弦定理能求出异面直线与所成角的余弦值．
【解答】解：取中点，连结，，
∵三棱锥﹣的各棱长都相等，为中点，
∴∥，∴∠是异面直线与所成角（或所成角的补角），
设三棱锥﹣的各棱长为，
则，，
∴∠．
∴异面直线与所成角的余弦值为．
故选：．

．已知函数（）（），则下列说法正确的为（　　）
．函数（）的最小正周期为π
．（）在[，]单调递减
．（）的图象关于直线﹣对称
．将（）的图象向右平移，再向下平移个单位长度后会得到一个奇函数的图象
【考点】：三角函数的周期性及其求法；：正弦函数的单调性．
【分析】化函数（）为正弦型函数，再判断选项中的命题是否正确．
【解答】解：函数（）（）

（）
（），
∴（）的最小正周期为π，∴错误；
∈[，]时，∈[，]，
（）是单调递增函数，∴错误；
当﹣时，（）（﹣）（﹣），
∴﹣不是（）的对称轴，错误；
将（）的图象向右平移，得[（﹣）]的图象，
再向下平移个单位长度得的图象，它是奇函数，正确．
故选：．

．已知数列{}的前项和﹣，正项等比数列{}中，，﹣（≥）∈，则（　　）
．﹣ ．﹣ ．﹣ ．
【考点】：数列递推式．
【分析】利用﹣，即可得到．验证可知，，均不符合，即可得出．
【解答】解：∵﹣（﹣）﹣（﹣），∴，．
验证可知，，均不符合，
故答案为．

．已知实数，满足时，（≥＞）的最大值为，则的最小值为（　　）
． ． ． ．
【考点】：简单线性规划．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用的最大值，确定最优解，然后利用基本不等式进行判断．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由（≥＞）得，
则斜率，
则由图象可知当直线经过点（，）时，
直线的截距最大，
此时，
则（）（），
当且仅当，即取等号此时不成立，故基本不等式不成立．
设，
∵≥＞，
∴＜≤，即＜≤，
则在（，]上单调递减，
∴当时，
取得最小值为
．
即的最小值为，
故选：．

．如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为（　　）

． ． ． ．
【考点】!：由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图可知几何体为从边长为的正方体切出来的三棱锥．作出直观图，计算各棱长求面积．
【解答】解：由三视图可知几何体为从边长为的正方体切出来的三棱锥﹣．作出直观图如图所示：
其中，，为正方体的顶点，为正方体棱的中点．
∴△，△．
∵，⊥，∴△，
由勾股定理得，．
∴∠﹣，∴∠．
∴△．
∴几何体的表面积为．
故选．

．若∀∈，函数（）（﹣）与（）的值至少有一个为正数，则实数的取值范围为（　　）
．（，] ．（，） ．（，） ．（﹣∞，）
【考点】：函数零点的判定定理．
【分析】当≤时，显然不成立；当＞时，（）＜，因为（）＞，所以仅对对称轴进行讨论即可．
【解答】解：当＜时，当＞时，（）＜，
又二次函数（）﹣（﹣）开口向下，
当→∞时，（）﹣（﹣）＜，故当＜时不成立；
当时，因（）＞，不符合题意；
当＞时，
若﹣≥，即＜≤时结论显然成立；
若﹣＜，时只要△（﹣）﹣（﹣）（﹣）＜即可，即＜＜，
综上：＜＜．
故选：．

．已知函数（），若对任意的∈[，]，′（）•（）＞恒成立，则实数的取值范围是（　　）
．（﹣∞，] ．（﹣∞，） ．（﹣∞，] ．[，∞）
【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；：利用导数研究函数的单调性．
【分析】对任意的∈[，]，′（）•（）＞恒成立⇔对任意的∈[，]，恒成立，
⇔对任意的∈[，]，﹣＞恒成立，⇔＜恒成立，求出在[，]上的最小值即可．
【解答】解：∵
∴对任意的∈[，]，′（）•（）＞恒成立⇔对任意的∈[，]，恒成立，
⇔对任意的∈[，]，﹣＞恒成立，⇔＜恒成立，
又（）在[，]上单调递增，∴，
∴＜．
故选：

二、填空题（每题分，满分分，将答案填在答题纸上）
．在△中，为中线上的一个动点，若，则•（）的最小值为　﹣　．
【考点】：平面向量数量积的运算．
【分析】由已知中△中，为中线上的一个动点，若，我们易将•（）转化为（﹣）﹣的形式，然后根据二次函数在定区间上的最值的求法，得到答案．
【解答】解：∵为△的中线，故为的中点
则

则•（）（）•
•
﹣
（﹣）﹣
当时， •（）的最小值为﹣
故答案为：﹣

．在平面直角坐标系中，已知圆：（﹣）（﹣），点（，﹣），若圆上存在点，满足，则实数的取值范围是　[，]　．
【考点】：点与圆的位置关系；：两点间的距离公式．
【分析】设点（，），由题意得（﹣），若圆上存在点满足也就等价于圆与圆有公共点，由此能求出实数的取值范围．
【解答】解：设点（，），由题意得点（，），（，）及，
即（﹣），整理得（﹣），
即点在圆：（﹣）上．
若圆上存在点满足也就等价于圆与圆有公共点，
所以﹣≤≤，
即﹣≤≤，
整理得≤﹣≤，解得≤≤，
即实数的取值范围是[，]．
故答案为：[，]．

．已知等比数列{}的首项为，公比为﹣，前项和为，则当∈*时，﹣的最大值与最小值之和为　　．
【考点】：等比数列的前项和．
【分析】根据等比数列的求和公式求出，分为奇数或偶数计算出的范围，从而得出﹣的最大值与最小值．
【解答】解：﹣（﹣），
（）当为奇数时，，∴＜≤，
（）当为偶数时，﹣，∴≤＜．
∴对于任意∈*，≤≤．
令，（）﹣，则（）在[，]上单调递增，
∴（）的最小值为（）﹣，（）的最大值为（），
∴﹣的最小值为﹣，最大值为，
∴﹣的最大值与最小值之和为﹣．
故答案为：．

．如图，有一块半径为的半圆形钢板，计划剪裁成等腰梯形的形状，它的下底是⊙的直径，上底的端点在圆周上，则梯形周长的最大值为　　．

【考点】：函数模型的选择与应用．
【分析】作⊥于，连接，根据相似关系求出，而﹣，从而求出梯形的周长与腰长间的函数解读式，根据＞，＞，＞，可求出定义域；利用二次函数在给定区间上求出最值的知识可求出函数的最大值．
【解答】解：如图，作⊥于，连接．
因为为直径，所以∠°．
在△与△中，∠°∠，∠∠，
所以△∽△．
所以，即．
又，，所以．
所以﹣﹣，
于是﹣﹣
由于＞，＞，＞，所以＞，＞，﹣＞，
解得＜＜，
故所求的函数为﹣（＜＜）
﹣﹣（﹣），
又＜＜，所以，当时，有最大值．

三、解答题（本大题共小题，共分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
．已知函数（）﹣，∈．
（）若∀∈[，]，（）﹣有两个不同的根，求的取值范围；
（）已知△的内角、、的对边分别为、、，若（），，且、、成等差数列，求△的面积．
【考点】：三角函数中的恒等变换应用；：正弦函数的图象．
【分析】（）化简（），问题转化为和（）在∈[，]有个不同的交点，画出函数的图象，求出的范围即可；
（）求出的值，根据正弦定理得到，根据余弦定理得到﹣（）﹣﹣，求出的值，从而求出三角形的面积即可．
【解答】解：（）∵函数（）﹣，
∴（）﹣（﹣），
∴（）（﹣），
∵∈[，]，∴﹣∈[，]，
若∀∈[，]，（）﹣有两个不同的根，
则和（）在∈[，]有个不同的交点，
画出函数的图象，如图所示：
，
结合图象得≤＜；
（）由（），解得：或，
由、、成等差数列，结合正弦定理得，
故，且﹣（）﹣﹣，
故（﹣），
故△（﹣）×﹣．

．某大学在开学季准备销售一种盒饭进行试创业，在一个开学季内，每售出盒该盒饭获利润元，未售出的产品，每盒亏损元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了盒该产品，以（单位：盒，≤≤）表示这个开学季内的市场需求量，（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．
（Ⅰ）根据直方图估计这个开学季内市场需求量的平均数和众数；
（Ⅱ）将表示为的函数；
（Ⅲ）根据频率分布直方图估计利润不少于元的概率．

【考点】：频率分布直方图；：众数、中位数、平均数．
【分析】（Ⅰ）由频率分布直方图能估计这个开学季内市场需求量的平均数和众数．
（Ⅱ）因为每售出盒该盒饭获利润元，未售出的盒饭，每盒亏损元，当＜≤时，﹣﹣，当＜≤时，×，由此能将表示为的函数．
（Ⅲ）由利润不少于元，得﹣≥，由此能求出利润不少于元的概率．
【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图得：最大需求量为盒的频率为×．
这个开学季内市场需求量的众数估计值是．
需求量为[，）的频率为×，
需求量为[，）的频率为×，
需求量为[，）的频率为×，
需求量为[，）的频率为×，
需求量为[，）的频率为×，
则平均数： ×××××．
（Ⅱ）因为每售出盒该盒饭获利润元，未售出的盒饭，每盒亏损元，
所以当＜≤时，﹣﹣，
当＜≤时，×，
所以，∈．
（Ⅲ）因为利润不少于元，
所以﹣≥，解得≥．
所以由（Ⅰ）知利润不少于元的概率﹣﹣．

．已知四棱台﹣的下底面是边长为的正方形，，且⊥面，点为的中点，点在上，，与面所成角的正切值为．
（Ⅰ）证明：∥面；
（Ⅱ）求证：⊥面，并求三棱锥﹣的体积．

【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积；：直线与平面平行的判定．
【分析】（）取中点，连接、，过作⊥于，可证四边形为平行四边形，得出∥，故而∥面；
（）由⊥面可得⊥，由相似三角形可得⊥，故而⊥平面，求出到平面的距离，代入体积公式即可得出棱锥的体积．
【解答】解：（Ⅰ）证明：取中点，连接、，过作⊥于．
∵⊥面，∥，∴⊥面．
∴∠为与面所成角．
∴，又，
∴．
∴．
∴（），
又∥，
∴四边形为平行四边形，
∴∥，
又⊄面，⊂面，
∴∥面．
（Ⅱ）∵⊥面，⊂平面，
∴⊥，
又⊥，∩，
∴⊥面，又⊂平面，
∴⊥．
在梯形中，△≌△，
∴∠∠∠∠°，
∴⊥，
又∩，⊂平面，⊂平面，
∴⊥面．
设∩，∵，，∴，
∵，，∴，
∴，
∴﹣，
又，
∴．

．已知过点（﹣，）的直线与抛物线相交于（，）、（，）两点．
（Ⅰ）求直线倾斜角的取值范围；
（Ⅱ）是否存在直线，使、两点都在以（，）为圆心的圆上，若存在，求出此时直线及圆的方程，若不存在，请说明理由．
【考点】：直线与抛物线的位置关系．
【分析】（Ⅰ）设直线的方程，代入抛物线方程，利用△＞，即可求得的取值范围，求得直线倾斜角的取值范围；
（Ⅱ）设圆的方程，与抛物线方程联立，根据韦达定理，即可求得的值及直线的斜率，求得直线及圆的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由已知直线的斜率存在且不为．
设：（），则，整理得：﹣，
，
△﹣×＞，解得：﹣＜＜且≠．
∴直线倾斜角的取值范围（，）∪（，π）；
（Ⅱ）设⊙：（﹣），（＞），
则，则﹣﹣，
∴，
又由（Ⅰ）知，∴．
∴﹣，∴，
并且时，方程的判别式△﹣×（﹣）＞，
由（），解得：±，
∴存在定圆，经过、两点，
其方程为：（﹣），此时直线方程为±（）．

．已知函数（）﹣（﹣）．
（Ⅰ）讨论函数（）的单调性；
（Ⅱ）设（）﹣，对任意给定的∈（，]，方程（）（）在（，]有两个不同的实数根，求实数的取值范围．（其中∈，…为自然对数的底数）．
【考点】：利用导数研究函数的单调性；：根的存在性及根的个数判断．
【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可；
（Ⅱ）求出（）的导数，根据函数的单调性求出的范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）′（）﹣（﹣），
当时，′（）＞，（）在（，∞）单调递增．
当＜时，′（）＞，（）在（，∞）单调递增．
当＞时，令′（）＞，解得：＜＜，令′（）＜，解得：＞，
故（）在（，）递增，在（，∞）递减．
（Ⅱ）（）﹣，′（），∈（﹣∞，），′（）＞，（）单调递增，
∈（，∞）时，′（）＜，（）单调递减，
∴∈（，]时，（）的值域为（﹣，﹣]，
由已知，，
由（）﹣﹣≤﹣，∴≥，
由（）﹣﹣＞﹣，
∴﹣＜，
令（）﹣知（）单调递增，
而（），∴∈（，）时，﹣＜，
∴∈（，），综合以上，≤＜．

选修：坐标系与参数方程
．在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为ρθρθ，且直线与曲线交于，两点．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程及直线恒过的顶点的坐标；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若•，求直线的普通方程．
【考点】：参数方程化成普通方程；：简单曲线的极坐标方程．
【分析】（Ⅰ）由ρθ，ρθ，能求出曲线的直角坐标方程，由直线的参数方程能求出直线恒过的定点的坐标．
（Ⅱ）把直线的方程代入曲线的直角坐标方程中，得：（α）α﹣×．由的几何意义知，，点在椭圆内，这个方程必有两个实根，从而得到，进而求出，由此能求出直线的方程．
【解答】解：（Ⅰ）∵曲线的极坐标方程为ρθρθ，
ρθ，ρθ，
∴曲线的直角坐标方程为： ．
∵直线的参数方程是（为参数），
∴直线恒过定点为（，）．
（Ⅱ）把直线的方程代入曲线的直角坐标方程中，
整理，得：（α）α﹣×．
由的几何意义知，，
∵点在椭圆内，这个方程必有两个实根，
∴，∵•，即，
∴，∵α∈（，π），∴，
∴直线的方程为．

选修：不等式选讲
．设函数（）﹣，∈．
（Ⅰ）当时，解不等式：（）≥﹣﹣；
（Ⅱ）若关于的不等式（）≤的解集为[﹣，]，且两正数和满足，求证：．
【考点】：绝对值不等式的解法．
【分析】（Ⅰ）利用绝对值的意义表示成分段函数形式，解不等式即可．
（）根据不等式的解集求出，利用的代换结合基本不等式进行证明即可．
【解答】（Ⅰ）解：当时，不等式：（）≥﹣﹣，可化为﹣﹣≥．
①≥时，不等式可化为﹣﹣≥，∴≥；
②≤＜，不等式可化为﹣﹣≥，∴∈∅；
③＜，不等式可化为﹣﹣≥，∴≤，
综上所述，不等式的解集为（﹣]；
（Ⅱ）证明：不等式（）≤的解集为[﹣，][﹣，]，∴，
∴（）（）（）≥，当且仅当，时取等号．

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