全国通用版高中数学第八章立体几何初步考点专题训练.pdf

(名师选题名师选题)全国通用版高中数学第八章立体几何初步考点专题训练全国通用版高中数学第八章立体几何初步考点专题训练 单选题 1、如图，已知正方体的棱长为，沿图 1 中对角面将它分割成两个部分，拼成如图 2 的四棱柱，则该四棱柱的全面积为（）A(8+22)2B(2+42)2C(4+22)2D(6 42)2 答案：C 分析：拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，据此变化，进行求解.由题意，拼成的几何体比原正方体的表面增加了两个截面，减少了原来两个正方形面，由于截面为矩形，长为2，宽为，所以面积为22，所以拼成的几何体的表面积为42+222=(4+22)2.故选：C.2、在九章算术中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马如图，若四棱锥 为阳马，侧棱 底面，且=22，=2，则该阳马的外接球的表面积为（）A4B8C16D32 答案：C 分析：补全该阳马所得到的长方体，则该长方体的体对角线即为该阳马外接球的直径，求出外接球半径，即可得出答案.解：因为四棱锥 为阳马，侧棱 底面，如图，补全该阳马所得到的长方体，则该长方体的体对角线即为该阳马外接球的直径，设外接球半径为，则(2)2=2+2+2=4+4+8=16，所以=2，所以该阳马的外接球的表面积为42=16.故选：C.3、若直线/平面，且直线与点位于的两侧，分别交平面于点，若=4，=5，=3，则的长为（）A3B32C34D23 答案：B 分析：根据线面平行可得线线平行，从而可求=32./，平面，平面 =，/，=，即35+3=4，=32.故选：B.4、在直三棱柱 111中，点M是侧棱1中点，,=1=2，则异面直线与1所成角的余弦值为（）A1010B1515C3012D1012 答案：B 分析：可以取11的中点，连接，将异面直线与1转化为直线与所成的角，在连接，通过解三角形即可完成求解.如图所示，取11的中点，连接，、分别为1、11的中点，所以为 11的中位线，所以/1，所以异面直线与1就是直线与所成的角，即或其补角，因为 ,=1=2，所以1=23，=5，=12+12=6，在 中，=121=3，=6，=5，所以cos=2+222=1515.故选：B.5、设、为两个不重合的平面，能使/成立的是 A 内有无数条直线与 平行 B 内有两条相交直线与 平行 C 内有无数个点到 的距离相等 D、垂直于同一平面 答案：B 分析：应用几何体特例，如立方体可排除相关选项；而由面面平行的判定可知B正确 应用立方体，如下图所示：选项A：内有无数条直线可平行于l，即有无数条直线与 平行，但如上图 与 可相交于l，故A不一定能使/成立；选项B：由面面平行的判定，可知B正确 选项C：在 内有一条直线平行于l，则在 内有无数个点到 的距离相等，但如上图 与 可相交于l，故C不一定能使/成立；选项D：如图，但 与 可相交于l，故D不一定能使/成立；故选：B 小提示：本题考查了面面平行的判定，应用特殊与一般的思想排除选项，属于简单题 6、如图，矩形BDEF所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，=2，=1，点P在线段EF上.给出下列命题：存在点P，使得直线/平面ACF；存在点P，使得直线 平面ACF；直线DP与平面ABCD所成角的正弦值的取值范围是55,1；三棱锥 的外接球被平面ACF所截得的截面面积是98.其中所有真命题的序号（）ABCD 答案：D 分析：当点P是线段EF中点时判断；假定存在点P，使得直线 平面ACF，推理导出矛盾 判断；利用线面角的定义转化列式计算判断；求出 外接圆面积判断作答.取EF中点G，连DG，令 =，连FO，如图，在正方形ABCD中，O为BD中点，而BDEF是矩形，则/且=，即四边形DGFO是平行四边形，即有/，而 平面ACF，平面ACF，于是得/平面ACF，当点P与G重合时，直线/平面ACF，正确；假定存在点P，使得直线 平面ACF，而 平面ACF，则 ，又/，从而有 ，在Rt 中，=90，DG是直角边EF上的中线，显然在线段EF上不存在点与D连线垂直于DG，因此，假设是错的，即不正确；因平面 平面，平面 平面=，则线段EF上的动点P在平面上的射影在直线BD上，于是得是直线DP与平面ABCD所成角的，在矩形BDEF中，当P与E不重合时，=，sin=sin=12+2=11+2，而0 2，则55 sin 1，当P与E重合时，=2，sin=1，因此，55 sin 1，正确；因平面 平面，平面 平面=，平面，则 平面，=2，在 中，=2+2=3，显然有 ，sin=2+2=23，由正弦定理得 外接圆直径2=sin=32，=322，三棱锥 的外接球被平面ACF所截得的截面是 的外接圆，其面积为2=98，正确，所以所给命题中正确命题的序号是.故选：D 小提示：名师点评两个平面互相垂直，则一个平面内任意一点在另一个平面上的射影都在这两个平面的交线上.7、紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm），那么该壶的容积约为（）A100cm3B200cm3C300cm3D400cm3 答案：B 分析：根据题意可知圆台上底面半径为 3，下底面半径为 5，高为 4，由圆台的结构可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以4=610，求出的值，最后利用圆锥的体积公式进行运算，即可求出结果.解：根据题意，可知石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，圆台上底面半径为 3，下底面半径为 5，高为 4，可知该壶的容积为大圆锥的体积减去小圆锥的体积，设大圆锥的高为，所以4=610，解得：=10，则大圆锥的底面半径为 5，高为 10，小圆锥的底面半径为 3，高为 6，所以该壶的容积=13 52 10 13 32 6=1963 2003.故选：B.8、鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图 1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图 2 是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为 2，则该鲁班锁的表面积为（）A8(6+62+3)B6(8+82+3)C8(6+63+2)D6(8+83+2)答案：A 解析：该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了 8 个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可.由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2+22的正方体截去了 8 个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为 2，侧棱长为2，则该几何体的表面积为 =6 (2+22)2 4 12 2 2+8 12 2 3=8(6+62+3).故选：A.小提示：本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.9、正方体中，点，是其所在棱的中点，则与是异面直线的图形是（）AB CD 答案：C 分析：对于 A，B，D，利用两平行线确定一个平面可以证明直线与共面，对于 C，利用异面直线的定义推理判断作答 对于 A，在正方体 1111中，连接，11，则/11，如图，因为点，是其所在棱的中点，则有/，/11，因此/，则直线与共面，A 错误；对于 B，在正方体 1111中，连接，如图，因为点，是其所在棱的中点，有/且=，则四边形为平行四边形，即有/，又/，因此/，直线与共面，B 错误；对于 C，在正方体 1111中，如图，因为点，是其所在棱的中点，有/1，而1平面11，平面11，则/平面11，平面11，则直线与无公共点，又直线与直线1相交，于是得直线与不平行，则直线与是异面直线，C 正确；对于，在正方体 1111中，连接1，1，如图，因为11/且11=，则四边形11为平行四边形，有1/1，因为点，是其所在棱的中点，有/1，/1，则/，直线与共面，D 错误.故选：C 10、已知圆锥的母线长为 3，其侧面展开图是一个圆心角为23的扇形，则该圆锥的体积为（）A23B223CD2 答案：B 分析：根据弧长计算公式，求得底面圆半径以及圆锥的高，即可求得圆锥的体积.设圆锥的底面圆半径为，故可得2=23 3，解得=1，设圆锥的高为，则=32 12=22，则圆锥的体积=13 2 =13 22=223.故选：B.11、如图，某圆锥的轴截面是等边三角形，点D是线段的中点，点E在底面圆的圆周上，且的长度等于的长度，则异面直线与所成角的余弦值是（）A24B64C104D144 答案：A 分析：过点A作 于点O，过点A作 于点G，取AO的中点F，连接GE、OE、EF，则有（或其补角）就是异面直线与所成的角，设圆锥的底面半径为 2，解三角形可求得答案.解：过点A作 于点O，过点A作 于点G，取AO的中点F，连接GE、OE、EF，则/，且=12，所以（或其补角）就是异面直线与所成的角，设圆锥的底面半径为 2，则=1，=2，=23，所以=3，在Rt 中，=1，=2，所以=2+2=5，在Rt 中，=5，=3，所以=2+2=22，在Rt 中，=3，=2，=2+2=7，所以在 中，满足2+2=2，所以=90，所以cos=122=24，故选：A.12、下列条件中，能得出直线与平面平行的是（）A直线与平面内的所有直线平行 B直线与平面内的无数条直线平行 C直线与平面没有公共点 D直线与平面内的一条直线平行 答案：C 分析：根据线面平行的判定，线面平行的性质逐个辨析即可.对 A，直线与平面内的所有直线平行不可能，故 A 错误；对 B，当直线在平面内时，满足直线与平面内的无数条直线平行，但与不平行；对 C，能推出与平行；对 D，当直线在平面内时，与不平行.故选：C.填空题 13、设，是两条不同的直线，是两个不重合的平面，给定下列四个命题：若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则/；若 ，/，则/其中真命题的序号为_ 答案：分析：由直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系判断即可.解：由线面垂直的判定定理可得，若要使 ，则要垂直中的两条相交的直线，通过分析，只垂直来中的一条直线，故不能做出判断，故错误；根据面面垂直的判定定理可得，若 ，则 ，故正确；由线面垂直的性质定理可得，两条不同的直线都垂直同一个平面，则这两条直线必平行，故正确；由面面平行的性质定理可得，只有若 ，/，不能得出/，如果加上条件,在同一平面内，则可得线线平行，故错误，所以答案是：14、已知正四棱锥的侧棱长为23，侧棱与底面所成的角为 60，则该四棱锥的高为_.答案：3 解析：根据立体图形，作出直线与平面所成的角，结合线面角即可求得锥体的高.如图，过点S作 平面，连接，就是侧棱与底面所成的角，则=60，=sin60 =32 23=3.所以答案是：3.小提示：此题考查根据线面角求线段长度，关键在于弄清正四棱锥的几何特征.15、如图，是用斜二测画法得到的 的直观图，其中=2，=3，则AB的长度为_.答案：210 分析：在原图形中作出，然后由勾股定理计算 如图，在原图形中，=2，=6，=22+62=210，所以答案是：210 16、空间中两条直线的位置关系有_.答案：平行、相交、异面 分析：根据空间中两条直线的位置关系即可作答.空间中两条直线的位置关系有：平行、相交、异面.所以答案是：平行、相交、异面.17、给出下列命题：任意三点确定一个平面；三条平行直线最多可以确定三个个平面；不同的两条直线均垂直于同一个平面，则这两条直线平行；一个平面中的两条直线与另一个平面都平行，则这两个平面平行；其中说法正确的有_（填序号）.答案：解析：对四个选项进行逐一分析即可.对：根据公理可知，只有不在同一条直线上的三点才能确定一个平面，故错误；对：三条平行线，可以确定平面的个数为 1 个或者 3 个，故正确；对：垂直于同一个平面的两条直线平行，故正确；对：一个平面中，只有相交的两条直线平行于另一个平面，两平面才平行，故错误.综上所述，正确的有.所以答案是：.小提示：本题考查立体几何中的公理、线面平行的判定，属综合基础题.解答题 18、如图，在正方体 1111中，为11的中点，=.求证：（1）平面11；（2）/平面1.答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.分析：（1）由正方形的性质可得出 ，由线面垂直的性质可得出1，利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）连接1，证明出四边形1为平行四边形，可得出/1，利用线面平行的判定定理可证得结论成立.（1）因为四边形为正方形，则 ，1平面，平面，1，1=，所以，平面11；（2）连接1，因为1/1且1=1，所以四边形11为平行四边形，所以11/且11=，又因为为11的中点，为的中点，则/1且=1，所以四边形1为平行四边形，所以/1，而 面1，1面1，所以/面1.19、如图，在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ABC90，PA2，AC22 (1)求证：平面 平面；(2)若二面角PBCA的大小为 45，过点A作ANPC于N，求直线AN与平面PBC所成角的大小 答案：(1)证明见解析(2)60 分析：（1）根据线线垂直得 平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论，（2）由题意求出,的长，过点作 于，连接，则为直线与平面所成的角，然后在Rt 中可求得结果（1）证明：因为PA底面，平面，所以 ，因为ABC90，所以 ，因为 =,所以 平面，因为 平面，所以平面 平面，（2）由（1）可知 平面，平面，所以 ，因为 ，所以为二面角 的平面角，所以=45，因为=2,=22,=90，所以=2，过点作 于，则 平面，且为的中点，连接，则为直线与平面所成的角，在Rt 中，=12=12 22=2,在Rt 中，=2+2=4+8=23，则=22223=263，在Rt 中，sin=2263=32，因为0 180，所以=60，所以直线AN与平面PBC所成角的大小为60 20、如图，在正方体 1111中.(1)求异面直线1和1所成的角的余弦值；(2)求证：直线1/平面11.答案：(1)22(2)证明见解析 分析：（1）根据已知1/1，可将异面直线1和1所成的角转化为直线1和1所成的角，再根据题目的边长关系，即可完成求解；（2）可通过连接1，证明四边形11为平行四边形，从而得到1/1，再利用线面平行的判定定理即可完成证明.（1）因为1/1，所以11就是异面直线1和1所成的角.又因为 1111为正方体，所以异面直线1和1所成的角为45，所以异面直线1和1所成的角的余弦值为22.（2）连接1，因为11/且11=，所以四边形11为平行四边形，所以1/1；1 平面11，1 平面11；所以直线1/平面11.即得证.