小学奥数六年级举一反三21-25.doc

第二十一周 抓“不变量”解题

专题简析：
一些分数的分子与分母被施行了加减变化，解答时关键要分析哪些量变了，哪些量没有变。抓住分子或分母，或分子、分母的差，或分子、分母的和等等不变量进行分析后，再转化并解答。

例1．
将的分子与分母同时加上某数后得，求所加的这个数。
解法一：因为分数的分子与分母加上了一个数，所以分数的分子与分母的差不变，仍是18，所以，原题转化成了一各简单的分数问题：“一个分数的分子比分母少18，切分子是分母的，由此可求出新分数的分子和分母。”
分母：（61-43）÷（1－）＝81
分子：81×＝63
81-61＝20或63-43＝20
解法二：的分母比分子多18，的分母比分子多2，因为分数的 与分母的差不变，所以将的分子、分母同时扩大（18÷2=）9倍。
① 的分子、分母应扩大：（61-43）÷（9-7）＝9（倍）
② 约分后所得的在约分前是：＝＝
③ 所加的数是81-61＝20
答：所加的数是20。
练习1：
1、 分数的分子和分母都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是多少？
2、 分数的分子、分母同加上一个数后得，那么同加的这个数是多少？
3、 的分子、分母加上同一个数并约分后得，那么加上的数是多少？
4、 将这个分数的分子、分母都减去同一个数，新的分数约分后是，那么减去的数是多少？

例2：
将一个分数的分母减去2得，如果将它的分母加上1，则得，求这个分数。
解法一：因为两次都是改变分数的分母，所以分数的分子没有变化，由“它的分母减去2得”可知，分母比分子的倍还多2。由“分母加1得”可知，分母比分子的倍少1，从而将原题转化成一个盈亏问题。
分子：（2+1）÷（－）=12
分母：12×-1＝17
解法二：两个新分数在未约分时，分子相同。
① 将两个分数化成分子相同的分数，且使分母相差3。＝＝，＝
② 原分数的分母是：
18-1＝17或15+2＝17
答：这个分数为。
练习2：
1、 将一个分数的分母加上2得，分母加上3得。原来的分数是多少？
2、 将一个分数的分母加上2得，分母加上2得。原来的分数是多少？
3、 将一个分数的分母加上5得，分母加上4得。原来的分数是多少？
4、 将一个分数的分母减去9得，分母减去6得。原来的分数是多少？

例3：
在一个最简分数的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于，求原来的最简分数是多少。
解法一：两个新分数在未约分时，分母相同。将这两个分数化成分母相同的分数，即=，=。根据题意，两个新分数分子的差应为2的倍数，所以分别想和的分子和分母再乘以2。所以
＝＝，＝＝
故原来的最简分数是。
解法二：根据题意，两个新分数的和等于原分数的2倍。所以
（+）÷2＝
答：原来的最简分数是。
练习3：
1、 一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于，求这个分数。
2、 一个最简分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于，求这个分数。
3、 一个分数，在它的分子上加一个数，这个分数就等于。如果在它的分子上减去同一个数，这个分数就等于，求这个分数。

例4：
将一个分数的分母加3得，分母加5得。原分数是多少？
解法一：两个新分数在未约分时，分子相同。将两个分数化成分子相同的分数，即＝，＝。根据题意，两个新分数的分母应相差2，而现在只相差1，所以分别将和的分子和分母再同乘以2。则＝＝，＝＝。所以，原分数的分母是（54－3＝）51。原分数是。
解法二：因为分子没有变，所以把分子看做单位“1”。分母加3后是分子的，分母加5后是分子的，因此，原分数的分子是（5－3）÷（－）＝42。原分数的分母是42÷7×9-3=51，原分数是。
练习4：
1、 一个分数，将它的分母加5得，加8得，原来的分数是多少？（用两种方法）
2、 将一个分数的分母减去3，约分后得；若将它的分母减去5，则得。原来的分数是多少？（用两种方法做）
3、 把一个分数的分母减去2，约分后等于。如果给原分数的分母加上9，约分后等于。求原分数。

例5：
有一个分数，如果分子加1，这个分数等于；如果分母加1，这个分数就等于，这个分数是多少？
根据“分子加1，这个分数等于”可知，分母比分子的2倍多2；根据“分母加1这个分数就等于”可知，分母比分子的3倍少1。所以，这个分数的分子是（1+2）÷（3-2）=3，分母是3×2+2=8。所以，这个分数是。
练习5：
1、 一个分数，如果分子加3，这个分数等于，如果分母加上1，这个分数等于，这个分数是多少？
2、 一个分数，如果分子加5，这个分数等于，如果分母减3，这个分数等于，这个 分数是多少？
3、 一个分数，如果分子减1，这个分数等于；如果分母加11，这个分数等于，这个分数是多少？
答案：
练1
1、 41 2、17 3、 37 4、 16
练2
1、 2、 3、 4、
练3
1、 2、 3、
练4
1、 2、 3、
练5
1、 2、 3、

第二十二周 特殊工程问题

专题简析：
有些工程题中，工作效率、工作时间和工作总量三者之间的数量关系很不明显，这时我们就可以考虑运用一些特殊的思路，如综合转化、整体思考等方法来解题。

例1：
修一条路，甲队每天修8小时，5天完成；乙队每天修10小时，6天完成。两队合作，每天工作6小时，几天可以完成？
把前两个条件综合为“甲队40小时完成”，后两个条件综合为“乙队60小时完成”。则
1÷[+]÷6=4（天）
或1÷[（+）×6]=4（天）
答：4天可以完成。
练习1：
1、 修一条路，甲队每天修6小时，4天可以完成；乙队每天修8小时，5天可以完成。现在让甲、乙两队合修，要求2天完成，每天应修几小时？
2、 一项工作，甲组3人8天能完成，乙组4人7天也能完成。现在由甲组2人和乙组7人合作，多少天可以完成？
3、 货场上有一堆沙子，如果用3辆卡车4天可以完成，用4辆马车5天可以运完，用20辆小板车6天可以运完。现在用2辆卡车、3辆马车和7辆小板车共同运两天后，全改用小 板车运，必须在两天内运完。问：后两天需要多少辆小板车？

例2：
有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。中途丙转向帮助乙搬运。最后，两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？
设搬运一个仓库的货物的工作量为“1”。总整体上看，相当于三人共同完成工作量“2”
① 三人同时搬运了
2÷（++）=8（小时）
② 丙帮甲搬了
（1-×8）÷=3（小时）
③ 丙帮乙搬了
8-3=5（小时）
答：丙帮甲搬了3小时，帮乙搬了5小时。
练习2：
1、 师、徒两人加工相同数量的零件，师傅每小时加工自己任务的，徒弟每小时加工自己任务的。师、徒同时开始加工。师傅完成任务后立即帮助徒弟加工，直至完成任务，师傅帮徒弟加工了几小时？
2、 有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要18小时，乙需要12小时，丙需要9小时。甲、乙在A仓库，丙在B仓库，同时开始搬运。中途甲又转向帮助丙搬运。最后，两个仓库同时搬完。甲帮助乙、丙各多少小时？
3、 甲、乙两人同时加工一批零件，完成任务时，甲做了全部零件的，乙每小时加工12个零件，甲单独加工这批零件要12小时，这批零件有多少个？

例3：
一件工作，甲独做要20天完成，乙独做要12天完成。这件工作先由甲做了若干天，然后由乙继续做完，从开始到完工共用了14天。这件工作由甲先做了几天？
解法一：根据两人做的工作量的和等于单位“1”列方程解答，很容易理解。
解：设甲做了x天，则乙做了（14-x）天。
x+×（14-x）=1
X=5
解法二：假设这14天都由乙来做，那么完成的工作量就是×14，比总工作量多了×14-1=，乙每天的能够做量比甲每天的工作两哦了-=，因此甲做了÷=5（天）
练习3：
1、 一项工程，甲独做12天完成，乙独做4天完成。若甲先做若干天后，由乙接着做余下的工程，直至完成全部任务，这样前后共用了6天，甲先做了几天？
2、 一项工程，甲队单独做需30天完成，乙队单独做需40天完成。甲队单独做若干天后，由乙队接着做，共用35天完成了任务。甲、乙两队各做了多少天？
3、 一项工程，甲独做要50天，乙独做要75天，现在由甲、乙合作，中间乙休息几天，这样共用40天完成。求乙休息的天数。

例4：
甲、乙两人合作加工一批零件，8天可以完成。中途甲因事停工3天，因此，两人共用了10天才完成。如果由甲单独加工这批零件，需要多少天才能完成？
解法一：先求出乙的工作效率，再求出甲的工作效率。最后求出甲单独做需要的天数。
① 甲、乙同时做的工作量为×（10-3）＝
② 乙单独做的工作量为1－＝
③ 乙的工作效率为÷3=
④ 甲的工作效率为－＝
⑤ 甲单独做需要的天数为1÷＝12（天）
解法二：从题中得知，由于甲停工3天，致使甲、乙两人多做了（10-8=）2天。由此可知，甲3天的工作量相当于这批零件的2÷8=1/4
3÷[（10-8）÷8]=12（天）或
3×[8÷（10-8）]=12（天）
答：甲单独做需要12天完成。
练习4：
1、 甲、乙两人合作某项工程需要12天。在合作中，甲因输请假5天，因此共用15天才完工。如果全部工程由甲单独去干，需要多少天才能完成？
2、 一段布，可以做30件上衣，也可做48条裤子。如果先做20件上衣后，还可以做多少条裤子？
3、 一项工程，甲、乙合作6小时可以完成，同时开工，中途甲通工了2.5小时，因此，经过7.5小时才完工。如果这项工程由甲单独做需要多少小时？
4、 一项工程，甲先单独做2天，然后与乙合作7天，这样才完成全工程的一半，已知甲、乙工作效率的比是3：2，如果这件工作由乙单独做，需要多少天才能完成？

例5：
放满一个水池的水，如果同时开放①②③号阀门，15小时放满；如果同时开放①③⑤号阀门，12小时可以放满；如果同时开放②④⑤号阀门，8小时可以放满。问：同时开放这五个阀门几小时可以放满这个水池？
从整体入手，比较条件中各个阀门出现的次数可知，①③号阀门各出现3次，②④⑤号阀门各出现2次。如果+++再加一个，则是五个阀门各放3小时的总水量。
1÷[（++++）÷3]=1÷[÷3]=6（小时）
练习5：
1、 完成一件工作，甲、乙合作需15小时，乙、丙两人合作需12小时，甲、丙合作需10小时。甲、乙丙三人合作需几小时才能完成？
2、 一项工程，甲干3天，乙干5天可以完成，甲干5天、乙干3天可完成。甲、乙合干需几天完成？
3、 完成一件工作，甲、乙两人合作需20小时，乙、丙两人合作需28小时，丙、丁两人合作需30小时。甲、丁两人合作需几小时？
4、 一项工程，由一、二、三小队合干需18天完成，由二、三、四小队合干需15天完成，由一、二、四小队合干需12天完成，由一、三、四小队合干需20天完成。由第一小队单独干需要多少天？

答案：
练1
1、 1÷（+）÷2＝7.5小时
2、 1÷（×2+×7）＝3天
3、 （1）共同运两天后，还剩这堆黄沙的
1－（×2+×5+×7）×2＝
（2）后两天需要小板车：÷（×2）＝15辆
练2
1、 2÷（+）－10＝2小时
2、 2÷（++）＝8小时
甲帮乙：（1－×8）÷＝6小时
甲帮丙：（1－×8）÷＝2小时
3、 解法一：12×（÷）÷（1－）＝240个
解法二：12÷（8－5）×5×12＝240个
练3
1、 （×6－1）÷（－）＝3天
2、 甲：（1－×35）÷（－）＝15天
乙：35－15＝20天
3、 40－（1－×40）÷＝25天
练4
1、 5×【12÷（15－12）】＝20天
2、 48－48÷30×20＝16条
3、 2.5×【6÷（7.5－6）】＝10小时
练5
1、 1÷【（++）÷2】＝8小时
2、 1÷【（+）÷（3+5）】＝9.6天
3、 1÷（+－）＝21小时
4、 1÷【（+++）÷3－】＝54天

第二十三周 周期工程问题

专题简析：
周期工程问题中，工作时工作人员（或物体）是按一定顺序轮流交替工作的。解答时，首先要弄清一个循环周期的工作量，利用周期性规律，使貌似复杂的问题迅速地化难为易。其次要注意最后不满一个周期的部分所需的工作时间，这样才能正确解答。

例1：一项工程，甲单独做需要12小时，乙单独做需要18小时。若甲做1小时后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时……两人如此交替工作，问完成任务时需共用多少小时？
把2小时的工作量看做一个循环，先求出循环的次数。
① 需循环的次数为：1÷（+）=＞7（次）
② 7个循环后剩下的工作量是：1-（+）×7=
③ 余下的工作两还需甲做的时间为：÷=（小时）
④ 完成任务共用的时间为：2×7+=14（小时）
答：完成任务时需共用14小时。
练习1：
1、 一项工程，甲单独做要6小时完成，乙单独做要10小时完成。如果按甲、乙；甲、乙……的顺序交替工作，每次1小时，需要多少小时才能完成？
2、 一部书稿，甲单独打字要14小时，乙单独打字要20小时。如果先由甲打1小时，然后由乙接替甲打1小时；再由甲接替乙打1小时……两人如此交替工作，打完这部书稿共需用多少小时？
3、 一项工作，甲单独完成要9小时，乙单独完成要12小时。如果按照甲、乙；甲、乙……的顺序轮流工作，每人每次工作1小时，完成这项工程的2/3共要多少时间？

例2：一项工程，甲、乙合作26天完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲单独做要多少天才能完成？
由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：
甲乙甲乙……甲乙 甲
乙甲乙甲……乙甲 乙甲
竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，乙做一天等于甲做半天，即甲的工作效率是乙的2倍。
① 甲每天能做这项工程的1÷26×=
② 甲单独做完成的时间1÷=40（天）
答：这项工程由甲单独做需要40天才能完成。
练习2：
1、 一项工程，乙单独做20天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，也恰好用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多半天才能完成。这项工程由甲独做几天可以完成？
2、 一项工程，甲单独做6天可以完成。如果第一天甲做，第二天乙做，这样轮流交替做，恰好也用整数天完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多天才能完成。这项工程由甲、乙合作合作几天可以完成？
3、 一项工程，甲、乙合作12小时可以完成。如果第一小时甲做，第二小时乙做，这样轮流交替做，也恰好用整数小时完成。如果第一小时乙做，第二小时甲做，这样轮流交替做，比上次轮流做要多小时才能完成。这项工程由甲独做几小时可以完成？
4、 蓄水池有一跟进水管和一跟排水管。单开进水管5小时灌满一池水，单开排水管3小时排完一池水。现在池内有半池水，如果按进水、排水；进水、排水……的顺序轮流依次各开1小时，多少小时后水池的水刚好排完？
例3：一批零件，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，恰好用整数天数完成。如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。已知甲、乙工作效率的比是5：3。甲、乙每天各做多少个？
由题意可以推出“甲先”的轮流方式，完成时所用的天数为奇数，否则不论“甲先”还是“乙先”，两种轮流方式完成的天数必定相同。根据“甲先”的轮流方式为奇数，两种轮流方式的情况可表示如下：
甲乙甲乙……甲乙 甲
乙甲乙甲……乙甲 乙剩60个
竖线左边做的天数为偶数，谁先做没关系。竖线右边可以看出，剩下的60个零件就是甲、乙工作效率的差。
甲每天做的个数为：60÷（5-3）×5=150（个）
乙每天做的个数为：60÷（5-3）×3=90（个）
答：甲每天做150个，乙每天做90个。
练习3：
1、 一批零件如果第一天师傅做，第二天徒弟做，这样交替轮流做，恰好用整数天完成。如果第一天徒弟做，第二天师傅做，这样交替轮流做，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩84个不能完成。已知师、徒工作效率的比是7：4。师、徒二人每天各做多少个？
2、 一项工程，如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流恰好用整数天完成。如果死一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做要多天才能完成。如果让甲、乙二人合作，只需2天就可以完成。现在，由乙独做需要几天才能完成？
3、 红星机械厂有1080个零件需要加工。如果第一小时让师傅做，第二小时让徒弟做，这样交替轮流，恰好整数小时可以完成。如果第一小时让徒弟做，第二小时让师傅做，这样交替轮流，做到上次轮流完成时所用的天数后，还剩60个不能完成。如果让师、徒二人合作，只需3小时36分就能完成。师、徒每小时各能完成多少个？

例4：打印一部稿件，甲单独打要12小时完成，乙单独打要15小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作。甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时……如此这样交替下去，打印这部书稿共要多少小时？
根据已知条件，我们可以把6小时的工作时间看做一个循环。在每一个循环中，甲、乙都工作了3小时。
① 每循环一次，他们共完成全部工程的（+）×3＝
② 总工作量里包含几个9/20：1÷=2
③ 甲、乙工作两个循环后，剩下全工程的1-×2＝
④ 由于＞，所以，求甲工作1小时后剩下的工作由乙完成还需的时间为（-）÷＝
⑤ 打印这部稿件共需的时间为：6×2+1+=13（小时）
答：打印这部稿件共需13小时。
练习4：
1、 一个水池安装了甲、乙两根进水管。单开甲管，24分钟能包空池灌满；单开乙管，18分钟能把空池灌满。现在，甲、乙两管轮流开放，按照甲1分钟，乙2分钟，甲2分钟，乙1分钟，甲1分钟，乙2分钟……如此交替下去，灌满一池水共需几分钟？
2、 一件工作，甲单独做，需12小时完成；乙单独做需15小时完成。现在，甲、乙两人轮流工作，甲工作2小时，乙工作1小时；甲工作1小时，乙工作2小时；甲工作2小时，乙工作1小时……如此交替下去，完成这件工作共需多少小时？
3、 一项工程，甲单独做要50天完工，乙单独做需60天完工。现在，自某年的3月2日两人一起开工，甲每工作3天则休息1天，乙每工作5天则休息一天，完成全部工程的为几月几日？
4、 一项工程，甲工程队单独做完要150天，乙工程队单独做完需180天。两队合作时，甲队做5天，休息2天，乙队做6天，休息1天。完成这项工程要多少天？
例5：
有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用0.5天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用天。已知甲单独做13天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？
由题意可以推出：按甲、乙、丙次序轮做，能够的天数必定是3的倍数余1或余2。如果是3的倍数，三种轮流方式完工的天数，必定相同。如果按甲、乙、丙的次序轮流做，用的天数是3的倍数余1。三种轮流方式做的情况可表示如下：
甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙， 甲
乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲， 乙丙
丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙， 丙甲
从中可以退出：丙=甲；由于乙=甲－丙=甲－甲×，又推出乙=甲；与题中“三个工程队的工效各不相同”矛盾。所以，按甲、乙、丙的次序轮做，用的天数必定是3的倍数余2。三种轮流方式用的天数必定如下所示：
甲乙丙，甲乙丙，……甲乙丙， 甲乙
乙丙甲，乙丙甲，……乙丙甲， 乙丙甲
丙甲乙，丙甲乙，……丙甲乙， 丙甲乙
由此推出：丙=甲，丙=乙
① 丙队每天做这项工程的×=
② 乙队每天做这项工程的÷=
③ 甲、乙、丙合作完工需要的时间为1÷（++）=5（天）
答：甲、乙、丙合作要5天完工。
练习5：
1、 有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好用整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用天。已知甲单独做7天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？
2、 有一项工程，由三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用天。已知甲单独做10天完成。且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲、乙、丙合作要多少天完工？
3、 有一项工程，由甲、乙、丙三个工程队每天轮做。原计划按甲、乙、丙次序轮做，恰好整数天完成呢感。如果按乙、丙、甲次序轮做。比原计划多用天；如果按丙、甲、乙次序做，比原计划多用天。已知这项工程由甲、乙、丙三个工程队同时合作，需13天可以完成，且3个工程队的工效各不相同。这项工程由甲独做需要多少天才能完成？
4、 蓄水池装有甲、丙两根进水管和乙、丁两根排水管。要注满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时。要排光一池水，单开乙管要4小时，单开丁管要6小时。现知池内有池水，如果按甲、乙、丙、丁，甲、乙、丙、丁……的顺序轮流各开1小时，多长时间后水开始溢出水池？

答案：
练1
1、 （1）需循环的次数
1÷（+）＝＞3
（2）3个循环后剩下的工作量
1－（+）×3＝
（3）最后由乙做的时间
（－）÷＝小时
（4）需要的总时间
2×3+1+＝7小时
2、 （1）需循环的次数
1÷（+）＝＞8
（2）3个循环后剩下的工作量
1－（+）×8＝
（3）最后由乙做的时间
÷＝小时
（4）需要的总时间
2×8+＝16小时
3、 （1）需循环的次数
÷（+）＝＞3
（2）3个循环后剩下的工作量
－（+）×3＝
（3）最后由乙做的时间
÷＝小时
（4）需要的总时间
2×3+＝6小时
练2
1、 提示：甲的效率是乙的2倍
20÷2＝10天
2、 提示：乙的效率是甲的
1÷【×（1－）+】＝3天
3、 提示：乙的效率是甲的
1÷（1÷12×）＝21小时
4、 （1）需几个周期
÷（－）×3＝＞3
（2）3个周期后剩下的水
－（－）×3＝
（3）需要的时间
2×3+1+（+）÷＝7小时
练3
1、 师傅：84÷（7－4）×7＝196个
徒弟：84÷（7－4）×4＝112个
2、 提示：乙的效率是甲的（1－）＝
1÷（1÷2×）＝7天
3、 3小时36分＝3小时
师、徒效率和：1080÷3＝300个
师傅每小时的个数：（300+60）÷2＝180个
徒弟每小时的个数：（300－60）÷2＝120个
练4
1、 提示：把6分钟看作一个循环
（1） 每循环一次的工作量
（+）×（1+2）＝
（2） 总工作量里面有几个
1÷＝3
（3） 3个循环后剩下的工作量
1－×3＝
（4） 一共需要的时间
6×3+1+（－）÷＝20分钟
2、 提示：把6分钟看作一个循环
（1） 1个循环的工作量
（+）×（1+2）＝
（2） 总工作量里面有几个
1÷＝2
（3） 3个循环后剩下的工作量
1－×2＝
（4） 一共需要的时间
6×2+÷＝13小时
说明：2个循环后，是由甲接着干2小时，所以直接用÷
3、 提示：把12天看作一个循环
12天中甲的工作量
×（3+3+3）＝
12天中乙的工作量
×（5+5）＝
总共需要的天数
÷（+）＝2
（12天减去最后休息的1天）
12×2－1＝23天
完成全部任务的为3月24日。
4、 提示：把7天看作一个周期
1÷（×5+×6）＝15
7×15－1＝104天
练5
1、 提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余2，否则与题意不符。由此推出丙的效率是甲的，丙的效率也是乙的。
（1） 丙的工作效率×＝
（2） 乙的工作效率÷＝
（3） 甲、乙、丙三队合做的天数1÷（++）＝2天
2、 提示：按甲、乙、丙的顺序轮流做，所用的整数天数为3的倍数余1，否则与题意矛盾。由此可以推出丙的效率是甲的，乙的效率是甲的。
（1） 丙的效率×＝
（2） 乙的效率×（1－×）＝
（3） 甲、乙、丙三队合做的天数1÷（++）＝4天
3、 由题意可以推出，丙的效率是甲的＝，丙的效率是乙的，进而推出甲、乙、丙工作效率的比是4：3：2。
1÷（1÷13×）＝31天
4、 提示：每四个水管轮流打开后，水池中的水不能超过，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出。
（1） 水池里的水超过时需要几个循环
（－）÷（－+－）＝＞4
（2） 循环5次以后，池中水占
+（－+－）×5＝
（3） 总共需要的时间
4×5+（1－）÷＝20小时

第二十四周 比较大小

专题简析：
我们已经掌握了基本的比较整数、小数、分数大小的方法。本周将进一步研究如何比较一些较复杂的数或式子的值的大小。
解答这种类型的题目，需要将原题进行各种形式的转化，再利用一些不等式的性质进行推理判断。如：a＞b＞0，那么a的平方＞b的平方；如果a＞b＞0，那么＜；如果＞1，b＞0，那么a＞b等等。
比较大小时，如果要比较的分数都接近1时，可先用1减去原分数，再根据被减数相等（都是1），减数越小，差越大的道理判断原分数的大小。
如果两个数的倒数接近，可以先用1分别除以这两个数。再根据被除数相等，商越小，除数越大的道理判断原数的大小。
除了将比较大小转化为比差、比商等形式外，还常常要根据算式的特点将它作适当的变形后再进行判断。

例1：
比较和的大小。
这两个分数的分子与分母各不相同，不能直接比较大小，使用通分的方法又太麻烦。由于这里的两个分数都接近1，所以我们可先用1分别减去以上分数，再比较所得差的大小，然后再判断原来分数的大小。
因为1－=，1－=
＞
所以＜。
练习1：
1、 比较和的大小。
2、 将，，，按从小到大的顺序排列出来。
3、 比较和的大小。

例2：
比较和哪个分数大？
可以先用1分别除以这两个分数，再比较所得商的大小，最后判断原分数的大小。
因为1÷＝＝10
1÷＝＝10
10＞10
所以＜
练习2：
1、 比较A＝和B＝的大小
2、 比较和的大小
3、 比较和的大小。

例3：
比较和的大小。
两个分数中的分子与分子、分母与分母都较为接近，可以根据通分的原理，用交叉相乘法比较分数的大小。
因为12345×98765
＝12345×98761+12345×4
＝12345×98761+49380
12346×98761
＝12345×98761+98760
而 98761＞49380
所以12346×98761＞12345×98765
则＜
练习3
1、 比较和的大小。
2、 如果A＝，B＝，那么A与B中较大的数是_______.
3、 试比较与的大小。

例4．
已知A×15×1＝B×÷×15＝C×15.2÷＝D×14.8×。A、B、C、D四个数中最大的是_______.
求A、B、C、D四个数中最大的数，就要找15×1，÷×15，15.2÷，14.8×中最小的。
15×1＞15
15.2÷＞15
÷×15＝13
14.8×＝14.6
答：因为÷×15的积最小，所以B最大。
练习4
1、 已知A×1＝B×90％＝C÷75％＝D×＝E÷1。把A、B、C、D、E这5个数从小到大排列，第二个数是______.
1、 2、 有八个数，0.5(●)1(●) ，，，0.51(●)，，是其中的六个数，如果从小到大排列时，第四个数是0.5111…，那么从大到小排列时，第四个数是哪个？
3、 在下面四个算式中，最大的得数是几？
（1）（+）×20 （2）（+）×30
（3）（+）×40 （4）（+）×50

例5．
图24－1中有两个红色的正方形，两个蓝色的正方形，它们的面积已在图中标出（单位：平方厘米）。问：红色的两个正方形面积大还是蓝色的两个正方形面积大？
19962

19922

红 蓝
19972

19932

红 蓝

通过计算结果再比较大小自然是可以，但比较麻烦。我们可以采取间接比较的方法。
19972－19972 ＝（1997+1966）×（1997－1996）
＝3993
19932－19922 ＝（1993+1992）×（1993－1992）
＝3985
（） 因为19972－19972 ＞19932－19922
所以 19972+19972 ＞19932+19922
练习5
1、 如图24－2所示，有两个红色的圆和两个蓝色的圆。红色的两圆的直径分别是1992厘米和1949厘米，蓝色的两圆的直径分别是1990厘米和1951厘米。问：红色的两圆面积之和大，还是蓝色的两圆面积之和大？
2、 如图24－3所示，正方形被一条曲线分成了A、B两部分，如果x ＞y，是比较A、B两部分周长的大小。
3、 问××××…×与相比，哪个更大？为什么？

A

B
蓝
红

x

红

蓝
Y

图24－2 图24－3

答案：
练1
1、 ＞
2、 ＜＜＜
3、＞
练2
1、 ＞
2、 ＜
3、 ＞
练3
1、 ＞
2、 ＜
3、 ＜
练4
1、 C
2、 六个已知的数的大到小排列是＞＞＞0.5(●)1(●) ＞0.51(●)＞，因为0.51(●)是八个数从小到大排列的第四个，说明另外两个数一定比0.51(●)小，所以这八个数中第四个大的数是0.5(●)1(●)。
3、 （3）的积最大
练5
1、 红色两圆的面积大
2、 B的周长大。
3、 ××××…×＜。

第二十五周 最大最小问题

专题简析：
人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。

例1：
a和b是小于100的两个不同的自然数，求的最大值。
根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99
的最大值是=
答：的最大值是。
练习1：
1、 设x和y是选自前100个自然数的两个不同的数，求的最大值。
2、 a和b是小于50的两个不同的自然数，且a＞b，求的最小值。
3、 设x和y是选自前200个自然数的两个不同的数，且x＞y，①求的最大值；②求的最小值。

例2：
有甲、乙两个两位数，甲数等于乙数的。这两个两位数的差最多是多少？
甲数：乙数=：=7：3，甲数的7份，乙数的3份。由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56
答：这两个两位数的差最多是56。
练习2：
1、 有甲、乙两个两位数，甲数的等于乙数的。这两个两位数的差最多是多少？
2、 甲、乙两数都是三位数，如果甲数的恰好等于乙数的。这两个两位数的和最小是多少？
3、 加工某种机器零件