高等教育自动控制系统数学模型.pptx
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1、自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha12.12.1 数学模型的基本概念数学模型的基本概念2.22.2 控制系统的动态微分方程控制系统的动态微分方程2.32.3 非线性系统模型的线性化处理非线性系统模型的线性化处理2.42.4 拉氏变换拉氏变换2.52.5 线性系统的传递函数模型线性系统的传递函数模型2.62.6 系统方框图和信息流图系统方框图和信息流图2.72.7 本章小结本章小结自动控制原理自动控制原
2、理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha22.12.12.12.1 数学模型数学模型数学模型数学模型的基本概念的基本概念的基本概念的基本概念2.1.12.1.12.1.12.1.1 数学模型数学模型数学模型数学模型定义与类型定义与类型定义与类型定义与类型 系统系统(或元件或元件)的数学模型是描述系统的数学模型是描述系统(或元件或元件)输入变量输入变量 与输出变量或其内部各物理量之间关系的数学表达,它揭示与输出变量或其内部各物理量
3、之间关系的数学表达,它揭示了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。了系统结构及其参数与其性能之间的内在关系。静态数学模型:静态条件(变量各阶导数为零)下描述变静态数学模型:静态条件(变量各阶导数为零)下描述变量之间关系的代数方程。量之间关系的代数方程。动态数学模型:描述变量各阶导数之间关系的微分方程。动态数学模型:描述变量各阶导数之间关系的微分方程。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha32.1.22.
4、1.22.1.22.1.2 建模与建模方法建模与建模方法建模与建模方法建模与建模方法得到系统数学模型的过程就叫做得到系统数学模型的过程就叫做建模。建模。建模方法:建模方法:解析法解析法 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相应的数学关系式,建立模型。学规律列写出相应的数学关系式,建立模型。实验法实验法 人为地对系统施加某种测试信号,记录其输出人为地对系统施加某种测试信号,记录其输出响应,并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为响应,并用适当的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。系统辨识。l l数学模型应能反映系统内在的本质,应对模
5、型的简数学模型应能反映系统内在的本质,应对模型的简洁性和精确性进行折衷考虑。洁性和精确性进行折衷考虑。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha4解析解析(机理分析机理分析)法建模法建模定义系统及其元素,建立物理模型;定义系统及其元素,建立物理模型;根据有关定理、定律列写数学方程根据有关定理、定律列写数学方程(列出必要的假设列出必要的假设);消去中间变量,列写只含输出输入变量的微分方程消去中间变量,列写只含输
6、出输入变量的微分方程(在在微分方程基础上可得到传递函数或状态空间方程微分方程基础上可得到传递函数或状态空间方程);解微分方程;解微分方程;模型校验,如果有必要,需重新检查假设和建立模型。模型校验,如果有必要,需重新检查假设和建立模型。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha5 实验法基于系统辨识的建模方法实验法基于系统辨识的建模方法l l已知知识和辨识目的已知知识和辨识目的l l实验设计实验设计选择实验条件
7、,如合适的测试信号选择实验条件,如合适的测试信号l l模型阶次模型阶次适合于应用的适当的阶次适合于应用的适当的阶次l l参数估计参数估计如最小二乘法如最小二乘法l l模型验证模型验证将实际输出与模型的计算输出进行比较,系将实际输出与模型的计算输出进行比较,系统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近统模型需保证两个输出之间在选定意义上的接近Black BoxInput(Known)Output(Measurable)自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central
8、South University,Changsha62.1.32.1.32.1.32.1.3 数学模型的形式数学模型的形式时间域:时间域:微分方程差分方程状态方程复数域:复数域:传递函数结构图频率域:频率域:频率特性“三域”模型及其相互关系自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha72.22.22.22.2 控制系统控制系统控制系统控制系统的动态微分方程的动态微分方程的动态微分方程的动态微分方程建立数学模型(
9、动态微分方程)的一般步骤:建立数学模型(动态微分方程)的一般步骤:分析系统工作原理和信号传递变换的过程,确定系统分析系统工作原理和信号传递变换的过程,确定系统和各元件的输入、输出量;和各元件的输入、输出量;从输入端开始,按照信号传递变换过程,依据各变量从输入端开始,按照信号传递变换过程,依据各变量遵循的物理学定律,依次列写出各元件、部件的动态遵循的物理学定律,依次列写出各元件、部件的动态微分方程;微分方程;消去中间变量,得到描述元件或系统输入、输出变量消去中间变量,得到描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程;之间关系的微分方程;标准化:右端输入,左端输出,导数降幂排列标准化:右端输入,
10、左端输出,导数降幂排列自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha8机械运动系统的三要素机械运动系统的三要素机械运动的实质:牛顿定理、能量守恒定理阻尼 B B质量 MM弹簧 K K自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha9例
11、例2-12-1 列写图示机械系统的微分方程。列写图示机械系统的微分方程。解:解:输入为输入为f(t)f(t),输出为,输出为x(t)x(t),根据牛顿第二,根据牛顿第二定律定律 F=maF=maMechanical System 1mKf(t)x(t)B自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha10例例2-22-2 列写图示机械系统的微分方程。列写图示机械系统的微分方程。解:解:Mechanical Syst
12、em 2自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha11电器系统的三要素电器系统的三要素电感 L L电阻 R R电容 C C自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha12例例2-3 2-3 R-L-CR-L-C无源电路网络如下
13、图。试列写以无源电路网络如下图。试列写以UU1 1为输入量,为输入量,UU2 2为输出量的网络微分方程。为输出量的网络微分方程。解:解:解:解:自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha13例例2-4 2-4 如下图所示一阶如下图所示一阶RCRC网络。试列写以网络。试列写以UU1 1为输入量,为输入量,UU2 2为输为输出量的网络微分方程。出量的网络微分方程。iRCui(t)RC Circuituo(t)自动
14、控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha14例例2-52-5 求图示电动机转速求图示电动机转速wmm(rad/s)(rad/s)与电枢电压与电枢电压UUa a(V)(V)的关系。的关系。图中图中R Ra a()、L La a(H)分别是电枢电路的电阻和电感,设激磁磁通分别是电枢电路的电阻和电感,设激磁磁通为常值。为常值。EaSMiaRaLoadwmLaJm,fmUaSpeed Control of DC Mot
15、or(with Load)电枢控制直流电动机的工作实质是将输入的电能转换为机械能:电枢电压Ua a(t)在电枢回路中产生电枢电流ia,ia与激磁磁通相互作用产生电磁转距Mm,从而拖动负载运动。因此,直流电动机的运动方程可由以下三部分组成:自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha15解:解:1)电枢回路电压平衡方程 Ea电枢反电势,它是当电枢旋转时产生的反电势,其方向与电枢电压Ua(t)相反,大小与激磁磁通及
16、转速成正比,即:Ce 反电势系数,vsrad-12)电磁转矩方程 Mm(t)=Cmia(t)(3)Cm电动机转距系数,NmA-1 Mm由电枢电流产生的电磁转距,Nm(1)(2)自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha163)电动机轴上的转距平衡方程 Jm转动惯量(电动机和负载折合到电动 机轴 上),kgm fm粘性摩擦系数(折合到电机轴上),Nmrad-1sML折合到电动机轴上的总负载转矩,Nm 由(3)求
17、出ia(t),代入(1),同时(2)亦代入(1)得:(5)(4)自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha17在工程应用中,由于电枢电路电感La较小,通常忽略不计,因而(5)可简化为 (6)如果电枢电阻Ra和电动机的转动惯量Jm都很小可忽略不计时,(6)还可进一步简化为:Cewm(t)=Ua(t)(7)电动机的转速wm(t)与电枢电压Ua(t)成正比,于是电动机可作为测速发电机使用。Ra JmTm=(电动机机
18、电时间常数,s)Ra fm+CmCe Cm RaK1=,K2=Ra fm+CmCe Ra fm+CmCe自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha18系统相似系统相似mKf(t)x(t)B自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Chang
19、sha19物理本质不同的系统,可以有相同的数学模型,物理本质不同的系统,可以有相同的数学模型,从而可以抛开系统的物理属性,用同一方法进行从而可以抛开系统的物理属性,用同一方法进行具有普遍意义的分析研究(信息方法)。具有普遍意义的分析研究(信息方法)。从动态性能看,在相同形式的输入作用下,数学从动态性能看,在相同形式的输入作用下,数学模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。模型相同而物理本质不同的系统其输出响应相似。相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础;相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础;通常情况下,元件或系统微分方程的阶次等于元通常情况下,元件或系统微分方程的阶次等于元件或系统中所包
20、含的独立储能元(惯性质量、弹件或系统中所包含的独立储能元(惯性质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容等)的个数;性要素、电感、电容、液感、液容等)的个数;因为系统每增加一个独立储能元,其内部就多一因为系统每增加一个独立储能元,其内部就多一层能量(信息)的交换。层能量(信息)的交换。系统的动态特性是系统的固有特性,仅取决于系系统的动态特性是系统的固有特性,仅取决于系统的结构及其参数。统的结构及其参数。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South Uni
21、versity,Changsha202.32.32.32.3 非线性系统模型非线性系统模型非线性系统模型非线性系统模型的线性化处理的线性化处理的线性化处理的线性化处理线性系统线性系统 可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为可以用线性微分方程描述的系统。如果方程的系数为常数,则为线性定常系统;如果方程的系数是时间的常数,则为线性定常系统;如果方程的系数是时间的函数,则为线性时变系统。函数,则为线性时变系统。2.3.12.3.12.3.12.3.1 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统式中,式中,a a1 1,a a2 2,a an n和和b b
22、0 0,b b1 1,b bmm为由系统结构为由系统结构参数决定的实常数,参数决定的实常数,mnmn。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha21非线性系统非线性系统l l用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠用非线性微分方程描述的系统。非线性系统不满足叠加原理。加原理。l l实际的系统通常都是非线性的,线性只在一定的工作实际的系统通常都是非线性的,线性只在一定的工作范围内成立。范围内成立。l l为
23、分析方便,通常在合理的条件下,将非线性系统简为分析方便,通常在合理的条件下,将非线性系统简化为线性系统处理。化为线性系统处理。2.3.12.3.12.3.12.3.1 线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统线性系统与非线性系统自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha22 液体系统液体系统 设液体不可压缩,通过节设液体不可压缩,通过节流阀的液流是紊流。流阀的液流是紊流。A A:箱体截面积
24、箱体截面积;:由由节节流流阀阀通通流流面面积积和和通通流流口口的的结结构构形形式式决决定定的的系系数数,通通流流面积不变时为常数。面积不变时为常数。上式为非线性微分方程,即此液位控制系统为非线性系统。上式为非线性微分方程,即此液位控制系统为非线性系统。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha23有条件存在,只在一定的工作范围内具有线性特性;非线性系统的分析和综合是非常复杂的。2.2.2.2.2.2.2.2
25、线性化问题的提出线性化问题的提出线性化问题的提出线性化问题的提出可以应用叠加原理,以及应用线性理论对系统进行分析和设计。线性系统缺点:线性系统缺点:线性系统优点:线性系统优点:线性化定义线性化定义 将一些非线性方程在一定的工作范围内用近似的线性方程来代替,使之成为线性定常微分方程。自动控制原理自动控制原理第二章第二章 自动控制系统的数学模型自动控制系统的数学模型School of Energy Science and Engineering,Central South University,Changsha242.2.2.2.3.3.3.3 线性化方法线性化方法线性化方法线性化方法 以微小偏差
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