北京市北师大附中2021-2022年高三10月阶段测试数学试题含详解.doc
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1、试卷主标题姓名:_ 班级:_考号:_一、选择题(共11题)1、 设集合 A = x |1 x 3 , B = x |2 x 4 ,则 A B = ( ) A x |2 x 3 B x |2 x 3 C x |1 x 4 D x |1 x 4 2、 复数 在复平面内对应的点所在的象限为( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3、 下列函数中,在区间( 0 , + )上单调递增的是 A B y = C D 4、 函数 的图像在点 处的切线方程为( ) A B C D 5、 已知 ,则 A B C D 6、 设 f ( x ) 为奇函数,且当 x 0 时, f ( x )=
2、,则当 x 0 时, f ( x )= A B C D 7、 记 S n 为等比数列 a n 的前 n 项和若 a 5 a 3 =12 , a 6 a 4 =24 ,则 = ( ) A 2 n 1 B 22 1 n C 22 n 1 D 2 1 n 1 8、 等比数列 的公比为 q ,前 n 项和为 ,设甲: ,乙: 是递增数列,则( ) A 甲是乙的充分条件但不是必要条件 B 甲是乙的必要条件但不是充分条件 C 甲是乙的充要条件 D 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 9、 基本再生数 R 0 与世代间隔 T 是新冠肺炎的流行病学基本参数 . 基本再生数指一个感染者传染的平均人数,世代间
3、隔指相邻两代间传染所需的平均时间 . 在新冠肺炎疫情初始阶段,可以用指数模型: 描述累计感染病例数 I ( t ) 随时间 t ( 单位 : 天 ) 的变化规律,指数增长率 r 与 R 0 , T 近似满足 R 0 =1+ rT . 有学者基于已有数据估计出 R 0 =3.28 , T =6. 据此,在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加 1 倍需要的时间约为 (ln20.69) ( ) A 1.2 天 B 1.8 天 C 2.5 天 D 3.5 天 10、 已知 ,若存在 ,使 ,则称函数 与 互为 “ 度零点函数 ” 若 与 互为 “1 度零点函数 ” ,则实数 的取值范围为 A B
4、C D 11、 已知只有 50 项的数列 满足下列三个条件: ; ; . 对所有满足上述条件的数列 共有 个不同的值,则 A 10 B 11 C 6 D 7 二、填空题(共4题)1、 复数 的共轭复数 等于 _ 2、 已知 ,函数 若 ,则 _. 3、 若 则 的最小值是 _ 4、 写出一个同时具有下列性质 的函数 _ ; 当 时, ; 是奇函数 三、解答题(共6题)1、 已知函数 ( 为常数 ) 的图像与 轴交于点 ,曲线 在点 处的切线斜率为 . (1) 求 的值及函数 的极值; (2) 证明:当 时, 2、 已知数列 的前 项和为 , , 从条件 、条件 和条件 中选择两个作为已知,并完
5、成解答 . ( 1 )求数列 的通项公式; ( 2 )设等比数列 满足 , ,求数列 的前 项和 . 条件 : ;条件 : ;条件 : . 3、 如图,在正方体 中, E 为 的中点 ( )求证: 平面 ; ( )求直线 与平面 所成角的正弦值 4、 已知椭圆 过点 ,且 的离心率为 ( 1 )求椭圆 的方程; ( 2 )过点 的直线 交椭圆 于 、 两点,求 的取值范围 5、 已知函数 ( 其中 为常数且 ) 在 处取得极值 . ( I )当 时,求 的单调区间; ( II )若 在 上的最大值为 ,求 的值 . 6、 在无穷数列 中, ,对于任意 ,都有 , . 设 , 记使得 成立的 的
6、最大值为 . ( 1 )设数列 为 1 , 3 , 5 , 7 , ,写出 , , 的值; ( 2 )若 为等差数列,求出所有可能的数列 ; ( 3 )设 , ,求 的值 . (用 表示) =参考答案=一、选择题1、 C 【分析】 根据集合并集概念求解 . 【详解】 故选: C 【点睛】 本题考查集合并集,考查基本分析求解能力,属基础题 . 2、 A 【分析】 利用复数的除法可化简 ,从而可求对应的点的位置 . 【详解】 ,所以该复数对应的点为 , 该点在第一象限, 故选: A. 3、 A 【分析】 由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可 . 【详解】 函数 , 在区间 上单调递减, 函数
7、 在区间 上单调递增,故选 A . 【点睛】 本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性,注重对重要知识、基础知识的考查,蕴含数形结合思想,属于容易题 . 4、 B 【分析】 求得函数 的导数 ,计算出 和 的值,可得出所求切线的点斜式方程,化简即可 . 【详解】 , , , , 因此,所求切线的方程为 ,即 . 故选: B. 【点睛】 本题考查利用导数求解函图象的切线方程,考查计算能力,属于基础题 5、 B 【分析】 运用中间量 比较 ,运用中间量 比较 【详解】 则 故选 B 【点睛】 本题考查指数和对数大小的比较,渗透了直观想象和数学运算素养采取中间变量法,利用转化与化归思想解题
8、6、 D 【分析】 先把 x 0, 代入可得 ,结合奇偶性可得 . 【详解】 是奇函数, 时, 当 时, , ,得 故选 D 【点睛】 本题考查分段函数的奇偶性和解析式,渗透了数学抽象和数学运算素养采取代换法,利用转化与化归的思想解题 7、 B 【分析】 根据等比数列的通项公式,可以得到方程组,解方程组求出首项和公比,最后利用等比数列的通项公式和前 项和公式进行求解即可 . 【详解】 设等比数列的公比为 , 由 可得: , 所以 , 因此 . 故选: B. 【点睛】 本题考查了等比数列的通项公式的基本量计算,考查了等比数列前 项和公式的应用,考查了数学运算能力 . 8、 B 【分析】 当 时,
9、通过举反例说明甲不是乙的充分条件;当 是递增数列时,必有 成立即可说明 成立,则甲是乙的必要条件,即可选出答案 【详解】 由题,当数列为 时,满足 , 但是 不是递增数列,所以甲不是乙的充分条件 若 是递增数列,则必有 成立,若 不成立,则会出现一正一负的情况,是矛盾的,则 成立,所以甲是乙的必要条件 故选: B 【点睛】 在不成立的情况下,我们可以通过举反例说明,但是在成立的情况下,我们必须要给予其证明过程 9、 B 【分析】 根据题意可得 ,设在新冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为 天,根据 ,解得 即可得结果 . 【详解】 因为 , , ,所以 ,所以 , 设在新
10、冠肺炎疫情初始阶段,累计感染病例数增加 1 倍需要的时间为 天, 则 ,所以 ,所以 , 所以 天 . 故选: B. 【点睛】 本题考查了指数型函数模型的应用,考查了指数式化对数式,属于基础题 . 10、 B 【分析】 首先根据题意,求得 ,利用条件得到 ,即 ,转化为函数 在区间 上存在零点,进一步得 ,令 ,利用导数研究函数 的值域,从而求得结果 . 【详解】 由题意可知 ,且 在 上单调递减, 所以函数 只有一个零点 . 即 ,得 . 函数 在区间 上存在零点, 由 ,得 . 令 , , 所以 在区间 上单调递增,在区间 上单调递减, , 所以只需 即有零点, 故选 B. 【点睛】 要学
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