天津市2021-2022学年高三上学期第一阶段数学训练试题含详解.doc
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1、试卷主标题姓名:_ 班级:_考号:_一、选择题(共18题)1、 已知集合 , ,则 ( ) A B C D 2、 已知 ,条件 : ,条件 : ,则 是 的( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 3、 某校抽取 名学生做体能测认,其中百米测试中,成绩全部介于 秒与 秒之间,将测试结果分成五组:第一组 ,第二组 , ,第五组 如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图,若成绩低于 即为优秀,如果优秀的人数为 人,则 的估计值是( ) A B C D 4、 函数 , 图象大致为 A B C D 5、 已知正方体 的表面积为 ,若圆锥的底面圆周经过
2、四个顶点,圆锥的顶点在棱 上,则该圆锥的体积为( ) A B C D 6、 已知 是定义在 上的偶函数,且在 上是增函数 . 设 , , ,则 , , 的大小关系是( ) A B C D 7、 已知 Q 为双曲线 ( , ) 的右顶点, M 为双曲线右支上一点,若点 M 关于双曲线中心 O 的对称点为 N ,设直线 QM , QN 的倾斜角分别为 , 且 ,则双曲线的离心率为( ) A B C D 8、 已知函数 的图象的一条对称轴为 , 则下列结论中正确的是( ) A 是 图象的一个对称中心 B 是最小正周期为 的奇函数 C 在 上单调递增 D 先将函数 图象上各点的纵坐标缩短为原来的 ,然
3、后把所得函数图象再向左平移 个单位长度,即可得到函数 的图象 9、 已知函数 ,若方程 有且只有三个不同的实数根,则 的取值范围是 A B C D 10、 已知集合 , ,则 ( ) A B C D 11、 设 ,则 “ ” 是 “ ” 的( ) A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 12、 设 , , ,则( ) A B C D 13、 某学校组织部分学生参加体能测试,成绩的频率分布直方图如图,数据的分组依次是 , , , . 若低于 60 分的人数是 18 人,则参加体能测试的学生人数是( ) A 45 B 48 C 50 D 60 14、 函数
4、的最小正周期是 ,若其图象向左平移 个单位后得到的函数为偶函数,则函数 的图象 A 关于点 对称 B 关于直线 对称 C 关于点 对称 D 关于直线 对称 15、 函数 的图象大致是( ) A B C D 16、 已知向量 , ,若 , ,则 的最大值为 A B C 4 D 5 17、 定义域为 的函数 满足 ,当 时, ,若当 时,不等式 恒成立,则实数 的取值范围是( ) A B C D 18、 已知 是定义在 上的函数,且满足 ; 曲线 关于点 对称; 当 时 ,若 在 上有 5 个零点,则实数 的取值范围为 A B C D 二、填空题(共12题)1、 已知直线 与圆 交于 、 两点,直
5、线 垂直平分弦 ,则 的值为 _ ,弦 的长为 _. 2、 某大学志愿者协会有 6 名男同学, 4 名女同学,在这 10 名同学中, 3 名同学来自数学学院,其余 7 名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院,现从这 10 名同学中随机选取 3 名同学,到希望小学进行支教 . 选出的 3 名同学是来自互不相同学院的概率 _ ,设 为选出的 3 名同学中女同学的人数,则 的数学期望为 _. 3、 在四边形 中, , , , , 为 的中点, ,则 _ ;设点 为线段 上的动点,则 最小值为 _ 4、 已知复数 是纯虚数 ( 其中是 虚数单位 ) ,则实数 的值为 _. 5、 二项式 的展开式
6、中常数项为 -20 ,则含 项的系数为 _. (用数字作答) 6、 已知 , ,则 的最小值为 _. 7、 如图,在 中, , , 为 上一点,且满足 ,若 的面积为 ,则 的最小值为 _ 8、 已知 , 为虚数单位,若 为实数,则 的值为 _ 9、 在二项式 的展开式中, 的系数为 _ 10、 袋中装有 5 个同样大小的球,编号为 1 , 2 , 3 , 4 , 5. 现从该袋内随机取出 3 个球,记被取出的球的最大号码数为 ,则 等于 _. 11、 已知 ,函数 在 上单调递减,则 的取值范围是 _. 12、 已知正数 满足 ,则 的最小值为 _ 三、解答题(共10题)1、 在 中,已知
7、( 1 )求角 B 的大小; ( 2 )若 , 的面积为 ,求 的值 2、 如图,在四棱锥 中, 底面 ABCD , , , , ,点 E 为棱 PC 的中点 . ( 1 )证明: : ( 2 )求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值: ( 3 )若 F 为棱 PC 上一点, 且满足 ,求二面角 的余弦值 . 3、 已知 , 分别是椭圆 : 的左,右焦点,点 在椭圆 上,且抛物线 的焦点是椭圆 的一个焦点 ( 1 )求 , 的值: ( 2 )过点 作不与 轴重合的直线 ,设 与圆 相交于 A , B 两点,且与椭圆 相交于 C , D 两点,当 时,求 的面积 4、 已知数列 , , ,
8、是数列 的前 项和,已知对于任意 ,都有 ,数列 是等差数列, ,且 , , 成等比数列 . ( 1 )求数列 和 的通项公式 . ( 2 )记 ,求数列 的前 项和 . ( 3 ) . 5、 已知函数 . ( 1 )若 ,求 的最小值; ( 2 )当 时,若不等式 恒成立,求实数 的取值范围; ( 3 )当 时,证明 . 6、 在 中, 分别为三个内角 的对边,且 . ( 1 )求角 的大小; ( 2 )若 求 和 的值 . 7、 已知函数 () 求 在 上的单调递增区间; () 在 中, 分别是角 的对边, 为锐角,若 , 且 的面积为 ,求 的最小值 . 8、 如图,在四棱锥 中,底面
9、为正方形, , 平面 , 、 分别为 、 的中点 . ( 1 )证明: 平面 ; ( 2 )求直线 与平面 所成角的正弦值; ( 3 )求二面角 的余弦值 . 9、 已知等差数列 的公差为正数, ,其前 项和为 ,数列 为等比数列, ,且 , . ( 1 )求数列 与 的通项公式; ( 2 )求数列 的前 项和 . ( 3 )设 , ,求数列 的前 项和 . 10、 已知函数 ( 1 ) 若 ,求 的图象在 处的切线方程; ( 2 )若 在定义域上是单调函数,求 的取值范围; ( 3 )若 存在两个极值点 ,求证 : =参考答案=一、选择题1、 C 【分析】 先由对数和正弦函数的性质化简集合,
10、再求交集 . 【详解】 , 即 故选: C 2、 B 【分析】 根据充分性、必要性的定义,结合对数的运算性质和对数函数的性质进行判断即可 . 【详解】 若 ,则有 ,因此有 ,故 ; 反之,若 ,当其中有负数时, 不成立,故 是 的必要不充分条件 . 故选: B 3、 B 【分析】 利用 左边的矩形面积之和为 列等式可求得实数 的值 . 【详解】 优秀人数所占的频率为 , 测试结果位于 的频率为 ,测试结果位于 的频率为 ,所以, , 由题意可得 ,解得 . 故选: B. 4、 D 【分析】 根据函数的奇偶性和函数图像上的特殊点对选项进行排除,由此得出正确选项 . 【详解】 ,故函数为奇函数,
11、图像关于原点对称,排除 选项 . 由 排除 选项 . 由 ,排除 C 选项,故本小题选 D. 【点睛】 本小题主要考查函数图像的识别,考查函数的奇偶性的判断方法,属于基础题 . 5、 C 【分析】 根据正方体的表面积求出 ,再求出圆锥的底面积和高代入圆锥的体积公式即可得到结果 . 【详解】 设正方体 的棱长为 ,则 ,所以 , 所以圆锥的底面半径为 ,所以底面积为 , 又圆锥的高为 ,所以圆锥的体积为 . 故选: C 【点睛】 本题考查了正方体与圆锥的组合体,考查了正方体的表面积,考查了圆锥的体积公式,属于基础题 . 6、 A 【分析】 利用偶函数的对称性分析函数的单调性,利用指数函数、对数函
12、数的单调性比较出 的大小关系从而比较函数值的大小关系 . 【详解】 由题意可知 在 上是增函数,在 上是减函数 . 因为 , , , 所以 ,故 . 故选: A 【点睛】 本题考查函数的性质,利用函数的奇偶性及对称性判断函数值的大小关系,涉及指数函数、对数函数的单调性,属于基础题 . 7、 B 【分析】 设出点 M 的坐标,根据条件可得点 N , Q 坐标,再利用斜率坐标公式及 Q 在双曲线上的条件列式计算即得 . 【详解】 依题意,设 ,则 ,又 ,即直线 QM , QN 的斜率乘积为 ,而 Q ( a , 0) , 于是得 ,又 M 为双曲线右支上一点,即 , , 因此, ,化简得 ,则
13、, 所以双曲线的离心率为 . 故选: B 8、 A 【分析】 化简函数 ,将 代入得函数最值,可求得 ,进而可得 ,通过计算 ,可判断 A ; 通过计算 ,可判断 B ; 当 时, ,可得 在 上的单调性,可判断 C ; 通过振幅变换和平移变换,可判断 D. 【详解】 , 当 时, 取到最值,即 解得 , . ,则 是 图像的一个对称中心,故 A 正确; ,故 不是奇函数,故 B 错误; 当 时, ,又 在 上先增后减,则 在 上先增后减,故 C 错误; 将函数 图象上各点的纵坐标缩短为原来的 ,然后把所得函数图象再向左平移 个单位长度,得 ,故 D 错误 . 故选: A 9、 D 【分析】
14、先将 有且只有三个不同的实数根转化为两函数有三个交点的问题,结合函数图像,即可求出结果 . 【详解】 由 得 ,即 ,设 , , 的顶点 在直线 上,而 与 的交点坐标为 , , 联立 , 可得 , 由 ,得 , 结合函数 , 的图像可得,要使 有且只有三个不同的实数根,只需 . 故选 D. 【点睛】 本题主要考查函数与方程的应用,通常情况下,需要构造函数,结合函数的单调性和图像来处理,属于中档试题 . 10、 B 【分析】 由交集的定义求解即可 【详解】 , , 则 , 故选: B 11、 A 【详解】 ,但 ,不满足 ,所以是充分不必要条件,选 A. 【考点】 充要条件 【名师点睛】本题考
15、查充要条件的判断,若 ,则 是 的充分条件,若 ,则 是 的必要条件,若 ,则 是 的充要条件;从集合的角度看,若 ,则 是 的充分条件,若 ,则 是 的必要条件,若 ,则 是 的充要条件,若 是 的真子集,则 是 的充分不必要条件,若 是 的真子集,则 是 的必要不充分条件 . 12、 A 【分析】 先利用换底公式将对数都化为以 2 为底 , 利用对数函数单调性可比较 , 再由中间值 1 可得三者的大小关系 . 【详解】 , , ,因此 ,故选: A. 【点睛】 本题主要考查了利用对数函数和指数函数的单调性比较大小 , 属于基础题 . 13、 D 【分析】 根据频率分布直方图,利用频率、频数
16、与样本容量的关系,即可求出该班的学生数 . 【详解】 解:根据频率分布直方图,得低于 60 分的频率是( 0.005 0.01 ) 20 0.3 , 所以该班的学生人数为 . 故选: D. 【点睛】 本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了频率频数 / 样本容量的应用问题,是基础题目 14、 A 【分析】 根据函数 的最小正周期是 ,求得 ,即 ,再根据三角函数的图象变换求得 ,利用三角函数的对称性,求得 ,得到函数 ,再利用三角函数的性质,即可求解 . 【详解】 由题意,函数 的最小正周期是 ,即 ,解得 , 所以 , 将函数 的向左平移 个单位后得到函数 因为 为偶函数,所以 ,即 ,
17、 解得 ,因为 ,所以 , 所以 ,令 ,解得 , 令 ,则 ,所以函数 关于 对称,故选 A. 【点睛】 本题主要考查了三角函数的图象变换,以及三角函数的图象与性质的应用,其中解答中熟练应用三角函数的图象变换求得函数的解析式,再利用三角函数的图象与性质求解是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题 . 15、 C 【分析】 根据函数的奇偶性和值域即可判断 . 【详解】 所以 为偶函数,所以图象关于 轴对称,故排除 B , 当 时, 故排除 A ,当 时, 故排除 D 故选: C . 16、 A 【分析】 设 ,由 可得点 的轨迹方程,再对 两边平方,利用一元二次函数的性质求出最大值,
18、即可得答案 . 【详解】 设 , , , , 整理得: . , , 当 时, 的最大值为 , 的最大值为 . 故选: A. 【点睛】 本题考查向量模的最值、模的坐标运算、一元二次函数的性质,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力和运算求解能力,求解时注意坐标法的运用 . 17、 B 【分析】 先将不等式转化为函数最值问题,再根据函数解析式以及单调性求对应函数最值,最后解不等式得结果 . 【详解】 因为当 时,不等式 恒成立,所以 , 当 时, 当 时, ,当 时, ,因此当 时, ,选 B. 【点睛】 对于求不等式成立时的参数范围问题,在可能的情况下把参数分离出来,使不等式一端是
19、含有参数的不等式,另一端是一个区间上具体的函数,这样就把问题转化为一端是函数,另一端是参数的不等式,便于问题的解决 . 但要注意分离参数法不是万能的,如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂,性质很难研究,就不要使用分离参数法 . 18、 B 【详解】 因为曲线 关于点 对称, 所以曲线 关于点 对称,所以 在 R 上是奇函数, 所以 ,又因为 ,所以 , 而 在 上恰有 个零点, 故 时, 有一个零点, 所以 时, , 所以 在 上有一个不同的解 . 令 ,则 , 所以 在 上减函数,在 上是增函数; 而 , 而 ,所以 , 故 或 ,故选 B. 二、填空题1、 【分析】 由题意可知直线 与
20、直线 垂直,可求得 的值,并且直线 过圆心,可求得实数 的值,然后将圆的方程化为标准方程,确定圆心坐标和半径,并计算出圆心到直线 的距离,利用勾股定理可求得弦 的长 . 【详解】 由题意可知,直线 与直线 垂直, ,可得 , 由于方程 表示的曲线为圆,则 ,解得 , 且圆 的圆心坐标为 ,圆心在直线 上, 所以, ,解得 , 所以,圆的方程为 ,即 , 圆心坐标为 ,半径长为 , 圆心到直线 的距离为 , 因此, . 故答案为: ; . 【点睛】 本题考查利用两直线垂直求参数,同时也考查了直线截圆所得弦长的计算,解答的关键就是求出圆的方程,考查计算能力,属于中档题 . 2、 【分析】 利用排列
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