广西省2020-2021学年高一下学期第一次月考数学试题含解析.doc

试卷主标题

姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共12题）
1、 设向量 与向量 共线，则实数
A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 6
2、 的值为（ ）
A ． 0 B ． 1 C ． D ． 2
3、 若数列 ，则 a 5 － a 4 ＝
A ． B ．－ C ． D ．
4、 在 中，若 ，则 一定是（ ）
A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形
C ．直角三角形 D ．等边三角形
5、 在 中，角 的对边分别为 ，若 ，则 （ ）
A ． B ． C ． D ．
6、 在锐角 中，已知 ， ， ，则 的面积为（ ）
A ． B ． 或 C ． D ．
7、 已知单位向量 的夹角为 ，若向量 ， 且 ，则 （ ）
A ． 2 B ． 4 C ． 8 D ． 16
8、 如图，一艘船上午 在 处测得灯塔 在它的北偏东 处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午 到达 处，此时又测得灯塔 在它的北偏东 处，且与它相距 . 此船的航速是（    ）

A ． B ．
C ． D ．
9、 被誉为 “ 中国现代数学之父 ” 的著名数学家华罗庚先生倡导的 “0.618 优选法 ” 在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用 .0.618 就是黄金分割比 的近似值，黄金分割比还可以表示成 ，则 （ ）
A ． 4 B ． C ． 2 D ．
10、 已知数列 的通项公式为 ，则数列 各项中最大项是（ ）
A ．第 13 项 B ．第 14 项 C ．第 15 项 D ．第 16 项
11、 已知 ， ， ， ，则 （ ）
A ． B ． C ． D ．
12、 已知函数 ，若对任意 ， ，都有 ，则 的最大值为（ ）
A ． 1 B ． C ． 2 D ． 4
二、填空题（共4题）
1、 ______ ．
2、 在 中，点 是边 的中点， ， ，则 的最大值为 ___________.
3、 已知点 O 为 的外心，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ．若 ，则 _______ ．
4、 在数列 中， ， ，则该数列的通项公式 =__________ ．
三、解答题（共6题）
1、 已知 为锐角， ， ．
（ 1 ）求 的值；
（ 2 ）求 的值．
2、 已知 的内角 的对边分别为 ，且 .

（ 1 ）求 ；
（ 2 ）若 ，如图， 为线段 上一点，且 ，求 的长 .
3、 在 中， a ， b ， c 分别为角 A ， B ， C 的对边， ．
（ Ⅰ ）求角 B 的大小；
（ Ⅱ ）若 为锐角三角形， ，求 的取值范围．
4、 为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的 “ 弹射型 ” 气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，如图所示， 三地位于同一水平面上，这种仪器在 地进行弹射实验，观测点 两地相距 100 米， ，在 地听到弹射声音的时间比 地晚 秒，在 地测得该仪器至最高点 处的仰角为 .

（ 1 ）求 两地的距离；
（ 2 ）求这种仪器的垂直弹射高度 （已知声音的传播速度为 340 米 / 秒） .
5、 已知函数 f （ x ）＝ 4sin （ x ） cos x ．
（ 1 ）求函数 f （ x ）的最小正周期和单调递增区间；
（ 2 ）若函数 g （ x ）＝ f （ x ）﹣ m 所在 [0 ， ] 匀上有两个不同的零点 x 1 ， x 2 ，求实数 m 的取值范围，并计算 tan （ x 1 + x 2 ）的值．
6、 已知函数 f （ x ） =2sin 2 （ x+ ） -2 cos （ x- ） -5a+2 ．
（ 1 ）设 t=sinx+cosx ，将函数 f （ x ）表示为关于 t 的函数 g （ t ），求 g （ t ）的解析式；
（ 2 ）对任意 x∈[0 ， ] ，不等式 f （ x ） ≥6-2a 恒成立，求 a 的取值范围．

============参考答案============
一、选择题
1、 A
【分析】
根据向量共线的坐标表示得到方程，进而求得参数结果 .
【详解】
因为向量 与向量 共线，故得到
故得到答案为： A.
【点睛】
这题目考查了向量共线的坐标表示，属于基础题 .
2、 B
【分析】
将 代入原式，利用两角差的正切公式，即可得答案 .
【详解】
解析：原式 = .
故选： B
3、 C
【详解】
试题分析：由
可得
考点：数列通项公式
4、 B
【分析】
利用 化简可得 ，即可判断 .
【详解】
，
，即 ，
， ，即 ，
所以 一定是等腰三角形 .
故选： B.
5、 A
【分析】
首先根据题意得到 ，再计算 即可得到答案 .
【详解】
因为 ，所以 .
，
又因为 ，所以 .
故选： A
6、 C
【分析】
用余弦定理求得 ，判断三角形的形状，由锐角三角形得正确的解，然后由三角形面积计算．
【详解】
由余弦定理得 ，即 ，解得 或 ，
若 ，则由 得 ，不合题意，
所以 ， ．
故选： C ．
7、 B
【分析】
单位向量 的夹角为 ，可得 ，利用 ，得 ，可得 的值，再通过 计算即可 .
【详解】
解：依题意， ，
故 ，故 ，
故 ，
解得 ，故 ，
故 ，
故 .
故选： B.
【点睛】
本题考查了向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 .
8、 C
【分析】
先设航速为 ，计算 AB 长度，再利用正弦定理列关系即求得 .
【详解】
设航速为
在 中， ， ， ，
由正弦定理得： ， ∴ .
故选： C.
【点睛】
解三角形应用题的一般步骤：
（ 1 ）阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系；
（ 2 ）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型；
（ 3 ）根据题意选择正弦定理或余弦定理求解；
（ 4 ）将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等 .
9、 D
【分析】
把 代入 ，然后结合同角三角函数基本关系式与倍角公式化简求值．
【详解】
解：把 代入

故选：
【点睛】
本题考查三角函数的恒等变换与化简求值，考查同角三角函数基本关系式与倍角公式的应用，属于基础题．
10、 C
【分析】
由给定条件知数列 首项不是最大项，利用数列最大项比它前一项和后一项都不小的特点列式即可作答 .
【详解】
依题意得 ，设数列 的最大项为 ，于是有 ，
从而得 ，整理得： ，解得 ，而 ，则 ，
所以数列 各项中最大项是第 15 项 .
故选： C
11、 D
【分析】
由 ，得到 ，从而求得 ，同理求得 ，然后利用角的变换，由 ，利用两角差的余弦公式求解 .

【详解】
因为 ，所以 ，
故 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
所以

故选： D
【点睛】
本题主要考查两角和与差的三角函数以及角的变换和平方关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题 .
12、 C
【分析】
化函数 为 的二次函数，利用换元法设 ，问题等价于 对任意的 、 ，都有 ，即 ；再讨论 时，利用二次函数的图象与性质，即可求出 的最大值．
【详解】
解： ，
令 ，问题等价于 ，
对任意 ， ，都有 ，即 ，
欲使满足题意的 最大，所以考虑 ，
对称轴为 ，
当 时，
， ；
当 时， ，
， ，
综上，
的最大值为 2 ，
故选： C.
【点睛】
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了二次函数的性质应用问题，属于较难题．
二、填空题
1、
【详解】

．
故答案为
2、
【分析】
用余弦定理表示出 ，求出 后利用余弦函数性质可得最大值．
【详解】
记 ，则 ，
在 中， ，
同理在 中可得 ，
∴ ，设 ， ， ．
则
，其中 ， 是锐角，
显然存在 ，使得 ，
∴ 的最大值为 ．
故答案为： ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查余弦定理，考查换元法求最值．解题方法是用余弦定理表示出 ，得出 ，利用三角换元法 ， ， ．这里注意标明 的取值范围．在下面求最值时需确认最值能取到，然后结合三角函数的性质求最值．
3、
【分析】
由已知可得 ，两边平方化简可得 ，利用数量积的定义可得结果 .
【详解】
设外接圆半径为 ， O 为 的外心，
则 ，
因为由 ，
得 ，
两边平方得 ，
即 ，
则 ，故答案为 .
【点睛】
本题主要考查数量积的定义与运算法则，属于中档题 . 向量数量积的运算主要掌握两点：一是数量积的基本公式 ；二是向量的平方等于向量模的平方 .
4、 ．
【详解】
试题分析：因为 ，所以运用累加法即可得到： ，所以 ，故应填 ．
考点： 1 、由数列的递推式求数列的通项公式； 2 、累加法．
【方法点睛】本题主要考查了由数列的递推式求数列的通项公式和运用裂项求和、累加法对数列进行求和，属中档题．其解题的一般方法为：对于形如 求数列的通项公式常用方法是累加法，即将 个等式相加即可得出数列 的通项公式．针对通项为 的前 项和，其关键是将其化简为 ，即运用裂项法对其进行求和．
三、解答题
1、 （ 1 ） ；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）由 为锐角，可求出 ，利用同角之间的关系可求出 .
（ 2 ）根据 结合余弦的差角公式可得出答案 .
【详解】
（ 1 ） ， ，

（ 2 ）由 为锐角， ，
.
【点睛】
方法点睛：本题考查同角三角函数的关系，余弦函数的差角公式以及角的变换关系，在利用两角和与差的三角函数公式求值或化简时，常根据角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，运用角的变换，沟通条件与结论的差异，使问题获解，常见角的变换方式有： ， ， 等等，属于一般题 .
2、 （ 1 ） ；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）利用正弦定理将 化为 ，结合 ，化简整理可得 ，从而可求出 ，进而可求出角 的值；
（ 2 ）在 中利用余弦定理可求出 ，从而可得 ，则有 ，而 ，所以
【详解】
解：（ 1 ）根据正弦定理得 ，
整理得
因为 ，所以 ，又 ，可得
（ 2 ）在 中，由余弦定理得：
将（ 1 ）中所求代入整理得： ，解得 或 ( 舍 ) ，即
在 中，可知 ，有 ，
因为 ，
所以 .
3、 （ Ⅰ ） ；（ Ⅱ ） .
【分析】
（ Ⅰ ）由正弦定理可得 ，然后由余弦定理可得答案；
（ Ⅱ ）由正弦定理可得 ，然后由三角函数的知识可得答案 .
【详解】
（ Ⅰ ）由已知 ，结合正弦定理，得 ．
再由余弦定理，得 ，又 ，则 ．
（ Ⅱ ）由正弦定理可得 ．
因为 为锐角三角形，则 ，有 ，则 ．
所以 的取值范围为 ．
4、 （ 1 ） 420 米；（ 2 ） 米．
【分析】
（ 1 ）先利用在 地听到弹射声音的时间比 地晚 秒设出 和 AC ，再利用余弦定理进行求解；
（ 2 ）利用 是直角三角形和正弦定理进行求解．
【详解】
（ 1 ）设 ，由条件可知
在 中，由余弦定理，可得
，
即 ，解得
所以 （米）
故 两地的距离为 420 米．
（ 2 ）在 中， 米， ,
（米）
所以，故这种仪器的垂直弹射高度为 米．

5、 （ 1 ）最小正周期为 ，单调递增区间为： [ ， ] ， k ∈ Z ；（ 2 ） m ∈[ ， 2 ）， tan （ x 1 ′+ x 2 ′ ）＝ ．
【分析】
（ 1 ）利用正弦和角公式，降幂扩角公式以及辅助角公式化简函数解析式为标准正弦型函数，再求函数性质即可；
（ 2 ）数形结合，根据 图象有 2 个交点，求得 的范围；根据对称性，即可求得 ，再求正切即可 .
【详解】
函数 f （ x ）＝ 4sin （ x ） cos x ．
化简可得： f （ x ）＝ 2sin x cos x ﹣ 2 cos 2 x
＝ sin2 x （ cos2 x ）
＝ sin2 x cos2 x
＝ 2sin （ 2 x ）
（ 1 ）函数的最小正周期 T ，
由 2 x 时单调递增，
解得：
∴ 函数的单调递增区间为： [ ， ] ， k ∈ Z ．
（ 2 ）函数 g （ x ）＝ f （ x ）﹣ m 所在 [0 ， ] 匀上有两个不同的零点 x 1 ′ ， x 2 ′ ，
转化为函数 f （ x ）与函数 y ＝ m 有两个交点
令 u ＝ 2 x ， ∵ x ∈[0 ， ] ， ∴ u ∈[ ， ]
可得 f （ x ）＝ sin u 的图象（如图）．

从图可知： m 在 [ ， 2 ），函数 f （ x ）与函数 y ＝ m 有两个交点，
其横坐标分别为 x 1 ′ ， x 2 ′ ．
故得实数 m 的取值范围是 m ∈[ ， 2 ），
由题意可知 x 1 ′ ， x 2 ′ 是关于对称轴是对称的：
那么函数在 [0 ， ] 的对称轴 x
∴ x 1 ′+ x 2 ′ 2
那么： tan （ x 1 ′+ x 2 ′ ）＝ tan
【点睛】
本题考查利用三角恒等变换化简三角函数，涉及三角函数性质的性质的求解，数形结合的思想，属综合中档题 .
6、 （ 1 ） ， ；（ 2 ） ．
【详解】
试题分析 ：（ 1 ）首先由两角和的正弦公式可得 ，进而即可求出 的取值范围；接下来对已知的函数利用 进行表示；
对于（ 2 ），首先由 的取值范围，求出 的取值范围，再对已知进行恒等变形可得 在区间 上恒成立，据此即可得到关于 的不等式，解不等式即可求出 的取值范围 .
试题解析：
（ 1 ） ，
因为 ，所以 ，其中 ，
即 ， ．
（ 2 ）由（ 1 ）知，当 时， ，
又 在区间 上单调递增，
所以 ，从而 ，
要使不等式 在区间 上恒成立，只要 ，
解得： ．
点晴 : 本题考查的是求函数的解析式及不等式恒成立问题 . （ 1 ）首先 ，可求出 的取值范围；接下来对已知的函数利用 进行表示 ;(2) 先求二次函数 ，再解不等式 .