内蒙古2021-2022学年高三上学期第一次月考理科数学试题含解析.doc

试卷主标题

姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共12题）
1、 已知 ，集合 ，则 （ ）
A ． B ．
C ． D ．
2、 设复数 满足 ，则 （ ）
A ． B ． C ． D ． 1
3、 函数 在其定义域上的图象大致为（ ）
A ． B ． C ． D ．
4、 某流行病调查中心的疾控人员针对该地区某类只在人与人之间相互传染的疾病，通过现场调查与传染源传播途径有关的蛛丝马迹，根据传播链及相关数据，建立了与传染源相关确诊病例人数 与传染源感染后至隔离前时长 t （单位：天）的模型： . 已知甲传染源感染后至隔离前时长为 5 天，与之相关确诊病例人数为 8 ；乙传染源感染后至隔离前时长为 8 天，与之相关确诊病例人数为 20. 若某传染源感染后至隔离前时长为两周，则与之相关确诊病例人数约为（    ）
A ． 44 B ． 48 C ． 80 D ． 125
5、 “ ” 是 “ 函数 在 上单调递增 ” 的（    ）
A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件
6、 设 为定义在 上的奇函数，且满足 ， ，则 （ ）
A ． B ． C ． 0 D ． 1
7、 已知 ， ， ，则（ ）
A ． B ． C ． D ．
8、 若 ，则 的大小关系为（ ）
A ． B ．
C ． D ．
9、 设函数 在 上存在导函数 ， 都有 ，且在 上 ，若 ，则实数 的取值范围是（ ）
A ． B ． C ． D ．
10、 已知函数 的定义域为 ，且满足 （ 是 的导函数），则不等式 的解集为（ ）
A ． B ． C ． D ．
11、 设函数 ，直线 是曲线 的切线，则 的最大值是（ ）
A ． B ． 1 C ． D ．
12、 已知定义在 的函数 对任意的 满足 ，当 ， ，函数 ，若函数 在 上有 6 个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
二、填空题（共4题）
1、 若命题 “ ” 是真命题，则实数 的取值范围是 ____________
2、 已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为 _______
3、 高中生必读名著有《西游记》､《红楼梦》､《三国演义》､《水浒传》､《复活》､《老人与海》，后两本为外国名著，甲读了其中的两本，乙读了其中的 1 本，则甲､乙看同一本外国名著的概率为 ___________.
4、 已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ，给出下列命题：
① 当 时， ；
② 函数 有 个零点；
③ ， ，都有 ；
④ 的解集为 ．
其中正确的命题是 ____________
三、解答题（共7题）
1、 已知集合 ．
（ 1 ）当 时，求 ；
（ 2 ）若 是 成立的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围．
2、 已知函数 是定义在 上的奇函数 .
（ 1 ）求实数 m 的值；
（ 2 ）如果对任意 ，不等式 恒成立，求实数 k 的取值范围 .
3、 设函数 ．
（ 1 ）求函数 的单调区间和极值；
（ 2 ）若当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
4、 已知 ，设 ：复数 ( 是虚数单位 ) 在复平面内对应的点在第二象限， ：复数 的模不超过 ．
（ 1 ）当 为真命题时，求 的取值范围；
（ 2 ）若命题 “ 且 ” 为假命题， “ 或 ” 为真命题，求 的取值范围．
5、 已知函数 的极大值为 ，其中 为常数， 为自然对数的底数 .
（ 1 ）求 的值；
（ 2 ）若函数 ，对任意实数 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围 .
6、 在直角坐标系 中，已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的方程为 （ 为参数）．以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（ 1 ）求曲线 的极坐标方程和直线 的普通方程；
（ 2 ）过点 ，倾斜角为 的直线与曲线 交于 ， 两点，求 的值．
7、 设函数 ．
（ 1 ）求不等式 的解集；
（ 2 ）若不等式 在区间 上恒成立，求 a 的取值范围．

============参考答案============
一、选择题
1、 D
【分析】
解对数不等式求出集合 B ，再与集合 A 求交集即可 .
【详解】
因为 ，
集合 ，则 ,
故选： D.
【点睛】
本题考查了集合的运算，属于基础题 .
2、 B
【分析】
由条件得 ，取模可得结果 .
【详解】
由 得 ，所以 .
故选： B.
3、 D
【分析】
求函数的定义域 , 判断函数的奇偶性和对称性 , 利用排除法 , 进行判断即可
【详解】
函数的定义域为 .
因为 ， ，所以 是奇函数，图象关于原点对称，排除 A,B ；
当 ， ，排除 C.
故选 :D.
4、 D
【分析】
根据 求得 ，由此求得 的值 .
【详解】
依题意得 ， ， ，所以 . 故若某传染源感染后至隔离前时长为两周，则相关确诊病例人数约为 125.
故选： D
5、 B
【分析】
根据函数 的单调性，由 在区间 ， 上单调递增可求得 的范围，然后根据充要条件求得结果 .
【详解】
解：由 在 递减，在 上递增，又函数 在区间 ， 上单调递增，得： ，即 ，
又 “ ” 是 “ ” 的必要不充分条件，
若 ，则 “ ” 是 “ 函数 在区间 ， 上单调递增 ” 的必要不充分条件．
故选： B ．
6、 B
【分析】
先利用奇偶性和周期性求出 和 ，即得结果 .
【详解】
解： 是定义在 上的奇函数， ，满足 ，
，又 ， .
故选： B.
【点睛】
本题考查了利用奇偶性和周期性求函数值，属于基础题 .
7、 C
【分析】
根据指数函数的性质，求得 ，根据对数函数的性质，求得 ，即可求解 .
【详解】
由指数函数的性质，可得 ，且
又由 ，即 ，所以 .
故选： C.
8、 B
【分析】
根据微积分基本定理进行求解即可 .
【详解】
因为 ，
，
，
所以 ，
故选： B
9、 A
【分析】
令 ，依题意，可得 为奇函数，且在 上单调递增； （ a ） ，即 （ a ），根据函数的单调性即可得出答案．
【详解】
解：令 ，
都有 ，
为奇函数，
，即 为奇函数，
又在 上 ，
当 时， ， 在 上单调递增， 为奇函数，
在 上单调递增；
（ a ） ，即 （ a ） ，即 （ a ），
，
.
故选： A ．
10、 B
【分析】
根据 可知 在 上单调递增，再将不等式 转化为 ，最后利用 在 上单调递增列不等式求解 ..
【详解】
由 得， .
令 ，则 在 上单调递增，
因为 的定义域为 ，所以
不等式 满足 ， ，
不等式两边同时乘以 得， ，
即 ，
又因为 在 上单调递增，所以
，解得 ，
故选： B.
11、 C
【分析】
先设切点写出曲线的切线方程，得出 、 的值，再利用构造函数利用导数求 的最大值即可 .
【详解】
解：由题得 ，设切点 ， ，则 ， ；
则切线方程为： ，
即 ，又因为 ，
所以 ， ，
则 ，
令 ，则 ，
则有 ， ； ， ，即 在 上递增，在 上递减，
所以 时， 取最大值 ，
即 的最大值为 .
故选： C.
【点睛】
本题考查了利用导数求曲线的切线方程和研究函数的最值，属于中档题 .
12、 C
【分析】
由题意首先确定函数的周期，然后绘制 的图象，再画出 的图象，由函数 在 上有 个零点，得到 与 在 上有且仅有 个交点，从而得到 的不等式，解出 的范围．
【详解】
因为函数 对任意的 满足 ，
所以得到 为周期函数，周期为 ，
因为当 ，画出 的图象，
在同一坐标系下画出 的图象，
因为函数 在 上有 个零点，
所以 与 在 上要有且仅有 个交点，
由图象可得，在 轴左侧有 个交点，只要在 轴右侧有且仅有 个交点，
则 ，即有 ，
所以 或 .

故选： C ．
二、填空题
1、
【分析】
根据不等式恒成立，转化为求 的最小值，求实数 的取值范围 .
【详解】
由命题 “ ” 是真命题，可知 ，
的最小值是 2 ，所以 ，
即实数 的取值范围是 .
故答案为：
2、
【分析】
根据具体函数和抽象函数的定义域求法，即可求解 .
【详解】
由条件可知，函数的定义域需满足 ，解得： ，
所以函数 的定义域是 .
故答案为：
3、
【分析】
设甲､乙看同一本外国名著为事件 A ，根据题意，求得满足事件 A 的可能性，再求得总可能性，代入公式，即可得答案 .
【详解】
设甲､乙看同一本外国名著为事件 A ，
事件 A 包含的情况有： ① 甲看了两本外国名著，乙任选，有 种可能，
② 甲看了一本外国名著，一本中国名著，共有 种可能，
总可能性有 种可能，
所以 .
故答案为：
4、 ①③
【分析】
直接利用函数的图象和性质的应用，不等式的解法，函数的零点和方程的根的关系，函数的定义域和值域的求法判断 ① 、 ② 、 ③ 、 ④ 的结论．
【详解】
对于 ① ，当 时，则 ，所以 ，整理得 ，故 ① 正确；
对于 ② ，当 时，由 可得 ，即 ，故 ，又函数 在 处有定义，故 ，故函数 有 3 个零点，故 ② 错误；
对于 ③ ，当 时， ，所以 时，有 ， 时，有 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 时 取得极小值 ，且 时， ， 时，所以 ，即 ，
可作大致图象如下，再根据对称性作 时的大致图象，

综上 时， 值域为 ，当 时， 值域为 ，而
所以 的值域为 ．
故 ， ，都有 ， ，即 ， ，故 ，即 ③ 正确．
对于 ④ ，当 时，则 的解集为 ， ；当 时， 的解集为 ， ；当 时， 成立．
故 的解集为 ， ， ，故 ④ 错误；
故答案为： ①③ ．
【点睛】
本题主要考查了函数性质的综合运用，包括奇偶性、利用奇偶性求解函数解析式的问题，同时也考查了数形结合解决零点和不等式范围的问题，属于难题
三、解答题
1、 （ 1 ） ；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）当 时，首先求出集合 、 ，再根据交集、并集的定义计算可得；
（ 2 ）依题意可得 是 B 的真子集，再对 与 分两种情况讨论，得到不等式组，解得即可；
【详解】
（ 1 ）当 时， ，
；
（ 2 ）若 是 成立的充分不必要条件，则 是 B 的真子集，
所以当 时， ，即 ，因为 ，所以原不等式无解，解集为 ；
当 时 ，解得 ，
因为 时 ，则 是 的充要条件，不合题意，
所以
2、 （ 1 ）
（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）由 求得参数 值，再检验函数是奇函数．
（ 2 ）先证明函数是增函数，则可把不等式化为 ，即 对任意 恒成立，移项为 ，由 得 范围．
【详解】
解：（ 1 ）因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，即 ，
即 ，检验符合要求 .
（ 2 ） ，
任取 ，则 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以函数 在 上是增函数 .
因为 ，且 是奇函数
所以，
因为 在 上单调递增，所以 对任意 恒成立，
即 对任意的 恒成立
∴ ，
∴ 实数 k 的取值范围为 .
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性，考查利用奇偶性与单调性解函数不等式，注意函数不等式利用函数性质变形转化的一般步骤．
3、 （ 1 ）单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；极大值 ，极小值 0 ；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）先对原函数求导，根据 求出单调递增区间，根据 求得单调递减区间，根据导数与极值知识求得函数极值即可；（ 2 ）将恒成立问题转化为求函数最小值问题，结合（ 1 ）中函数单调性求解即可 .
【详解】
（ 1 ） ，
由 ，得 或 ，
由 ，得 ，
∴ 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 .
极大值为 ，极小值为
（ 2 ）由（ 1 ）知， 在 单调递减，在 单调递增，
所以当 时， .
因为当 时，不等式 恒成立
所以 ，即 ，
故实数 的取值范围为 .
4、 （ 1 ） ；（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）根据复数的几何意义可得：实部小于 ，虚部大于 ，列不等式组即可求解；
（ 2 ）根据模长公式列不等式可求出 是真命题时 的取值范围，根据题意可知 、 一真一假，再讨论 真 假、 假 真所满足的条件，即可求解 .
【详解】
（ 1 ）当 为真命题时，复数 在复平面内对应的点在第二象限，
所以 ，解得： ，所以 的取值范围为 ，
（ 2 ）若 ：复数 的模不超过 是真命题，
则 ，即 ，解得： ，
由（ 1 ）知：当 为真命题时， ，
因为命题 “ 且 ” 为假命题， “ 或 ” 为真命题，所以 、 一真一假，
当 真 假时， 解得： ，
当 假 真时， 解得： ，
综上所述： 的取值范围为 .
5、 （ 1 ） 1 ；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）本小题先求导函数，再根据单调性求解即可 .
（ 2 ）本小题先将不等式恒成立问题转化为函数恒大于零的问题，再分类讨论解题即可 .
【详解】
（ 1 ） 的定义域为 ， ，
令 ，解得： ，令 ，解得： ，
所以当 ， 为增函数，当 ， 为减函数，
所以 时， 有极大值 ，所以 ；
（ 2 ）由（ 1 ）知， ，
则 ，即 对 恒成立，
所以 对 恒成立，
即 对 恒成立
设 ，则 对 恒成立，

设 ， ，原问题转化为： 对 恒成立，
① 若 ，当 时， ，
则 ，不合题意；
② 若 ，则 对 恒成立，符合题意
③ 若 ，则 ，
令 ， ，令 ， ，
所以当 时， 为减函数，
当 时， 为增函数，
所以 ，
即 ，即 ；
综上 .
【点睛】
本题考查导函数研究函数单调性，极值，最值以及不等式恒成立问题，过程中使用了转化与化归的数学思想和分类讨论的数学思想，属于压轴题 .
6、 （ 1 ） ； ；（ 2 ） ．
【分析】
（ 1 ）分别运用公式和消参变形化简即可；
（ 2 ）直线与曲线 联立，再根据 的几何意义求解 .
【详解】
（ 1 ）曲线 的参数方程为 （ 为参数），
转化为直角坐标方程为 ，
即 ，
将 代入得

化简得 .
将 的方程 消去 “ ” 得 .
（ 2 ）由题知，点 在直线 上 , 在曲线 内 .
将 的参数方程 代入 ，
得 ，设 对应的参数分别为
∴ ， ，
∴ ．
7、 （ 1 ） ；（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）利用绝对值不等式的性质直接求解即可；
（ 2 ）根据题意，得到 ，然后根据 ，
化简得到 ，进而根据不等式恒成立的性质得到 或 恒成立，进而求出 的取值范围
【详解】
（ 1 ）由 得， ，整理得，
，解得， ，
则原不等式解集为：
（ 2 ） 在区间 上恒成立，即为
，即 ，可得，
， ，所以， 或 ，解得
或 恒成立，化简得 或 恒成立，
由 ，可得 ，所以， 或 ，
即 的取值范围是：
【点睛】
关键点睛：解题关键在于根据 ，进而化简绝对值不等式，得到 ，最后利用绝对不等式的性质以及不等式的恒成立关系转化为求 或 成立的问题，进而求解，属于中档题