江苏省南京市2020-2021学年度高二上学期开学考试数学试题含详解.doc

试卷主标题

姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共24题）
1、 圆 的圆心坐标和半径分别是（ ）
A ． (1 ， 0) ， 2 B ． ( － 1 ， 0) ， 2 C ． (1 ， 0) ， 4 D ． ( － 1 ， 0) ， 4
2、 （ ）
A ． B ． C ． D ．
3、 若直线 与直线 平行，则 a = （    ）
A ． -3 或 -1 B ． -1 C ． -3 D ．
4、 设 是不同的直线， 是不同的平面，则下列选项中正确的是（ ）
A ．若 ， ，则 B ．若 ， ，则
C ．若 ， ， ，则 D ．若 ， ， ，则
5、 在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，若 ， ， ，则解此三角形的结果有（ ）
A ．无解 B ．一解 C ．两解 D ．一解或两解
6、 已知 ， ，则 （ ）
A ． B ． C ． D ．
7、 已知 中， ， ， 分别为角 ， ， 所对的边，且 ， ， ，则 的面积为（ ）
A ． B ． C ． D ．
8、 已知椭圆 的左，右焦点分别是 ，若椭圆上存在一点 ，使 （ 为坐标原点），且 ，则实数 的值为（ ）
A ． 2 B ． C ． D ． 1
9、 已知 为虚数单位，则 等于（ ）
A ． B ． 1 C ． D ．
10、 椭圆 的焦点坐标是（ ）
A ． B ． C ． D ．
11、 若函数 在区间 上存在极值点，则实数 的取值范围是（ ）
A ． B ． C ． D ．
12、 为参加校园文化节，某班推荐 2 名男生 3 名女生参加文艺技能培训，培训项目及人数分别为：乐器 1 人，舞蹈 2 人，演唱 2 人．若每人只参加 1 个项目，并且舞蹈和演唱项目必须有女生参加，则不同推荐方案的种数为（    ）
A ． 12 B ． 24 C ． 36 D ． 48
13、 函数 在下面哪个区间内是增函数
A ． B ． C ． D ．
14、 某人射击一次命中目标的概率为 ，且每次射击相互独立，则此人射击 7 次，有 4 次命中且恰有 3 次连续命中的概率为
A ． B ． C ． D ．
15、 已知函数 ，则不等式 的解集是
A ． B ．
C ． D ．
16、 法国的数学家费马（ PierredeFermat ）曾在一本数学书的空白处写下一个看起来很简单的猜想：当整数 时，找不到满足 的正整数解．该定理史称费马最后定理，也被称为费马大定理．现任取 ，则等式 成立的概率为（ ）
A ． B ． C ． D ．
17、 已知直线 l 1 ： 3 x ﹣ y ﹣ 1 ＝ 0 ， l 2 ： x ＋ 2 y ﹣ 5 ＝ 0 ， l 3 ： x ﹣ ay ﹣ 3 ＝ 0 不能围成三角形，则实数 a 的取值可能为（ ）
A ． 1 B ． C ．﹣ 2 D ．﹣ 1
18、 下列说法中正确的是（ ）
A ．在 中，若 ，则 一定是钝角三角形
B ．在 中，若 ，则 是直角三角形
C ．在 中，若 ，则 一定是等腰三角形
D ．
19、 已知圆 的半径为定长 ， 是圆 所在平面内一个定点， 是圆上任意一点，线段 的垂直平分线 和直线 相交于点 ．当点 在圆上运动时，下列判断正确的是（ ）

A ．当点 在圆 内（不与圆心重合）时，点 的轨迹是椭圆；
B ．点 的轨迹可能是一个定点；
C ．点 的轨迹可能是抛物线．
D ．当点 在圆 外时，点 的轨迹是双曲线的一支
20、 大摆锤是一种大型游乐设备（如图），游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险，座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动．假设小明坐在点 处， “ 大摆锤 ” 启动后，主轴 在平面 内绕点 左右摆动，平面 与水平地面垂直， 摆动的过程中，点 在平面 内绕点 作圆周运动，并且始终保持 ， ．设 ，在 “ 大摆锤 ” 启动后，下列结论正确的是（    ）

A ．点 在某个定球面上运动；
B ． 与水平地面所成锐角记为 ，直线 OB 与水平地面所成角记为 ，则 为定值；
C ．可能在某个时刻， ；
D ．直线 与平面 所成角的正弦值的最大值为 ．
21、 在一个袋中装有质地大小一样的 黑球， 个白球，现从中任取 个小球，设取出的 个小球中白球的个数为 ，则下列结论正确的是（ ）
A ． B ．随机变量 服从二项分布
C ．随机变量 服从超几何分布 D ．
22、 已知三个数 成等比数列，则圆锥曲线 的离心率为
A ． B ． C ． D ．
23、 某校高二年级进行选课走班，已知语文、数学、英语是必选学科，另外需从物理、化学、生物、政治、历史、地理 6 门学科中任选 3 门进行学习 . 现有甲、乙、丙三人，若同学甲必选物理，则下列结论正确的是（    ）
A ．甲的不同的选法种数为 10
B ．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件
C ．乙同学在选物理的条件下选化学的概率是
D ．乙、丙两名同学都选物理的概率是
24、 已知函数 ，给出下列四个结论，其中正确的是（ ）
A ．曲线 在 处的切线方程为
B ． 恰有 2 个零点
C ． 既有最大值，又有最小值
D ．若 且 ，则
二、填空题（共8题）
1、 若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则实数 的取值范围为 ________ ．
2、 在四面体 中， 平面 ， ， ， ，则该四面体的外接球的表面积为 ________.
3、 已知圆 ： ，直线 ： ， 为 上的动点．过点 作圆 的切线 ， ，切点为 ， ，当 最小时，直线 的方程为 ______ ．
4、 已知 中，角 、 、 所对的边分别是 、 、 ， 边上的高为 ，且 ，则 的取值范围是 ___________.
5、 设曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 __________ ．
6、 若 且 ，则 的取值范围为 __________ ．
7、 若对任意实数 ， 都有 ，则 的值为 ______ ．
8、 已知函数 ，若对于任意的 ，均有 成立，则实数 a 的取值范围为 ______ ．
三、解答题（共12题）
1、 如图，三棱柱 中， 底面 ，且 为正三角形， 为 中点．

（ 1 ）求证：直线 平面 ；
（ 2 ）求证：平面 平面 ．
2、 设 ， 分别是椭圆 的左､右焦点， 是 上一点且 与 轴垂直，直线 与 的另一个交点为 ．
（ 1 ）若直线 的斜率为 ，求 的离心率；
（ 2 ）已知（ 1 ）中椭圆上一点到左焦点的最大距离是 6 ，求该椭圆方程．
3、 在 ① 是 边上的高，且 ， ② 平分 ，且 ， ③ 是 边上的中线，且 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求出边 的长．
问题：在锐角 中，已知 ， ， 是边 上一点， _____ ，求边 的长．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分
4、 已知圆 M 的方程为 ．
求过点 的圆 M 的切线方程；
若直线过点 ，且直线 l 与圆 M 相交于两点 P 、 Q ，使得 ，求直线 l 的方程．
5、 已知椭圆 的右焦点为 ，斜率为 的直线 与 的交点为 ， ，与 轴的交点为 ．
（ 1 ）若 ，求 的直线方程；
（ 2 ）若 ，求直线 的方程．
6、 已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 ， ，且 到直线 的距离为 ．
（ 1 ）求椭圆 C 标准的方程；
（ 2 ）过 的直线 m 交椭圆 C 于 P ， Q 两点， O 为坐标原点，以 OP ， OQ 为邻边作平行四边形 OPDQ ，是否存在直线 m ，使得点 D 在椭圆 C 上？若存在，求出直线 m 的方程；若不存在，说明理由．
7、 为了普及安全教育，某市组织了一次学生安全知识竞赛，规定每队 3 人，每人回答一个问题，答对得 1 分，答错得 0 分．在竞赛中，甲､乙两个中学代表队狭路相逢，假设甲队每人回答问题正确的概率均为 ，乙队每人回答问题正确的概率分别为 ， ， ，且两队各人回答问题正确与否相互之间没有影响．
（ 1 ）分别求甲队总得分为 3 分与 1 分的概率；
（ 2 ）求乙队总得分为 1 分的概率．
8、 若 的二项式展开式中前三项的系数和为 163 ，求：
（ 1 ）该二项式展开式中所有的有理项；
（ 2 ）该二项式展开式中系数最大的项．
9、 如图，在正四棱柱 中， ， ，点 是 的中点，点 在 上，设二面角 的大小为 .

（ 1 ）当 时，求 的长；
（ 2 ）当 时，求 的长 .
10、 高三年级某班 50 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为： ， ， ， ， ， ， ．其中 ， ， 成等差数列且 ．物理成绩统计如表．（说明：数学满分 150 分，物理满分 100 分），若数学成绩不低于 140 分等第为 “ 优 ” ，物理成绩不低于 90 分等第为 “ 优 ”.
分组

频数
6
9
20
10
5

（ 1 ）根据频率分布直方图，求出实数 ， ， 的值以及数学成绩为 “ 优 ” 的人数；
（ 2 ）已知本班中至少有一个 “ 优 ” 同学总数为 6 人，从该 6 人中随机抽取 3 人，记 为抽到两个 “ 优 ” 的学生人数，求 的分布列和数学期望．
11、 已知函数 ( ).
（ 1 ）若 , 求函数 的单调区间 ;
（ 2 ）当 时 , 若函数 在 上的最大值和最小值的和为 1, 求实数 的值 .
12、 已知函数 （ ） .
（ 1 ）若 是定义域上的增函数，求 a 的取值范围；
（ 2 ）若 ，若函数 有两个极值点 ， （ ），求 的取值范围 .

============参考答案============
一、选择题
1、 B
【分析】
根据圆的标准方程直接写出圆心和半径 .
【详解】
因为圆的方程为 ，
所以圆心为 ，半径为 ，
故选： B
【点睛】
本题主要考查了圆的标准方程，圆心，半径，属于容易题 .
2、 A
【分析】
利用两角和的正弦公式得解 .
【详解】

故选： A
【点睛】
本题考查两角和的正弦公式 ，属于基础题 .
3、 C
【分析】
根据两直线平行，得到 ，即可求解 .
【详解】
由题意，直线 与直线 平行，则 ，解答 .
故选： C.
【点睛】
本题主要考查了两条直线的位置的判定及应用，其中解答中熟记两直线平行的条件是解答的关键，着重考查运算能力 .
4、 C
【分析】
对于 ， 或 ；对于 ， 或 ；对于 ，由面面垂直的判定定理得 ；对于 ， 与 相交或平行．
【详解】
解：由 ， 是不同的直线， ， 是不同的平面，知：
对于 ，若 ， ，则 或 ，故 错误；
对于 ，若 ， ，则 或 ，故 错误；
对于 ，若 ， ， ，则由面面垂直的判定定理得 ，故 正确；
对于 ，若 ， ， ，则 与 相交或平行，故 错误．
故选： ．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
5、 C
【分析】
根据正弦定理即可判定三角形解的个数 .
【详解】
解：根据题意，在 中， ， ， 分别为内角 ， ， 的对边，
则 ，变形可得 ，
又由 ， ， ，则有 ；
又 ，即 ，
由于 为锐角，则 有两解，即解此三角形有两解；选项 ABD 错误，选项 C 正确 .
故选： C ．
6、 D
【分析】
结合同角三角函数基本关系计算 的值，再利用两角差的正弦公式进行求解即可 .
【详解】
由 可得 ，
又 ，所以
所以 ，

.
故选 :D
【点睛】
本题主要考查两角和与差的正余弦公式与同角三角函数基本关系，解题的关键是熟练运用公式 .
7、 A
【分析】
结合正切两角和的正切公式求出 ，进而求得角 ，然后结合余弦定理解三角形即可求出边长 ，从而利用三角形的面积公式即可求出结果 .
【详解】
解： 中， ，
所以 ，
所以 ；
又 ，所以 ，
所以 ；
由余弦定理得 ，
即 ， ①
又 ， ②
由 ①② 解得 ，
所以 的面积为 ．
故选： A ．
8、 D
【分析】
由 ，依据向量的几何意义可得 ，即 为 的一半，所以 △ 为直角三角形，结合勾股定理可求得 、 ，即可确定 的值
【详解】
由题意，可得如下示意图

∵ ，依据向量的几何意义知： △ 为等腰三角形
∴ ，即 为 的一半
可知 △ 为直角三角形，且 ∠ = 90°
∴ 有 ， ，可得 = 4 ， = 4
又 知：
故选： D
【点睛】
本题考查了根据向量的数量积为 0 的几何含义判断三角形的形状，进而由三角形的性质求得相关线段的长度，即可确定参数值
9、 A
【分析】
利用虚数单位的幂的周期性即可得解 .
【详解】
，
故选 A.
【点睛】
本题考查虚数单位 的幂的运算，一般地， .
10、 C
【分析】
从椭圆方程确定焦点所在坐标轴，然后根据 求 的值 .
【详解】
由椭圆方程得： ，所以 ，又椭圆的焦点在 上，
所以焦点坐标是 .
【点睛】
求椭圆的焦点坐标时，要先确定椭圆是 轴型还是 轴型，防止坐标写错 .
11、 B
【分析】
先求解导数，求出极值点，结合极值点和区间的关系进行求解 .
【详解】
函数 的导数为 ，
令 ，则 或 ，
当 时， 单调递减，
当 和 时， 单调递增，
所以 0 和－ 2 是函数 的极值点，
因为函数 在区间 上存在极值点，
所以 或 ，
解得 ，
故选： B ．
12、 B
【分析】
由题意可知不同的推荐方案的种数分为以下两种：
一种方案是：有两名女生参加舞蹈与演唱项目中的一个，剩下的一名女生参加另一个，再从 2 名男生中选一名参加另一个项目，剩下的男生参加乐器项目 .
另一种方案是：有两名女生分别参加舞蹈、演唱项目中的一个，两名男生也分别参加舞蹈、演唱项目中的一个，剩下的一名女生参加乐器项目 .
再利用排列组合的有关知识即可得出 .
【详解】
由题意可知不同的推荐方案的种数分为以下两种：
一种方案是：有两名女生参加舞蹈与演唱项目中的一个，剩下的一名女生参加另一个，再从 2 名男生中选一名参加另一个项目，剩下的男生参加乐器项目，共有 种，即 12 种；
另一种方案是：有两名女生分别参加舞蹈、演唱项目中的一个，两名男生也分别参加舞蹈、演唱项目中的一个，剩下的一名女生参加乐器项目，共有 种，即 12 种 .
综上可知：满足条件的不同的推荐方案的种数 =12+12=24.
故选： B.
13、 B
【分析】
求 后令 可得函数的单调间区间，逐一比较可得正确选项 .
【详解】
令 ，则 ，令 ，可得 或 ，
故选 B.
【点睛】
一般地，若 在区间 上可导，且 ，则 在 上为单调增（减）函数；反之，若 在区间 上可导且为单调增（减）函数，则 .
14、 B
【分析】
由于射击一次命中目标的概率为 ，所以关键先求出射击 7 次有 4 次命中且恰有 3 次连续命中的所有可能数，即根据独立事件概率公式得结果 .
【详解】
因为射击 7 次有 4 次命中且恰有 3 次连续命中有 种情况，
所以所求概率为 . 选 B.
【点睛】
本题考查排列组合以及独立事件概率公式，考查基本分析求解能力，属中档题 .
15、 B
【详解】
由题可得 ，所以函数 为 上的奇函数，所以 可化为 ，又 ，所以函数 是 上的增函数，则由 可得 ，解得 ，故不等式 的解集为 ．故选 B ．
16、 B
【分析】
根据分步计数原理，得到基本事件总数，再利用列举法，求得所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型的概率计算公式，即可求解 .
【详解】
由任取 ，使得 ，共有 种不同的情形，
当 时，可得 ，
可得 ，共有 10 种情况，满足题意；
当 时，可得 ，
可得 ，共有 2 种情况，满足题意；
当 时，没有满足 成立的情况，
所以等式 成立的概率为 .
故选： B.
【点睛】
本题主要考查了古典概型的概率的计算，其中解答中求得基本事件的总数，利用列举法求得所求事件所包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查推理与运算能力 .
17、 BCD
【分析】
根据三条直线中有两条直线的斜率相等时，或者三条直线交于一点时，不能构成三角形进行求解即可 .
【详解】
因为直线 l 1 的斜率为 3 ，直线 l 2 的斜率为 ，所以直线 一定相交，交点坐标是方程组 的解，解得交点坐标为： .
当 时，直线 与横轴垂直，方程为： 不经过点 ，所以三条直线能构成三角形；
当 时，直线 的斜率为： .
当直线 l 1 与直线 l 3 的斜率相等时，即 ，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；
当直线 l 2 与直线 l 3 的斜率相等时，即 ，此时这两直线平行，因此这三条直线不能三角形；
当直线 l 3 过直线 交点 时，三条直线不能构成三角形，即有 ，
故选： BCD
【点睛】
本题考查了三条直线不构成三角形求参数取值范围问题，考查了直线平行与相交的判断，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力 .
18、 ABD
【分析】
对于 A ，根据 ，从而判断三角形形状；对于 B ，若 ，化简得 ，从而 ；对于 C ，将 化简得 ，从而根据 A ， B 的关系判断三角形形状；对于 D ，通分化简即可求得结果 .
【详解】
解：在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，
① 对于选项 A ：若 ，即 ，
所以 ，
则 一定是钝角三角形，故选项 A 正确．
② 在 中，若 ，则 ，
即 ，又
从而有 ，则在 中， ，
所以 一定是直角三角形，故选项 B 正确．
③ 由于 ，
则 整理得 ，
所以 ，故 ，
所以 或 ，故 或 ，
所以该三角形为等腰三角形或直角三角形．故 C 错误；
④ 原式
，故选项 D 正确．
故选： ABD ．
19、 ABD
【分析】
根据 点所在的位置分类讨论，结合椭圆、抛物线、双曲线的定义判断即可；
【详解】
解：对 A ，如图 1 ，连接 ，

由已知得 ．
所以 ．
又因为点 在圆内，所以 ，
根据椭圆的定义，点 的轨迹是以 ， 为焦点， 为长轴长的椭圆．
对 B ，如图 2 ，

当点 在圆上时，点 与圆心重合，轨迹为定点；
对 C ，由于当点 与圆心 重合时，点 的轨迹为圆，综合 ， ， 可知点 的轨迹不可能为抛物线．
对 D ，如图 3 ，连接 ，

由已知得 ．
所以 ．
又因为点 在圆外，所以 ，
根据双曲线的定义，点 的轨迹是以 ， 为焦点， 为实轴长的双曲线．
故选： ABD ．
20、 ABD
【分析】
根据题意建立数学模型进而求解出答案 .
【详解】
解：因为点 在平面 内绕点 作圆周运动，并且始终保持 ，
所以
又因为 ， 为定值，所以 也是定值，
所以点 在某个定球面上运动，选项 A 正确；
作出简图如下，

，所以 ，选项 B 正确；
因为 ，所以不可能有 ，选项 C 错误；
设 ，则 ， ，
当 时，直线 与平面 所成角最大；
此时直线 与平面 所成角的正弦值为 ，选项 D 正确 .
故选： ABD.
21、 ACD
【分析】
利用超几何分布判断 B 、 C 的正误，求出随机变量 X 的概率和数学期望值判断 A 、 D 的正误即可得解 .
【详解】
由题意知随机变量 服从超几何分布，故 B 错误， C 正确；
随机变量 的所有可能为 ， ， ， ， ，
，
，
，
，
，
故 ，故 A ， D 正确．
故选： ACD ．
【点睛】
易错点睛：超几何分布和二项分布的区别：
（ 1 ）超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；
（ 2 ）超几何分布是 “ 不放回 ” 抽取，而二项分布是 “ 有放回 ” 抽取（独立重复）；
（ 3 ）当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布 .
22、 BC
【分析】
由等比数列的性质求出 ，再判断曲线类型，进而求出离心率
【详解】
由三个数 成等比数列，得 ，即 ；当 ，圆锥曲线为 ，曲线为椭圆，则 ；当 时，曲线为 ，曲线为双曲线， ，
则离心率为： 或
故选 BC
【点睛】
本题考查等比数列的性质，离心率的求解，易错点为漏解 的取值，属于中档题
23、 AD
【分析】
本题首先可以根据从剩下 5 门课中选两门判断出 A 正确，然后根据甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件判断出 B 错误，再然后根据条件概率的计算判断出 C 错误，最后根据乙、丙两名同学各自选物理的概率判断出 D 正确 .
【详解】
A 项：由于甲必选物理，故只需从剩下 5 门课中选两门即可，即 种选法，故 A 正确；
B 项：甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故 B 错误；
C 项：由于乙同学选了物理，乙同学选化学的概率是 ，故 C 错误；
D 项：因为乙、丙两名同学各自选物理的概率 ，
所以乙、丙两名同学都选物理的概率是 ， D 正确，
故选： AD.
【点睛】
本题考查古典概型的概率的相关计算，考查组合的应用以及组合数的运算，考查对立事件的判定以及条件概率的计算，考查运算求解能力，考查推理能力，是中档题 .
24、 BD
【分析】
A 选项，利用导数求 在 处的切线斜率，进而得切线方程， A 错误； C 选项，由 的导数推导函数 的单调性，利用函数 的单调性来判定 既无最小值也无既最大值； B 选项，由函数 的单调性及 ，可得 恰有 2 个零点； D 选项，根据 分类讨论，利用 得 ，再根据函数的单调性可得 ， D 正确 .
【详解】
对于 A ，当 时，由于函数 ，
所以 ，
所以 ， ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，
即 ，故 A 错误；
对于 B 、 C ，因为 时， ，
所以 在区间 上单调递减．
时， ，
同理可知 在区间 上单调递减，所以 C 错误；
又 ， ，
所以 恰有 2 个零点，所以 B 正确；
对于 D ，若 ， ，由 ，
得 ，
即 ．
因为 在 上单调递减，所以 ，即 ．
同理可证当 ， 时，命题也成立．故 D 正确．
故选 BD ．
二、填空题
1、
【分析】
根据题意，由椭圆的标准方程的特点，结合已知条件列出不等式，求解即可得出实数 的取值范围 .
【详解】
解：由题可知，方程 表示焦点在 轴上的椭圆，
可得 ，解得： ，
所以实数 的取值范围为： .
故答案为： .
【点睛】
本题考查椭圆的标准方程的特点，是基础知识的考查，属于基础题 .
2、
【分析】
在 中，利用正弦定理，求得外接圆直径为 ，再结合球的性质，求得球的半径，进而求得外接球的表面积，得到答案 .
【详解】
在 中，因为 ， ，
可得 的外圆球直径为 ，
又由球的性质，可得 ，
所以球的表面积为 .
故答案为： .
【点睛】
运用公式 （ 为底面多边形的外接圆的半径， 为几何体的外接球的半径， 表示球心到底面的距离）求得球的半径，该公式是求解球的半径的常用公式，该方法的实质是通过寻找外接球的一个轴截面，把立体几何问题转化为平面几何问题来研究 .
3、
【分析】
根据题意，只需转化为圆上的点到直线的距离最小，即转化为圆心到直线的距离，再利用四点共圆的知识求得动点的轨迹，联立两个圆的方程可得所求的直线的方程 .
【详解】
⊙ M ： ，则 ，圆心为 ，半径 ，
如图，连接 ，四边形 的面积为 ，要使 最小，则需四边形 的面积最小，
即只需 的面积最小，因为 ，所以只需 最小，又 ，
所以只需直线 上的动点 到点 M 的距离最小，其最小值是圆心到直线 的距离 ，此时
所以直线 的方程为 由 ，解得 ，所以 ，
所以点 四点共圆，所以以点 PM 为直径的圆的方程为 ，即 ，联立两个圆的方程 得直线 AB 的方程为： .
故答案为： .

【点睛】
在解决直线与圆的位置关系的相关问题时，注意运用圆的几何性质，求解圆的弦长，切线长等问题 .
4、
【分析】
由余弦定理得出 ，由三角形的面积公式得出 ，进而可得出 ，利用正弦函数的有界性和基本不等式即可求得 的取值范围 .
【详解】
如下图所示：

由余弦定理得 ， ，
，由三角形的面积公式得 ，得 ，
，则 ，
， ，当 时，即当 时， 取得最大值 .
由基本不等式可得 ，当且仅当 时，等号成立，
因此， 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查三角形中代数式的取值范围的求解，考查了余弦定理、三角形的面积公式、基本不等式以及正弦函数有界性的应用，考查计算能力，属于中等题 .
5、 1
【分析】
对函数求导，利用导数的几何意义可得曲线在点 (1,a) 处的切线斜率，根据两条直线垂直斜率乘积为 -1 即可得 a 值 .
【详解】
，所以切线的斜率 ，
又切线与直线 垂直
得 ，解得 .
故答案为 1
【点睛】
本题考查导数的几何意义的应用，属于基础题 .
6、
【分析】
的几何意义为复平面内动点 Z 到定点 的距离小于等于 2 的点的集合， 表示复平面内动点 Z 到原点的距离，根据几何意义即可求解．
【详解】
解： 的几何意义为复平面内
动点 Z 到定点 的距离小于等于 2 的点的集合，
表示复平面内动点 Z 到原点的距离，
∵ ，
.
∴ 的取值范围为 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了利用复数的几何意义求模的取值范围，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题 .
7、 － 243
【分析】
利用赋值法可得答案 .
【详解】
根据系数之间的关系，令 ， ，
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：－ 243 ．
8、
【分析】
求导可知函数 在 上为增函数，进而原问题等价于对于任意的 ，均有 ，构造函数 ，则函数 在 上为减函数，求导后转化为最值问题求解即可．
【详解】
解： ，
任意的 ， 恒成立，所以 单调递增，
不妨设 ，则 ，又 ，
故 等价于 ，
即 ，
设 ，
易知函数 在 上为减函数，
故 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
设 ，
则 ，
故函数 在 上为减函数，则 ，故 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，最值及不等式的恒成立问题，考查转化思想，属于中档题．
三、解答题
1、 （ 1 ）证明见解析；（ 2 ）证明见解析．
【分析】
（ 1 ）连接 交 于点 ，连接 ，则由三角形中位线定理可得 ，然后由线面平行的判定定理可证得结论，
（ 2 ）由 底面 ，得 ，由等边三角形的性质可得 ， 平面 ，再由面面垂直的判定定理可证得结论
【详解】
证明：（ 1 ）连接 交 于点 ，
连接 ，则点 为 的中点．
∵ 为 中点，得 为 中位线，
∴ ．
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 直线 平面 ；

（ 2 ） ∵ 底面 ， 平面 ，
∴ ，
∵ 底面 正三角形， 是 的中点， ∴
∵ ， ∴ 平面 ，
∵ 平面 ， ∴ 平面 平面 ．
2、 （ 1 ） ；（ 2 ） ．
【分析】
（ 1 ）把 代入椭圆方程可得： ，取 ，直线 与 的另一个交点为 ，直线 的斜率 ，且 ，联立解方程即可得出．
（ 2 ）由题得 ，即得解 .
【详解】
解：（ 1 ）把 代入椭圆方程可得： ，解得 ，取 ，
直线 与 的另一个交点为 ，直线 的斜率 ，且 ，
联立解得 ，解得 ．
（ 2 ）因为椭圆上一点到左焦点的最大距离是 6 ，所以
又 ，所以 .
所以椭圆的方程为 .
3、 .
【分析】
根据三角形的面积公式与余弦定理求解即可得答案 .
【详解】
方案一：选条件 ① ：
由面积关系得：

在 中，由余弦定理得 ，
所以 ．
方案二：选条件 ② ：
设 ，则 ，由面积关系得：

在 中，由余弦定理得 ，
所以 ．
方案三：选条件 ③ ：
设 ，分别在 与 中由余弦定理得：
，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查三角形面积公式与余弦定理解三角形，考查运算能力，是基础题 .
4、 切线方程为 ； 直线 l 的方程为 或 ．
【分析】
易知点 A 在圆上，根据切线性质和 ，可得切线斜率，进而可得切线方程；
由已知可求出圆心到直线的距离，然后分直线的斜率存在与不存在求解．
【详解】
， 点 A 在圆上，则 ，
， ．
则切线 m 的方程为 ，即 ；
圆 M 的方程为 ，则圆 M 的圆心坐标为 ，半径为 ．
记圆心到直线 l 的距离为 d ，则 ．
当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 ， ，满足条件；
当直线 l 的斜率存在时，设直线方程为 ，即 ．
则 ，解得 ．
此时直线 l 的方程为 ．
综上，直线 l 的方程为 或 ．
【点睛】
本题考查了圆的切线方程的求法，考查了直线与圆位置关系的应用，考查了分类讨论的数学思想方法；在解答过程中，易忽略斜率不存在时的直线 ，导致漏解 .
5、 （ 1 ） ；（ 2 ） ．
【分析】
（ 1 ）设直线 ， ，与椭圆方程联立消 ，求出 、 ，利用两点间距离公式求出 、 列方程即可求解；
（ 2 ）设直线 ， ， ，由 ，得 ，联立方程消去 ，可得 ，即可将 、 用 表示，代入 ，解方程即可得 的值，进而可得直线 的方程 .
【详解】
（ 1 ）设直线 ， ， ，由题设得 ，
由 可得 ，
即
则 ， ，
，
同理 ，所以 ，
所以 ，且 满足 ，符合题意 .
所以 的方程为 ．
（ 2 ）设直线 ， ， ，
由 可得 ．
由 可得 ．
所以 ．从而 ，故 ， ，
，代入 ， 得 ，
解得： ，
经检验 都满足 ，
故 的直线方程为 ．
6、 （ 1 ） ；（ 2 ）存在，直线 .
【分析】
(1) 由离心率用 表示出 ，从而可用 求出直线 l 的方程，由点到直线的距离公式可得关于 的方程，进而可求出椭圆 C 的标准方程 .
(2) 当直线 PQ 的斜率存在时，设直线 m 的方程为 ，与椭圆方程进行联立，结合韦达定理，求出 代入椭圆方程进而可求出斜率；当直线 PQ 的斜率不存在时，即可求出直线方程，进而可求出 的坐标，从而可验证此时 是否在椭圆上 .
【详解】
解：（ 1 ）因为椭圆 C 的离心率为 ，所以 ，所以 ， ，
所以直线 l 的方程为 ，即 ．
由题意可得 ，则 ，解得 ．
故椭圆 C 的标准方程为 ；
（ 2 ） ① 当直线 PQ 的斜率存在时，
设直线 m 的方程为 ， ， ．
联立 ，整理得 ，
则 ， ．设 ，由四边形 OPDQ 为平行四边形，
得 ，则 ，即 ，
若点 D 落在椭圆 C 上，则 ，即 ，
整理得 ，整理得 ，方程无解．
② 当直线 PQ 的斜率不存在时，直线 m 的方程为 ，
此时存在点 在椭圆 C 上．
综上，存在直线 ，使得点 在椭圆 C 上．
【点睛】
本题考查了椭圆离心率的涵义，考查了椭圆标准方程的求解，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与椭圆的位置关系，考查了分类的思想 . 本题的难点是计算量比较大 .
7、 （ 1 ）甲队总得分为 3 分的概率为 ，甲队总得分为 1 分的概率为 ；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）根据相互独立事件的乘法公式及对立事件即可得解；
（ 2 ）根据相互独立事件的乘法公式及对立事件即可得出答案 .
【详解】
解：（ 1 ）记 “ 甲队总得分为 3 分 ” 为事件 A ，记 “ 甲队总得分为 1 分 ” 为事件 B ．
甲队得 3 分，即三人都回答正确，其概率 ．
甲队得 1 分，即三人中只有 1 人答对，其余两人都答错，
其概率 ．
答：甲队总得分为 3 分的概率为 ，甲队总得分为 1 分的概率为 ．
（ 2 ）记 “ 乙队总得分为 1 分 ” 为事件 ．
事件 即乙队 3 人中只有 1 人答对，其余 2 人答错，
则 ．
答：乙队总得分为 1 分的概率为 ．
8、 （ 1 ） ， ；（ 2 ） .
【分析】
写出该二项式展开式的通项，根据前三项的系数求出 n =9 ，
（ 1 ）利用二项式展开式的通项公式即可求解 .
（ 2 ）由题意设展开式中 项的系数最大，可得 ，解不等式可得 k =6 ，进而可得系数最大的项 .
【详解】
该二项式展开式的通项为
，
展开式前三项的系数为 1 ， ， ．
由题意得 ，整理得 ，所以 .
（ 1 ）设展开式中的有理项为 ，
由
又 ∵ ， ∴ 或 6 ．
故有理项为 ，
（ 2 ）设展开式中 项的系数最大，
则
，
又 ∵ ， ∴
故展开式中系数最大的项为 .
9、 （ 1 ） ；（ 2 ） .
【分析】
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，设 ，计算出平面 、平面 的法向量 、 .
（ 1 ）由 结合空间向量法可得出关于 的方程，求出 的值，进而可求得 的长；
（ 2 ）由 结合空间向量法可得出关于 的方程，求出 的值，进而可求得 的长 .
【详解】
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，设 .

（ 1 ） 、 、 、 ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，可得 ，取 ，则 ， ，所以， ，
设平面 的法向量为 ，
由 ，可得 ，取 ，可得 ， ，所以，