内蒙古2020-2021学年高一下学期第二次月考数学试题含解析.doc

试卷主标题

姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共12题）
1、 下列说法中正确的是（ ）
A ．棱柱的侧面可以是三角形 B ．正方体和长方体都是特殊的四棱柱
C ．所有的几何体的表面都能展成平面图形 D ．棱柱的各条棱都相等
2、 如果 ，那么下列不等式中正确的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
3、 在等差数列 中 , 若 , , 则 （ ）
A ． 40 B ． 70 C ． 80 D ． 90
4、 若 P 为 △ABC 所在平面外一点，分别连接 PA ， PB ， PC ，则所构成的 4 个三角形中直角三角形的个数最多为（    ）
A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 1
5、 已知直线 与 互相垂直，则 的值为（ ）
A ． B ． C ． D ．
6、 表示直线， 表示平面，给出下列四个命题： ① 若 则 ； ② 若 ，则 ； ③ 若 ，则 ； ④ 若 ，则 . 其中正确命题的个数有
A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3
7、 已知圆心为点 ，并且在直线 上截得的弦长为 的圆的方程为（ ）
A ． B ．
C ． D ．
8、 已知圆锥的轴截面为正三角形，且边长为 2 ，则圆锥的表面积为（    ）
A ． B ． C ． D ．
9、 已知 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 ， ， ，则 b 等于
A ． B ． 5 C ． D ． 25
10、 长方体的一个顶点上的三条棱长分别为 3 、 4 、 5 ，且它的 8 个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（    ）
A ． B ． C ． D ．都不对
11、 如图，在四棱锥 中，底面 为菱形， ，侧面 为正三角形，且平面 平面 ，则下列说法错误的是（ ）

A ．在棱 上存在点 使 平面 B ．异面直线 与 所成的角为
C ．二面角 的大小为 D ． 平面
12、 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德并称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点 M 与两定点 Q 、 P 的距离之比 ，那么点 M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆 . 已知动点 M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 ，定点 Q 为 x 轴上一点， 且 ，若点 ，则 的最小值为（ ）
A ． B ． C ． D ．
二、填空题（共4题）
1、 一球与棱长为 2 的正方体的各个面相切，则该球的体积为 ________.
2、 已知圆 及圆 ．则两圆的公共弦所在的直线方程为 ________.
3、 如图，在长方体 中， ， ，则四棱锥 的体积为 ______cm 3 ．
4、 已知两点 A( － 1,3) ， B(3,1) ，当 C 在坐标轴上，若 ∠ACB ＝ 90° ，则这样的点 C 的个数为 ________ ．
三、解答题（共6题）
1、 如图，已知圆柱底面圆的半径为 ，高为 2 ， AB 、 CD 分别是两底面的直径， AD 、 BC 是母线，若一只小虫从 A 点出发，从侧面爬行到 C 点，求小虫爬行的最短长度．

2、 在 中，内角 A ， B ， C 的对边分别是 a ， b ， c ，且 .
（ 1 ）求 的值；
（ 2 ）若 ，求 的面积 .
3、 已知 是等差数列 , , .
（ 1 ）求 的通项公式；
（ 2 ）求 的前 n 项和 的最大值 .
4、 已知圆 C 的方程为 ，点 P （ 3 ， 1 ）
（ 1 ）求过点 P 的直线被圆 C 截得弦长最大时的直线 l 的方程 .
（ 2 ）若圆 C 的一条弦 AB 的中点为 P ，求直线 AB 的方程 .
5、 如图，在四棱锥 中，底面是边长为 的正方形，侧棱 ，求证：

（ 1 ） 平面 ；
（ 2 ）平面 平面 ；
（ 3 ）二面角 的平面角的大小 .
6、 如图，在直三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 中， AB ＝ AC ， E 是 BC 的中点，求证：

（ 1 ）平面 AB 1 E ⊥ 平面 B 1 BCC 1 ；
（ 2 ） A 1 C ∥ 平面 AB 1 E .

============参考答案============
一、选择题
1、 B
【分析】
从棱柱的定义出发判断 A,B,D 的正误，找出反例否定 C ，即可得答案；
【详解】
对 A ，棱柱的侧面都是四边形，故 A 错误；
对 B ，正方体和长方体都是特殊的四棱柱，故 B 正确；
对 C ，所有的几何体的表面都能展成平面图形，球不能展成平面图形，故 C 错误；
对 D ，棱柱的各条棱都相等，应该为侧棱相等，故 D 错误；
故选： B.
【点睛】
本题考查棱柱的结构特征，属于基础题 .
2、 C
【分析】
利用作差法得到 , 所以选项 错误； ，所以选项 错误； ，所以选项 正确； ，所以选项 D 错误 .
【详解】
对于选项 所以 , 所以选项 错误；
对于选项 , ，所以 ，所以选项 错误；
对于选项 , ，所以 ，所以选项 正确；
对于选项 , ，所以 ，所以选项 D 错误 .
故选： C.
【点睛】
本题主要考查作差法比较大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 .
3、 B
【分析】
由已知条件列方程组求出等差数列的首项和公差 , 从而求出第 40 项 .
【详解】
解 : 在等差数列数列 中 ,
, 解得 ,
所以 .
故选 :B
【点睛】
本题考查等差数列的通项公式 , 是基础题 .
4、 A
【详解】
设 △ABC 为直角三角形，过一锐角顶点 A ，如果有 PA⊥ 平面 ABC ，则如图所示：

因为 PA⊥ 平面 ABC ， PA⊥AC ， PA⊥AB ，
所以 △PAB ， △PAC 为直角三角形 .
因为 BC⊥AB ， PA⊥BC ，
所以 BC⊥ 平面 PAB ，所以 BC⊥PB.
所以 △PBC 是直角三角形，
所以 △ABC ， △PAB ， △PAC ， △PBC 四个三角形都是直角三角形 .
故选 A
5、 C
【分析】
根据直线 与 互相垂直，则有 求解 .
【详解】
因为直线 与 互相垂直，
所以 ，
即 ，
解得 .
故选： C
【点睛】
本题主要考查两直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题 .
6、 B
【详解】
试题分析：若 则 平行或相交或异面，故 ① 错；若 ，则 或 ，故 ② 错；若 ，则 平行或相交或异面，故 ③ 错；若 ，则 ，是直线与平面垂直的性质定理，故 ④ 正确．故选 B ．
考点：点线面的位置关系．
7、 D
【分析】
求出圆心到直线的距离，可得圆的半径，即可求出圆的方程 .
【详解】
解：圆心到直线的距离为 ，
∵ 在直线 上截得的弦长为 ，
∴ 圆的半径 ，
∴ 圆的方程为 .
故选： D.
【点睛】
本题主要考查直线和圆相交的性质，求圆的标准方程，求出圆的半径，是解题的关键，属于基础题 .
8、 D
【分析】
圆锥的母线就是轴截面边长，也等于底面直径，由此可计算表面积．
【详解】
由题意底面半径 ，母线长为 ，
表面积为 ．
故选： D ．
【点睛】
本题考查圆锥的表面积，掌握轴截面是圆锥的关系是解题关键．
9、 B
【分析】
利用三角形的面积求出 ，然后利用余弦定理求出 即可．
【详解】
由题意可知， ，解得 ，由余弦定理知 ，所以 ，所以 .
故选 B.
【点睛】
解三角形常与三角形的面积结合在一起考查，考查综合运用知识解决问题的能力，解题时注意各个公式间的联系，同时还要注意公式中的常用变形 .
10、 B
【分析】
由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．
【详解】
解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是 3 ， 4 ， 5 ，且它的 8 个顶点都在同一个球面上，
所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为： ，
所以球的半径为： ；则这个球的表面积是： ．
故选： ．
11、 D
【分析】
根据线面垂直的判定及性质定理逐一判断即可 .
【详解】
解：如图，

对于 ，取 的中点 ，连接 ， ∵ 侧面 为正三角形，
，又底面 是菱形， ， 是等边三角形，
，又 ， ， 平面 ，
平面 ，故 正确 .
对于 ， 平面 ， ，即异面直线 与 所成的角为 90° ，故 正确 .
对于 ， ∵ 平面 平面 ， ， 平面 ， ， ，
是二面角 的平面角，设 ，则 ， ，
在 中， ，即 ，故二面角 的大小为 ，故 正确 .
对于 ，假设 平面 ，则 ，又依题意平面 平面 ， ，则 平面 ，故 ，而 BD ， BM 相交，且在平面 ABCD 内，故 平面 ，与 平面 矛盾，因此 与平面 不垂直，故 错误 .
故选 :D.
【点睛】
本题考查了线面垂直的判定及异面直线所成的角，属于中档题 .
12、 C
【分析】
设 ， ，根据 和 求出 a 的值，由 ，两点之间直线最短，可得 的最小值为 ，根据坐标求出 即
【详解】
设 ， ，所以 ，由 ，所以 ，因为 且 ，所以 ，整理可得 ，又动点 M 的轨迹是 ，所以 ，解得
，所以 ，又 所以 ，因为 ，所以 的最小值为 .

故选： C
【点睛】
本题主要考查圆上动点问题，考查两点间直线最短 .
二、填空题
1、
【分析】
根据正方体内切球的性质，即可得出球的半径，从而可求得球的体积 .
【详解】
解：由题意可知，设球的半径为 ，
球是正方体的内切球，则 ，
因此球的半径为 ，
则该球的体积为： .
故答案为： .
【点睛】
本题考查球的体积，涉及正方体的内切球的性质，属于基础题 .
2、 x - y =0
【分析】
当两圆相交时，将两圆方程相减可得公共弦的方程 .
【详解】
圆 ： ①
圆 ： ②
① ② 得公共弦的方程为： ，即 .
故答案为： .
3、 6 ．
【分析】
如图，过 作 于 ，可证 平面 ，利用体积公式计算即可 .
【详解】
如图，过 作 于 ， ∵ 长方体底面 是正方形， ∴ 中， ， ，又由 ， ， ∴ 平面 ， ∴ ．

考点：棱锥体积的计算．
【点睛】
本题考查四棱锥体积的计算，关键是高的计算，需利用线面垂直来求，本题属于基础题 .
4、 3
【分析】
点 C 的个数即以 AB 为直径的圆与坐标轴的交点的个数 .
【详解】
由题意，点 C 应该为以 AB 为直径的圆与坐标轴的交点．
以 AB 为直径的方程是 (x ＋ 1)(x － 3) ＋ (y － 3)(y － 1) ＝ 0 ，
令 x ＝ 0 ，解得 y ＝ 0 或 4 ；令 y ＝ 0 ，解得 x ＝ 0 或 2 ．
所以该圆与坐标轴的交点有三个： (0,0) ， (0,4) ， (2,0) ．
故答案为 3
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，圆的轨迹，考查数形结合的解题思想方法，是基础题．
三、解答题
1、 2
【分析】
小虫爬行的最短长度，是半个圆柱的侧面展开矩形的对角线 . 通过勾股定理求得这个对角线的长 .
【详解】
解：如图，将圆柱的侧面展开，其中 AB 为底面圆周的一半，
即 AB= ,AD=2
则小虫爬行的最短路线为线段 AC,
在矩形 AC 中， AC=
所以小虫爬行的最短路线长度为 2 .

【点睛】
本小题主要考查圆柱的侧面展开图，考查两点间的距离公式以及分析和思考能力，属于基础题 .
2、 （ 1 ） （ 2 ）
【分析】
（ 1 ）由正弦定理即可算出；
（ 2 ）先算出 ，然后算出 ，然后利用 算出答案即可 .
【详解】
（ 1 ）由正弦定理可得： ，
∴ ，
∴
（ 2 ） ∵ ∴ ， ∴
∴
∴
【点睛】
本题考查的是利用正弦定理解三角形和求三角形的面积，考查了学生的计算能力，属于基础题 .
3、 （ 1 ） （ 2 ） 56
【分析】
（ 1 ）通过等差数列的性质求出公差 , 结合 , 即可求出通项公式 .
（ 2 ）由公差 , 知数列 是递减数列 , 要求和的最大值则根据 , 求出 , 即可求出和的最大值 .
【详解】
解：由题意得
（ 1 ）
（ 2 ）由 知数列 是递减数列
所以令 , 解得 且
的最大值为 :
【点睛】
本题主要考察邓姝列的简单性质以及求等差数列的前 项和 , 是简单题 .
4、 （ 1 ） ；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）依题意知直线 过圆心，进而可得结果；
（ 2 ）依题意知直线 过点 且与直线 垂直，进而可得结果 .
【详解】
（ 1 ）圆 的标准方程为 ，则圆心 .
当直线 过圆心 时被圆截得的弦长最大，所以直线 的斜率 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
（ 2 ）依题意知直线 过点 且与直线 垂直，则直线 的斜率为 ，
所以直线 的方程为 ，即 .

5、 （ 1 ）见解析；（ 2 ）见解析；（ 3 ）
【分析】
（ 1 ）由勾股定理的逆定理证得 后可得线面垂直
（ 2 ）证明 与平面 垂直，可得面面垂直，而要证线面垂直，可证 与 垂直；
（ 3 ）证明 与平面 垂直，可得所求二面角的平面角是 ，计算即得．
【详解】
（ 1 ） ， .
.
同理可证 .
平面 .
（ 2 ）由（ 1 ）知 平面 ， 平面 ， .
∵ 四边形 是正方形， .
又 ， 平面 .
又 平面 ， ∴ 平面 平面 .
（ 3 ）由（ 1 ）知 平面 ， 平面 ， .
又 ， 平面 .
平面 ， .
为二面角 的平面角 .
在 中， .
∴ 二面角 的平面角的大小为 45°.
【点睛】
本题考查证明线面垂直和面面垂直，考查求二面角．在立体几何中，线线垂直、线面垂直、面面垂直是相互依存，相互转化的，线面与面面垂直的判定定理与性质定理是连接它们的钮带．证明时一定要确定定理的条件都满足了，才能下结论．否则证明过程不完整．
6、 （ 1 ）证明见解析；（ 2 ）证明见解析 .
【分析】
（ 1 ）转化为证明 AE ⊥ 平面 B 1 BCC 1 ；
（ 2 ）连结 A 1 B ，设 A 1 B ∩ AB 1 ＝ F ，连结 EF ，只需证明 EF ∥ A 1 C .
【详解】
（ 1 ）在直三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 中， CC 1 ⊥ 平面 ABC .
因为 AE ⊂ 平面 ABC ，所以 CC 1 ⊥ AE .
因为 AB ＝ AC ， E 为 BC 的中点，所以 AE ⊥ BC .
因为 BC ⊂ 平面 B 1 BCC 1 ， CC 1 ⊂ 平面 B 1 BCC 1 ，
且 BC ∩ CC 1 ＝ C ，所以 AE ⊥ 平面 B 1 BCC 1 .
因为 AE ⊂ 平面 AB 1 E ，所以平面 AB 1 E ⊥ 平面 B 1 BCC 1 .
（ 2 ）连结 A 1 B ，设 A 1 B ∩ AB 1 ＝ F ，连结 EF .

在直三棱柱 ABC — A 1 B 1 C 1 中，四边形 AA 1 B 1 B 为平行四边形，
所以 F 为 A 1 B 的中点．
又因为 E 是 BC 的中点，所以 EF ∥ A 1 C .
因为 EF ⊂ 平面 AB 1 E ， A 1 C 平面 AB 1 E ，所以 A 1 C ∥ 平面 AB 1 E .