湖北省2020-2021学年高二上学期期末数学试题含解析.doc

试卷主标题

姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共24题）
1、 已知集合 ， ，则 （ ）
A ． B ． C ． D ．
2、 若复数 满足 （ 是虚数单位），则复数 （ ）
A ． B ． C ． D ．
3、 若函数 在 上可导，且 ，则（ ）
A ． B ．
C ． D ．以上答案都不对
4、 设等比数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ ）
A ． B ． C ． D ．
5、 在三棱锥 A - BCD 中，已知 AB 、 AC 、 AD 两两垂直，且 BCD 是边长为 2 的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为（    ）
A ． 12 π B ． 4 π C ． 6 π D ． π
6、 公元 263 年左右，我国古代数学家刘徽用圆内接正多边形的面积去逼近圆的面积求圆周率 ，他从单位圆内接正六边形算起，令边数一倍一倍地增加，即 12 ， 24 ， 48 ， … ， 192 ， … ，逐个算出正六边形，正十二边形，正二十四边形， … ，正一百九十二边形， … 的面积，这些数值逐步地逼近圆面积，刘徽算到了正一百九十二边形，这时候 的近似值是 3.141024 ，刘徽称这个方法为 “ 割圆术 ” ，并且把 “ 割圆术 ” 的特点概括为 “ 割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣 ”. 刘徽这种想法的可贵之处在于用已知的、可求的来逼近未知的、要求的，用有限来逼近无穷，这种思想极其重要，对后世产生了巨大影响 . 按照上面 “ 割圆术 ” ，用正二十四边形来估算圆周率，则 的近似值是（精确到 ） . （参考数据 ）
A ． 3.14 B ． 3.11 C ． 3.10 D ． 3.05
7、 已知焦点在 轴上的双曲线 ， ， 是双曲线的两个顶点， 是双曲线上的一点，且与点 在双曲线的同一支上， 关于 轴的对称点是 . 若直线 ， 的斜率分别是 ， ，且 ，则双曲线的离心率是（ ）
A ． B ． C ． D ．
8、 已知函数 ，当 时，恒有 成立，则实数 的取值范围（ ）
A ． B ． C ． D ．
9、 已知 是虚数单位， ，且 的共轭复数为 ，则 在复平面内对应的点在
A ． 第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ． 第四象限
10、 已知点 为曲线上的一点， 为曲线的割线，当 时，若 的极限为 ，则在点 处的切线方程为（ ）
A ． B ．
C ． D ．
11、 若 a ， 4 ， 3a 为等差数列的连续三项，则 的值为
A ． 2047 B ． 1062 C ． 1023 D ． 531
12、 设 ， 是两个不同的平面， 是直线且 ． “ ” 是 “ ” 的
A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
13、 已知抛物线 的准线 l 过椭圆 的左焦点，且 l 与椭圆交于 P 、 Q 两点， 是椭圆的右焦点，则 的周长为（ ）
A ． 16 B ． 8 C ． 4 D ． 2
14、 已知数列 满足 ， ， 则数列 的前 10 项和为
A ． 48 B ． 49 C ． 50 D ． 51
15、 如图，已知空间四边形 ，其对角线为 ， 分别是对边 的中点，点 在线段 上， ，现用基向量 表示向量 ，设 ，则 的值分别是（ ）

A ． B ．
C ． D ．
16、 已知点 P 是以 F 1 、 F 2 为左、右焦点的双曲线 左支上一点，且满足 ，则此双曲线的离心率为 （ ）
A ． B ． C ． D ．
17、 已知函数 ，若将函数 的图象向右平移 个单位长度后，所得图象关于 轴对称，则下列结论中正确的是
A ． B ． 是 图象的一个对称中心
C ． D ． 是 图象的一条对称轴
18、 给出下列命题，其中正确的命题有（ ）
A ．函数 的图象过定点
B ．已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，则函数 的解析式为
C ．若 ，则 的取值范围是
D ．等差数列 的前 项和为 ，若 ，公差 ，则 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件
19、 抛物线 E ： x 2 ＝ 4 y 与圆 M ： x 2 + （ y ﹣ 1 ） 2 ＝ 16 交于 A 、 B 两点，圆心 M （ 0 ， 1 ），点 P 为劣弧 上不同于 A 、 B 的一个动点，平行于 y 轴的直线 PN 交抛物线于点 N ，则 的周长的可能取值是（　　）
A ． 8 B ． 8.5 C ． 9 D ． 10
20、 如图，在棱长为 2 的正方体 中， 为 边的中点，下列结论正确的有（ ）

A ． 与 所成角的余弦值为
B ．过三点 、 、 的正方体 的截面面积为
C ．四面体 的内切球的表面积为
D ．正方体 中，点 在底面 （所在的平面）上运动并且使 ，那么点 的轨迹是椭圆
21、 设 ，则下列命题为真命题的是（ ）
A ．若 ，则 B ．若 ，则
C ．若 为纯虚数，则 D ．若 与 都是实数，则
22、 数列 的前 项和为 ，若 ， ，则有（ ）
A ． B ． 为等比数列
C ． D ．
23、 在长方体 中， ， ，以 D 为原点， ， ， 的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A ． 的坐标为 (2 ， 2 ， 3) B ． =(-2 ， 0 ， 3)
C ．平面 的一个法向量为 (-3 ， 3 ， -2) D ．二面角 的余弦值为
24、 下列结论正确的是（ ）
A ．方程 表示的曲线是双曲线的右支；
B ．若动圆 过点 且与直线 相切，则点 的轨迹是抛物线；
C ．两焦点坐标分别为 和 ，且经过点 的椭圆的标准方程为 ；
D ．椭圆 上一点 到右焦点的距离的最大值为 9 ，最小值为 6.
二、填空题（共8题）
1、 把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列 ，则
（ 1 ） _________________ ；（ 2 ）若 ，则 __________________

2、 某校为了解高二学生寒假期间学习情况，抽查了 500 名同学， 0.12 统计他们每天平均学习时间，绘成频率分布直方图（如图） . 则这 500 名同学中学习时间在 6 至 10 小时之间的人数为 _____________.

3、 若直线 被圆 所截得的弦长为 ，则实数 的值为 _____________.
4、 在边长为 1 的正三角形 的边 、 上分别取点 、 两点，沿 折叠后 点可与 上的 点重合，则 长度的最小值为 _____________.
5、 计算： ____________ .
6、 已知 4 ， ， ， 25 成等差数列， 4 ， ， ， 25 成等比数列，则 ______ ．
7、 如图所示，在正方体 中， M 为棱 的中点，则异面线 与 AM 所成角的余弦值为 ________.

8、 已知 ， 是椭圆 的两个焦点，且椭圆上存在一点 ，使得 ，若点 ， 分别是圆 D ： 和椭圆 C 上的动点，则当椭圆 的离心率取得最小值时， 的最大值是 ___________ ．
三、解答题（共12题）
1、 已知向量 ， ，函数 ， .
（ 1 ）当 时，求函数 的最小值和最大值；
（ 2 ）设 的内角 ， ， 的对应边分别为 ， ， ，且 ， ，若 ，求 ， 的值 .
2、 已知等比数列 的公比 ，并且满足 ， ， 成等差数列 .
（ 1 ）求数列 的通项公式；
（ 2 ）设数列 满足 ，记 为数列 的前 项和，求使 成立的正整数 的最小值 .
3、 如图甲， 的直径 ，点 ， 为 上两点，且 ， ， 为 的中点 . 沿直径 折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图乙） .

（ 1 ）求证： 平面 ；
（ 2 ）求二面角 的余弦值 .
4、 荆楚湖北素有 “ 板栗之乡 ” 称号，但板栗的销售受季节的影响，储存时间不能太长．我校数学兴趣小组对近年某食品销售公司的销售量 （吨）和板栗销售单价 （元 / 千克）之间的关系进行了调查，得到如下表数据：
销售单价 （元 / 公斤）
11
10.5
10
9.5
9
8
销售量 （吨）
5
6
8
10
11
14.1
(1) 根据 前 5 组 数据，求出 y 关于 的回归直线方程 ;
(2) 若回归直线方程得到的估计数据与 剩下的检验数据 的差的绝对值不超过 0.5 （即 ），则认为回归直线方程是理想的，试问（ Ⅰ ）中得到的回归直线方程是否理想？
(3) 如果今年板栗销售仍然服从（ Ⅰ ）中的关系，且板栗的进货成本为 2.5 元 / 千克，且货源充足（未售完的部分可按成本全部售出），为了使利润最大，请你帮助该公司就销售单价给出合理建议 . （每千克销售单价不超过 12 元） .
参考公式：回归直线方程 ，其中 ， . 参考数据：
5、 已知椭圆 ， 是椭圆的左焦点， 、 是椭圆的左、右顶点，点 是椭圆上的动点 . 其中 的最小值是 ， 的面积最大值是 .
（ 1 ）求该椭圆 的方程；
（ 2 ）过点 的直线 l 与椭圆 相交于 ， 两点 . 又点 ，记直线 ， 的斜率分别为 ， ，当 最大时，求直线 的方程 .
6、 已知函数 ．
（ 1 ）讨论函数 在定义域内的极值点的个数；
（ 2 ）若函数 在 处取得极值，且对任意 , 恒成立，求实数 的取值范围；
（ 3 ）当 时，求证： ．
7、 已知等差数列 和正项等比数列 满足 ．
（ 1 ）求 的通项公式；
（ 2 ）求数列 的前 n 项和．
8、 如图所示，在四棱锥 中，侧面 底面 ，侧棱 ， ，底面 为直角梯形，其中 ， ， ， 为 的中点．

（ 1 ）求直线 与平面 所成角的余弦值；
（ 2 ）求 点到平面 的距离．
9、 已知 O 为原点，抛物线 的准线与 y 轴的交点为 H ， P 为抛物线 C 上横坐标为 4 的点，已知点 P 到准线的距离为 5.
（ 1 ）求 C 的方程；
（ 2 ）过 C 的焦点 F 作直线 l 与抛物线 C 交于 A ， B 两点，若以 AH 为直径的圆过 B ，求 的值 .
10、 已知等差数列 的前 n 项和为 ， 的通项公式为 ．
（ Ⅰ ）求 的通项公式；
（ Ⅱ ）求数列 的前 n 项和 ．
11、 如图，在四棱锥 中，平面 平面 ABCD ， ， ， ， ， ， ．

（ 1 ）若 ，求直线 DE 与平面 ABE 所成角的正弦值；
（ 2 ）设二面角 的大小为 ，若 ，求 的值．
12、 已知椭圆 ： 的离心率为 ，以椭圆长、短轴四个端点为顶点为四边形的面积为 .

（ Ⅰ ）求椭圆 的方程；
（ Ⅱ ）如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为 、 ，当动点 在定直线 上运动时，直线 分别交椭圆于两点 、 ，求四边形 面积的最大值 .

============参考答案============
一、选择题
1、 D
【分析】
先根据二次根式的被开方数大于等于零和分式不等式的解法求得集合 A ， B ，再利用集合的交集运算可得答案 .
【详解】
因为 或 ，
，
所以 ，
故选： D.
【点睛】
易错点睛：本题考查二次根式有意义的条件和一元二次不等式的解法，以及集合的交集运算，解分式不等式转化为整式不等式时一定要注意分母不为 0 ，即 ，考查学生的运算能力，属于基础题 .
2、 A
【分析】
由 ，得 ，利用复数除法运算法则即可得到结果 .
【详解】
复数 满足 ，
，
故选： A.
3、 C
【分析】
由已知等式两边同时求导，取 ，求出 的值，利用二次函数的对称性和单调性即可解决问题．
【详解】
，
,
,
,
，
图象为开口向上的抛物线，其对称轴方程为： ，
.
故选： C ．
【点睛】
本题考查导数的运算，求出 的值是关键，属于中档题．
4、 D
【分析】
可得 也称等比数列，设 ，表示出 即可求出 .
【详解】
是等比数列， 也称等比数列，
，设 ，
则 ， ，则 ，
.
故选： D.
5、 D
【分析】
三棱锥的侧棱两两垂直，则底面 为等边三角形，所以三棱锥可以补成正方体，且两者的外接球是同一个，求出正方体的外接球半径即可求出外接球的体积 .
【详解】
解：由条件可知，三棱锥为正三棱锥，且可以补成正方体，两者的外接球是同一个，正方体的体对角线就是外接球的直径 .
设 ，则 ， ，即有 ，所以
则三棱锥的外接球的直径为 ，
则 ，所以体积 .
故选： D
6、 B
【分析】
圆内接正二十四边形的中心即为圆心，连接圆心与正二十四边形的各个顶点，构成 24 个全等的等腰三角形，并且等腰三角形的腰长为单位圆的半径 ，顶角为 ，根据圆面积 ，利用三角形面积公式 ，计算正二十四边形的面积 ，求解即可 .
【详解】
由题意可知，单位圆面积 ，正二十四边形的面积 .
则 .
即 .
故选： B
【点睛】
本题考查三角形面积公式，属于较易题 .
7、 B
【分析】
设点 ，则 ，易得 ， ，然后由 ，得到 ，再根据点 在双曲线上，化简得到 求解 .
【详解】
设点 ，则 ，
因为 ， 是双曲线的两个顶点，
所以 ,
AP 斜率为 ， 的斜率 ，
所以 ，即 ，
因为点 在双曲线上，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
则 ，
即 ，
所以
故选： B
8、 A
【分析】
可判断 是奇函数且在 R 上为减函数，不等式可化为 ，可得 在 恒成立，令 ，利用导数可得 ，即可求出 .
【详解】
由 解析式可得 是奇函数，
， 在 R 上为减函数，
由 得
，
，即 在 恒成立，
令 ，则 ，
设 ，
则 ， 在 单调递减，
，
，即 .
故选： A.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和单调性解不等式，考查函数不等式的恒成立问题，解题的关键是判断 是奇函数且在 R 上为减函数，得出 在 恒成立 .
9、 A
【详解】
故 在复平面内对应的点在第一象限
10、 B
【分析】
根据导数的定义，可求得在点 P 处切线的斜率，代入公式，即可求得答案 .
【详解】
根据导数的定义可得 ，即在点 P 处切线的斜率为 -2 ，
所以在点 处的切线方程为 ，整理可得 .
故选： B
11、 C
【详解】
∵ a ， 4 ， 3a 为等差数列的连续三项
∴a+3a=4a=2×4 ，
解得 a=2 ，
故 =2 0 +2 1 +2 2 +…+2 9 = ．选 C ．
12、 B
【详解】
试题分析： ， 得不到 ，因为 可能相交，只要 和 的交线平行即可得到 ； ， ， ∴ 和 没有公共点， ∴ ，即 能得到 ； ∴“ ” 是 “ ” 的必要不充分条件．故选 B ．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 .
【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题； 并得不到 ，根据面面平行的判定定理，只有 内的两相交直线都平行于 ，而 ，并且 ，显然能得到 ，这样即可找出正确选项 .
13、 B
【分析】
由抛物线准线过椭圆左焦点可得 , 求解 , 则可得到椭圆的标准方程 , 再根据 的周长为 计算即可
【详解】
因为抛物线的准线为 , 椭圆的左焦点为 , 所以 , 即 , 则椭圆方程为 , 即 ,
所以 的周长为 ,
故选： B
【点睛】
本题考查抛物线与椭圆的几何性质的应用 , 考查椭圆定义的应用
14、 D
【分析】
依次求出数列 的前 项，再求其前 项和 .
【详解】
依题意 ， ， ，
所以 ，
，
所以前 项和为 .
故选： D
【点睛】
本小题主要考查和根据递推关系求数列的项，属于基础题 .
15、 D
【分析】
根据向量的加减法运算和数乘运算原则可表示出 ，进而得到结果 .
【详解】

， ，
故选：
【点睛】
本题考查用基底表示向量，关键是能够熟练掌握向量的加减法运算和数乘运算原则 .
16、 D
【详解】
因为点 是以 为左右焦点的双曲线 左支上一点，所以 ．因为 ，所以 ．在 中， ，所以有 ．因为 ，所以 ，即 ，所以 ，故选 D
17、 ABD
【分析】
根据题意，先得到 向右平移 的解析式为 ，再得到 ，可得 ，可得 的解析式，根据正弦函数的性质可知 A,B,D 正确 .
【详解】
由题意， 向右平移 ，
得
的图象关于 轴对称，所以 ，
，又

即

则 是 图象的一个对称中心， 是 图象的一条对称轴
而 ，则 C 错， A,B,D 正确
故选： ABD
【点睛】
本题考查利用三角函数平移变换求参数，考查正弦函数的性质，属于基础题 .
18、 BCD
【分析】
多项选择题需要对选项一一验证 :
对于 A: 利用 图像过定点 (1,0), 平移得到 , 分析可得 ;
对于 B: 利用偶函数定义 , 求出 时 , 的解析式 , 合并在一起即可 ;
对于 C: 分类讨论 , 解不等式即可 ;
对于 D: 分别从充分性和必要性两个方面分析即可
【详解】
对于 A: 因为 恒过（ 1 ， 0 ），所以 恒过（ 1 ， 0 ），平移得到 恒过（ 1 ， -1 ），所以 A 错误；
对于 B: 因为函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，当 ，即 ，所以 B 正确；
对于 C: 当 a >1 时 , 无解 ; 当 0< a <1 时 , 解得 ，所以 C 正确；
对于 D: 等差数列 的前 项和为 ，若 ，公差 ，因为 , 所以 , 而 , , 充分性满足 ;
必要性 : 取 符合 但不能推出 , 必要性不满足 ; 所以 “ ” 是 “ ” 的充分不必要条件 , 所以 D 正确；
故选 : BCD
【点睛】
多项选择题是 2020 年高考新题型，需要要对选项一一验证．
19、 BC
【分析】
过 P 作准线的垂线，垂足为 H ，根据抛物线的定义，可得 MN ＝ NH ， 的周长 l ＝ NH + NP + MP ＝ PH +4 ，只需求得 PH 的取值范围即可得到结论．
【详解】
如图所示，由 ，可得焦点坐标为 ，准线方程为 ，
又由 ，可圆心坐标为 ，半径为 ，
过 P 作准线的垂线，垂足为 H ，根据抛物线的定义，可得 MN ＝ NH
故 △ PMN 的周长 l ＝ NH + NP + MP ＝ PH +4 ，联立 和 ，
解得 ，所以 PH 的取值范围为（ 4 ， 6 ）
所以 的周长 PH +4 的取值范围为（ 8 ， 10 ），所以 B ， C ，满足条件．
故选： BC ．

【点睛】
本题考查直线和圆锥曲线的位置的应用，利用抛物线的定义和性质进行转化是解决本题的关键，意在考查学生分析解决问题的能力、转化思想，属于中档题．
20、 AB
【分析】
构建空间直角坐标系，由异面直线方向向量的夹角 为 与 所成角的余弦值判断 A 的正误；同样设 结合向量夹角的坐标表示，且由等角的余弦值相等可得 ，进而判断 P 的轨迹知 D 的正误；由立方体的截面为梯形，分别求 ，进而得到梯形的高即可求面积，判断 B 的正误；由四面体的体积与内切球半径及侧面面积的关系求内切球半径 r ，进而求内切球表面积，判断 C 的正误 .
【详解】
A ：构建如下图所示的空间直角坐标系：

则有： ，
∴ ，
，故正确 .
B ：若 N 为 的中点，连接 MN ，则有 ，如下图示，

∴ 梯形 AMND’ 为过三点 、 、 的正方体 的截面，
而 ，可得梯形的高为 ，
∴ 梯形的面积为 ，故正确 .
C ：如下图知：四面体 的体积为正方体体积减去四个直棱锥的体积，

∴ ，而四面体的棱长都为 ，有表面积为 ，
∴ 若其内切圆半径为 ，则有 ，即 ，所以内切球的表面积为 . 故错误 .
D ：正方体 中，点 在底面 （所在的平面）上运动且 ，即 的轨迹为面 截以 AM 、 AP 为母线， AC’ 为轴的圆锥体侧面所得曲线，如下图曲线 ，

构建如下空间直角坐标系， ，若 ，则 ，

∴ ，
，即 ，整理得 ，即轨迹为双曲线的一支，故错误 .
故选： AB
【点睛】
关键点点睛：应用向量的坐标表示求异面直线的夹角，并结合等角的余弦值相等及向量数量积的坐标表示求动点的轨迹，综合立方体的性质求截面面积，分割几何体应用等体积法求内切球半径，进而求内切球的表面积 .
21、 BD
【分析】
根据复数的运算、复数为纯虚数和实数的条件、共轭复数的定义及复数模的运算公式逐一判断即可得出答案 .
【详解】
解：对于选项 A ：因为 ，所以 ，
所以 ，所以 . 故 A 选项错 .
对于选项 B ：当 时， ，所以 ，所以 . 故 B 选项正确 .
对于选项 C ：因为 ，所以 .
因为 为纯虚数，所以 且 ，解得： 或 . 故 C 选项错误 .
对于选项 D ：因为 为实数，所以 ，所以 .
因为 为实数，
所以 ，又因为 ，所以 .
所以 ，所以 . 故 D 选项正确 .
故选： BD.
【点睛】
本题考查了复数的运算，共轭复数，复数为纯虚数的和实数的条件以及复数模的公式，考查学生的计算能力，属于基础题 .
22、 ABD
【分析】
根据 的关系，求得 ，结合等比数列的定义，以及已知条件，即可对每个选项进行逐一分析，即可判断选择 .
【详解】
由题意，数列 的前 项和满足 ，
当 时， ，
两式相减，可得 ，
可得 ，即 ，
又由 ，当 时， ，所以 ，
所以数列的通项公式为 ；
当 时， ，
又由 时， ，适合上式，
所以数列的 的前 项和为 ；
又由 ，所以数列 为公比为 3 的等比数列，
综上可得选项 是正确的 .
故选： ABD.
【点睛】
本题考查利用 关系求数列的通项公式，以及等比数列的证明和判断，属综合基础题 .
23、 ABD
【分析】
根据空间直角坐标系得出各点坐标，根据空间向量在立体几何中的应用逐一判断即可 .
【详解】
因为 ， ，
所以 ， ， ， ，所以 ，
,
即 A ， B 正确；
设平面 的法向量 ，
所以 ，即 ，令 ，则 ， ，
即平面 的一个法向量为 ，故 C 错误；
由几何体易得面 的一个法向量为 ，
由于 ，
结合图形可知二面角 的余弦值为 ，故 D 正确；
故选： ABD.

【点睛】
本题主要考查了空间向量在立体几何中的应用之法向量的求法以及在面面角中的应用，属于基础题 .
24、 AB
【分析】
方程化简得 ，它表示的曲线是双曲线的右支，所以该选项正确；
由题得满足抛物线的定义，所以点 的轨迹是抛物线，所以该选项正确；
由题得椭圆的标准方程为 ，所以该选项错误；
点 到右焦点的距离的最大值为 ，最小值为 , 所以该选项错误 .
【详解】
方程 化简得 ，它表示的曲线是双曲线的右支，所以该选项正确；
由题得点 不在直线 上，点 到定点 和定直线 的距离相等，满足抛物线的定义，所以点 的轨迹是抛物线，所以该选项正确；
由题得椭圆的 ，所以 ，所以椭圆的标准方程为 ，所以该选项错误；
椭圆 上一点 到右焦点的距离的最大值为 ，最小值为 , 所以该选项错误 .
故选： AB
【点睛】
本题主要考查圆锥曲线的方程的求法，考查圆锥曲线的几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平 .
二、填空题
1、 62    1033
【分析】
（ 1 ）可先判断出 位于第 8 行的第 7 个数，求出第 8 行的第一个数即可根据等差数列的特点求出；
（ 2 ）可判断出 在第 45 行，求出其在第 45 行的第 43 个数，即可求出 .
【详解】
（ 1 ）由于 ，所以 位于第 8 行的第 7 个数，
因为第 8 行的第一个数是 26+11+13=50 ，
第 8 行是一个首项为 50 ，公差为 2 的等差数列，故 ；
（ 2 ） ，
，
故 在第 45 行，第 45 行第 1 个数是 1937 ， ，即 在第 45 行的第 43 个数，
因此 .
故答案为： 62 ； 1033.
【点睛】
本题考查数列的应用，解题的关键是先判断出所求数字所处的位置，即可求解 .
2、 290
【分析】
由直方图中频率之和为 1 求 ，再由这 500 名同学中学习时间在 6 至 10 小时之间的人数为 求值即可 .
【详解】
由直方图知： ，所以 ，
∴ 这 500 名同学中学习时间在 6 至 10 小时之间的人数为 名 .
故答案为： 290.
3、 1 或 5
【分析】
先求出圆心到直线的距离，根据弦长关系即可求出 .
【详解】
圆心到直线的距离为 ，
则弦长为 ，解得 或 5.
故答案为： 1 或 5.
4、
【分析】
设 ， ，在三角形 BDP 中，由正弦定理可得 ，即可得出最值 .
【详解】
设 ， ， ，则 ， ，
在三角形 BDP 中，由正弦定理可得 ，即 ，
当 时，即 DF 垂直 BC 时， 最小，最小值为 .
故答案为： .
5、 16 i
【详解】
由题意可得：

6、 129
【分析】
由等差性质 ，由等比数列定义可知 ，即可得出结果 .
【详解】
解： 4 ， a ， b ， 25 成等差数列，则 ；
4 ， ， ， 25 成等比数列，则 ，
从而 ．
故答案为： 129.
【点睛】
本题考查等差数列性质和等比数列的性，属于基础题 .
7、
【分析】
建立空间直角坐标系，以 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向，不妨设正方体的棱长为 1 ，则异面线 与 AM 所成角的余弦值，转化为求向量 的夹角的余弦值，利用向量夹角公式即得 .
【详解】
分别以 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴的正方向建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为 1 ，则 ，可得 ，则 ，即异面直线 与 AM 所成角的余弦值为 .
故答案为：

【点睛】
本题考查利用空间向量求异面直线的夹角，运用了向量夹角公式 .
8、
【分析】
根据题中条件，得到 的最大值不小于 即可，由余弦定理，结合基本不等式，得到点 为短轴的顶点时， 最大；不妨设点 为短轴的上顶点，记 ，得出离心率的最小值，连接 ，得到 ，根据椭圆的定义，结合三角形的性质，求出 的最大值，即可得出结果 .
【详解】
若想满足椭圆上存在一点 ，使得 ，只需 的最大值不小于 即可，
由余弦定理，可得

，当且仅当 ，
即点 为短轴的顶点时， 的余弦值最小，即 最大；
如图，不妨设点 为短轴的上顶点，记 ，则 ，

于是离心率 ，
因此当椭圆 的离心率取得最小值 时， ，则椭圆 ；
连接 ，根据圆的性质可得 : ，
所以只需研究 的最大值即可；
连接 ， ， ，
当且仅当 ， ， 三点共线（ 点在线段 的延长线上）时，不等式取得等号，
所以 的最大值为 ，
因此 的最大值是 .
故答案为： .
【点睛】
关键点点睛：
求解本题的关键在于根据题中条件，得到椭圆离心率，求出椭圆方程，再由椭圆的定义，以及圆的性质，将动点到两点距离的最值问题，转化为椭圆上一动点到焦点，以及到定点的距离的最值问题，即可求解 .
三、解答题
1、 （ 1 ） 的最小值是 ，最大值是 ；（ 2 ） ．
【分析】
由已知可得 ，（ 1 ）由 知 ，即可求 的值域，进而得到最值；（ 2 ）由条件知 ，结合三角形内角性质求角 ，结合正余弦定理有 即可求 ， 的值 .
【详解】
由题意知： .
（ 1 ） ∵ ，
∴ ，
∴ ，即
∴ 的最小值是 ，最大值是 ．
（ 2 ） ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，解得 ．
∵ ，由正弦定理得， ①
由余弦定理得， ，即 ②
∴ 由 ①② ，解得 ．
【点睛】
关键点点睛：由向量数量积的坐标表示，并结合三角恒等变换、辅助角公式化简函数式，进而结合正弦函数的定义域求值域，确定最值；正余弦定理、三角形内角的性质求三角形的边长 .
2、 （ 1 ） ；（ 2 ）所求的正整数 的最小值为 .
【分析】
（ 1 ）由公比 ，并且满足 ， ， 成等差数列直接用基本量代换求数列 的通项公式；
（ 2 ）先求出 ，用分组求和法求出 ，解不等式即可 .
【详解】
（ 1 ）因为数列 是公比为 的等比数列， .
又由 成等差数列， ∴ ，
所以 ，解得 ，
从而数列 的通项公式为 .
（ 2 ）
∴ ，
∴ ， 又 是递增的，
当 时， 当 时，
所以所求的正整数 的最小值为 .
【点睛】
(1) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；
(2) 分组求和法进行数列求和适用于 , 分组后对 和 分别求和 .
3、 （ 1 ）证明见解析；（ 2 ） .
【分析】
解法一： (1) 利用线面平行的判定定理证明；
(2) 二面角问题，可以根据定义，利用面面垂直的性质定理和线面垂直的判定定理找到二面角的平面角，然后求得 .
解法二：建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量证明（ 1 ）线面平行和求（ 2 ）中的二面角问题 .
【详解】
（ 1 ）如图，连接 CO ，
∵ ， ∴ ，
又 为 的中点， ∴ ，
∴ ．
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
（ 2 ）过 O 作 OE ⊥ AD 与 E ，连 CE ．

∵ ，平面 ABC ⊥ 平面 ABD ．
∴ 平面 ABD ．
又 ∵ 平面 ABD ， ∴ ，
∴ 平面 CEO ， ，
则 是二面角 的平面角．
∵ ， ， ∴ ．
由 平面 ABD ， 平面 ABD ，得 为直角三角形，
∵ ， ∴ ． ∴ .
解法二：证明：（ 1 ） ∵ ，平面 ABC ⊥ 平面 ABD ， ∴ 平面 ABD ．
如图，以 AB 所在的直线为 y 轴，以 OC 所在的直线为 z 轴，以 O 为原点，作空间直角坐标系 ，则 ， .
，
∵ 点 为 的中点， ∴ 点 的坐标为 ， ．
∴ ，即 ．
∵ 平面 ACD ， 平面 ACD ，
∴ 平面 ACD ．

（ 2 ） ∵ ， ∴ 点 的坐标 ， ．
设二面角 的大小为 ， 为平面 ACD 的一个法向量．
由 有 即
取 ，解得 ， ．
∴ .
取平面 的一个法向量 ，
∴ ．
【点睛】
本题考查线面平行的证明，二面角问题，属中档题，证明线面平行时，要严格按照线面平行判定定理的条件说明，求二面角问题时，若使用几何方法，需要注意综合使用面面垂直，线面垂直的判定与性质定理进行证明和作图；
利用空间向量方法时要首先利用面面垂直、线面垂直的有关定理证明相关线段互相垂直，然后才能建立空间直角坐标系，证明线面平行时，也要注意说明直线不在平面内的条件，求二面角问题时要注意准确运算 .
4、 （ 1 ） （ 2 ）理想（ 3 ） 7.5 元 / 千克
【分析】
（ 1 ）根据表中的数据求出 等数据，从而求出 ， 值，进而得出回归方程；
（ 2 ）根据（ 1 ）的方程可得 y 与 x 之间的相关关系，将 代入回归方程，即可判断（ 1 ）中得到的回归直线方程是否理想；
（ 3 ）写出销售利润 W( 千元 ) ，利用二次函数的单调性或者基本不等式即可求出最大值 .
【详解】
（ 1 ）因为 ,
所以 所以 ，
所以 关于 x 的回归直线方程为： .
（ 2 ）当 时， ，则 ，
所以可以认为回归直线方程是理想的 .
（ 3 ）设销售利润为 W( 千元 ) ，则 ，
因为 所以
当且仅当 ，即 时， W 取得最大值 .
所以可建议该公司将销售价格定位 7.5 元 / 千克 .
【点睛】
本题考查了线性回归方程、数据分析等问题，解决问题的关键是正确运用题中所给出的数据 .
5、 （ 1 ） ；（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）由题可得 ， ，求出 即可得出椭圆方程；
（ 2 ）可得直线 的斜率为 0 时， ，斜率不为 0 时，设方程为 ，代入椭圆，可得 ，求出最大值即可 .
【详解】
（ 1 ） ，
，
∴ ， ∴ ，解得 ， ，
所以椭圆 的方程为 .
（ 2 ） ① 当直线 的斜率为 0 时，则 ；
② 当直线 的斜率不为 0 时，设 ， ，直线 的方程为 ，
将 代入 ，整理得 ．
则 ， ．
又 ， ，
所以，
，
令 ，则 ，
当且仅当 ，即 时，取等号，
由 ①② 可得，所求直线的方程为 .
【点睛】
思路点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：
（ 1 ）得出直线方程，设交点为 ， ；
（ 2 ）联立直线与曲线方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程；
（ 3 ）写出韦达定理；
（ 4 ）将所求问题或题中关系转化为 形式；
（ 5 ）代入韦达定理求解 .
6、 (1) 答案见解析； (2) ； (3) 证明见解析 .
【分析】
（ 1 ）由题意可得 ，分类讨论有：当 时，函数没有极值点，
当 时，函数有一个极值点．
（ 2 ）由题意可得 ，原问题等价于 恒成立，讨论函数 的性质可得实数 的取值范围是 ；
（ 3 ）原问题等价于 ，继而证明函数 在区间 内单调递增即可 .
【详解】
（ 1 ）函数定义域为 ，
，
当 时， 在 上恒成立，
函数 在 单调递减， ∴ 在 上没有极值点；
当 时， 得 ， 得 ，
∴ 在 上递减，在 上递增，即 在 处有极小值．