经济数学微积分十二五规划教材微积分基本公式习题.doc

1．设函数，求，。
【解】由题设得，
于是得 ，。
2．计算下列各导数：
⑴；
【解】由于是的复合函数，中间变量是，得
。
⑵；
【解】由于的变量在下限，应将它变形为变量在上限的定积分才可套用微积分基本定理
。
⑶；
【解】由于为上下限均带变量的定积分，应运用可加性将它分拆为两个变量在上限的定积分才可套用微积分基本定理

。
⑷。
【解】

。
3．设函数由方程所拟定，求。
【解法一】方程中完毕积分即为 ，
亦即为 ，得知，
解出，得，
于是得。
【解法二】在方程两边对求导，注意到，得

即得 ，
亦即，解出，得，
方程中完毕积分即为 ，
亦即为 ，得知，
再将代入中，
得。
4．设，，求。
【解】问题是由参数方程求导
【解法一】。
【解法二】。

5．求下列极限：
⑴；
【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得
。
⑵；
【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得
---- 应用洛必达法则
---- 再次应用洛必达法则
。
⑶；
【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得
---- 应用洛必达法则
---- 完毕求导
---- 整理
。
⑷。
【解】这是“”未定型极限，应用洛必达法则，得
---- 应用洛必达法则
---- 完毕求导
---- 分子分母同消去
---- 再次应用洛必达法则
---- 分子分母同消去
。
6．当为什么值时，函数有极值。
【解】由给定的函数可见，其定义域为，
由于，可得有唯一驻点，无不可导点，
显见，当时，，当时，，
可知，函数在点处取得极小值。
7．计算下列定积分：
⑴；
【解】。
⑵；
【解】
。
⑶；
【解】。
⑷；
【解】

。
⑸；
【解】

。
⑹；
【解】。
⑺；
【解】。
⑻；
【解】。
⑼；
【解】
。
⑽；
【解】

。
⑾；
【解】

。
⑿，其中。
【解】
。
8．设，求在上的表达式，并讨论在内的连续性。
【解】当时，；
当时，；
当时，；
当时，
，
当时，
，
于是，，
由于初等函数在内连续，初等函数在内连续，故要讨论在内的连续性，仅须讨论在处的连续性，
由于，，
且，
可知在处连续，
从而，在内连续。
9．设，求在内的表达式。
【解】当时，，
当时，，
当时，
，
于是得。
10．设，求。
【解】对等号两端在区间上积分，注意为常数，
得

即有 ，
移项，整理即得 。
11．已知，求。
【解】问题在于求出和，可应用上题的方法，
对等号两端在区间上积分，注意和均为常数，
得

即有 ，
移项、整理得 ，将其代入题目已知式，得
，
，
再对上式的等号两端在区间上积分，得

即有
移项、整理得 ，
最后得 。

12．设（），求。
【解】由题设，得，且
于是又得 ，
从而有
，
这时有 ，
代入，得 ，即，
得到 。
13．设连续，若满足，求。
【解】设，则，，
于是，，
再由题设，得，
即得，
两边求导得 ，
即有 ，
从而 ，
？？？？
14．设函数在区间上连续，在内可导且，
，
证明：在内有。
【证明】任取，则由题设有，函数在区间上连续，在内可导且，
那么对于函数，
有
，
令，则由已知在内可导且，
得恒成立，
可知，在上单调递减，
由于，
得知在上成立，
从而在上成立。
再因的任意性，知在内有。证毕。