吉林省2021-2022学年高二上学期第二次月考数学试题含解析.doc

试卷主标题

姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共12题）
1、 已知直线 l 的方程为 ，则直线的倾斜角为（ ）
A ． B ． 60° C ． 150° D ． 120°
2、 已知向量 ， ．若向量 与向量 平行，则实数 m 的值是（ ）
A ． 2 B ． -2 C ． 10 D ． -10
3、 抛物线 的一条焦点弦为 AB ，若 ，则 AB 的中点到直线 的距离是
A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 7
4、 双曲线 的渐近线方程是（ ）
A ． B ．
C ． D ．
5、 已知中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线 C 与椭圆 有相同的焦距，且一条渐近线方程为 x ﹣ 2 y ＝ 0 ，则双曲线 C 的方程可能为（ ） .
A ． B ． C ． D ．
6、 已知圆 ： 与中心在原点、焦点在坐标轴上的双曲线 的一条渐近线相切，则双曲线 的离心率为（ ）
A ． 或 4 B ． 或 2 C ． D ． 2
7、 已知椭圆 的离心率为 ，直线 与椭圆 交于 两点且线段 的中点为 ，则直线 的斜率为（ ）
A ． B ． C ． D ．
8、 已知圆 截直线 所得线段的长度是 ，则圆 与圆 的位置关系是
A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．相离
9、 已知命题 p ：方程 表示焦点在 轴上的椭圆，则使命题 成立的充分不必要条件是（ ）
A ． B ． C ． D ．
10、 关于空间向量，以下说法不正确的是（ ） .
A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
B ．若对空间中任意一点 ，有 ，则 、 、 、 四点共面
C ．已知 是空间的一组基底，若 ，则 也是空间的一组基底
D ．若 ，则 是锐角
11、 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，椭圆 的上顶点为 ，且 , 曲线 和椭圆 有相同焦点，且双曲线 的离心率为 ， 为曲线 与 的一个公共点，若 ，则（ ） .
A ． B ． C ． D ．
12、 设 是双曲线 的两个焦点， 是双曲线上任意一点，过 作 平分线的垂线，垂足为 ，则点 到直线 的距离的最大值是（ ） .
A ． 4 B ． 5 C ． 6 D ． 3
二、填空题（共4题）
1、 抛物线 过点 ，则点 P 到抛物线准线的距离为 ___________ ．
2、 双曲线 的离心率为 ，则其渐近线的斜率是 __________ ．
3、 过圆 内的点 作一条直线 ，使它被该圆截得的线段最短，则直线 的方程是 ______ ．
4、 已知椭圆的对称轴是坐标轴， O 为坐标原点， F 是一个焦点， A 是一个顶点，椭圆的长轴长为 6 ，且 cos∠ OFA ＝ ，则椭圆的标准方程是 ________.
三、解答题（共6题）
1、 已知椭圆 C 的一个焦点 ，且短轴长为 .
（ 1 ）求椭圆 C 的方程；
（ 2 ）若点 P 在 C 上，且 ，求 的面积 .
2、 如图，在棱长为 的正方体 中，点 是 的中点 .

（ 1 ）求证： 平面 ；
（ 2 ）求直线 到平面 的距离 .
3、 己知过点 的抛物线方程为 ，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于 ， 两点，且 .
（ 1 ）求抛物线的方程、焦点坐标、准线方程；
（ 2 ）求 所在的直线方程 .
4、 已知动圆过定点 ，且在 轴上截得的弦长为 ，动圆圆心的轨迹方程为 ，过点 的直线与轨迹 只有一个公共点，求此直线方程 .
5、 已知抛物线 与直线 相交于 A 、 B 两点， O 为坐标原点 .
（ 1 ）求证： ；
（ 2 ）当 时，求 的值 .
6、 已知点 A ( － 1,0) ，点 P 是 ⊙ B ： ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 16 上的动点．线段 AP 的垂直平分线与 BP 交于点 Q ．
（ 1 ）设点 Q 的轨迹为曲线 C ，求 C 的方程．
（ 2 ）过 x 轴上一动点 R 作两条关于 x 轴对称的直线 与 ，设 M ， N 分别是 ， 与曲线 C 的交点且 M ， N 不关于 x 轴对称， MN 与 x 轴交于点 S ， 是否为定值？若是定值，请求出定值，若不是定值，请说明理由．

============参考答案============
一、选择题
1、 C
【分析】
由直线方程得斜率，从而可得倾斜角．
【详解】
由题意直线的斜率为 ，而倾斜角大于等于 且小于 ，
故倾斜角为 ．
故选： C ．
2、 A
【分析】
利用向量共线定理即可得到 ，再进行向量坐标化，由向量相等得到参数值 .
【详解】
向量 ， ， ， 向量 与向量 ， ， 平行，
存在实数 使得 ，坐标化得到：
，解得 ．
故选： A ．
3、 B
【分析】
设出 两点的坐标，根据抛物线方程求得 的值，利用抛物线的定义，求得 中点到直线 的距离 .
【详解】
设 ，抛物线方程为 ，故 . 根据抛物线的定义有 ，所以 中点的横坐标为 ，故 中点到直线 的距离为 ，故选 B.
【点睛】
本小题主要考查抛物线的定义，考查抛物线的焦点弦有关问题，属于基础题 .
4、 C
【分析】
根据双曲线的标准方程，即可直接求出其渐近线方程 .
【详解】
∵ 双曲线的标准方程为 ，
∴ 双曲线的焦点在 轴， ， ，且双曲线的渐近线方程为 ，即 .
故选： C.
5、 A
【分析】
根据题意求出双曲线的焦距，再结合渐近线方程，讨论焦点在 x 轴和 y 轴上两种情况，进而建立 a , b 的方程组，然后验证选项即可求得答案 .
【详解】
根据椭圆方程 得到双曲线的焦距为 ，则 ，而双曲线的其中一条渐近线方程为： .
若双曲线的焦点在 x 轴上，则 ，答案 A,B 中双曲线的焦点在 x 轴上，容易验证 A 正确， B 错误；
若双曲线的焦点在 y 轴上，则 ，答案 C,D 中双曲线的焦点在 y 轴上，容易验证都错误 .
故选： A.
6、 B
【分析】
分双曲线的焦点在 x 轴上和 y 轴上，由圆心到渐近线的距离等于半径求解 .
【详解】
圆 ： 的圆心为 ，半径为 1 ，
当双曲线的焦点在 x 轴上时，其渐近线方程为 ，
由题意得 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
当双曲线的焦点在 y 轴上时， ，
则 ，
故选： B
7、 A
【分析】
可以从离心率条件求出 ，利用点差法推导出中点弦定理，即 ，从而求出直线 的斜率
【详解】
，从而 ，设 ， ，因为点 在椭圆上，则 ，两式相减，得： ，即 ，所以 ，设原点为 ，则 ， ，则 ，因为 ，求得：
故选： A
8、 B
【详解】
化简圆 到直线 的距离 ，
又 两圆相交 . 选 B
9、 B
【分析】
若 表示焦点在 轴上的椭圆，可得 即可得 的范围，再选取该范围的一个真子集即可求解 .
【详解】
若方程 表示焦点在 轴上的椭圆，
则 ，解得： ．
所以 成立的充要条件是： ．
结合四个选项可知： 成立的充分不必要条件是 ，
故选： B.
10、 D
【分析】
对 A ，根据空间向量共面定理即可判断；
对 B ，根据 即可判断；
对 C ，根据题意可知 不共面，进而判断答案；
对 D ，由 可得夹角的范围，进而判断答案 .
【详解】
对 A ，根据空间向量共面定理可知：空间中三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 .A 正确；
对 B ，因为 ，且 ，所以 、 、 、 四点共面 .B 正确；
对 C ，因为 是空间的一组基底，所以 不共面，则 也不共面，而 ，则 也是空间的一组基底 .C 正确；
对 D ，若 ，则 .D 错误 .
故选： D.
11、 B
【分析】
根据 . 可得 ，可得 ，设 ， . 可得 ，根据余弦定理化简，利用离心率计算公式即可得出 .
【详解】
解：如图所示，设双曲线的标准方程为： ，半焦距为 .

∵ 椭圆 的上顶点为 ，且 .
∴ ，
∴ ， ∴ .
∴ .
不妨设点 在第一象限，设 ， .
∴ ， .
∴ .
在 中，由余弦定理可得：
∴ .
两边同除以 ，得 ，解得： .
∴ , .
故选： B
12、 A
【分析】
根据双曲线的对称性，不妨设点 P 在双曲线的右支上，延长 交 于 N ，进而得到 ，结合双曲线的定义可知 ，设 ，根据题意得到点 N 的坐标，于是得到点 M 的轨迹方程，最后求得答案 .
【详解】
双曲线的方程为： ，可得 ，则 ，设 ，不妨设点 P 在双曲线的右支上，延长 交 于 N ，则 .

由题意， ，由双曲线的定义： ，则 ，于是， ，即点 M 在以原点为圆心， 2 为半径的圆上，而圆心（ 0,0 ）到直线 的距离为： ，该直线与圆相切，则点 M 到该直线的距离的最大值为： 2+2=4.
故选： A.
二、填空题
1、 5
【分析】
根据点 为抛物线 上一点可求出 的值，即可知抛物线的准线方程，从而求出所求．
【详解】
解： 点 为抛物线 上一点，
，解得 ，
抛物线方程为
准线方程为 ，
点 到抛物线的准线的距离为 ．
故答案为： 5 ．
2、
【分析】
由 ，结合 ，可得 ，即得解
【详解】
∵ ，又
∴ ， ，即
．
故答案为：
3、
【分析】
由已知得圆 的圆心为 ，所以当直线 时，被该圆截得的线段最短，可求得直线的方程 .
【详解】
解：由 得 ，所以圆 的圆心为 ，
所以当直线 时，被该圆截得的线段最短，所以 ，解得 ，
所以直线 l 的方程为 ，即 ，
故答案为： .
4、 或 .
【分析】
确定 A 是短轴的端点，根据三角函数得到 c ＝ 2 ，考虑椭圆焦点在 轴的两种情况，得到答案 .
【详解】
因为椭圆的长轴长是 6 ， ，所以点 A 不是长轴的端点 ( 是短轴的端点 ).
所以 | OF | ＝ c ， | AF | ＝ a ＝ 3 ，所以 ，所以 c ＝ 2 ， b 2 ＝ 3 2 － 2 2 ＝ 5 ，
所以椭圆的方程是 或 .
故答案为： 或 .
【点睛】
本题考查了求椭圆的标准方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于基础题型 .
三、解答题
1、
（ 1 ）
（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）由题意求出 b ， c ，进而求出 a ，最后得到答案；
（ 2 ）根据题意 轴，进而求出点 P 的坐标，即求得 的高 ，然后求出面积 .
（ 1 ）
由题意， ，则椭圆 C 的方程为： .
（ 2 ）
由已知， ， 轴，将 代入椭圆 C 的方程解得： ，于是， ，即 的面积为 .
2、
（ 1 ）证明见解析；
（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）连结 交 于点 ，进而证明 ，然后根据线面平行的判定定理证明问题；
（ 2 ）由（ 1 ）可知，问题可转化为求点 到平面 的距离，进而通过空间向量的方法求出点面距离 .
（ 1 ）
连结 交 于点 ，连结 ，因为四边形 为正方形，所以 是 中点，又因为 是 的中点，所以 .
又因为 平面 平面 ，所以 平面 .
（ 2 ）
由题意，以 为坐标原点，以 的方向分别为 轴、 轴、 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系 .
则 ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ，因为 平面 ，所以直线 到平面 的距离即为点 到平面 的距离，所以 ，即 到平面 的距离为 .
3、 (1) 抛物线的方程为 ，焦点 ，准线方程为 ； (2) 或 .
【分析】
(1) 根据给定条件求出 p 值即可求解；
(2) 设出直线 AB 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并借助弦长公式求解即得 .
【详解】
(1) 因点 在抛物线方程 上，则 ，
所以抛物线的方程为 ，焦点 ，准线方程为： ；
(2) 显然，直线 不垂直 y 轴，设直线 方程为： ，
由 消去 x 得： ，设 ，则有 ，
于是得 ，解得 ，即直线 AB ： ，
所以 所在的直线方程： 或 .
4、 或 或 ；
【分析】
设圆心 ，过点 作 轴，垂足为 ，利用垂径定理可得 ，又 ，利用两点间的距离公式即可得出动圆圆心的轨迹方程，依题意 显然满足条件，再设直线方程为 ，联立直线与抛物线方程，消元，根据 得到方程，求出参数 的值，即可求出直线方程；
【详解】
解：如图设圆心 ， ，圆 与 轴交于 、 两点，过点 作 轴，垂足为 ，则 ，
，
，化为 ；
即动圆圆心的轨迹 的方程为 ，
显然 过点 且与抛物线 只有一个交点，满足条件；
设过点 的直线方程为 ，联立方程得 ，消去 得 ，所以 ，解得 ，所以直线方程为 或 ，即 或 ，
综上可得直线方程为： 或 或 ；

5、
（ 1 ）证明见解析；
（ 2 ） .
【分析】
（ 1 ）假设 ，联立直线与抛物线方程并使用韦达定理可得 ，进一步得到 ，然后计算 即可得到结果 .
（ 2 ）计算 ，然后根据 ， 代入计算即可 .
（ 1 ）
联立方程 ，消去 得 ，
设 ，则 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
故 .
（ 2 ）
由（ 1 ）可知：
所以
则
又
所以
所以 ，又
所以
所以
6、
（ 1 ）
（ 2 ）是， 4.
【分析】
（ 1 ）利用椭圆的定义即得；
（ 2 ）设 ，利用直线方程可表示出点 S 的坐标，再设 R ( m ， 0) ，设直线 的方程为 ，联立椭圆方程，利用韦达定理可求点 S 的坐标，即得 .
（ 1 ）
∵ MQ 为 AP 垂直平分线，
，又点 P 是 ⊙ B ： ( x － 1) 2 ＋ y 2 ＝ 16 上的动点．
∴ ，
，
则点 Q 的轨迹为以 A 、 B 为焦点的椭圆，
设椭圆方程 ，
∴
∴ ，
∴ 曲线 C 的方程为 .
（ 2 ）
设 R ( m ,0) ，设直线 的方程为 ，
设 ，则 ，
∴ MN ： ，
令 y ＝ 0 得 ，
又 N 关于 x 轴对称点 在 上，
， ，
由 得
， ，
∴ ，
又 ，
， ,
即 为定值 .