上海市2020-2021学年高一下学期期中考试数学试题含解析.doc
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1、试卷主标题姓名:_ 班级:_考号:_一、选择题(共12题)1、 在 中,已知 ,则 的形状为( ) A 等腰三角形 B 直角三角形 C 正三角形 D 等腰或直角三角形 2、 赵爽是我国古代数学家、天文学家约公元 222 年,赵爽为周髀算经一书作序时,介绍了 “ 勾股圆方程 ” ,亦称 “ 赵爽弦图 ” ,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形如图是一张弦图,已知大正方形的面积为 25 ,小正方形的面积为 1 ,若直角三角形较小的锐角为 ,则 的值为( ) A 7 B C 4 D 9 3、 在 中,已知 ,设 以下说法错误的是( ) A 若 有两解, B 若 有唯一解, C
2、若 无解, D 当 , 外接圆半径为 10 4、 已知 ,则 “ ” 是 “ ” 的( ) A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件 5、 一个扇形 的面积是 1 平方厘米,它的周长是 4 厘米,则它的中心角是 A 2 弧度 B 3 弧度 C 4 弧度 D 5 弧度 6、 方程 的解集为( ) A B C D 7、 角 的终边属于第一象限,那么 的终边不可能属于的象限是( ) A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 8、 已知定义域是全体实数的函数 满足 ,且 , ,现定义函数 , 为: ,其中 ,那么下列关于 , 叙述正确的是( ) A
3、都是偶函数且周期为 B 都是奇函数且周期为 C 都是周期函数但既不是奇函数又不是偶函数 D 都不是周期函数 9、 已知函数 ,则 “ ” 是 “ 为偶函数 ” 的( )条件 A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件 D 既非充分也非必要条件 10、 在 中, ,则 的形状为( ) A 正三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰三角形 11、 设定义在 上的函数 ,则 ( ) A 在区间 上是增函数 B 在区间 上是减函数 C 在区间 上是增函数 D 在区间 上是减函数 12、 设函数 ,若对于任意实数 , 在区间 上至少有 2 个零点,至多有 3 个零点,则 的取值范围
4、是() A B C D 二、填空题(共36题)1、 已知角 的终边经过点 ,则 的值是 _ 2、 函数 的最小正周期是 _ 3、 已知 ,且 是第二象限角,则 的值是 _ 4、 已知 ,则 _ 5、 若 为锐角,且 ,则 _ 6、 方程 在 上的解组成的集合为 _ 7、 已知 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,且 ,则 _ 8、 函数 , 的严格递增区间是 _ 9、 函数 的图像向右平移 个单位长度后与函数 的图像重合,则 的最小值为 _ 10、 在等腰直角三角形 中, , , M 是 中点,点 D 是 AC 上一点,若 ,则 _ 11、 设 的内角 A 、 B
5、、 C 满足 ,则 的最小值为 _ 12、 在平面直角坐标系中,已知点 , ,若对于 y 轴上的任意 5 个不同的点 ,总存在两个不同的点 ,使得 ,则 的最小值为 _ 13、 已知平面直角坐标系中,角 的顶点与坐标原点重合,始边与 轴的正半轴重合,其终边上有一点 ,则 _ 14、 计算: _ 15、 若 ,且 ,则 _ 16、 已知 ,则 _ 17、 把 化为 (其中 , 的形式: _ 18、 函数 的最小正周期为 _ 19、 已知: ,则 _ 20、 若 , ,则 _ 21、 小瑗在解试题: “ 已知锐角 与 的值,求 的正弦值 ” 时,误将两角和的正弦公式错记成了 “ ” ,解得的结果为
6、 ,发现与标准答案一致,那么原题中的锐角 的值为 _ (写出所有的可能值) 22、 如图,平面上有一条走廊宽为 3 米,夹角为 120 ,地面是水平的,走廊两端足够长那么能够通过走廊的钢筋(看作线段,不考虑粗细)的最大长度为 _ 米 23、 设 ,使不等式 成立的实数 取值范围是 _ . 24、 如图,已知等腰三角形 ABC 的顶角 , D 是腰 AB 上一点若 , ,则 _ 25、 函数 的最小正周期为 _. 26、 为第三象限的角,且 ,则 是第 _ 象限的角 27、 已知扇形的周长为 ,面积为 ,则扇形的圆心角 的弧度数为 _. 28、 函数 的定义域为 _. 29、 方程 在 内的解为
7、 _ (用反三角函数表示) 30、 已知奇函数 的一个周期为 2 ,当 时, ,则 _. 31、 已知角 满足 ,则 _ 32、 函数 的单调递增区间为 _. 33、 函数 在 上的值域是 _. 34、 已知 向右平移 个单位后为奇函数,则 _. 35、 我们知道函数的性质中,以下两个结论是正确的: 偶函数 在区间 上的取值范围与在区间 上的取值范围是相同的; 周期函数 在一个周期内的取值范围也就是 在定义域上的值域,由此可求函数 的值域为 _. 36、 已知定义在 R 上的奇函数,满足 ,当 时, ,若函数 ,在区间 上有 2021 个零点,则 m 的取值范围是 _ 三、解答题(共15题)1
8、、 ( 1 )证明: ; ( 2 ) 的内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若 ,求 的面积 S 2、 已知 ,且 是锐角 ( 1 )求 的值; ( 2 )求 的值 3、 某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位,制作了一批奖杯,奖杯的剖面图形如图所示,其中扇形 的半径为 10 , 交 于 M ,交 于 C ,且 ,设 , ( 1 )用 表示 的长度; ( 2 )若按此方案设计,工艺制造厂发现,当 最长时,该奖杯比较美观的长度以及 的大小 4、 已知函数 ,其中 , ( 1 )若 ,求函数 的最小正周期以及函数图像的对称中心; ( 2 )若函数 在 上严格递
9、增,求 的取值范围; ( 3 )若函数 在 ( 且 )满足:方程 在 上至少存在 2021 个根,且在所有满足上述条件的 中, 的最小值不小于 2021 ,求 的取值范围 5、 如图,在平面直角坐标系中锐角 的终边分别与单位圆交于 A 、 B 两点,角 的终边与单位圆交丁 C 点,过点 A 、 B 、 C 分别作 x 轴的垂线,垂足分别为 M 、 N 、 P ( 1 )如果 , ,求 的值; ( 2 )求证:线段 能构成一个三角形; ( 3 )探究第( 2 )小题中的三角形的外接圆面积是否为定值?若是,求出该定值;若不是,请说明理由 6、 设 ,且 , 满足 ( 1 )求 的值 ( 2 )求
10、cos ( + )的值 7、 如图,一条河的两岸相互平行两岸边各有一个小镇 A 与 B ,它们的直线距离为 2 千米,河宽 AC 为 1 千米根据规划需在线段 BC 上选择一个点 D ,沿 AD 铺设水下电缆,沿 BD 铺设地下电缆建立数学模型寻找如何铺设电缆费用最低 ( 1 )模型建立: 我们假设: B 、 D 之间的地下电缆沿 _ 铺设,每干米地下电缆的铺设费用不变,不妨设为 1 ; A 、 D 之间的水下电缆沿 _ 铺设,每千米水下电缆的铺设费用不变,根据调查为每千米地下电缆铺设费用的两倍; 如果设 ;则 的取值范围为 _ 可以将该项工程的总费用 y 表示为 的函数,这个函数的解析式为
11、_ 因此,原实际问题的数学模型为:求 _ ,使该项工程的总费用 y 最低 ( 2 )模型求解:请求解上述模型 8、 已知三角形 ABC 中, 、 是方程 的两个实数根 ( 1 )若 ,求 的值; ( 2 )求 的最小值,并指出此时对应的实数 a 的值 9、 某校同学设计一个如图所示的 “ 蝴蝶形图案(阴影区域) ” ,其中 A , B , C , D 是抛物线 上的四个不同的点,且 (点 A 、 B 在第二象限,且点 A 在点 B 的左上方) AC 、 BD 交于点 点 为 y 轴上一点,记 ,其中 为锐角设线段 AF 的长为 m ( 1 )用 m 与 表示点 A 的横坐标; ( 2 )将 m
12、 表示为 的函数; ( 3 )求 “ 蝴蝶形图案 ” 面积的最小值,并指出取最小值时 的大小? 10、 设是 定义在 上的函数,若对任何实数 以及 中的任意两数 、 ,恒有 ,则称 为定义域上的 函数 ( 1 )判断函数 , 是否为定义域上的 函数,请说明理由; ( 2 )函数 , 是定义域上的 函数,求实数 的最小值; ( 3 )若 是定义域为 的周期函数,且最小正周期为 试判断 是否可能为定义域上的 函数如果可能,请给出至少一个符合条件的函数 ;如果不可能,请说明理由 11、 如图,在平面直角坐标系 中,角 的终边在第二象限与单位圆交于点 ( 1 )若点 的横坐标为 ,求 的值 ( 2 )
13、若将 绕点 逆时针旋转 ,得到角 (即 ),若 ,求 的值 12、 已知函数 的部分图像如图所示 . ( 1 )求函数 的解析式; ( 2 )若 ,求 的取值范围 . 13、 如图某公园有一块直角三角形 的空地,其中 , , 长 千米,现要在空地上围出一块正三角形区域 建文化景观区,其中 、 、 分别在 、 、 上设 ( 1 )若 ,求 的边长; ( 2 )当 多大时, 的边长最小?并求出最小值 14、 已知数 的相邻两对称轴间的距离为 . ( 1 )求 的解析式; ( 2 )将函数 的图像向右平移 个单位长度,再把横坐标缩小为原来的 (纵坐标不变),得到函数 的图像,当 时,求函数 的值域
14、. ( 3 )对于第( 2 )问中的函数 ,记方程 在 ,上的根从小到依次为 ,试确定 n 的值,并求 的值 . 15、 在非直角三角形 中,角 的对边分别为 . ( 1 )若 ,且 ,判断三角形 的形状; ( 2 )若 , ( i )证明: ;(可能运用的公式有 ) ( ii )是否存在函数 ,使得对于一切满足条件的 m ,代数式 恒为定值?若存在,请给出一个满足条件的 ,并证明之;若不存在,请给出一个理由 . =参考答案=一、选择题1、 D 【分析】 由 、 ,结合已知及两角和差正弦公式可得 ,根据三角形内角的性质即可判断 的形状 . 【详解】 由题意, , 或 , , , 或 . 故选:
15、 D 2、 A 【分析】 根据题意求出一个直角三角形的直角边,即可求出锐角 的正切值,从而利用两角和的正切公式即可求出结果 【详解】 解:根据图形的特点,设四个全等的直角三角形的一条直角边为 ,另一条为 , 所以 , 解得 , 所以 , 所以 , 故 故选: A 3、 B 【分析】 首先计算 ,再根据正弦定理判断三角形解的个数的公式,即可判断选项 . 【详解】 , 若 有两解,则 ,即 ,故 A 正确; 若 有唯一解,则 ,或 ,即 或 ,故 B 错误; 若 无解,则 ,即 ,故 C 正确; 当 时,根据正弦定理 ,得 ,故 D 正确 . 故选: B 4、 C 【分析】 根据两角和的正弦公式以
16、及半角公式,简单的三角方程以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可 【详解】 , 则 “ ” 是 “ , ” 的充要条件, 故选: 5、 A 【分析】 设出扇形的半径与弧长,根据面积与周长列出方程组,求解出半径与弧长,根据弧长公式求出圆心角即为中心角 . 【详解】 设半径为 ,弧长为 ,圆心角为 , 因为 ,所以 , 所以 . 故选: A. 【点睛】 本题考查运用扇形的弧长和面积公式求扇形的圆心角,难度较易 . 已知扇形的半径为 ,圆心角为 ,则扇形弧长为 ,面积为 . 6、 C 【分析】 利用反三角函数的定义以及正切函数的周期为 ,即可得到原方程的解 . 【详解】 由 , 根据正切函数图像以
17、及周期可知: , 故选: C 【点睛】 本题考查了反三角函数的定义以及正切函数的性质,需熟记正切函数的图像与性质,属于基础题 . 7、 D 【分析】 由题意知, , ,即可得 的范围,讨论 、 、 对应 的终边位置即可 . 【详解】 角 的终边在第一象限, , ,则 , , 当 时,此时 的终边落在第一象限, 当 时,此时 的终边落在第二象限, 当 时,此时 的终边落在第三象限, 综上,角 的终边不可能落在第四象限, 故选: D. 8、 A 【分析】 根据函数的新定义和奇偶性定义,周期的定义分析判断即可 【详解】 因为 ,所以 , 且 , 即 的一个周期为 , 当 时, 且 , 当 时, ,
18、所以 是偶函数且周期为 ; 同理, ,所以 , 且 , 即 的一个周期为 , 当 时, 且 , 当 时, ,所以 是偶函数且周期为 ; 综上所述,选 A 故选: A 9、 A 【分析】 当 时, ,根据奇偶性的定义判断为偶函数,反之当 为偶函数时, , ,从而可得结果 . 【详解】 当 时, , , 为偶函数 . 当 为偶函数时, , , 综上所述 是 为偶函数的充分不必要条件, 故选: A. 10、 B 【详解】 ,即 由余弦定理可得 可得: 故三角形是直角三角形 故选 点睛:本题主要考查的知识点是三角形的形状判断,余弦定理的应用直接利用二倍角的余弦函数以及余弦定理化简可得 ,通过边长之间的
19、关系即可判断出三角形的形状 11、 A 【分析】 根据每个选项中 的范围,得到 的范围,利用正弦函数的图象得到函数 的单调性,再根据函数 的符号去绝对值可得 的单调性 . 【详解】 对于 A ,当 时, ,函数 为减函数,所以 为增函数,故 A 正确; 对于 B ,当 时, ,函数 先递减后递增,所以 先递增后递减,故 B 不正确; 对于 C ,当 时, ,函数 先递增后递减 ,所以 先递增后递减,故 C 不正确; 对于 D ,当 时, ,函数 为递减函数,所以 为递减函数,当 时, ,函数 为递减函数,所以 为增函数,故 D 不正确 . 故选: A 【点睛】 关键点点睛:熟练掌握正弦函数的单
20、调性是本题解题关键 . 12、 B 【分析】 ,只需要研究 的根的情况,借助于 和 的图像,根据交点情况,列不等式组,解出 的取值范围 . 【详解】 令 ,则 令 ,则 则问题转化为 在区间 上至少有两个,至少有三个 t ,使得 ,求 的取值范围 . 作出 和 的图像,观察交点个数, 可知使得 的最短区间长度为 2 ,最长长度为 , 由题意列不等式的: 解得: . 故选: B 【点睛】 研究 y = Asin ( x + )+ B 的性质通常用换元法(令 ),转化为研究 的图像和性质较为方便 . 二、填空题1、 【分析】 直接利用三角函数的坐标定义求解 . 【详解】 由题意,得 ,所以 ; 故
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