高等数学曲率.pptx
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1、第七节曲线的弯曲线的弯曲程度曲程度与切线的转角有关与切线的转角有关与曲线的弧长有关与曲线的弧长有关机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 主要内容主要内容:一、一、弧微分弧微分 二、二、曲率及其计算公式曲率及其计算公式 三、三、曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径 平面曲线的曲率平面曲线的曲率 第三章第三章 一、一、弧微分弧微分设设在在(a,b)内有连续导数内有连续导数,其图形为其图形为 AB,弧长弧长机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 则弧长微分公式为则弧长微分公式为或或几何意义几何意义:若曲线由参数方程表示若曲线由参数方程表示:机动机动 目录目录 上
2、页上页 下页下页 返回返回 结束结束 二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点在光滑弧上自点 M 开始取弧段开始取弧段,其长为其长为对应切线对应切线定义定义弧段弧段 上的平均曲率上的平均曲率点点 M 处的曲率处的曲率注意注意:直线上任意点处的曲率为直线上任意点处的曲率为 0!机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 转角为转角为例例1.1.求半径为R 的圆上任意点处的曲率.解解:如图所示如图所示,可见可见:R 愈小愈小,则则K 愈大愈大,圆弧弯曲得愈厉害圆弧弯曲得愈厉害;R 愈大愈大,则则K 愈小愈小,圆弧弯曲得愈小圆弧弯曲得愈小.机动机动 目录目录 上页上页
3、下页下页 返回返回 结束结束 有曲率近似计算公式有曲率近似计算公式故曲率计算公式为故曲率计算公式为又又曲率曲率K K 的计算公式的计算公式二阶可导二阶可导,设曲线弧设曲线弧则由则由机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 说明说明:(1)若曲线由参数方程若曲线由参数方程给出给出,则则(2)若曲线方程为若曲线方程为则则机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 例例2.2.我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线作缓和曲线,处的曲率处的曲率.点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停说明说明:铁路转弯时为保证行车铁路转弯时为保证行车平稳安全平稳安全,求此缓和曲线在其两
4、个端点求此缓和曲线在其两个端点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 且且 l R.其中其中R是圆弧弯道的半径是圆弧弯道的半径,l 是缓和曲线的长度是缓和曲线的长度,离心力必须离心力必须连续变化连续变化,因此铁道的因此铁道的曲率应连续变化曲率应连续变化.例例2.2.我国铁路常用立方抛物线作缓和曲线作缓和曲线,且且 l R.处的曲率处的曲率.其中其中R是圆弧弯道的半径是圆弧弯道的半径,l 是缓和曲线的长度是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点求此缓和曲线在其两个端点机动机动 目录目录 上页上页 下页下页 返回返回 结束结束 解解:显然显然例例3.3.求椭圆在何处曲率最大在
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