投资的收益和风险问题线性规划分析.doc
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1、 投资的收益和风险问题线性规划分析1问题的提出市场上有 n 种资产(如股票、债券、)Si(i1,n)供投资者选择,某公司有数额为 M 的一笔相称大的资金可用作一个时期的投资. 公司财务分析人员对这 n 种资产进行了评估,估算出在这一时期内购买 Si 的平均收益率为 ri,并预测出购买 Si 的风险损失率为 qi. 考虑到投资越分散、总的风险越小,公司拟定,当用这笔资金购买若干种资产时,总体风险可用所投资的 Si 中最大的一个风险来度量. 购买 Si 要付交易费,费率为 pi,并且当购买额不超过给定值 ui 时,交易费按购买 ui 计算(不买当然无须付费). 此外,假定同期银行存款利率是 r0,
2、且既无交易费又无风险. (r05)已知 n4 时的相关数据如下: n的相关数据Siri()qi()pi()ui(元)S1282.51.0103S2211.52.0198S3235.54.552S4252.66.540试给该公司设计一种投资组合方案,即用给定的资金M,有选择地购买若干种资产或存银行生息,使净收益尽也许大,而总体风险尽也许小. 2模型的建立模型 1.总体风险用所投资Si中的最大一个风险来衡量,假设投资的风险水平是 k,即规定总体风险Q(x)限制在风险 k 以内:Q(x) k则模型可转化为:模型2. 假设投资的赚钱水平是 h,即规定净收益总额 R(x)不少于 h:R(x)h,则模型可
3、转化为:模型 3.要使收益尽也许大,总体风险尽也许小,这是一个多目的规划模型。人们总希望对那些相对重要的目的给予较大的权重. 因此,假定投资者对风险收益的相对偏好参数为 (0),则模型可转化为:3. 模型的化简与求解 由于交易费 ci(xi)是分段函数,使得上述模型中的目的函数或约束条件相对比较复杂,是一个非线性规划问题,难于求解. 但注意到总投资额 M 相称大,一旦投资资产 Si,其投资额 xi 一般都会超过 ui,于是交易费 ci(xi)可简化为线性函数从而,资金约束简化为净收益总额简化为在实际进行计算时,可设 M=1,此时可视作投资 Si 的比例. 以下的模型求解都是在上述两个简化条件下
4、进行讨论的.1)模型 1 的求解模型1的约束条件Q(x) k即 ,所以此约束条件可转化为这时模型 1可化简为如下的线性规划问题:具体到 n=4 的情形,按投资的收益和风险问题中表3-1给定的数据,模型为:Max 0.05x0+0.27x1+0.19x2+0.185x3+0.185x4s.t. 0.025x1k,0.015x2k,0.055x3k,0.026x4k,x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1,xi0(i0,1,4)运用MATLAB7.0求解模型1,以 k=0.005 为例:输出结果是0.177638, x0 0.158192, x1 0.2,x2 0.3
5、33333, x3 0.0909091,x4 0.192308这说明投资方案为(0.158192,0.2,0.333333,0.0909091,0.192308)时,可以获得总体风险不超过 0.005 的最大收益是 0.177638M.当 k 取不同的值(00.03),风险与收益的关系见下图: 模型1风险与收益的关系图输出结果列表如下: 模型 1 的结果风险 k净收益 Rx0x1x2x3x400.051.00000.0020.1010550.6632770.080.1333330.03636360.07692310.0040.152110.3265540.160.2666670.0727273
6、0.1538460.0060.20230800.240.40.1090910.2212210.0080.21124300.320.5333330.12708100.0100.2190200.40.584314000.0120.22556900.480.505098000.0140.23211800.560.425882000.0160.23866700.640.346667000.0180.24521600.720.267451000.0200.25176500.80.188235000.0220.25831400.880.10902000.0240.26486300.960.02980390
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