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投资的收益和风险问题线性规划分析
1问题的提出
　　市场上有 n 种资产（如股票、债券、…）Si（i＝1，…，n）供投资者选择，某公司有数额为 M 的一笔相称大的资金可用作一个时期的投资. 公司财务分析人员对这 n 种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买 Si 的平均收益率为 ri，并预测出购买 Si 的风险损失率为 qi. 考虑到投资越分散、总的风险越小，公司拟定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的 Si 中最大的一个风险来度量.
　　购买 Si 要付交易费，费率为 pi，并且当购买额不超过给定值 ui 时，交易费按购买 ui 计算（不买当然无须付费）. 此外，假定同期银行存款利率是 r0，且既无交易费又无风险. （r0＝5％）
已知 n＝4 时的相关数据如下：
n的相关数据
Si
ri(％)
qi(％)
pi(％)
ui(元)
S1
28
2.5
1.0
103
S2
21
1.5
2.0
198
S3
23
5.5
4.5
52
S4
25
2.6
6.5
40
试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金M，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽也许大，而总体风险尽也许小.
2模型的建立
模型 1.总体风险用所投资Si中的最大一个风险来衡量，假设投资的风险水平是 k，即规定总体风险Q(x)限制在风险 k 以内：Q(x) ≤k则模型可转化为：

模型2. 假设投资的赚钱水平是 h，即规定净收益总额 R（x）不少于 h：R（x）≥h，则模型可转化为：

模型 3.要使收益尽也许大，总体风险尽也许小，这是一个多目的规划模型。人们总希望对那些相对重要的目的给予较大的权重. 因此，假定投资者对风险——收益的相对偏好参数为 ρ（≥0），则模型可转化为：

3. 模型的化简与求解
　　 由于交易费 ci(xi)是分段函数，使得上述模型中的目的函数或约束条件相对比较复杂，是一个非线性规划问题，难于求解. 但注意到总投资额 M 相称大，一旦投资资产 Si，其投资额 xi 一般都会超过 ui，于是交易费 ci(xi)可简化为线性函数
从而，资金约束简化为

净收益总额简化为

在实际进行计算时，可设 M=1，此时

可视作投资 Si 的比例.
以下的模型求解都是在上述两个简化条件下进行讨论的.
1）模型 1 的求解
模型1的约束条件Q(x) ≤k即
，
所以此约束条件可转化为

这时模型 1可化简为如下的线性规划问题：

具体到 n=4 的情形，按投资的收益和风险问题中表3-1给定的数据，模型为：
Max 0.05x0+0.27x1+0.19x2+0.185x3+0.185x4
s.t. 0.025x1≤k，0.015x2≤k，0.055x3≤k，0.026x4≤k，
x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1，xi≥0（i＝0，1，…，4）
运用MATLAB7.0求解模型1，以 k=0.005 为例：
输出结果是
{0.177638, {x0 → 0.158192, x1 → 0.2,x2 → 0.333333, x3 → 0.0909091,x4 → 0.192308}}
这说明投资方案为（0.158192，0.2，0.333333，0.0909091，0.192308）时，可以获得总体风险不超过 0.005 的最大收益是 0.177638M.
当 k 取不同的值（0—0.03），风险与收益的关系见下图：

模型1风险与收益的关系图

输出结果列表如下：
模型 1 的结果
风险 k
净收益 R
x0
x1
x2
x3
x4
0
0.05
1.
0
0
0
0
0.002
0.101055
0.663277
0.08
0.133333
0.0363636
0.0769231
0.004
0.15211
0.326554
0.16
0.266667
0.0727273
0.153846
0.006
0.202308
0
0.24
0.4
0.109091
0.221221
0.008
0.211243
0
0.32
0.533333
0.127081
0
0.010
0.21902
0
0.4
0.584314
0
0
0.012
0.225569
0
0.48
0.505098
0
0
0.014
0.232118
0
0.56
0.425882
0
0
0.016
0.238667
0
0.64
0.346667
0
0
0.018
0.245216
0
0.72
0.267451
0
0
0.020
0.251765
0
0.8
0.188235
0
0
0.022
0.258314
0
0.88
0.10902
0
0
0.024
0.264863
0
0.96
0.0298039
0
0
0.026
0.267327
0
0.990099
0
0
0
0.028
0.267327
0
0.990099
0
0
0
0.030
0.267327
0
0.990099
0
0
0
从表 3.2中的计算结果可以看出，对低风险水平，除了存入银行外，投资首选风险率最低的 S2，然后是 S1 和 S4，总收益较低；对高风险水平，总收益较高，投资方向是选择净收益率（ri–pi）较大的 S1 和 S2．这些与人们的经验是一致的，这里给出了定量的结果．
2）模型 2 的求解
　　模型 2 本来是极小极大规划：

s.t. 　　 　　
但是，可以引进变量 xn+1= ，将它改写为如下的线性规划：

s.t. 　
, 　 ,　
具体到 n=4 的情形，按投资的收益和风险问题中表3.1给定的数据，模型为：
Min x5
s.t. 0.025x1≤x5，0.015x2≤x5，0.055x3≤x5，0.026x4≤x5，
0.05x0+0.27x1+0.19x2+0.185x3+0.185x4≥h，
x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1，xi≥0（i＝0，1，…，5）
运用MATLAB7.0求解模型2，当 h 取不同的值（0.04—0.26），我们计算最小风险和最优决策，结果如表3所示，风险和收益的关系见图2所示

图2 模型2中风险与收益的关系图
表3 模型 2 的结果
净收益水平 h
风险 Q
x0
x1
x2
x3
x4
0.06
0.
0.934047
0.0156693
0.0261155
0.00712241
0.0150666
0.08
0.0011752
0.802142
0.0470079
0.0783465
0.0213672
0.0451999
0.10
0.00195866
0.670236
0.0783465
0.130578
0.0356121
0.0753332
0.12
0.00274213
0.538331
0.109685
0.182809
0.0498569
0.105466
0.14
0.00352559
0.406426
0.141024
0.23504
0.0641017
0.1356
0.16
0.00430906
0.27452
0.172362
0.287271
0.0783465
0.165733
0.18
0.00509253
0.142615
0.203701
0.339502
0.0925914
0.195866
0.20
0.00587599
0.0107092
0.23504
0.391733
0.106836
0.226
0.22
0.0102994
0
0.411976
0.572455
0
0
0.24
0.0164072
0
0.656287
0.330539
0
0
0.26
0.022515
0
0.900599
0.0886228
0
0
从表3.3中我们可以推出和模型 1 类似的结果.
3）模型3 的求解
类似模型2 的求解，我们同样引进变量 xn+1= ，将它改写为如下的线性规划：
min -（1 ）
s.t. 　 　　
具体到 n=4 的情形，按投资的收益和风险问题表3.1给定的数据，模型为：
min ρx5–（1–ρ）（0.05x0+0.27x1+0.19x2+0.185x3+0.185x4）
s.t. 0.025x1≤x5，0.015x2≤x5，0.055x3≤x5，0.026x4≤x5，
x0+1.01x1+1.02x2+1.045x3+1.065x4=1，
xi≥0（i＝0，1，…，5）
运用MATLAB7.0求解模型3，当 ρ取不同的值（0.7—0.98），我们计算最小风险和最优决策，风险和收益的关系见图3
输出结果列表如下：
表 4 模型 3 的结果
偏好系数 ρ
风险 Q
x0
x1
x2
x3
x4
0.70
0.0247525
0
0.990099
0
0
0
0.74
0.0247525
0
0.990099
0
0
0
0.78
0.00922509
0
0.369004
0.615006
0
0
0.82
0.00784929
0
0.313972
0.523286
0.142714
0
0.86
0.0059396
0
0.237584
0.395973
0.107993
0.228446
0.90
0.0059396
0
0.237584
0.395973
0.107993
0.228446
0.94
0.0059396
0
0.237584
0.395973
0.107993
0.228446
0.98
0
1.
0
0
0
0
结论：从表 4 的结果可以看出，随着偏好系数 ρ 的增长，也就是对风险的日益重视，投资方案的总体风险会大大减少，资金会从净收益率（ri–pi）较大的项目 S1、S2、S4，转向无风险的项目银行存款. 这和模型 a 的结果是一致的，也符合人们平常的经验.
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
0.18
0.2
0.22
0.24
0.26
0.28
??
??

图3 模型3中风险与收益的关系图
结论：模型3的风险与收益关系与模型1和模型2的结果几乎完全一致。