北京市2021年七年级下学期期中考试数学试题含解析.doc

试卷主标题

姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、选择题（共10题）
1、 下列各图中， ∠1 和 ∠2 是对顶角的是（　　）
A ． B ．
C ． D ．
2、 的平方根是（　　）
A ． 3 B ． ±3 C ． D ． ±
3、 点 ( ﹣ 4 ， 2) 所在的象限是（　　）
A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
4、 下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）
A ． 3 ， 4 ， 8 B ． 5 ， 6 ， 11 C ． 4 ， 4 ， 8 D ． 8 ， 8 ， 8
5、 多边形的边数由 3 增加到 2021 时，其外角和的度数（　　）
A ．增加 B ．减少 C ．不变 D ．不能确定
6、 以下命题是真命题的是（　　）
A ．相等的两个角一定是对顶角
B ．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行
C ．两条平行线被第三条直线所截，内错角互补
D ．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相垂直
7、 如图，下列条件： ①∠ DCA =∠ CAF ， ②∠ C =∠ EDB ， ③∠ BAC +∠ C =180° ， ④∠ GDE +∠ B =180° ．其中能判断 AB ∥ CD 的是（ ）

A ． ①④ B ． ②③④ C ． ①③④ D ． ①②③
8、 有一个数值转换器，原理如下：当输入的 x 为 64 时，输出的 y 是（　　）

A ． 2 B ． 2 C ． D ． ±
9、 如图，把图 ① 中的 ⊙A 经过平移得到 ⊙O( 如图 ②) ，如果图 ① 中 ⊙A 上一点 P 的坐标为 (m ， n) ，那么平移后点 P 在图 ② 中的对应点 P′ 的坐标为 (  )

A ． (m ＋ 2 ， n ＋ 1)
B ． (m － 2 ， n － 1)
C ． (m － 2 ， n ＋ 1)
D ． (m ＋ 2 ， n － 1)
10、 如图， AB ∥ CD ， ∠ EBF ＝ ∠ FBA ， ∠ EDG ＝ ∠ GDC ， ∠ E ＝ 45° ，则 ∠ H 为（　　）

A ． 22° B ． 22.5° C ． 30° D ． 45°
二、填空题（共11题）
1、 写出一个大于 2 的无理数 _____ ．
2、 正五边形的内角和等于 ______ 度．
3、 如图是玉渊潭公园部分景点的分布示意图，在图中，分别以正东、正北方向为 x 轴、 y 轴的正方向建立平面直角坐标系，当表示西桥的点的坐标为 ，表示中堤桥的点的坐标为 时，表示留春园的点的坐标为 ___.

4、 如图，将三角板的直角顶点放在直尺的一边上， ∠1 ＝ 30° ， ∠2 ＝ 50° ，则 ∠3=__________° ．

5、 等腰三角形的边长分别为 6 和 8 ，则周长为 ___________________ ．
6、 如图，直线 1 1 ⊥1 2 ，在某平面直角坐标系中， x 轴 ∥ l 1 ， y 轴 ∥1 2 ，点 A 的坐标为 ( ﹣ 2 ， 4) ，点 B 的坐标为 (4 ，﹣ 2) ，那么点 C 在第 ___ 象限．

7、 在 1 ～ 7 月份，某种水果的每斤进价与每斤售价的信息如图所示，则出售该种水果每斤利润最大的月份是 _____ 月份．

8、 小明用计算器求了一些正数的平方，记录如下表．
x
26
26.1
26.2
26.3
26.4
26.5
26.6
26.7
26.8
26.9
27
x 2
676
681.21
686.44
691.69
696.96
702.25
707.56
712.89
718.24
723.61
729
下面有四个推断：
① ＝ 2.62 ；
② 一定有 6 个整数的算术平方根在 26.6 ～ 26.7 之间；
③ 对于小于 26 的两个正数，若它们的差等于 0.1 ，则它们的平方的差小于 5.21 ；
④ 若一个正方形的边长为 26.4 ，那么这个正方形的面积是 696.96 ．
所有合理推断的序号是 ___ ．
9、 设 a 是 4+ 的整数部分， b 是 4 ﹣ 的小数部分，则 a ＝ _____ ， b ＝ _____ ．
10、 在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第 1 步沿 x 轴向右走 1 个单位长度，第 2 步向右走 2 个单位长度，第 3 步向上走 1 个单位长度，第 4 步向右走 1 个单位长度， … ，依此类推，第 n 步的走法是：当 n 能被 3 整除时，则向上走 1 个单位长度：当 n 被 3 除，余数为 1 时，则向右走 1 个单位长度：当 n 被 3 除，余数为 2 时，则向右走 2 个单位长度，当走完第 6 步时，棋子所处位置的坐标是 ，当走完第 7 步时，棋子所处位置的坐标是 ，当走完第 2021 步时，棋子所处位置的坐标是 ．
11、 长度为 20 厘米的木棍，截成三段，每段长度为整数厘米，请写出一种可以构成三角形的截法，此时三段长度分别为 ，能构成三角形的截法共有 种，（只考虑三段木棍的长度）
三、解答题（共9题）
1、 计算： ．
2、 解下列方程：
（ 1 ） 2 x 3 ＝﹣ 16 ；
（ 2 ） 25 （ x 2 ﹣ 1 ）＝ 24 ．
3、 完成下面推理填空：
如图， E 、 F 分别在 AB 和 CD 上， ∠1 ＝ ∠ D ， ∠2 与 ∠ C 互余， AF ⊥ CE 于 G ．
求证： AB CD ．
证明： ∵ AF ⊥ CE
∴∠ CGF ＝ 90° （ ）
∵∠1 ＝ ∠ D （已知）
∴ （ ）
∴∠4 ＝ ∠ CGF ＝ 90° （ ）
∵∠2+∠3+∠4 ＝ 180° （平角的定义）
∴∠2+∠3 ＝ 90° ．
∵∠2 与 ∠ C 互余（已知），
∴∠2+∠ C ＝ 90° （互余的定义）
∴∠ C ＝ ∠3 （同角的余角相等）
∴ AB CD （ ）

4、 已知点 A (3 a ﹣ 6 ， a +1) ，试分别根据下列条件，求出点 A 的坐标，
（ 1 ）点 A 在 x 轴上；
（ 2 ）点 A 在过点 P (3 ，﹣ 2) ，且与 y 轴平行的直线上．
5、 如图，在 ABC 中， AE 平分 ∠ BAC ， AD 是 BC 边上的高．
（ 1 ）在图中将图形补充完整；
（ 2 ）当 ∠ B ＝ 28° ， ∠ C ＝ 72° 时，求 ∠ DAE 的度数；
（ 3 ） ∠ DAE 与 ∠ C ﹣ ∠ B 有怎样的数量关系？写出结论并加以证明．

6、 如图，在正方形网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，点 A 、 B 、 C 、 O 均在格点上，其中 O 为坐标原点， A ( ﹣ 3 ， 3) ．
（ 1 ）点 C 的坐标为 ；
（ 2 ）将 ABC 向右平移 6 个单位，向下平移 1 个单位，对应得到 A 1 B 1 C 1 ，请在图中画出平移后的 A 1 B 1 C 1 ，并求 A 1 B 1 C 1 的面积；
（ 3 ）在 x 轴上有一点 P ，使得 PA 1 B 1 的面积等于 A 1 B 1 C 1 的面积，直接写出点 P 坐标．

7、 已知 ABC 中， ∠ ABC ＝ ∠ ACB ， D 为线段 CB 上一点（不与 C 、 B 重合），点 E 为射线 CA 上一点， ∠ ADE ＝ ∠ AED ，设 ∠ BAD ＝ α ， ∠ CDE ＝ β ．
（ 1 ）如图 1 ，
① 若 ∠ BAC ＝ 50° ， ∠ DAE ＝ 36° ，则 α ＝ ， β ＝ ；
② 写出 α 与 β 的数量关系，并说明理由；
（ 2 ）如图 2 ，当 E 点在 CA 的延长线上时，其它条件不变，写出 α 与 β 的数量关系，并说明理由．

8、 已知，在平面直角坐标系中， AB ⊥ x 轴于点 B ，点 A ( a ， b ) 满足 +| b ﹣ 3| ＝ 0 ，平移线段 AB 使点 A 与原点重合，点 B 的对应点为点 C ．
（ 1 ） a ＝ ， b ＝ ，点 C 坐标为 ；
（ 2 ）如图 1 ，点 D ( m ， n ) 是射线 CB 上一个动点．
① 连接 OD ，利用 OBC ， OBD ， OCD 的面积关系，可以得到 m 、 n 满足一个固定的关系式，请写出这个关系式： ；
② 过点 A 作直线 1∥ x 轴，在 l 上取点 M ，使得 MA ＝ 2 ，若 CDM 的面积为 4 ，请直接写出点 D 的坐标 ．
（ 3 ）如图 2 ，以 OB 为边作 ∠ BOG ＝ ∠ AOB ，交线段 BC 于点 G ， E 是线段 OB 上一动点，连接 CE 交 OG 于点 F ，当点 E 在线段 OB 上运动过程中， 的值是否发生变化？若变化请说明理由，若不变，求出其值．

9、 如图，对于平面直角坐标系 xOy 中的任意两点 A ( x A ， y A ) ， B ( x B ， y B ) ，它们之间的曼哈顿距离定义如下： | AB | 1 ＝ | x A ﹣ x B |+| y A ﹣ y B | ．已知 O 为坐标原点，点 P (4 ，﹣ 5) ， Q ( ﹣ 2 ， 4) ．
（ 1 ） | OP | 1 ＝ ， | PQ | 1 ＝ ．
（ 2 ）已知点 T ( t ， 1) ，其中 t 为任意实数．
① 若 | TP | 1 ＝ 10 ，求 t 的值．
② 若 P 、 Q 、 T 三点在曼哈顿距离下是等腰三角形，请直接写出 t 的值．

============参考答案============
一、选择题
1、 C
【分析】
直接根据对顶角的概念判断即可得到答案．
【详解】
解： A 、不符合对顶角概念，不符合题意；
B 、不符合对顶角概念，不符合题意；
C 、符合对顶角概念，符合题意；
D 、不符合对顶角概念，不符合题意．
故选： C ．
【点睛】
此题考查的是对顶角的概念，掌握其概念是解决此题关键．
2、 D
【分析】
先计算 的值为 3 ，再利用平方根的定义即可得到结果．
【详解】
∵ =3 ，
∴ 的平方根是 ± ．
故选 D ．
【点睛】
此题考查了平方根，以及算术平方根，解决本题的关键是先求得 的值 .
3、 B
【分析】
根据第二象限的点的横坐标是负数，纵坐标是正数解答．
【详解】
解：点（ -4 ， 2 ）所在的象限是第二象限．
故选： B ．
【点睛】
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（ + ， + ）；第二象限（ - ， + ）；第三象限（ - ， - ）；第四象限（ + ， - ）．
4、 D
【分析】
根据三角形的三边关系 “ 任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边 ” ，进行分析．
【详解】
解： A 、 3+4 ＜ 8 ，不能构成三角形；
B 、 5+6=11 ，不能构成三角形；
C 、 4+4=8 ，不能构成三角形；
D 、 8+8 ＞ 8 ，能构成三角形．
故选： D ．
【点睛】
此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
5、 C
【分析】
根据多边形的外角和定理即可求解判断．
【详解】
解： ∵ 任何多边形的外角和都是 360° ，
∴ 多边形的边数由 3 增加到 2021 时，其外角和的度数不变，
故选： C ．
【点睛】
此题考查多边形的外角和，熟记多边形的外角和是 360 度，并不随边数的变化而变化是解题的关键．
6、 B
【分析】
利用对顶角的定义、平行线的性质等知识分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】
解： A 、相等的两个角不一定是对顶角，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
B 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，正确，是真命题，符合题意；
C 、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D 、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选： B ．
【点睛】
本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解对顶角的定义、平行线的性质等知识，难度不大．
7、 C
【分析】
利用平行线的判定方法分别判断即可得出答案．
【详解】
解： ① 当 ∠DCA=∠CAF 时， AB∥CD ，符合题意；
② 当 ∠C=∠EDB 时， AC∥DB ，不合题意；
③ 当 ∠BAC+∠C=180° 时， AB∥CD ，符合题意；
④ 当 ∠GDE+∠B=180° 时，
又 ∵∠GDE+∠EDB=180° ，
∴∠B=∠EDB ，
∴AB∥CD ，符合题意；
故选： C ．
【点睛】
本题考查的是平行线的判定，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，正确掌握平行线的判定是解题关键．．
8、 C
【分析】
直接利用立方根以及算术平方根、无理数的定义分析得出答案．
【详解】
解：由题意可得： 64 的立方根为 4 ， 4 的算术平方根是 2 ， 2 的算术平方根是 ，
即 ．
故选： C ．
【点睛】
此题主要考查了立方根以及算术平方根、无理数的定义，正确掌握相关定义是解题关键．
9、 D
【详解】
圆心由 A( － 2 ， 1) 移到 O(0 ， 0) ，向右平移 2 个单位，向下平移 1 个单位，因此 P(m ， n) 的对应点 P′ 的坐标为 (m ＋ 2 ， n － 1) ．
10、 B
【分析】
过 作 ，过 作 ，利用平行线的性质解答即可．
【详解】
解：过 作 ，过 作 ，
，
，
， ，
， ，
， ， ，
，
．
故选： B ．

【点睛】
此题考查平行线的性质，关键是作出辅助线，利用平行线的性质解答．
二、填空题
1、 如 （答案不唯一）
【分析】
首先 2 可以写成 ，由于开方开不尽的数是无理数，由此即可求解．
【详解】
解： ∵2= ，
∴ 大于 2 的无理数须使被开方数大于 4 即可，如 （答案不唯一）．
【点睛】
本题考查无理数定义及比较大小．熟练掌握无理数的定义是解题的关键．
2、 540
【详解】
过正五边形五个顶点，可以画三条对角线，把五边形分成 3 个三角形
∴ 正五边形的内角和 =3 180=540°
3、 （ 9 ， -1 ）
【分析】
根据表示西桥的点的坐标为 ，表示中堤桥的点的坐标为 建立平面直角坐标系，确定坐标原点的位置，进而可确定表示留春园的点的坐标．
【详解】
解：根据题意可建立如下所示平面直角坐标系，

则表示留春园的点的坐标为 ，
故答案为 ．
【点睛】
此题考查坐标确定位置，解题的关键就是确定坐标原点和 x ， y 轴的位置．
4、 20
【详解】
分析：首先根据平行线的性质得出 ∠5 的度数，然后根据三角形外角的性质得出答案．
详解： ∵ 直尺的两边平行， ∴∠5=∠2=50° ，
根据三角形外角的性质可得： ∠1+∠3=∠5=50° ， ∴∠3=50° － 30°=20° ．

点睛：本题主要考查的是平行线的性质以及三角形外角的性质，属于基础题型．解决这个问题时要综合应用两个性质．
5、 20 或 22
【分析】
由于题中没有指明哪边是底哪边是腰，则应该分两种情况进行分析．
【详解】
①6 是腰长时，三角形的三边分别为 6 、 6 、 8 ，
能组成三角形，周长 =6+6+8=20 ，
②6 是底边长时，三角形的三边分别为 6 、 8 、 8 ，
能组成三角形，周长 =6+8+8=22 ，
综上所述，这个等腰三角形的周长是 20 或 22 ，
故答案为 20 或 22 ．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，解题的关键在于分情况讨论并利用三角形的三边关系判断是否能组成三角形．
6、 三
【分析】
根据题意作出平面直角坐标系，根据图象可以直接得到答案．
【详解】
解：如图，

∵ 点 A 的坐标为（ -2 ， 4 ），点 B 的坐标为（ 4 ， -2 ），
∴ 点 A 位于第二象限，点 B 位于第四象限，
∴ 点 C 位于第三象限．
故答案是：三．
【点睛】
本题考查了坐标与图形性质，解题时，利用了 “ 数形结合 ” 的数学思想，比较直观．
7、 4
【分析】
根据图象中的信息即可得到结论．
【详解】
由图象中的信息可知，
1 月份每斤的利润 =10.8-10=0.8 元，
2 月份每斤的利润 =9-7=2 元，
3 月份每斤的利润＝ 7.5 ﹣ 4.5 ＝ 3 元，
4 月份每斤的利润＝ 6 ﹣ 2.5 ＝ 3.5 元，
5 月份每斤的利润＝ 4.5 ﹣ 2 ＝ 2.5 元，
6 月份每斤的利润＝ 3 ﹣ 1.8 ＝ 1.2 元，
7 月份每斤的利润＝ 1.5 ﹣ 1.2 ＝ 0.3 元，
故出售该种水果每斤利润最大的月份是 4 月份，
故答案为 4
【点睛】
本题考查了象形统计图，有理数大小的比较，正确的把握图象中的信息，理解利润＝售价﹣进价是解题的关键．
8、 ①③④
【分析】
估计无理数的大小即可逐个排除．
【详解】
解： ．
．
，故 ① 正确．
当 时．
．
．
整数 有： 708 ， 709 ， 710 ， 711 ， 712 共 5 个．故 ② 错误．
设小于 26 的两个正数分别是 ， ，则 ．

．故 ③ 正确．
．
正方形的边长为 26.4 ，那么这个正方形的面积是 696.96 ．故 ④ 正确．
故答案为： ①③④ ．
【点睛】
本题考查平方根与平方，平方差公式，通过表格数据对平方根进行估计是求解本题的关键．
9、 6 ，
【分析】
估算出 的范围，从而得到 4+ 和 4- 的范围，可得 a ， b 的值．
【详解】
解： ∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ a =6 ， b = = ，
故答案为： 6 ， ．
【点睛】
本题主要考查了估算无理数的大小，根据题意进行计算是解决本题的关键．
10、 A 6 （ 6 ， 2 ）， A 7 （ 7 ， 2 ），（ 2021 ， 673 ）
【分析】
设走完第 n 步，棋子的坐标用 A n 来表示．列出部分 A 点坐标，发现规律 “ A 3 n （ 3 n ， n ）， A 3 n +1 （ 3 n +1 ， n ）， A 3 n +2 （ 3 n +3 ， n ） ” ，根据该规律即可解决问题．
【详解】
解：设走完第 n 步，棋子的坐标用 A n 来表示．
观察，发现规律： A 0 （ 0 ， 0 ）， A 1 （ 1 ， 0 ）， A 2 （ 3 ， 0 ）， A 3 （ 3 ， 1 ）， A 4 （ 4 ， 1 ）， A 5 （ 6 ， 1 ）， A 6 （ 6 ， 2 ）， A 7 （ 7 ， 2 ）， … ，
… ，
∴ A 3 n （ 3 n ， n ）， A 3 n +1 （ 3 n +1 ， n ）， A 3 n +2 （ 3 n +3 ， n ）．
∵2021=673×3+2 ，
∴ A 2021 （ 2021 ， 673 ）．
故答案为： A 6 （ 6 ， 2 ）， A 7 （ 7 ， 2 ），（ 2021 ， 673 ）．
【点睛】
本题考查了规律型中的点的坐标，解题的关键是发现规律 “ A 3 n （ 3 n ， n ）， A 3 n +1 （ 3 n +1 ， n ）， A 3 n +2 （ 3 n +3 ， n ） ” ．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据棋子的运动情况，罗列出部分 A 点的坐标，根据坐标的变化发现规律是关键．
11、 9 厘米， 9 厘米， 2 厘米（答案不唯一）； 8
【分析】
已知三角形的周长，分别假设三角形的最长边，从而利用三角形三边关系进行验证即可求得不同的截法．
【详解】
解： ∵ 木棍的长度为 20 厘米，即三角形的周长为 20 厘米，
∴① 当三角形的最长边为 9 厘米时，有 4 种截法，分别是： 9 厘米， 9 厘米， 2 厘米； 9 厘米， 8 厘米， 3 厘米； 9 厘米， 7 厘米， 4 厘米； 9 厘米， 6 厘米， 5 厘米；
② 当三角形的最长边为 8 厘米时，有 3 种截法，分别是： 8 厘米， 8 厘米， 4 厘米； 8 厘米， 7 厘米， 5 厘米； 8 厘米， 6 厘米， 6 厘米；
③ 当三角形的最长边为 7 厘米时，有 1 种截法，是： 7 厘米， 7 厘米， 6 厘米；
∴ 能构成三角形的截法共有 4+3+1=8 种．
故答案为： 9 厘米， 9 厘米， 2 厘米（答案不唯一）； 8 ．
【点睛】
此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力，注意不能构成三角形的情况一定要排除．
三、解答题
1、 3
【分析】
根据立方根与平方根的意义以及绝对值的意义计算．
【详解】
解：
=
=
【点睛】
本题考查了实数的混合运算运算，正确理解平方根与立方根的意义是解题的关键．
2、 （ 1 ） ；（ 2 ）
【分析】
（ 1 ）根据立方根的意义进行计算．
（ 2 ）根据平方根的意义进行计算．
【详解】
解：（ 1 ） ，
，
．
（ 2 ） ，
，
，
．
【点睛】
此题考查了立方根平方根的意义．正确理解平方根立方根的意义是解题的关键．
3、 垂直定义； AF ， DE ，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行
【分析】
根据平行线的判定与性质即可完成推理填空．
【详解】
证明： ∵ AF ⊥ CE ，
∴∠ CGF =90° （垂直定义），
∵∠1=∠ D （已知），
∴ AF ∥ DE （同位角相等，两直线平行），
∴∠4=∠ CGF =90° （两直线平行，同位角相等），
∵∠2+∠3+∠4=180° （平角的定义），
∴∠2+∠3=90° ．
∵∠2 与 ∠ C 互余（已知），
∴∠2+∠ C =90° （互余的定义），
∴∠ C =∠3 （同角的余角相等），
∴ AB ∥ CD （内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直定义； AF ， DE ，同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
4、 （ 1 ）（ -9 ， 0 ）；（ 2 ）（ 3 ， 4 ）
【分析】
（ 1 ）根据 x 轴上点的纵坐标为 0 列方程求出 a 的值，再求解即可；
（ 2 ）根据平行于 y 轴的直线上的点的纵坐标相同列方程求出 a 的值，再求解即可．
【详解】
解：（ 1 ） ∵ 点 A （ 3 a -6 ， a +1 ）在 x 轴上，
∴ a +1=0 ，
解得 a =-1 ，
∴3 a -6=-3-6=-9 ，
∴ 点 A 的坐标为（ -9 ， 0 ）；
（ 2 ） ∵ 点 A 在过点 P （ 3 ， -2 ），且与 y 轴平行的直线上，
∴3 a -6=3 ，
解得 a =3 ，
∴ a +1=3+1=4 ，
∴ 点 A 的坐标为（ 3 ， 4 ）．
【点睛】
本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征以及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征是解题的关键．
5、 （ 1 ）见解析；（ 2 ） 22° ；（ 3 ） ，证明见解析
【分析】
（ 1 ）根据题意画出图形即可；
（ 2 ）在 中，利用三角形内角和定理可求出 的度数，结合角平分线的定义可求出 的度数，由 是 边上的高，可求出 的度数，再结合 即可求出结论；
（ 3 ）根据题意可以用 和 表示出 和 ，从而可以得到 与 的关系．
【详解】
解：（ 1 ）如图，

（ 2 ）在 中， ， ，
，
平分 ，
，
是 边上的高，
，
，
．
（ 3 ） ，
理由： 在 中， ， 分别是 的高和角平分线，
， ， ，
．
【点睛】
本题考查三角形内角和定理，熟练掌握角的平分线的性质、直角三角形的性质是解题的关键．
6、 （ 1 ） ；（ 2 ）画图见解析， 3 ；（ 3 ） 或
【分析】
（ 1 ）利用直角坐标系可直接写出 点坐标；
（ 2 ）分别作出 ， ， 的对应点 ， ， 即可得到 △ ，用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算 △ 的面积；
（ 3 ）设 ．利用三角形面积关系构建方程求解即可．
【详解】
解：（ 1 ）点 的坐标为 ，
故答案为： ；
（ 2 ）如图， △ 即为所求．

△ 的面积： ；
（ 3 ）设 ．

， ，将 向右平移 6 个单位，向下平移 1 个单位，对应得到 △ ，
， ，
∴△ 的面积 ，
解得： 或 7 ，
或 ．
【点睛】
本题考查作图 平移变换，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．
7、 （ 1 ） ①14° ， 7° ； ② α ＝ 2 β ，理由见解析；（ 2 ） 2 β ＝ 180°+ α ，理由见解析
【分析】
（ 1 ） ① 直接求 α 的度数，根据三角形的内角和与等腰三角形的性质求 ∠ ACB 和 ∠ AED 的度数，再根据外角定理求出 β 的度数；
② 设 ∠ BAC ＝ x ° ， ∠ DAE ＝ y ° ，则 α ＝ x °- y ° ，同理求出 ∠ ACB= 和 ∠ AED= ，利用外角定理得： β ＝ ∠ AED ﹣ ∠ ACB ，代入可得结论；
（ 2 ）设 ∠ BAC ＝ x ° ， ∠ DAE ＝ y ° ，根据图形先表示 α ＝ x °- （ 180°- y ° ）＝ x °-180°+ y ° ，同理得 ∠ ACB 和 ∠ AED 的度数，在 △ EDC 中利用外角定理列式可得结论．
【详解】
解：（ 1 ）如图（ 1 ），
①∵∠ BAC ＝ 50° ， ∠ ACB ＝ ∠ ABC ，
∴∠ ABC ＝ ∠ ACB= =65° ，
∵∠ DAE ＝ 36° ， ∠ ADE ＝ ∠ AED ，
∴∠ ADE ＝ ∠ AED ＝ 72° ，
∵∠ AED 是 △ DEC 的一个外角，
∴∠ AED ＝ ∠ EDC +∠ ACB ，
∴∠ EDC ＝ ∠ AED -∠ ACB ＝ 72°-65° ＝ 7° ，
即 β ＝ 7° ，
α ＝ ∠ BAC -∠ DAE ＝ 50°-36° ＝ 14° ；
故答案为： 14° ， 7° ；
② α ＝ 2 β ，理由是：
设 ∠ BAC ＝ x ° ， ∠ DAE ＝ y ° ，则 α ＝ x °- y ° ，
∵∠ ACB ＝ ∠ ABC ，
∴∠ ACB= ，
∵∠ ADE ＝ ∠ AED ，
∴∠ AED= ，
∴ β ＝ ∠ AED ﹣ ∠ ACB= ，
∴ α ＝ 2 β ；
（ 2 ）如图（ 2 ）， 2 β ＝ 180°+ α ，理由是：
设 ∠ BAC ＝ x ° ， ∠ DAE ＝ y ° ，
α ＝ x °- （ 180°- y ° ）＝ x °-180°+ y ° ，
∵∠ ACB ＝ ∠ ABC ，
∴∠ ACB= ，
∵∠ ADE ＝ ∠ AED ，
∴∠ AED= ，
∴∠ EDB 是 △ EDC 的一个外角，
∴∠ EDB ＝ ∠ AED +∠ ACB ，
∴180°- β = ，
∴2 β ＝ x °+ y ° ，
∴2 β ＝ 180°+ α ．
【点睛】
本题是三角形的综合题，难度适中，考查了三角形的内角和、等腰三角形的性质、外角定理；本题的解题思路为： ① 先表示两个等腰三角形两个底角的度数， ② 利用外角定理列式，将 α 、 β 代入即可．
8、 （ 1 ） 6 ， 3 ，（ 0 ， -3 ）；（ 2 ） ① m -2 n ＝ 6 ； ② （ 2 ， -2 ）或（ 4 ， -1 ）；（ 3 ）不变，理由见解析
【分析】
（ 1 ）利用非负数的性质求解即可．
（ 2 ） ① 如图 1 ，过点 分别作 轴于点 ， 轴于点 ，连接 ，利用面积法求解即可． ② 如图 中，设直线 交 轴于 ，连接 ， ， ．分两种情形：当点 在点 的左侧时，设 ，根据 ，构建方程求解，当点 在点 的右侧时，同法可得．
（ 3 ） 的值不变，值为 2 ．利用平行线的性质，三角形的外角的性质证明即可．
【详解】
解：（ 1 ） ，
， ，
， ，
，且 在 轴负半轴上，
，
故答案为： 6 ， 3 ， ．
（ 2 ） ① 如图 1-1 ，过点 分别作 轴于点 ， 轴于点 ，连接 ．

轴于点 ，且点 ， ， 三点的坐标分别为： ， ， ，
， ， ， ，
，
又

，
，
，
、 满足的关系式为 ．
故答案为： ．
② 如图 中，设直线 交 轴于 ，连接 ， ， ．

当点 在点 的左侧时，设 ，
，
，
解得 ，
，
当点 在点 的右侧时，同法可得 ，
综上所述，满足条件的点 的坐标为 或 ．
故答案为： 或 ．
（ 3 ） 的值不变，值为 2 ．理由如下：
线段 是由线段 平移得到，
，
，
又 ，
，
根据三角形外角性质，可得 ， ，

，
．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，主要考查了非负数，坐标与图形，平行线的性质以及平移的性质，解决问题的关键是作辅助线，运用面积法，角的和差关系以及平行线的性质进行求解．
9、 （ 1 ） 9 ， 15 ；（ 2 ） ①8 或 0 ； ②-5 或 13 或 10 或 -14 或 2.5
【分析】
（ 1 ）根据曼哈顿距离的定义求解即可．
（ 2 ） ① 根据曼哈顿距离的定义构建方程求解即可．
② 由题意， | TP | 1 =| PQ | 1 或 | TQ | 1 =| PQ | 1 或 | TP | 1 =| TQ | 1 ，分这 3 种情况得到关于 t 的方程，解方程即可．
【详解】
解：（ 1 ）由题意， | OP | 1 =|4-0|+|-5-0|=9 ， | PQ | 1 =|4+2|+|-5-4|=15 ．
故答案为 9 ， 15 ．
（ 2 ） ① 由题意： | t -4|+|1+5|=10 ，
当 t ＞ 4 时， t =8 ，
当 t ＜ 4 时， t =0 ，
综上所述， t 的值为 8 或 0 ．
② 由题意， | TP | 1 =| PQ | 1 或 | TQ | 1 =| PQ | 1 或 | TP | 1 =| TQ | 1 ，
当 | TP | 1 =| PQ | 1 时， | t -4|+|1+5|=15 ，
解得 t =-5 或 13 ；
当 | TQ | 1 =| PQ | 1 时， | t +2|+|1-4|=15 ，
解得 t =10 或 -14 ，
| TP | 1 =| TQ | 1 时， | t -4|+|1+5|=| t +2|+|1-4| ，
解得 t =2.5 ，
综上所述， t 的值为 -5 或 13 或 10 或 -14 或 2.5 ．
【点睛】
本题考查了新定义，绝对值方程，分类讨论是解题的关键．