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排 列1.2.1 排排 列列 分类加法计数原理分类加法计数原理 如果完成一如果完成一件事情有件事情有n n类办法，在第类办法，在第1 1类办法中有类办法中有m m1 1种种不同不同的方法，在第的方法，在第2 2类办法中有类办法中有m m2 2种种不不同同的方法，的方法，在第，在第n n类办法中有类办法中有m mn n种种不不同同的方法，那么完成这件事共有：的方法，那么完成这件事共有：种种不同不同的方法。的方法。分步乘法计数原理分步乘法计数原理 完成一件事情需完成一件事情需要有要有n n个步骤，做第个步骤，做第1 1步有步有m m1 1种不同的方法，种不同的方法，做第做第2 2步有步有m m2 2 种不同的方法，种不同的方法，做第，做第n n步步时有时有m mn n种不同的方法。那么完成这件事共有种不同的方法。那么完成这件事共有 种不同的方法。种不同的方法。上午上午下午下午相应的排法相应的排法甲甲乙乙丙丙乙乙甲甲丙丙丙丙甲甲乙乙甲丙甲丙甲乙甲乙乙甲乙甲乙丙乙丙丙甲丙甲丙乙丙乙问题问题1：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名参加一项活名参加一项活动，其中动，其中1名同学参加上午的活动，另名同学参加上午的活动，另1名同学参加名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？下午的活动，有多少种不同的选法？探究：探究：把上面问题中被取的对象叫做把上面问题中被取的对象叫做元素元素,于是问于是问题就可以叙述为：题就可以叙述为：从从3个不同的元素个不同的元素a,b,c中任取中任取2个，然后按照一定个，然后按照一定的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？的顺序排成一列，一共有多少种不同的排列方法？ab,ac,ba,bc,ca,cb问题问题2：从从1，2，3，4这这4个数中，每次取出个数中，每次取出3个排成个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？叙述为叙述为:从从4个不同的元素个不同的元素a,b,c,d 中任取中任取3个，然后按个，然后按 照一定的照一定的顺序排成一列顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？，共有多少种不同的排列方法？abc,abd,acb,acd,adb,adc;bac,bad,bca,bcd,bda,bdc;cab,cad,cba,cbd,cda,cdb;dab,dac,dba,dbc,dca,dcb.有此可写出所有的三位数：有此可写出所有的三位数：123，124，132，134，142，143;213，214，231，234，241，243，312，314，321，324，341，342;412，413，421，423，431，432。问题问题1 从甲、乙、丙从甲、乙、丙3名同学中选出名同学中选出2名名参加某天的一项活动参加某天的一项活动,其中其中1名参名参加上午的活动加上午的活动,1名参加下午的活动名参加下午的活动,有多少不同的排法有多少不同的排法?原问题即：原问题即：从从3名同学中名同学中,任取任取2名名,按参加上午的活动在前按参加上午的活动在前,下午的下午的 活动在后的顺序排成一列活动在后的顺序排成一列,有哪有哪 些不同的排法？些不同的排法？实质是：实质是：从从3个不同的元素中个不同的元素中,任任 取取2 2个个,按按一定的顺序排成一列一定的顺序排成一列,有哪些不同的排法？有哪些不同的排法？问题问题2 从从1，2，3，4这这4个数中，每个数中，每次取出次取出3个排成一个三位数，个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数共可得到多少个不同的三位数？原问题即：原问题即：从从4个不同的数字中个不同的数字中,任取任取3个个,按照左边按照左边,中间中间,右边右边 的的 顺序排成一列顺序排成一列,写出所有不写出所有不 同的排法同的排法.实质是：实质是：从从4个不同的元素中个不同的元素中,任取任取3个个,按照按照一定的顺序排成一定的顺序排成 一列一列,写出所有不同的排法写出所有不同的排法.定义：一般地说定义：一般地说,从从n个不同的元素中个不同的元素中,任取任取m(mn)个元个元 素素,按照按照一定的顺序排成一列一定的顺序排成一列,叫做从叫做从n个不同的元素个不同的元素 中取出中取出m个元素的个元素的一个排列一个排列.(一取二排一取二排)基本概念基本概念1、排列：、排列：一般地，从一般地，从n个不同中取出个不同中取出m(m n)个元素，个元素，按照按照一定的顺序一定的顺序排成一列，叫做从排成一列，叫做从n个不同元个不同元素中取出素中取出m个元素的一个排列。个元素的一个排列。说明：说明：m mn n时的排列叫选排列，时的排列叫选排列，m mn n时的排列叫全排列时的排列叫全排列。1 1、元素不能重复。、元素不能重复。2 2、“按一定顺序按一定顺序”就是与位置就是与位置有关有关,这是判断一个问题是否是排这是判断一个问题是否是排列问题的关键。列问题的关键。排列的特征排列的特征注意：注意：两个排列相同，当且仅当这两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。元素的排列顺序也完全相同。你能归纳一下排列的特征吗？你能归纳一下排列的特征吗？思考思考:下列问题中哪些是排列问题？下列问题中哪些是排列问题？（1 1）1010名学生中抽名学生中抽2 2名学生开会名学生开会（2 2）1010名学生中选名学生中选2 2名做正、副组长名做正、副组长（3 3）从）从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相乘中任取两个数相乘（4 4）从）从2,3,5,7,112,3,5,7,11中任取两个数相除中任取两个数相除（5 5）有）有1010个车站个车站,共需要多少种车票？共需要多少种车票？（6 6）有）有1010个车站个车站,共需要多少种不同共需要多少种不同 的票价的票价?2、排列数：、排列数：从从n n个不同的元素中取出个不同的元素中取出m(mn)m(mn)个元素个元素的所有排列的个数，叫做从的所有排列的个数，叫做从n n个不同的元素中个不同的元素中取出取出m m个元素的排列数。用符号个元素的排列数。用符号 表示。表示。排列数。所有排列的个数，是一个数；“排列数排列数”是指从个不同元素中，任取个元素的所以符号只表示问题问题中是求从个不同元素中取出个元素的中是求从个不同元素中取出个元素的排列数，记为排列数，记为 ,已经算得已经算得问题问题2中是求从中是求从4个不同元素中取出个不同元素中取出3个元素的个元素的排列数，记为，已经算出排列数，记为，已经算出探究：探究：从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出2 2个元素的排列个元素的排列数数 是多少？是多少？呢呢？呢呢？第第2位位第第1位位nn-1探究：探究：从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出2 2个元素的排列个元素的排列数数 是多少？是多少？第第2位位第第1位位nn-1第第3位位n-2第第2位位第第1位位nn-1第第3位位n-2第第m位位n-m+1(1)(1)排列数公式（排列数公式（1 1）：）：当当m mn n时，时，正整数正整数1 1到到n n的连乘积，叫做的连乘积，叫做n n的阶乘，用的阶乘，用 表示。表示。n n个不同元素的全排列公式：个不同元素的全排列公式：(2)(2)规定：规定：例例1 1、某年全国足球甲级、某年全国足球甲级A A组联赛共有组联赛共有1414个队参加，个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，共进行多少场比赛？进行多少场比赛？解：解：14个队中任意两队进行个队中任意两队进行1次主场比赛与次主场比赛与1次客场比赛，次客场比赛，对应于从对应于从14个元素中任取个元素中任取2个元素的一个排列，因此，个元素的一个排列，因此，比赛的总场次是比赛的总场次是 例例2 2（1 1）从）从5 5本不同的书中选本不同的书中选3 3本送给本送给3 3名同学，每人各名同学，每人各1 1本，共有多少种不同本，共有多少种不同的送法？的送法？（2 2）从）从5 5种不同的书中买种不同的书中买3 3本送给本送给3 3名同名同学，每人各学，每人各1 1本，共有多少种不同的送法本，共有多少种不同的送法？(种种)(种种)排列数分步乘法计数原理例例3：用：用0到到9这这10个数字，可以组成多少个没有重复个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？数字的三位数？百位十位个位解法一：对排列方法分步思考。解法一：对排列方法分步思考。从位置出发从位置出发解法二：对排列方法分类思考。符合条件的三位数解法二：对排列方法分类思考。符合条件的三位数可分为两类：可分为两类：百位百位 十位十位 个位个位0百位百位 十位十位 个位个位0百位百位 十位十位 个位个位根据加法原理根据加法原理从元素出发分析从元素出发分析解法三：间接法解法三：间接法.从从0到到9这十个数字中任取三个数字的排列数为这十个数字中任取三个数字的排列数为 ，所求的三位数的个数是所求的三位数的个数是其中以其中以0为排头的排列数为为排头的排列数为 .逆向思维法逆向思维法（1）直接计算法：即把符合限制条件的排列数直接计算出来，此种算法又可分为先考虑特殊元素还是先考虑特殊位置两种方法。（2）间接计算法：即先不考虑限制条件，把所有排列种数算出。再从中减去全部不符合条件的排列种数，间接得出符合条件的排列种数。排列问题，是取出排列问题，是取出m m个元素后，还要按一个元素后，还要按一定的顺序排成一列，取出同样的定的顺序排成一列，取出同样的m m个元素，只个元素，只要要排列顺序不同排列顺序不同，就视为完成这件事的两种，就视为完成这件事的两种不同的方法（两个不同的排列）不同的方法（两个不同的排列）小结小结 由排列的定义可知，由排列的定义可知，排列与元素的顺序有排列与元素的顺序有关关，也就是说与位置有关的问题才能归结为排，也就是说与位置有关的问题才能归结为排列问题列问题课外作业课外作业:第第2727页页 A A组组:4,5,6,7:4,5,6,7课外练习课外练习:练习册对应的题目练习册对应的题目;基础好的同学到公共邮箱下载对应的高考题做基础好的同学到公共邮箱下载对应的高考题做.