教育学夜大高数D专升本无穷级数.pptx
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1、1 11高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD DD 上海大学数学系上海大学数学系上海大学数学系上海大学数学系 王培康王培康王培康王培康 高高高高 等等等等 数数数数 学学学学2 22高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD本本本本 课课课课 程程程程 教教教教 学学学学 内内内内 容容容容第七章第七章第七章第七章第七章第七章 无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数 (第六节不要求第六节不要求第六节不要求第六节不要求第六节不要求第六节不要求)第八章第八章第八章第八章第八章第八章 微分方程微分方程微分方程微分方程微分方程微分方程 (第七节不要求第七节不
2、要求第七节不要求第七节不要求第七节不要求第七节不要求)第十章第十章第十章第十章第十章第十章 多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学多元函数微分学 (第六、七节不要求第六、七节不要求第六、七节不要求第六、七节不要求第六、七节不要求第六、七节不要求)第十一章第十一章第十一章第十一章第十一章第十一章 重积分重积分重积分重积分重积分重积分 (第三节不要求第三节不要求第三节不要求第三节不要求第三节不要求第三节不要求)本本本本 课课课课 程程程程 考考考考 核核核核 方方方方 式式式式1.1.1.期末考试期末考试期末考试期末考试期末考试期末考试 (半开卷,占总评成绩半开卷,
3、占总评成绩半开卷,占总评成绩半开卷,占总评成绩半开卷,占总评成绩半开卷,占总评成绩70%)70%)70%)2.2.2.平时考勤记录平时考勤记录平时考勤记录平时考勤记录平时考勤记录平时考勤记录 (占总评成绩占总评成绩占总评成绩占总评成绩占总评成绩占总评成绩30%)30%)30%)3 33高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD第七章第七章第七章第七章 无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数4 44高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 无穷级数是高等数学的一个重要组成无穷级数是高等数学的一个重要组成部分部分,是表示函数、研究函数的性质以及是表示函数、研究函数的性质以及
4、进行数值计算的一种有力工具进行数值计算的一种有力工具.(常常)数项级数数项级数级数级数幂级数幂级数函数项级数函数项级数正项级数正项级数任意项级数任意项级数傅里叶级数傅里叶级数(交错级数交错级数)5 55高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD第一节第一节第一节第一节 无穷级数的基本概念和性质无穷级数的基本概念和性质无穷级数的基本概念和性质无穷级数的基本概念和性质一、无穷级数的基本概念一、无穷级数的基本概念一、无穷级数的基本概念一、无穷级数的基本概念1.定义定义定义定义:称为称为常数项无穷级数常数项无穷级数常数项无穷级数常数项无穷级数,简称简称常数项级数常数项级数常数项级数常数项
5、级数,设给定一个数列设给定一个数列问题问题问题问题:(即有没有和数即有没有和数)其中其中 u un n 称为级数的称为级数的一般项一般项一般项一般项(或或通项通项通项通项).或或无穷级数无穷级数无穷级数无穷级数,或或级数级数级数级数.6 66高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD2.2.部分和数列部分和数列部分和数列部分和数列一数列中有限项相加总是有和数的一数列中有限项相加总是有和数的,无限项相加是否有和数无限项相加是否有和数?可能有可能有,也可能没有也可能没有.如何研究它如何研究它?通过有限项之和去认识和研究无限项之和通过有限项之和去认识和研究无限项之和.定义定义定义定义:
6、级数前级数前n项之和项之和:组成的数列称为级数的组成的数列称为级数的部分和数列部分和数列部分和数列部分和数列.7 77高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD部分和数列部分和数列Sn:显然显然,8 88高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 发散的级数没有和发散的级数没有和.极限值极限值 S 称为级数的和称为级数的和.3.3.级数的收敛和发散级数的收敛和发散级数的收敛和发散级数的收敛和发散定义定义定义定义:(C C)(D D )9 99高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD其差值其差值 rn=称为级数的称为级数的余项余项余项余项.101010
7、高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD讨论讨论等比级数等比级数等比级数等比级数(几何级数几何级数几何级数几何级数)的敛散性的敛散性:例例例例1.1.解解解解:111111高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD121212高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD解解解解:原级数原级数(D)例例例例2.2.131313高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD例例例例3.3.解解解解:原级数原级数(C)141414高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD二、级数的基本性质二、级数的基本性质性质性质性质性质1.1.k
8、是常数是常数,证证:证毕证毕151515高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD推论推论推论推论:性质性质性质性质1.1.k 是常数是常数,161616高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD性质性质性质性质2.2.收敛级数可逐项相加减收敛级数可逐项相加减.设有两个收敛级数设有两个收敛级数推论推论推论推论:171717高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD由性质由性质2:矛盾矛盾!推论推论推论推论:(C C C)+()+()+(D D D)=()=()=(D D D)证证证证:(C)+(C)=(C)181818高等数学高等数学高等数学高等数学高
9、等数学高等数学D DD两个发散级数逐项相加减后的情况不定两个发散级数逐项相加减后的情况不定.如如:191919高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 在级数前加上或去掉或改变有限项在级数前加上或去掉或改变有限项,不影响不影响级数的敛散性级数的敛散性,但收敛时其和会改变但收敛时其和会改变.(C),例例:性质性质性质性质3.3.(C)(C)202020高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 收敛级数对其项任意加括号后所组成收敛级数对其项任意加括号后所组成的级数仍然收敛的级数仍然收敛,且其和不变且其和不变.证证证证:部分和为部分和为 Sn,性质性质性质性质4.4.
10、按某一规律加括号后的级数按某一规律加括号后的级数:证毕证毕该性质可理解为收敛的级数满足加法结合律该性质可理解为收敛的级数满足加法结合律.212121高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 发散级数加括号后所成级数不一定发散发散级数加括号后所成级数不一定发散.注注1.例例:(D)(C)加括号后所成的级数发散加括号后所成的级数发散,3.则原级数也发散则原级数也发散.甚至甚至,对一个发散的级数对一个发散的级数,若按不同的方式加括号若按不同的方式加括号,所得的级数可能收敛于不同的和所得的级数可能收敛于不同的和.发散的级数不满足加法结合律发散的级数不满足加法结合律.收敛于收敛于 0,加
11、括号后所得的级数加括号后所得的级数 (D)添加了括号后所得的级数收敛并不能保证原来的级添加了括号后所得的级数收敛并不能保证原来的级2.例例:数收敛数收敛.而原来的级数而原来的级数222222高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 性质性质性质性质5.5.证证证证:(级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件)说明说明232323高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 级数发散级数发散.例例2:证明调和级数证明调和级数发散发散.证证证证:(反证反证)此时此时 解解解解:242424高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D
12、 DD但但矛盾矛盾!252525高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD课课课课 外外外外 作作作作 业业业业 习题习题 7 1(第第173页页)4(1,2,3)262626高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD习题习题习题习题习题习题7-1(7-1(7-1(第第第第第第173173173页页页页页页)4.4.判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性:级数为等比级数级数为等比级数,公比为公比为级数收敛级数收敛;级数发散级数发散.272727高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD4.判断下列级数的敛散性判
13、断下列级数的敛散性:等比级数等比级数的公比为的公比为则由性质则由性质1知原级数收敛知原级数收敛.等比级数等比级数的公比为的公比为282828高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD4.判断下列级数的敛散性判断下列级数的敛散性:则由级数收敛的必要条件知原级数发散则由级数收敛的必要条件知原级数发散.292929高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD1.1.定义定义定义定义:许多级数敛散性的判断都可以归结许多级数敛散性的判断都可以归结为正项级数的敛散性的判断为正项级数的敛散性的判断.第二节第二节第二节第二节 正项级数正项级数正项级数正项级数303030高等数学高等数
14、学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD2.2.正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件正项级数收敛的充要条件 证证证证:收敛数列必有界收敛数列必有界,定理定理定理定理:(C)证毕证毕证毕证毕313131高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD如如:有界有界无界无界则其必发散则其必发散.323232高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD3.3.审敛法(判别法)审敛法(判别法)审敛法(判别法)审敛法(判别法)比较审敛法比较审敛法比较审敛法比较审敛法:设有两个正项级数设有两个正项级数(C),(C).(1)(2)(D),(D).则则(大的
15、收敛则小的也收敛)(大的收敛则小的也收敛)(大的收敛则小的也收敛)(大的收敛则小的也收敛)(小的发散则大的也发散)(小的发散则大的也发散)(小的发散则大的也发散)(小的发散则大的也发散)333333高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 证证证证:(1)(2)343434高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 推论推论推论推论.即正项级数若从某项后满足比较审即正项级数若从某项后满足比较审敛法的条件,敛法的条件,仍得同样结果仍得同样结果.结论同样成立结论同样成立;甚至上式只要在某个自然数后开始成立甚至上式只要在某个自然数后开始成立即可即可.373737高等数学
16、高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 因为要与已知敛散的级数的一般项进行比较因为要与已知敛散的级数的一般项进行比较,等比级数等比级数 P-级数级数所以必须掌握一些已知敛散的级数所以必须掌握一些已知敛散的级数.常用常用:调和级数调和级数(D)383838高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 例例1.判别下列正项级数的敛散性判别下列正项级数的敛散性:(1)解解解解:393939高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD(2)解解解解:404040高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD(3)解解解解:414141高等数学高等数学高等数学
17、高等数学高等数学高等数学D DD 比较审敛法的极限形式比较审敛法的极限形式:设正项级数设正项级数424242高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 例例2:判别前例中级数判别前例中级数(1),(2)的敛散性的敛散性:原级数收敛原级数收敛.解解解解:434343高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 原级数发散原级数发散.解解解解:444444高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD解解解解:例例3:判别级数的敛散性判别级数的敛散性:原级数发散原级数发散.454545高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 解解解解:原级数收敛
18、原级数收敛.464646高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 解:解:解:解:原级数收敛原级数收敛.474747高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD比值审敛法(达朗贝尔判别法)比值审敛法(达朗贝尔判别法)设正项级数设正项级数则当则当敛散性不定敛散性不定484848高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD解解解解:原级数收敛原级数收敛.例例1:判别下列正项级数的敛散性判别下列正项级数的敛散性:494949高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD解解解解:原级数收敛原级数收敛.=505050高等数学高等数学高等数学高等数学高等
19、数学高等数学D DD(3)解解解解:由此题结论还可得由此题结论还可得:515151高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 前面介绍的判别正项级数敛前面介绍的判别正项级数敛散性的比较、比值审敛方法,它散性的比较、比值审敛方法,它们都是充分条件。如果用它们无们都是充分条件。如果用它们无法判断该正项级数敛散性,那么法判断该正项级数敛散性,那么就要尝试用级数收敛的定义、收就要尝试用级数收敛的定义、收敛级数的性质等去判别。敛级数的性质等去判别。525252高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD课课课课 外外外外 作作作作 业业业业 习题习题 7 2(第第177页页)1
20、(4,5),2(1)535353高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD第三节第三节第三节第三节 交错级数与交错级数与交错级数与交错级数与任意项级数任意项级数任意项级数任意项级数 各项正负交错的级数称为各项正负交错的级数称为交错级数交错级数交错级数交错级数.定义定义定义定义:如如:其中其中 一、一、交错级数及其审敛法交错级数及其审敛法 545454高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD交错级数审敛法(莱布尼兹定理)交错级数审敛法(莱布尼兹定理)若交错级数若交错级数满足条件满足条件:则此级数则此级数收敛收敛收敛收敛,555555高等数学高等数学高等数学高等数学高
21、等数学高等数学D DD判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性:(1)解解解解:例例例例:莱布尼兹级数莱布尼兹级数莱布尼兹级数莱布尼兹级数莱布尼兹级数莱布尼兹级数565656高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD(2)解解解解:575757高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD 二、任意项级数二、任意项级数 任意项级数的敛散情况有下列三种任意项级数的敛散情况有下列三种:对任意项级数对任意项级数,一般有无穷多正项一般有无穷多正项,无穷多负项无穷多负项,但其各项的绝对值但其各项的绝对值组成了正项级数组成了正项级数:1.绝对
22、收敛绝对收敛;2.条件收敛条件收敛;3.发散发散.585858高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD定义定义:(A.CA.C)(C.CC.C)595959高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD定理定理:绝对收敛的级数必收敛。绝对收敛的级数必收敛。606060高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD证证证证:616161高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学高等数学D DD说明说明:绝对收敛级数都是收敛级数绝对收敛级数都是收敛级数绝对收敛级数都是收敛级数绝对收敛级数都是收敛级数,反之反之反之反之不成立不成立不成立不成立,即收敛级数未必是绝对收
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