数列极限收敛准则64264.pptx
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1、高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学 大 学 数 学(一一)第四讲第四讲第四讲第四讲 数列极限收敛准则、数列极限收敛准则、数列极限收敛准则、数列极限收敛准则、无穷小量、极限运算无穷小量、极限运算无穷小量、极限运算无穷小量、极限运算脚本编写、教案制作:刘楚中 彭亚新 邓爱珍 刘开宇 孟益民 第二章 数列的极限与常数项级数本章学习要求:第二章 数列的极限与常数项级数第二节第二节 数列极限收敛准则数列极限收敛准则第三节第三节 数列极限的运算数列极限的运算一、数列极限收敛准则二、无穷小量与无穷大量三、极限的运算四、施笃兹定理及其应用1.单调收敛准则 单调减少有下界的数列必有极限.单调增加有上界的
2、数列必有极限.一、数列极限收敛准则 通常说成:单调有界的数列必有极限通常说成:单调有界的数列必有极限.证证由中学的牛顿二项式展开公式例例1类似地,有又 等比数列求和 放大不等式每个括号小于 1.综上所述,数列xn是单调增加且有上界的,由极限存在准则可知,该数列的极限存在,通常将它纪为 e,即e 称为欧拉常数.欧拉一身经历坎坷。他于1707年生于瑞士巴塞尔,20年后却永远离开了祖国。在他76年的生命历程中,还有25年住在德国柏林(17411766年),其余时间则留在俄国彼得堡。欧拉31岁时右眼失明,59岁时双目失明。他的寓所和财产曾被烈火烧尽(1771年),与他共同生活40年的结发之妻先他10年
3、去世。欧拉声誉显赫。12次获巴黎科学院大奖(17381772年)曾任彼得堡科学院、柏林科学院、伦敦皇家学会、巴塞尔物理数学会、巴黎科学院等科学团体的成员。欧拉成就卓著。生前就出版了560种论著,另有更多未出版的论著。仅仅双目失明后的 17 年间,还口述了几本书和约400篇论文。欧拉是目前已知成果最多的数学家。欧拉聪明早慧,13岁入巴塞尔大学学文科,两年后获学士学位。第二年又获硕士学位。后为了满足父亲的愿望,学了一段时期的神学和语言学。从18岁开始就一直从事数学研究工作。欧拉具有超人的计算能力。法国天文学家、物理学家阿拉哥(D.F.J.Arago,17861853)说:“欧拉计算一点也不费劲,正
4、像人呼吸空气、或像老鹰乘风飞翔一样。”有一次,欧拉的两个学生计算一个复杂的收敛级数的和,加到第17 项时两人发现在第 50 位数字相差一个单位。为了确定究竟谁对,欧拉用心算进行了全部运算,准确地找出了错误。特别是在他双目失明后,运用心算解决了使牛顿头疼的月球运动的复杂分析运算。欧拉创用 a,b,c 表示三角形的三条边,用 A,B,C表示对应的三个角(1748);创用 表示求和符号(1755);提倡用 表示圆周率(1736);1727年用 e 表示自然对数的底;还用y 表示差分等等。十八世纪四十年代,欧拉的一些著作就已传到中国,如他在1748年出版的无穷分析引论。2.数列极限的夹逼定理设数列 x
5、n,yn,zn 满足下列关系:(2)则(1)yn xn zn,n Z+(或从某一项开始);想想:如何证明夹逼定理?解解由于例例2想得通吧?想得通吧?解解例例3 夹逼定理夹逼定理例例4解解例例5解解 夹逼定理夹逼定理请自己做!有界数列的重要性质有界数列的重要性质由任何有界数列必能选出收敛的子数列由任何有界数列必能选出收敛的子数列.定理定理定理定理左端点构成单调增加的数列左端点构成单调增加的数列右端点构成单调减少的数列右端点构成单调减少的数列上面所用到的方法归结起来称为“区间套定理”.(区间套定理)定理定理定理定理3.柯西收敛准则 满足此条件的数列,称为“柯西列”.柯西准则可写为:证证由柯西收敛准
6、则可知,该数列是发散的.例例6证证由柯西收敛准则可知,该数列是收敛的.例例7 柯柯 西西 A.L.Cauchy (17891857)业绩永存的业绩永存的 数学大师数学大师 柯西 1789 年8月21日出生于巴黎。父亲是一位精通古典文学的律师,与当时法国的大数学家拉格朗日和拉普拉斯交往密切。少年时代柯西的数学才华就颇受这两位大数学的赞赏,并预言柯西日后必成大器。在拉格朗日的建议下,其父亲加强了对柯西文学素质的培养,使得后来柯西在诗歌方面也表现出很高的才华。18051810年,柯西考入巴黎理工学校,两年后以第一名的成绩被巴黎桥梁公路学院录取,毕业时获该校会考大奖。1810年成为工程师。1815年获
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