高等数学-对坐标的曲面积分.pptx
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1、1小结小结 思考题思考题 作业作业预备知识预备知识概念的引入概念的引入概念与性质概念与性质对坐标的曲面积分的计算法对坐标的曲面积分的计算法两类曲面积分之间的联系两类曲面积分之间的联系surface integral第五节第五节 对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分2观察以下曲面的侧观察以下曲面的侧曲面分曲面分上上侧和侧和下下侧侧曲面分曲面分内内侧和侧和外外侧侧1.有向曲面有向曲面 通常光滑曲面都有两侧通常光滑曲面都有两侧.如流体从曲面的这一侧如流体从曲面的这一侧如流体从曲面的这一侧如流体从曲面的这一侧流向另一侧的流量问题等流向另一侧的流量问题等流向另一侧的流量问题等流向另一侧的流量问题等.(假设曲
2、面是光滑的假设曲面是光滑的)对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一、预备知识一、预备知识3有两侧的曲面有两侧的曲面.规定规定(1)双侧曲面双侧曲面2.曲面的分类曲面的分类法向量法向量的方向来区分曲面的两的方向来区分曲面的两侧侧.对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分4(2)单侧曲面单侧曲面莫比乌斯莫比乌斯(Mobius)带带.B、C 粘在一起形成的环粘在一起形成的环不通过边界可以不通过边界可以这在这在双侧曲面双侧曲面上是不能实现的上是不能实现的.决定了侧的曲面称为决定了侧的曲面称为它是由一张长方形纸条它是由一张长方形纸条ABCD,扭转一下扭转一下,将将A、D粘在一起,粘在一起,行带行带.小毛虫在小毛虫在
3、莫比乌斯带上莫比乌斯带上,爬到任何一点去爬到任何一点去.有向曲面有向曲面.对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分Mobius(1790-1868)19世纪德国数学家世纪德国数学家53.有向有向曲面在坐标面上的投影曲面在坐标面上的投影设设是是有向曲面有向曲面.恰好等于恰好等于 与坐标面与坐标面xOy的二面角的二面角.假定假定的余弦的余弦上各点处的法向量与上各点处的法向量与 z轴的夹角轴的夹角有相同的符号有相同的符号.在有向曲面在有向曲面取一小块取一小块对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分6 类似地类似地,可定义可定义 在在yOz面及面及zOx面的投影面的投影:希自己写出希自己写出希自己写出希自己写出在在x
4、Oy面上的面上的投影投影在在xOy面上的投影区域的面积附以一定的面上的投影区域的面积附以一定的实际上就是实际上就是正负号正负号.的二面角的二面角.对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分7流向曲面一侧的流向曲面一侧的流量流量.流量流量实例实例(为平面为平面A的的单位单位法向量法向量)(斜柱体体积斜柱体体积)(1)流速场为流速场为常向量常向量有向有向平面平面区域区域 A,求单位时间流过求单位时间流过A的流体的质量的流体的质量(假定密度为假定密度为1).对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分二、概念的引入二、概念的引入8(2)设稳定流动的不可压缩流体设稳定流动的不可压缩流体给出给出,函数函数 流体的密度与速度流
5、体的密度与速度均不随时间而变化均不随时间而变化(假定密度为假定密度为1)的速度场由的速度场由当当 不是常量不是常量,曲面曲面求在单位求在单位时间内流向时间内流向指定侧的指定侧的流体的质量流体的质量是速度场中的一片是速度场中的一片有向曲面有向曲面,对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分9 分割分割则该点流速为则该点流速为 ,法向量为法向量为 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分10常向量常向量,有向平面有向平面求和求和取近似取近似该点处曲面该点处曲面的的单位单位法向量法向量高高底底对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分通过通过流向指定侧的流量流向指定侧的流量kjiniiiirrrrg gb ba acoscos
6、cos+=),cos(|iiinvvrrr11取极限取极限对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分121.定义定义三、概念与性质三、概念与性质定义定义对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分13或称或称被积函数被积函数积分曲面积分曲面存在存在,则称此极限为则称此极限为第二类曲面积分第二类曲面积分.记作记作即即如曲面为如曲面为封闭曲面封闭曲面:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分14类似可定义类似可定义2.存在条件存在条件对坐标的曲面积分存在对坐标的曲面积分存在.在有向光滑在有向光滑连续连续,对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分153.组合形式组合形式4.物理意义物理意义如如:上述流向上述流向指定侧的流量指定侧的流量为
7、为:对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分165.性质性质(1)(2)(3)对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分 当曲面当曲面(4)是母线平行于是母线平行于z轴的柱面时轴的柱面时,表示表示相反的一侧相反的一侧,的曲面积分的曲面积分性质对坐标性质对坐标zxyz.也有类似的结果也有类似的结果17对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分上侧上侧,四、四、对坐标的曲面积分的计算法对坐标的曲面积分的计算法设积分曲面设积分曲面是由是由的曲面的曲面在在xOy面面上的投影区域为上的投影区域为函数函数具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,被积函数被积函数R(x,y,z)在在上连续上连续.18 取取上上侧侧即即对坐标的曲面积分对坐
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